MicroeconomiaI-TeoriaDoConsumidor-Utilidade-UFSM

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Microeconomia I - Teoria do Consumidor - Utilidade - UFSM
Gean M. Pens
2020/2
1 Teoria do Consumidor
2 Utilidade
A função de utilidade é um modo de atribuir um número a cada possível cesta de consumo, de modo que
se atribuam às cestas mais preferidas números maiores que os atribuídos às menos preferidas. Isto é, X ≺ Y
se e somente se u(X) < u(Y ).
A única propriedade de uma atribuição de utilidade que interessa é o modo como ela ordena as cestas de
bens. A grandeza da função de utilidade só tem importância na medida em que ela hierarquiza as diferentes
cestas de consumo. A extensão da diferença de utilidade entre quaisquer duas cestas não importa.
Como só o que interessa é a ordenação das cestas, não existe uma forma única de atribuir utilidades às
cestas de bens. Se pudéssemos encontrar um meio determinado de atribuir números de utilidades às cestas
de bens, poderíamos descobrir um número infinito de formas de fazê-lo. Se u(X) representa uma forma de
atribuir números de utilidades às cestas X, a multiplicação de u(X) por qualquer número positivo também
seria um meio válido de atribuir utilidades.
A multiplicação por um número positivo é um exemplo de transformação monotônica. A transfor-
mação monotônica é um modo de transformar um conjunto de números em outro, mas preservando a ordem
original dos números.
A transformação monotônica é uma função f que transforma cada número u em um número f(u), mas
preserva a ordem de grandeza dos números para que u1 < u2 implique em f(u1) < f(u2). Uma transformação
monotônica e uma função monotônica são, em essência, a mesma coisa.
Exemplos de transformadas monotônicas são:
• A multiplicação por uma constante λ ∈ R∗+, e.g. f(u) = λu;
• A adição de uma constante c ∈ R, e.g. f(u) = u+ c;
• Elevar u por uma potência ímpar;
Para medir a taxa de variação de f(u) que ocorre quando u varia, basta dividir a diferença registrada em
f entre dois valores de u pela mudança ocorrida em u, isto é:
∆f
∆u
=
f(u2)− f(u1)
u2 − u1
Para que a transformação seja monotônica, f(u2) − f(u1) deve ter sempre o mesmo sinal que u2 − u1.
Assim, a taxa de variação da transformação monotônica tem de ser sempre positiva. Isso faz com que o
gráfico da transformação monotônica tenha sempre uma inclinação positiva.
Se f(u) for a transformação monotônica de uma função de utilidade que represente determinadas prefe-
rências, então f(u(X)) também será uma função de utilidade que representará essas mesmas preferências.
O argumento se baseia em três afirmações:
• Se u(X) representa determinadas preferências, então u(X) < u(Y )⇔ X ≺ Y .
• Mas, se f(u) for uma transformação monotônica, então u(X) < u(Y )⇔ f(u(X)) < f(u(Y )).
• Portanto, f(u(X)) < f(u(Y )) ⇔ X ≺ Y , de modo que a função f(u) represente as preferências da
mesma forma que a função de utilidade original u(X).
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Assim, a transformação monotônica de uma função de utilidade é uma função de utilidade que representa
as mesmas preferências da função de utilidade original.
Podemos obter curvas de indiferença a partir da utilidade. Suponhamos que a utilidade seja dada por
u(x1, x2) = x1x2, sabemos que a curva de indiferença será o conjunto [X] = {x1, x2 ∈ R2;x1x2 = k}, onde k
é uma constate qualquer. Resolvendo x2 como uma função de x1, vemos que a curva de indiferença terá a
forma típica x2 = kx1 .
A Utilidade Marginal é a taxa com a qual varia a utilidade de um consumidor a medida que se al-
tera a quantidade dos bens em sua cesta de consumo (x1.x2). A taxa com a qual a utilidade varia com uma
pequena mudança na quantidade de x1 é representada pela razão
UM1 =
∆U
∆x1
=
u(x1 + ∆x1, x2)− u(x1, x2)
∆x1
Essa definição implica que, para calcular a variação da utilidade relacionada a uma pequena variação no
consumo em x1, basta apenas multiplicar a variação no consumo pela utilidade marginal do bem:
∆U = UM1∆x1
A utilidade marginal de x2 é calculada de modo análogo.
A função utilidade fornece uma forma simples de calcular a TMS. Imaginemos uma variação no consumo
de cada bem (∆x1,∆x2) que mantenha a utilidade constante, devemos ter, então,
UM1∆x1 + UM2∆x2 = ∆U = 0
Ao resolvermos a inclinação da curva de indiferença, obtemos
TMS =
∆x2
∆x1
= −UM1
UM2
.
O sinal algébrico da TMS é negativo: se você obtiver mais do bem 1, precisará ter menos do bem 2 para
manter o mesmo nível de utilidade. No entanto, podemos referir-se à TMS pelo valor absoluto dela.
Exercícios de Revisão
1- O texto afirmou que a elevação de um número a uma potência ímpar era uma transformação monotônica.
E a elevação de um número a uma potência par? Seria uma transformação monotônica?
Resposta: Não, pois a elevação por uma potência par não preserva a ordem de grandeza dos valores.
3- Afirmamos no texto que, se as preferências fossem monotônicas, uma diagonal que partisse da origem
interceptaria cada uma das curvas de indiferença apenas uma vez. Você pode provar isso de maneira rigo-
rosa? (Dica: o que aconteceria se a diagonal interceptasse alguma curva de indiferença duas vezes?)
Resposta: Se interceptasse em dois pontos, implicaria que cestas com utilidades diferentes estariam na
mesma curva de indiferença.
4- Que tipos de preferências são representados pela função de utilidade com u(x1, x2) =
√
x1 + x2? E
pela função v(v1, v2) = 13v1 + 13v2?
Resposta: Ambas representam casos para substitutos perfeitos.
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