prova de matematica

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AVALIAÇÃO PARCIAL 01
Thiago Tharles thi.tharles@gmail.com
1. Para todo x e y inteiros, se x + y é ímpar, então x.y é par.
temos x + y é ímpar, ou seja, x + y = 2k+1
temos 1 número par e 1 número ímpar
((2.a) + 1) + (2.b) *o 1 sobrará em apenas um lado da expressão
x.y, ou seja, ((2.a) + 1) . (2.b)
= 2𝑎 . (2𝑏) + 1 . (2𝑏) *distribui (2.b)
= 2𝑎 . (2𝑏) + 2𝑏 *elimina o 1
a e b são inteiros, então (2𝑎 . (2𝑏) + 2𝑏) também é inteiro
2k = 2 . (2𝑎 . (2𝑏) + 2𝑏) *2 vezes um inteiro é par
portanto se x + y é ímpar, então x.y é par.
2. Para todo a, b e c inteiros com a ≠ 0, se a | b e b | c, então a2 | bc.
se a | b, b= a.n *sendo n um inteiro qualquer
= a | a.n
se b | c, c= b.m *sendo m um inteiro qualquer
= b | b.m
= a.n | a.n.m
então a2 | bc
= a2 | a.n.a.n.m
= a2 | a..a.n.n.m
= a2 | (a2).(n2).m *a2 vezes um número inteiro qualquer
então se a | b e b | c, então a2 | bc.
3. Calcule os valores de −36 div 7 e de −36 mod 7, exibindo os cálculos necessários.
Justifique os resultados encontrados de acordo com o Algoritmo da Divisão.
−36 div 7 = -5
−36 mod 7 = -1
4. Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ b2
(mod m).
se a ≡ b (mod m), podemos representar como m | (a-b)
= m | (a2-b2)
= m | (a - b).(a + b)
5. Resolva os itens abaixo utilizando os métodos apresentados nos slides e vídeo
aulas da disciplina. Em cada item forneça todos os cálculos e passos que seriam
mailto:thi.tharles@gmail.com
realizados pelo método escolhido de forma a justificar claramente suas respostas.
(a) Encontre a fatoração do número 539.
539 | 7
77 | 11
7 | 7
1 | 72 . 11
(b) Utilizando a fatoração obtida no Item (a), descubra quantos divisores positivos o
número 539 tem. Em seguida, liste todos os divisores positivos de 539. OBS.: Não
será válido calcular os divisores para contá-los depois. É necessário encontrar o
total de divisores de forma independente da listagem dos divisores.
539 tem 6 divisores
70 . 110 = 1
70 . 111 = 11
71 . 110 = 7
71 . 111 = 77
72 . 110 = 49
72 . 111 = 539
(c) Verifique se o número 737 é primo.
suponha que p primo e p ≤ 737
2 ∤ 737 , pois 737 mod 2 = 1, com p = 2
3 ∤ 737 , pois 737 mod 3 = 2, com p = 3
5 ∤ 737 , pois 737 mod 5 = 2, com p = 5
7∤ 737 , pois 737 mod 7 = 2, com p = 7
11 ∣ 737 , pois 737 = 11*67, com p = 7
logo 737 não é primo;
(d) Fatores os números 168 e 490. Utilize estas fatorações para calcular os valores
de mdc(168, 490) e mmc(168, 490).
168 | 2
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 | 23 . 3 . 7
490 | 2
245 | 5
49 | 7
7 | 7
1 | 2 . 5 . 72
mdc(168, 490) =2min(3,1)*3min(1,0)*5min(0,1)*7min(1,2) = 21*30*50*71 = 14
mmc(168, 490) = 2max(3,1)*3max(1,0)*5max(0,1)*7max(1,2) = 23*31*51*72 = 5880
(e) Encontre todos os divisores positivos comuns de 168 e 490.
14 | 2
7 | 7
1 | 2 * 7
70 . 20 = 1
70 . 21 = 2
71 . 20 = 7
71 . 21 = 14
(f) Este item é um pouco diferente dos demais, pois caberá a você propor um
método. Encontre dois números x e y tais que mdc(x, y) = 15 e mmc(x, y) = 540. Os
números propostos devem ser ambos diferentes de 15 e 540. Explique como você
os encontrou.
15 | 3
5 | 5
1 | 3 . 5
540 | 2
270 | 2
135 | 3
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 | 22 . 33 . 5
2(0,2)*3(1,3)*5n(1,1))
2(2)*3(1)*5(1) = 60
2(0)*3(3)*5(1) = 135
6. Seja R ⊆ Z × Z tal que R = { (x, y) | x2 = y2 }, avalie as afirmações abaixo. Em cada
caso, a sua resposta só será aceita se incluir uma prova para a sua conclusão.
{(1, 1), (4, 4), (9, 9), (16, 16), (25, 25), ... }
(a) “R é reflexiva”
Como 1 ∈ Z, precisamos ter (1, 1) ∈ R.
Como 4 ∈ Z, precisamos ter (4, 4) ∈ R.
Como 9 ∈ Z, precisamos ter (9, 9) ∈ R.
Como 16 ∈ Z, precisamos ter (16, 16) ∈ R.
Como 25 ∈ Z, precisamos ter (25, 25) ∈ R.
(b) “R é simétrica”
Como (1, 1) ∈ R, precisamos ter que (1, 1) ∈ R.
Como (4, 4) ∈ R, precisamos ter que (4, 4) ∈ R.
Como (9, 9) ∈ R, precisamos ter que (9, 9) ∈ R.
Como (16, 16) ∈ R, precisamos ter que (16, 16) ∈ R.
Como (25, 25) ∈ R, precisamos ter que (25, 25) ∈ R.
(c) “R é anti-simétrica”
Como (1, 1) ∈ R, mas 1 = 1, não há o que verificar.
Como (4, 4) ∈ R, mas 4 = 4, não há o que verificar.
Como (9, 9) ∈ R, mas 9 = 9, não há o que verificar.
Como (16, 16) ∈ R, mas 16 = 16, não há o que verificar.
Como (25, 25) ∈ R, mas 25 = 25, não há o que verificar.
(d) “R é transitiva”
não há o que verificar.
QUESTÕES BONUS
1. Suponha que a e b sejam inteiros ímpares, com a 6= b. Mostre que existe um único
inteiro c tal que |a − c| = |b − c|.
| 3 - 5| = | 7 - 5|
|-2| = |2|
2 = 2
2.Seja S um conjunto qualquer e R ⊆ S × S uma relação binária em S, definimos a relação
R−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R }. Prove que:
“R é uma relação simétrica se e somente se R−1 é uma relação simétrica.”
se tivermos R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}
teremos um R-1 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (1, 3)}
para R:
• Como (1, 1) ∈ R, precisamos ter que (1, 1) ∈ R.
• Como (1, 2) ∈ R, precisamos ter que (2, 1) ∈ R.
• Como (2, 1) ∈ R, precisamos ter que (1, 2) ∈ R.
• Como (1, 3) ∈ R, precisamos ter que (3, 1) ∈ R.
• Como (3, 1) ∈ R, precisamos ter que (1, 3) ∈ R.
para R-1:
• Como (1, 1) ∈ R-1, precisamos ter que (1, 1) ∈ R-1.
• Como (2, 1) ∈ R-1, precisamos ter que (1, 2) ∈ R-1.
• Como (1, 2) ∈ R-1, precisamos ter que (2, 1) ∈ R-1.
• Como (3, 1) ∈ R-1, precisamos ter que (1, 3) ∈ R-1.
• Como (1, 3) ∈ R-1, precisamos ter que (3, 1) ∈ R-1.