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Planos de aula / Matemática / 8º ano / Geometria
PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, retângulo e quadrado
Por: Geisa Zilli Shinkawa da Silva / 28 de Março de 2018
Código: MAT8_16GEO03
Sobre o Plano
PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, retângulo e quadrado
Autora: Geisa Zilli Shinkawa da Silva
Mentor: Fabrício Eduardo Ferreira
Especialista de área: Pricilla Cerqueira
Habilidade da BNCC
EF08MA12 - Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Objetivos específicos
Reconhecer as principais características e propriedades dos quadriláteros.
Deduzir as propriedades dos retângulos, losangos e quadrados utilizando congruência de triângulos;
Reconhecer os retângulos, losangos e quadrados como paralelogramos.
Conceito-chave
Propriedades de quadriláteros.
Recursos necessários
Lápis de escrever, lápis de cor, borracha e tesoura;
Esquadros e régua;
Folha de papel A4 (para desenho e recorte);
Atividades impressas (preferencialmente) ou projetadas.
Endereço da página:
https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1324/propriedades-de-quadrilateros-losango-retangulo-e-quadrado
Associação Nova Escola © - Todos os direitos reservados.
https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1324/propriedades-de-quadrilateros-losango-retangulo-e-quadrado
Materiais complementares
Documento
Atividade Principal
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/wcSxkaZ93ucdBTAhgUabnhfFD9mX3Y6rHhqAt9QcussNx5NbwRmSTBRTTb56/ativaula-mat8-geo03.pdf
Documento
Raio X
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/BwtkJZTdAeGp2F87NuERMCcyhaCU5EAYd3kcVWy5uJcFhRvqZ7uSgqTsN4nm/ativraiox-mat8-geo03.pdf
Documento
Atividade complementar
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/RKg7qSkumvsnQjc8ujPTVm9dec4Nj5HyyFequPQxvf3krV5Zt3sBqzhevGeA/ativcomp-mat8-16geo03.pdf
Documento
Guia de intervenção
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/FAEgVEQetd8Rc6ExZN3fFYVguYN8hsgN2GhPn8yRjvrJCPREtgY4VSzanwmV/guia-intev-mat8-16geo03.pdf
Documento
Resolução do atividade principal
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/YGHaSwqemMXKnY2JQamJ2DY94tctkdD7aaSXzw2pmwY7BDEbuE6cuKg7E8hy/resol-ativaula-mat8-16geo03.pdf
Documento
Resolução do raio x
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/dpfGF6GcZSaFdX2VVMxQstkM3SjUy5x66w35p6c9atqgxe4phkkgMBe6RHdy/resol-ativraiox-mat8-16geo03.pdf
Documento
Resolução do atividade complementar
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/mcceprKZ7zq94FpDwBZ9kkt7NcyQJh5xqvxWuYrqW2Csukpyw2rJNckTmE9k/resol-ativcomp-mat8-16geo03.pdf
Plano de aula
PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, retângulo e quadrado
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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/BwtkJZTdAeGp2F87NuERMCcyhaCU5EAYd3kcVWy5uJcFhRvqZ7uSgqTsN4nm/ativraiox-mat8-geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/RKg7qSkumvsnQjc8ujPTVm9dec4Nj5HyyFequPQxvf3krV5Zt3sBqzhevGeA/ativcomp-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/FAEgVEQetd8Rc6ExZN3fFYVguYN8hsgN2GhPn8yRjvrJCPREtgY4VSzanwmV/guia-intev-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/YGHaSwqemMXKnY2JQamJ2DY94tctkdD7aaSXzw2pmwY7BDEbuE6cuKg7E8hy/resol-ativaula-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/dpfGF6GcZSaFdX2VVMxQstkM3SjUy5x66w35p6c9atqgxe4phkkgMBe6RHdy/resol-ativraiox-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/mcceprKZ7zq94FpDwBZ9kkt7NcyQJh5xqvxWuYrqW2Csukpyw2rJNckTmE9k/resol-ativcomp-mat8-16geo03.pdf
Slide 1 Resumo da aula
Orientações:Este slide não é um substituto para as
anotações para o professor e não deve ser
apresentado para os alunos. Trata-se apenas de
um resumo da proposta para apoiá-lo na aplicação
do plano em sala de aula. 
Orientação: Leia atentamente o plano inteiro e as
anotações para o professor. Busque antecipar quais
questões podem surgir com a sua turma e preveja
adequações ao nível em que seus alunos estão. 
Compartilhe o objetivo da aula com os alunos antes
de aplicar proposta.
Na aba “Sobre o plano”, confira os conhecimentos
que sua turma já deve dominar para seguir essa
proposta.
Se quiser salvar o plano no seu computador, faça
download dos slides na aba “Materiais
complementares”. Você também pode imprimi-lo
clicando no botão “imprimir”.
Plano de aula
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Slide 2 Objetivo
Tempo sugerido: 2 minutos.
Orientação: Leitura individual ou leitura
compartilhada junto com os estudantes para deixar
claro o objetivo da aula.
Propósito: Compartilhar o objetivo da aula com os
alunos
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Slide 3 Retomada
Tempo sugerido: 5 minutos.
Orientações: Por meio de roda de conversa,
deixando os estudantes o mais à vontade possível,
faça os questionamentos apresentados no slide e
solicite que eles respondam cada uma em seu
caderno e esbocem as figuras solicitadas. Após a
resolução de cada um dos questionamentos
individualmente, peça para que alguns dos alunos
compartilhem suas respostas e anote algumas
delas no quadro, de modo a retomá-las ao final da
aula, para que os alunos possam refutá-las ou
validá-las.
Propósito: Retomar os conhecimentos dos alunos
a respeito dos aprendidos, relacionados às
características dos retângulos, losangos e
quadrados e conceito de congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
O que são quadriláteros? Quais as suas principais
características?
Quais as principais características do retângulo, do
quadrado e do losango?
Quais as principais características comuns às três
figuras?
Quais os casos de congruência de triângulos?
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Slide 4 Atividade principal
Tempo sugerido : 16 minutos. (Slides 4 e 5)
Orientações: Inicialmente projete ou leia a
atividade com os alunos e em seguida peça-os para
que tentem respondê-la individualmente.
Após responderem, peça para que eles discutam
com um colega suas soluções, com o objetivo de
confrontar suas hipóteses, de modo a validá-las ou
refutá-las. Se necessário, relembre junto aos
alunos o que são quadriláteros, quais são eles e as
principais características de cada um. Em caso de
dificuldades na resolução desta atividade, você
pode consultar o guia de intervenções.
Propósito: Investigar as propriedades dos
paralelogramos (retângulos, losangos e quadrados)
utilizando congruência de triângulos, além de
perceberem que o quadrado, o retângulo e o
losango também são paralelogramos.
Discuta com a turma:
Quais as características dos quadriláteros?
Quais as características de um paralelogramo? E de
um quadrado? E de um losango? E de um
retângulo?
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Slide 5 Atividade principal
Tempo sugerido : 16 minutos. (Slides 4 e 5)
Orientações: Inicialmente projete ou leia a
atividade com os alunos e em seguida peça-os para
que tentem respondê-la individualmente.
Após responderem, peça para que eles discutam
com um colega suas soluções, com o objetivo de
confrontar suas hipóteses, de modo a validá-las ou
refutá-las. Se necessário, relembre junto aos
alunos o que são quadriláteros, quais são eles e as
principais características de cada um. Em caso de
dificuldades na resolução desta atividade, você
pode consultar o guia de intervenções.
Propósito: Investigar as propriedades dos
paralelogramos (retângulos, losangos e quadrados)
utilizando congruência de triângulos, além de
perceberem que o quadrado, o retângulo e o
losango também são paralelogramos.
Discuta com a turma:
Quais as características dos quadriláteros?
Quais as características de um paralelogramo? E de
um quadrado? E de um losango?E de um
retângulo?
Materiais complementares:
Atividade principal
Resolução da atividade
Guia de intervenção
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Slide 6 Discussão das soluções
Tempo sugerido: 14 minutos. (Slides 6 a 10)
Orientações: A discussão da solução deve ocorrer
de forma espontânea, preferencialmente deve-se
deixar que os estudantes falem sobre as suas
percepções.
Apresente cada resolução, sempre perguntando aos
alunos se eles responderam da mesma forma, ou se
houveram resoluções diferentes. Caso alguém
tenha utilizados outras estratégias de resolução,
peça para que compartilhe com os colegas, para
que possam juntos, construir novos
conhecimentos.
Peça também para que os alunos que erraram
compartilhem seu erro, de modo que possa ser
discutido por que ele ocorreu e ainda como ele
poderia ser evitado. Desta uma forma, você poderá
valorizar os diversos raciocínios dos alunos, sejam
eles certos ou não.
Espera-se que neste momento também ocorra a
sistematização do que foi trabalhado ao longo da
atividade, apresentando os estudantes a uma
resolução formal a partir do estudado. Chame a
atenção dos estudantes para as nomenclaturas e
definições formais.
Propósito: Fazer com que os alunos compartilhem
suas respostas e dêem sentido a algumas
propriedades dos retângulos, losangos e quadrados
utilizando congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
Quais são os lados paralelos e congruentes? E as
diagonais congruentes? E diagonais congruentes
que se cruzam no ponto médio?
Alguém pensou de em outros quadriláteros? Quais?
Alguém pensou em outras possibilidades de
solução? Quais? Por quê?
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Slide 7 Discussão das soluções
Tempo sugerido: 14 minutos. (Slides 6 a 10)
Orientações: A discussão da solução deve ocorrer
de forma espontânea, preferencialmente deve-se
deixar que os estudantes falem sobre as suas
percepções.
Apresente cada resolução, sempre perguntando aos
alunos se eles responderam da mesma forma, ou se
houveram resoluções diferentes. Caso alguém
tenha utilizados outras estratégias de resolução,
peça para que compartilhe com os colegas, para
que possam juntos, construir novos
conhecimentos.
Peça também para que os alunos que erraram
compartilhem seu erro, de modo que possa ser
discutido por que ele ocorreu e ainda como ele
poderia ser evitado. Desta uma forma, você poderá
valorizar os diversos raciocínios dos alunos, sejam
eles certos ou não.
Espera-se que neste momento também ocorra a
sistematização do que foi trabalhado ao longo da
atividade, apresentando os estudantes a uma
resolução formal a partir do estudado. Chame a
atenção dos estudantes para as nomenclaturas e
definições formais.
Propósito: Fazer com que os alunos compartilhem
suas respostas e dêem sentido a algumas
propriedades dos retângulos, losangos e quadrados
utilizando congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
Quais são os lados paralelos e congruentes? E as
diagonais congruentes? E diagonais congruentes
que se cruzam no ponto médio?
Alguém pensou de em outros quadriláteros? Quais?
Alguém pensou em outras possibilidades de
solução? Quais? Por quê?
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Slide 8 Discussão das soluções
Tempo sugerido: 14 minutos. (Slides 6 a 10)
Orientações: A discussão da solução deve ocorrer
de forma espontânea, preferencialmente deve-se
deixar que os estudantes falem sobre as suas
percepções.
Apresente cada resolução, sempre perguntando aos
alunos se eles responderam da mesma forma, ou se
houveram resoluções diferentes. Caso alguém
tenha utilizados outras estratégias de resolução,
peça para que compartilhe com os colegas, para
que possam juntos, construir novos
conhecimentos.
Peça também para que os alunos que erraram
compartilhem seu erro, de modo que possa ser
discutido por que ele ocorreu e ainda como ele
poderia ser evitado. Desta uma forma, você poderá
valorizar os diversos raciocínios dos alunos, sejam
eles certos ou não.
Espera-se que neste momento também ocorra a
sistematização do que foi trabalhado ao longo da
atividade, apresentando os estudantes a uma
resolução formal a partir do estudado. Chame a
atenção dos estudantes para as nomenclaturas e
definições formais.
Propósito: Fazer com que os alunos compartilhem
suas respostas e dêem sentido a algumas
propriedades dos retângulos, losangos e quadrados
utilizando congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
Quais são os lados paralelos e congruentes? E as
diagonais congruentes? E diagonais congruentes
que se cruzam no ponto médio?
Alguém pensou de em outros quadriláteros? Quais?
Alguém pensou em outras possibilidades de
solução? Quais? Por quê?
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Slide 9 Discussão das soluções
Tempo sugerido: 14 minutos. (Slides 6 a 10)
Orientações: A discussão da solução deve ocorrer
de forma espontânea, preferencialmente deve-se
deixar que os estudantes falem sobre as suas
percepções.
Apresente cada resolução, sempre perguntando aos
alunos se eles responderam da mesma forma, ou se
houveram resoluções diferentes. Caso alguém
tenha utilizados outras estratégias de resolução,
peça para que compartilhe com os colegas, para
que possam juntos, construir novos
conhecimentos.
Peça também para que os alunos que erraram
compartilhem seu erro, de modo que possa ser
discutido por que ele ocorreu e ainda como ele
poderia ser evitado. Desta uma forma, você poderá
valorizar os diversos raciocínios dos alunos, sejam
eles certos ou não.
Espera-se que neste momento também ocorra a
sistematização do que foi trabalhado ao longo da
atividade, apresentando os estudantes a uma
resolução formal a partir do estudado. Chame a
atenção dos estudantes para as nomenclaturas e
definições formais.
Propósito: Fazer com que os alunos compartilhem
suas respostas e dêem sentido a algumas
propriedades dos retângulos, losangos e quadrados
utilizando congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
Quais são os lados paralelos e congruentes? E as
diagonais congruentes? E diagonais congruentes
que se cruzam no ponto médio?
Alguém pensou de em outros quadriláteros? Quais?
Alguém pensou em outras possibilidades de
solução? Quais? Por quê?
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Slide 10 Discussão das soluções
Tempo sugerido: 14 minutos. (Slides 6 a 10)
Orientações: A discussão da solução deve ocorrer
de forma espontânea, preferencialmente deve-se
deixar que os estudantes falem sobre as suas
percepções.
Apresente cada resolução, sempre perguntando aos
alunos se eles responderam da mesma forma, ou se
houveram resoluções diferentes. Caso alguém
tenha utilizados outras estratégias de resolução,
peça para que compartilhe com os colegas, para
que possam juntos, construir novos
conhecimentos.
Peça também para que os alunos que erraram
compartilhem seu erro, de modo que possa ser
discutido por que ele ocorreu e ainda como ele
poderia ser evitado. Desta uma forma, você poderá
valorizar os diversos raciocínios dos alunos, sejam
eles certos ou não.
Espera-se que neste momento também ocorra a
sistematização do que foi trabalhado ao longo da
atividade, apresentando os estudantes a uma
resolução formal a partir do estudado. Chame a
atenção dos estudantes paraas nomenclaturas e
definições formais.
Propósito: Fazer com que os alunos compartilhem
suas respostas e dêem sentido a algumas
propriedades dos retângulos, losangos e quadrados
utilizando congruência de triângulos.
Discuta com a turma:
Quais são os lados paralelos e congruentes? E as
diagonais congruentes? E diagonais congruentes
que se cruzam no ponto médio?
Alguém pensou de em outros quadriláteros? Quais?
Alguém pensou em outras possibilidades de
solução? Quais? Por quê?
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Slide 11 Encerramento
Tempo sugerido : 3 minutos.
Orientações: Encerre a atividade retomando com os
estudantes as deduções por eles efetuadas, as quais
descrevem as principais características dos
quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos.
Além disso, retome/relembre os questionamentos
iniciais do Aquecimento para validar ou refutar as
hipóteses levantadas e sugira que eles
confeccionem uma espécie de glossário, no qual as
aprendizagens possam ser anotadas, uma vez que,
quando o aluno elabora tal glossário, ele é levado a
se ater às definições de cada quadrilátero e suas
características.
Propósito: Sintetizar os resultados obtidos em sala
de aula.
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Slide 12 Raio x
Tempo sugerido: 10 minutos.
Orientações: Projete ou imprima a atividade e peça
para que os alunos tentem resolvê-la
individualmente. Em seguida, peça que discutam
com um colega suas soluções, com o objetivo de
confrontar suas hipóteses, de modo a validá-las ou
refutá-las. Se necessário, sugira que os estudantes
utilizem as imagens de 2 retângulos congruentes,
tracem suas diagonais e as recortem, a fim de
testar e validar suas hipóteses. Também pode ser
sugerido que sobreponham as partes, a fim de
verificar, por congruência de triângulos, a solução
da atividade. Ao final da atividade, realize uma
roda conversa para fechamento da aula análise do
que foi aprendido.
Propósito: Verificar o progresso dos alunos na
aprendizagem dos conteúdos estudados.
Discuta com a turma:
Quais são as características de um retângulo?
Quando dois triângulos são congruentes? Quais são
os casos de congruência de triângulos?
Materiais complementares:
Raio X para impressão
Resolução do Raio X
Atividade complementar
Resolução da Atividade complementar
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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/dpfGF6GcZSaFdX2VVMxQstkM3SjUy5x66w35p6c9atqgxe4phkkgMBe6RHdy/resol-ativraiox-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/RKg7qSkumvsnQjc8ujPTVm9dec4Nj5HyyFequPQxvf3krV5Zt3sBqzhevGeA/ativcomp-mat8-16geo03.pdf
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/mcceprKZ7zq94FpDwBZ9kkt7NcyQJh5xqvxWuYrqW2Csukpyw2rJNckTmE9k/resol-ativcomp-mat8-16geo03.pdf
1) Adivinhe: de qual quadrilátero estou falando? 
Observe as três dicas abaixo, as quais determinam juntas um quadrilátero. 
Dica 1:​ Possui lados opostos paralelos e congruentes. 
Dica 2: ​Possui diagonais congruentes. 
Dica 3:​ Possui diagonais perpendiculares entre si e que se cruzam no ponto médio. 
Esboce os quadriláteros possíveis em cada dica e responda: 
a) De acordo com a dica 1, quais quadriláteros podem ser desenhados? 
b) De acordo com as dicas 1 e 2, quais quadriláteros podem ser desenhados? 
c) De acordo com as 3 dicas, a qual quadrilátero estou me referindo?  
d) De acordo com suas respostas anteriores, você nota alguma característica                   
importante nos quadriláteros desenhados? Registre-a em seu caderno. 
 
2) Utilizando instrumentos de medida, desenhe um retângulo, um quadrado e um                       
losango. Em seguida, recorte-os e leia a afirmação a seguir. 
“As diagonais de um ______________ são perpendiculares entre si e se cruzam no                         
ponto médio.” 
Realizando dobraduras nos quadriláteros, verifique: 
Quais deles satisfazem a afirmação acima? 
Quantos triângulos podem ser obtidos ao dobrar convenientemente cada um dos                     
quadriláteros? Eles são congruentes? 
Explique como você chegou à essa conclusão em cada caso. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1) Adivinhe: de qual quadrilátero estou falando? 
Observe as três dicas abaixo, as quais determinam juntas um quadrilátero. 
Dica 1:​ Possui lados opostos paralelos e congruentes. 
Dica 2: ​Possui diagonais congruentes. 
Dica 3:​ Possui diagonais perpendiculares entre si e que se cruzam no ponto médio. 
Esboce os quadriláteros possíveis em cada dica e responda:  
a) De acordo com a dica 1, quais quadriláteros podem ser desenhados?  
b) De acordo com as dicas 1 e 2, quais quadriláteros podem ser desenhados? 
c) De acordo com as 3 dicas, a qual quadrilátero estou me referindo?  
d) De acordo com suas respostas anteriores, você nota alguma característica                     
importante nos quadriláteros desenhados? Registre-a em seu caderno. 
 
2) Utilizando instrumentos de medida, desenhe um retângulo, um quadrado e um                       
losango. Em seguida, recorte-os e leia a afirmação a seguir. 
“As diagonais de um ______________ são perpendiculares entre si e se cruzam no                         
ponto médio.” 
Realizando dobraduras nos quadriláteros, verifique: 
Quais deles satisfazem a afirmação acima? 
Quantos triângulos podem ser obtidos ao dobrar convenientemente cada um dos                     
quadriláteros? Eles são congruentes? 
Explique como você chegou à essa conclusão em cada caso. 
 
Carolina e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS QUADRILÁTEROS”,                   
jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra deve responder se ela é                               
VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a partir de propriedades                   
matemáticas, especialmente utilizando congruência de triângulos. Vamos jogar               
também? Com base em seus conhecimentos, justifique a afirmação a seguir                     
utilizando congruência de triângulos. 
 
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes e as diagonais são                       
congruentes entre si. 
 
 ​-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Carolina e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS QUADRILÁTEROS”,                   
jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra deve responder se ela é                               
VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a partir de propriedades                   
matemáticas, especialmente utilizando congruência de triângulos. Vamos jogar               
também? Com base em seus conhecimentos, justifique a afirmação a seguir                     
utilizando congruência de triângulos. 
 
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes e as diagonais são                       
congruentes entre si. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
Carolina e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS QUADRILÁTEROS”,                   
jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra deve responder se ela é                               
VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a partir de propriedades                   
matemáticas, especialmente utilizando congruência de triângulos. Vamos jogar               
também? Com base em seus conhecimentos, justifique a afirmação a seguir                     
utilizando congruência de triângulos. 
 
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes e as diagonais sãocongruentes entre si. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
Carolina e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS QUADRILÁTEROS”,                   
jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra deve responder se ela é                               
VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a partir de propriedades                   
matemáticas, especialmente utilizando congruência de triângulos. Vamos jogar               
também? Com base em seus conhecimentos, justifique a afirmação a seguir                     
utilizando congruência de triângulos. 
 
 
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes e as diagonais são                       
congruentes entre si. 
 
 
1) Maria possui uma cadeira e deseja modificar a capa de seu assento, o                         
qual possui a forma de um quadrado. Para tanto, quer criar um mosaico e                           
depois colori-lo com 8 cores diferentes de tinta, conforme o modelo abaixo. 
 
  
 
 
 
 
Mas, ao comprar as oito cores, uma dúvida surgiu: a quantidade de tinta                         
adquirida das oito cores deverá ser a mesma? Será que todas as partes têm as                             
mesmas dimensões, ou seja, são congruentes? Como podemos ajudar Maria a                     
resolver tal situação com base nas propriedades de quadriláteros? 
 
2) Guilherme e Maria foram assistir a um jogo de futebol no campo e                         
começaram a prestar atenção nas formas geométricas que o compõem,                   
especialmente os quadriláteros. Pesquisaram e descobriram que as medidas                 
oficiais de um campo de futebol são 105 metros de comprimento por 68 metros                           
de largura. 
 
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Ao final da partida, Guilherme e Maria entraram no campo e cada um deles, em                             
um dos cantos do campo (corner ou bandeirinha), chutaram a bola em linha reta                           
para o canto oposto, de modo que a bola passasse pelo meio do campo. Em                             
qual dos dois chutes a bola percorreu a maior trajetória? Justifique sua resposta. 
 
 
DESAFIO 
 
Guilherme e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS                 
QUADRILÁTEROS”, jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra deve                         
responder se ela é VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a partir de                         
propriedades matemáticas, especialmente utilizando congruência de triângulos.             
Vamos jogar também? Com base em seus conhecimentos, justifique a afirmação                     
a seguir utilizando congruência de triângulos. 
 ​Afirmação 1:​ Todo quadrado é um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Afirmação 2:​ Todo quadrado é um losango. 
 
 
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De modo a continuar a brincadeira, Guilherme falou, será que a recíproca da                         
afirmação 1 é verdadeira, ou seja, todo paralelogramo é um quadrado? 
E Maria continuou: será que todo losango é um quadrado também?  
Ajude-os a pensar sobre isso, justificando sua resposta. 
 
 
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Guia de intervenções 
MAT8_16GEO_03 /PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, 
retângulo e quadrado 
 
Possíveis dificuldades na realização       
da atividade 
Intervenções 
Dificuldade para compreender que o 
mesmo quadrilátero pode possuir mais 
de uma propriedade. 
 
ou 
 
Dificuldade para compreender que a 
mesma propriedade pode ser válida 
para mais de um quadrilátero. 
 
 
 
 
Pode ser que o estudante encontre 
dificuldades para compreender que o 
mesmo quadrilátero pode possuir mais 
de uma propriedade relacionada aos 
seus lados, ângulos ou diagonais. 
Diante disso você, professor, pode 
questionar o estudante, de modo a 
fazê-lo refletir sobre os conhecimentos 
que necessita para a resolução da 
atividade, caminhando junto com ele 
em direção ao aprendizado. Você pode 
perguntar ao estudante: 
 
“O quê você sabe sobre este 
quadrilátero que estamos 
estudando?” 
 
Quando o estudante citar alguma 
característica ou propriedade 
relacionada ao quadrilátero, questione: 
 
“Existe mais alguma propriedade 
que você consegue identificar neste 
quadrilátero? Explique um pouco 
mais sobre esta propriedade?” 
 
Ao tentar responder esta questão, o 
aluno refletirá sobre algumas das 
características ou propriedades dos 
quadriláteros, que poderá estar 
relacionada aos seus lados, ângulos ou 
diagonais, e caminhará em direção à 
resposta fazendo, também com que 
você, professor, compreenda tais 
dificuldades, de modo a colaborar para 
saná-las, ainda que gradativamente. 
Se, mesmo com a questão acima você 
perceber que o estudante não 
conseguiu compreender o solicitado ou 
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até mesmo respondê-la com 
autonomia, tente questões que 
apresentem um “piso mais baixo”, isto 
é, que sejam mais diretas. Por exemplo: 
 
“O que você pode dizer sobre os 
lados do _______? E sobre os seus 
ângulos? E sobre as suas 
diagonais?” 
 
Após a compreensão das questões 
mais simples, vá elevando o nível das 
perguntas para que ocorra o 
aprendizado. 
 
Caso o estudante, ainda sim, não 
consiga compreender o solicitado, 
utilize-se de imagens de figuras, 
recortes ou dobraduras para que o 
estudante visualize a situação. 
 
Processo semelhante pode ser utilizado 
para a dificuldade em compreender que 
a mesma propriedade pode ser válida 
para mais de um quadrilátero. 
 
 
 
Possíveis erros dos alunos  Intervenções  
Utilizar a congruência de maneira 
equivocada para justificar as 
propriedades dos quadriláteros. 
 
Pode ser que o estudante utilize a 
congruência de maneira equivocada 
para justificar as propriedades dos 
quadriláteros e, consequentemente, 
erre também a propriedade a ser 
mostrada. 
 
Diante disso você, professor, pode 
questionar o estudante, de modo a 
fazê-lo refletir sobre a resposta por ele 
apresentada, caminhando junto com ele 
em direção ao aprendizado. Você pode 
perguntar ao estudante: 
 
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O que você poderia fazer com o 
triângulo original para chegar no 
triângulo final? Que tipo de mudança 
você poderia realizar na posição do 
primeiro triângulo para obter o 
segundo triângulo? 
 
Após a resposta do estudante, 
questione-o sobre os lados e ângulos 
congruentes dos triângulos obtidos a 
partir da decomposição do quadrilátero: 
 
“Quais os lados congruentes dados 
na atividade? Vamos marcá-los com 
a mesma cor?” 
 
“Quais os ângulos congruentes 
dados na atividade? Vamos 
marcá-los com a mesma cor?” 
 
E, para finalizar, questione: 
 
“Dado que temos todos os lados e 
todos os ângulos congruentes, o que 
é possível concluir em relação ao 
triângulo inicial e final?” 
 
Ao tentar responder esta questão, o 
aluno refletirá sobre sua resolução e, 
com base na congruência de triângulos, 
conseguirá mostrar as propriedades 
dos quadriláteros, que poderá estarrelacionada aos seus lados, ângulos ou 
diagonais. 
 
Se, mesmo com a questão acima você 
perceber que o estudante não 
conseguiu compreender o solicitado ou 
até mesmo respondê-la com 
autonomia, tente ​utilizar a 
decomposição dos quadriláteros por 
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meio de dobraduras e sobreposições 
para encontrar o caso de 
congruência adequado. 
 
Volte a realizar os questionamentos 
acima, mas agora de posse do 
quadrilátero decomposto em triângulos. 
 
 
Nos links abaixo, você pode encontrar recursos complementares como                 
vídeos, atividades, desafios e explicações, publicados no site Khan                 
Academy. 
https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/quadrilaterals-and-polygons  
https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/congruence#theorems-conc
erning-parallelogram-properties  
 
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https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/quadrilaterals-and-polygons
https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/congruence#theorems-concerning-parallelogram-properties
https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/congruence#theorems-concerning-parallelogram-properties
 
 
Resolução da atividade principal - MAT8_16GEO03 
 
Professor, enfatizamos a necessidade de que haja uma valorização dos diversos                     
raciocínios e soluções apresentados pelos estudantes, sistematizados por meio                 
de levantamento de hipóteses, discussões e sistematizações. Segue abaixo um                   
modelo de solução.   
 
Observe as três dicas abaixo, as quais determinam juntas um quadrilátero. 
 
Dica 1: Possui lados opostos paralelos e congruentes. 
Dica 2: Possui diagonais congruentes. 
Dica 3: Possui diagonais perpendiculares entre si e que se cruzam no ponto                         
médio. 
 
Esboce os quadriláteros possíveis em cada dica e responda: 
a) De acordo com a dica 1, quais quadriláteros podem ser desenhados? 
 
Podem ser desenhados: um paralelogramo, um retângulo, um losango e um                     
quadrado. É importante relembrar que os quadrados, retângulos e losangos                   
satisfazem esta condição e, portanto, tais quadriláteros também podem ser                   
considerados paralelogramos. 
Lados paralelos e congruentes encontram-se destacados da mesma cor                 
(vermelho e verde). 
 
 
 
b) ​De acordo com as dicas 1 e 2, quais quadriláteros podem ser                         
desenhados? 
 
Dentre os quadriláteros disponíveis temos que o losango e o paralelogramo não                       
possuem diagonais com mesma medida (em preto e rosa), isto é, congruentes.  
 
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Tal situação pode ser verificada por meio de medições com régua ou por                         
congruência de triângulos, uma vez que, ao traçarmos cada uma das diagonais,                       
os 4 triângulos obtidos não são congruentes. 
 
 
 
 Assim, podem ser desenhados: um quadrado e um retângulo. 
 
 
c)​ ​De acordo com as 3 dicas, a qual quadrilátero estou me referindo? 
 
De acordo com as afirmações dadas​, o retângulo não satisfaz a dica 3, pois suas                             
diagonais não são perpendiculares entre si, isto é, não formam ângulo reto.  
Assim, só restará o quadrado. 
  
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d) De acordo com suas respostas anteriores, você nota alguma                   
característica importante nos quadriláteros desenhados? Registre-a em             
seu caderno 
 
Inicialmente haviam 4 opções de escolha: um paralelogramo, um retângulo, um                     
losango e um quadrado. No item (b), os quadriláteros que satisfazem ambas as                         
informações são o quadrado e o retângulo. No item (c), o único quadrilátero que                           
satisfaz as 3 restrições impostas é o quadrado. Em síntese, o quadrado satisfaz                         
mais propriedades que os demais quadriláteros citados. 
 
2) ​Utilizando instrumentos de medida, desenhe um retângulo, um                 
quadrado e um losango. Em seguida, recorte-os e leia a afirmação a seguir. 
 
 
“As diagonais de um ______________ são perpendiculares entre si e se cruzam no                         
ponto médio.” 
 
Realizando dobraduras nos quadriláteros, verifique: 
Quais deles satisfazem a afirmação acima? 
Quantos triângulos foram obtidos após dobrar convenientemente cada um                 
dos quadriláteros? Eles são congruentes? 
Explique como você chegou à essa conclusão em cada caso. 
 
Como a atividade cita as diagonais, o estudante deve efetuar dobraduras para                       
marcar as 2 diagonais dos quadriláteros em cada caso. 
 
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Para saber se a intersecção entre as diagonais ocorre no ponto médio, o                         
estudante pode medir com uma régua cada um dos segmentos de reta para                         
verificar se estão divididos ao meio ou até mesmo dividir o quadrilátero em                         
triângulos e sobrepô-los ou utilizar a congruência para mostrar, como no                     
exemplo da imagem abaixo. 
 
 
 
Ao desdobrar e marcar as diagonais é possível verificar se as mesmas são                         
perpendiculares utilizando um transferidor, ou ainda utilizando o canto de uma                     
folha sulfite, conforme ilustrado abaixo. 
 
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“As diagonais de um ______________ são perpendiculares entre si”: losango e                     
quadrado. 
 
“As diagonais de um ______________ se cruzam no ponto médio”: retângulo,                     
losango e quadrado. 
 
Resposta: “As diagonais de um ​losango ​ou quadrado são perpendiculares                   
entre si: e se cruzam no ponto médio”. 
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Resolução do raio x - MAT8_16GEO03 
 
Professor, é necessário que haja uma valorização dos diversos raciocínios e                     
soluções apresentados pelos estudantes, sistematizados por meio de               
levantamento de hipóteses e discussões. Uma possibilidade é a construção e                     
manipulação do retângulo, realizando medições e dobraduras/recortes de suas                 
diagonais, os quais se transformarão em triângulos congruentes. Abaixo                 
apresentamos um modelo de solução. 
 
Carolina e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS                 
QUADRILÁTEROS”, jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra                       
deve responder se ela é VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a                       
partir de propriedades matemáticas, especialmente utilizando congruência             
de triângulos. Vamos jogar também? Com base em seus conhecimentos,                   
justifique a afirmação a seguir utilizando congruência de triângulos. 
 
 
 
Em todo retângulo, os lados opostos são congruentes e as diagonais são 
congruentes entre si.  
  
Primeiramente, podemos desenhar e recortar dois retângulos idênticos, isto é,                   
congruentes. 
Em um deles, indicamos a diagonal na cor vermelha e recortamos,dando                       
origem a dois triângulos retângulos. 
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No outro retângulo, indicamos a outra diagonal na cor cinza e recortamos,                       
dando origem a dois triângulos retângulos, conforme mostra a ilustração                   
abaixo. 
 
 
 
 
Ao sobrepormos os quatro triângulos será possível concluir que seus lados                     
opostos (indicados na cor verde e azul) são congruentes e também que suas                         
diagonais (vermelha e cinza) são congruentes entre si.  
 
Ou ainda pode ser feita a demonstração formal. 
 
 
 
O que eu sei: ABCD é um retângulo 
O que eu quero mostrar: o lado AB é congruente ao lado CD. 
 
 
 
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A diagonal AC (vermelha) divide o retângulo em 2 triângulos, denominados                     
triângulo ABC e triângulo CDA. 
1º) O ângulo BAC é congruente à DCA (Ângulos alternos internos). 
2°) O lado AC (diagonal) é comum. 
3°) O ângulo BCA é congruente à DAC (Ângulos alternos internos). 
Pelo caso ALA (Ângulo, lado, ângulo) o triângulo ABC e o triângulo CDA são                           
congruentes e, portanto, o lado AB é congruente ao lado CD. 
 
O que eu sei: ABCD é um retângulo. 
O que eu quero mostrar: as diagonais AC e BD são congruentes. 
 
1º) O lado AB é congruente ao lado DC. 
2º) O ângulo B e o ângulo C são retos. 
3º) O lado BC é comum aos dois triângulos. 
Pelo caso LAL (lado, ângulo, lado) o triângulo ABC e o triângulo CDB são                           
congruentes e, portanto, as diagonais AC e BD são congruentes. 
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Resolução da atividade complementar - MAT8_16GEO03 
 
O professor deve retomar junto aos estudantes, caso necessário, as principais                     
propriedades relacionadas aos paralelogramos, especialmente os retângulos,             
losangos e quadrados e os estudantes devem colocar em prática os conceitos                       
estudados ao longo da aula. 
 
1) Maria possui uma cadeira e deseja modificar a capa de seu assento, o                         
qual possui a forma de um quadrado. Para tanto quer criar um mosaico e                           
depois colori-lo com 8 cores diferentes de tinta, conforme o modelo abaixo. 
  
 
 
 
Mas, ao comprar as oito cores, uma dúvida surgiu: a quantidade de tinta                         
adquirida das oito cores deverá ser a mesma? Será que todas as partes têm                           
as mesmas dimensões, ou seja, são congruentes? Como podemos ajudar                   
Maria a resolver tal situação com base nas propriedades de quadriláteros? 
 
Como o assento possui o formato de um quadrado temos que os segmentos de                           
reta traçados em vermelho representam as suas diagonais. Além disso,                   
sabemos que, em um quadrado:  
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● as diagonais têm mesma medida. 
● as diagonais são perpendiculares. 
● as diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios. 
● as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos. 
 
Tais propriedades nos fazem perceber que as diagonais do quadrado o dividem                       
em 4 triângulos congruentes, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
Como os quatro triângulos são congruentes, os segmentos de reta traçados em                       
preto dividem cada um dos 4 triângulos em 2 triângulos também congruentes,                       
ou seja, teremos 8 triângulos congruentes. 
Para evidenciar tal afirmação peça que o estudante recorte um quadrado e                       
dobre-o em 4 partes usando os pontos médios de cada um de seus lados                           
(segmentos de reta pretos); dobre o quadrado obtido novamente em sua                     
diagonal (segmentos de reta vermelhos) e posteriormente abra a dobradura e                     
observe os vincos. Tal dobradura justifica por sobreposição que tais triângulos                     
são congruentes. 
 
  
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Se o estudante não conseguir visualizar tal situação, solicite que ele construa a                         
figura, recorte os 8 triângulos e sobreponha-os. 
 
Portanto, pode ser adquirida a mesma quantidade de tinta das 8 cores. 
 
2) Guilherme e Maria estão assistindo a um jogo de futebol e                     
começaram a prestar atenção nas formas geométricas que compõem o                   
campo, especialmente os quadriláteros. Pesquisaram e descobriram que as                 
medidas oficiais de um campo de futebol são 105 metros de comprimento                       
por 68 metros de largura. 
 
 
 
Ao final da partida, Guilherme e Maria entraram no campo e cada um                         
deles, em um dos cantos do campo (corner ou bandeirinha), chutaram a                       
bola em linha reta para o canto oposto, de modo que a bola passasse pelo                             
meio do campo. Em qual dos dois chutes a bola percorreu a maior                         
trajetória? Justifique sua resposta. 
 
O campo de futebol é um retângulo e, portanto, para evidenciar a trajetória da                           
bola basta que sejam traçadas as duas diagonais do retângulo, as quais                       
possuem mesma medida e o seu cruzamento ocorrerá no ponto médio. Tal                       
situação pode ser verificada por meio da propriedade: “Em todo retângulo, as                       
diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios e possuem medidas                     
iguais”. 
 
 
DESAFIO 
 
Guilherme e Maria estão jogando “VERDADEIRO OU FALSO DOS                 
QUADRILÁTEROS”, jogo no qual uma delas faz uma afirmação e a outra                       
deve responder se ela é VERDADEIRA ou FALSA, justificando tal afirmação a                       
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partir de propriedades matemáticas, especialmente utilizando congruência             
de triângulos. Vamos jogar também? Com base em seus conhecimentos,                   
justifique a afirmação a seguir utilizando congruência de triângulos. 
 ​Afirmação 1:​ Todo quadrado é um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Afirmação 2:​ Todo quadrado é um losango.  
   
 
De modo a continuar a brincadeira, Guilherme falou, será que a recíproca                       
da afirmação 1 é verdadeira, ou seja, todo paralelogramo é um quadrado? 
E Maria continuou: será que todo losango é um quadrado também?  
Ajude-os a pensar sobre isso, justificando sua resposta. 
 
 
Afirmação 1:​ ​Todo quadrado é um paralelogramo. 
 
Verdadeira, pois ​como todo quadrado possui dois pares de lados paralelos ele                       
pode ser considerado um paralelogramo. Além disso o quadrado também                   
possui lados congruentes e ângulos opostos congruentes, fato este que                   
impossibilita de os paralelogramos serem considerados quadrados. 
 
 
Afirmação 2: ​Todo quadrado é um losango. 
 
Verdadeira, pois o quadrado apresenta todos seus lados congruentes podendo                   
ser considerado um losango. O quadrado também apresenta as diagonais                   
congruentes e perpendiculares, se interceptando em seus pontos médios e                   
funcionando como bissetrizesdos ângulos internos, fato que impossibilita os                   
losangos serem considerados como quadrados. 
 
  
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Faz-se necessário evidenciar ao estudante que nem todo paralelogramo é um                     
quadrado e que nem todo losango é um quadrado, mas que em alguns casos                           
tais situações se verificam. 
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	PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, retângulo e quadrado
	Sobre o Plano
	PROPRIEDADES DE QUADRILÁTEROS: losango, retângulo e quadrado
	Materiais complementares
	Documento
	Atividade Principal
	Documento
	Raio X
	Documento
	Atividade complementar
	Documento
	Guia de intervenção
	Documento
	Resolução do atividade principal
	Documento
	Resolução do raio x
	Documento
	Resolução do atividade complementar
	Slide 1 Resumo da aula
	Slide 2 Objetivo
	Slide 3 Retomada
	Slide 4 Atividade principal
	Slide 5 Atividade principal
	Slide 6 Discussão das soluções
	Slide 7 Discussão das soluções
	Slide 8 Discussão das soluções
	Slide 9 Discussão das soluções
	Slide 10 Discussão das soluções
	Slide 11 Encerramento
	Slide 12 Raio x