Vigas com pequenos ângulos de rotação

Prévia do material em texto

Matemática para Engenharia Oceânica I 1° Período/2019 
Aluno: José Antonio de Padua Neto 
Professor: Cláudio F. Neves 
Vigas com pequenos ângulos de rotação. 
Estruturas de aeronaves, veículos, edifícios sofrem pequenas deformações, 
então precisamos simular isso em programas para observar os efeitos. Assim tais 
ângulos em sua maioria são muito pequenos. Seguindo, temos que deflexões quase 
horizontais são expressas por: 
 (1) 
Podemos dar a curvatura por: 
K=dθ/dx (2) 
 
Como Tgθ e aproximadamente θ, e θ é muito pequeno teremos o seguinte: 
Tg(θ)=(dv/dx) (3) 
 
Derivando a expressão anterior em relação a x temos: 
(dθ/dx)=(d²v/dx²) (4) 
 
Igualando uma a outra: 
(dθ/dx)=k – k=1/Ƥ= (d²v/dx²) (5) 
 
Esta expressão e valida para qualquer material de concepção da viga, mas se o 
material e linear elástico e segue a Lei de Hooke a curvatura e dada por: 
k=1/Ƥ=(M/EI) (6) 
(M/EI) = (d²v/dx²) (7) 
Temos que M é o momento Fletor e EI a rigidez da viga. 
 
 
 
Exemplo: 
Considere uma viga (E, I) de comprimento l, encastrada numa extremidade e sujeita a 
uma carga vertical P na extremidade livre, conforme ilustrado na figura abaixo. 
Determine a rotação na extremidade livre da viga : 
 
Para uma posição genérica x ao longo do eixo da viga, o momento fletor é definido 
pela expressão seguinte: 
M(x) = - P 
Substituindo Temos: 
(M/EI) = (d²y/dx²) 
-(M/P)x = (d²y/dx²) 
Integrando. 
(dy/dx)= -(P/2EI)x² + C1 (a) 
(dy/dx)= -(P/6EI)x³ + C1x + C2 (b) 
Para x=1, Y=0 e (dy/dx )=0 
Substituindo em A 
C1= (PL²/2EI) 
Substituindo em B 
(-(PL³/6EI))+(PL³/2EI)+C2=0 
Onde C2: 
C2= - PL³/3EI 
Fazendo a substituição C1 e C2 em A e B Temos 
Θ = dy/dx = - P/EI *(x³ - l²) 
Y = - P/6EI*(x³ - 3xl² + 2l³) 
N extremidade livre B(x=0) tem-se: 
Θb= PL²/2EI 
Yb= - PL³/3EI 
Referencias: 
https://pt.slideshare.net/lucass_menezes/equaes-diferenciais-aplicada-flexao-de-vigas 
https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=1399057 
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/64387/2/42453.pdf 
 
 
https://pt.slideshare.net/lucass_menezes/equaes-diferenciais-aplicada-flexao-de-vigas
https://impa.br/wp-content/uploads/2017/04/28CBM_10.pdf
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/64387/2/42453.pdf