Fenomenos do transportee

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FENÔMENOS DO TRANSPORTE
Eng. Civil
Líbna Nogueira Fagundes
Campinas/2021
Trabalho apresentado como requisito para composição de nota da disciplina de FENOMENOS DE TRANSPORTES da aluna de engenharia civil,
Líbna Nogueira Fagundes, RA: 2016010933
 Profº.: Marco Veiga
1. FENÔMENOS DO TRANSPORTE
1 - Propriedades ou fluidos: Conceitos fundamentais. Lei de Newton Análise dimensional: Grandezas fundamentais e derivadas. Vantagem do emprego de grupos adimensionais.
2 - Teorema de Buckingham. Adimensionais típicos. Semelhança. Aplicações da viscosidade. Simplificação da Lei de Newton.
3 - Fundamentos do escoamento de fluidos: Regime laminar e turbulente. Trajetória e linha de corrente.
4 - Escoamento unidirecional. Equações continuidade para regime permanente. Aplicações.
5 - Equação da energia para regime permanente: Tipos de energias associadas aos fluidos. Equação de Bernoulli. Equação da energia para fluido real em presença de máquina.
6 - Potência de máquina hidráulica. Equação da energia para várias entradas e saídas. Aplicações.
7 - Escoamento permanente de fluidos em condutos: Condutos. Raio e diâmetro hidráulico. Camada limite.
8 - Perda de carga. Perda de carga distribuída. Perda de carga singular. Aplicações.
9 - Sistemas de recalque: Definições do conjunto de recalque, Linha piezométrica.
1 - Propriedades ou fluidos: Conceitos fundamentais. Lei de Newton Análise dimensional: Grandezas fundamentais e derivadas. Vantagem do emprego de grupos adimensionais.
Capitulo 1
1.1 Introdução
 Mecânica dos Fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos, assim, como as leis que regem esse comportamento.
 As bases lançadas pela Mecânica dos Fluidos são fundamentais para muitos ramos de aplicação da engenharia. Dessa forma, o escoamento de fluidos em canais e condutos, a lubrificação, os esforços em barragens, os corpos flutuantes, as máquinas hidráulicas, a ventilação, a aerodinâmica e muitos outros assuntos lançam mão das leis da Mecânica dos Fluidos para obter resultados de aplicação prática.
 Como se pode observar, pelo exposto, poucos são os ramos da engenharia que escapam totalmente do conhecimento dessa ciência que se torna, assim, uma das de maior importância entre as que devem fazer parte dos conhecimentos básicos do engenheiro.
1.2 Conceitos fundamentais e definição de fluido
 A definição de fluido é introduzida, normalmente, pela comparação dessa substância com um sólido. A definição mais elementar diz: Fluido é uma substância que não tem uma forma própria, assume o formato do recipiente. A Figura 1.1 ilustra o significado desse enunciado.
 Os fluidos são, portanto, os líquidos e os gases, sendo que estes ainda se distinguem dos primeiros por ocuparem todo o recipiente, enquanto os líquidos apresentam uma superfície livre.
 Se o problema fundamental fosse apenas reconhecer os fluidos, a definição apresentada seria perfeitamente suficiente para essa finalidade. Entretanto, é possível introduzir outra que, apesar de ser mais complexa, permite construir uma estrutura lógica que será de grande utilidade para o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos.
 Essa definição está novamente ligada à comparação de comportamento entre um sólido e um fluido, por uma observação prática denominada “Experiência das Duas Placas”, descrita a seguir.
 Seja um sólido preso entre duas placas planas, uma inferior fixa e outra superior solicitada por uma força tangencial Ft. (na direção do plano da placa) (Figura 1.2a).
 Mantida a força Ft. constante, nota-se que o sólido se deforma angularmente, (Figura 1.2b) até alcançar uma nova posição de equilíbrio estático. Nessa posição, as tensões internas equilibram a força externa aplicada e somente uma variação da força Ft. faria com que houvesse uma modificação da nova configuração do sólido.
 Pode-se dizer, então, que um sólido, solicitado por uma força tangencial constante, deforma- se angularmente, mas atinge uma nova configuração de equilíbrio estático (Figura 1.2b).
 A mesma experiência será agora realizada colocando-se um fluido entre as placas. Suponha que seja possível, por exemplo, por meio de um corante, visualizar certo volume ABCD do fluido (Figura 1.3a). Sendo a placa inferior fixa e a superior móvel, ao se aplicar a força tangencial Ft. na placa superior, esta irá se deslocar.
 A primeira observação importante nessa experiência é que pontos correspondentes do fluido e da placa continuam em correspondência durante o movimento; assim, se a placa superior adquire uma velocidade _v, os pontos do fluido em contato com ela terão a mesma velocidade _v, e os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficarão parados junto dela. Tal observação conduz ao chamado princípio da aderência: 
 Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem aos pontos dela, com os quais estão em contato. Então, o que se observa é que o volume ABCD de fluido, sob a ação da força Ft., deforma- se continuamente, não alcançando uma nova posição de equilíbrio estático, supondo-se as placas de comprimento infinito.
 Essa experiência permite a distinção entre sólidos e fluidos, pois, enquanto aqueles se deformam limitadamente sob a ação de esforços tangenciais pequenos, estes se deformam continuamente sem alcançar uma nova posição de equilíbrio estático.
 Pode-se então dizer que: Fluido é uma substância que se deforma continuamente, quando submetida a uma força tangencial constante qualquer ou, em outras palavras, fluido é uma substância que, submetida a uma força tangencial constante, não atinge uma nova configuração de equilíbrio estático.
1.3 Tensões de cisalhamento — Lei de Newton da viscosidade
 Da experiência realizada para definir fluido podem-se obter outras importantes conclusões que serão descritas neste item. Antes de tudo, será definida a tensão de cisalhamento. Seja uma força _ F aplicada sobre uma superfície de área A (Figura 1.4). Essa força pode
ser decomposta segundo a direção da normal à superfície e a da tangente, dando origem a uma componente normal e outra tangencial.
 Define-se tensão de cisalhamento média como sendo o quociente entre o módulo da componente tangencial da força e a área sobre a qual está aplicada.
 Em outras palavras: tensão de cisalhamento τ é a força tangencial por unidade de área. As unidades mais utilizadas para essa grandeza serão o kgf/m2 do sistema MK*S (Técnico), o dina/cm2 (CGS) e o N/m2 (SI).
 A seguir será descrito outro fato notável que pode ser observado na experiência das duas placas.
 A placa superior é inicialmente acelerada pela força Ft., fato facilmente observável, já que passa da velocidade nula para uma velocidade finita. Nota-se, porém, que a partir de certo instante a placa superior adquire uma velocidade v0 constante. Isso demonstra que a força externa Ft. aplicada na placa é equilibrada por forças internas ao fluido, visto que, não existindo aceleração, pela segunda lei de Newton da dinâmica, a resultante das forças deverá ser nula (equilíbrio dinâmico).
 Como aparecem essas forças internas? Para responder a essa pergunta, deve-se relembrar o princípio da aderência. Segundo ele, o fluido junto à placa superior irá se deslocar com velocidade v0, enquanto aquele junto à placa inferior estará com velocidade nula. As camadas intermediárias deverão se adaptar às extremas, adquirindo velocidades que variam desde v0 até zero (Figura 1.5).
 Em cada seção normal às placas, como a seção AB genérica, irá se formar um diagrama de velocidades, onde cada camada do fluido desliza sobre a adjacente com certa velocidade relativa. Como o leitor já deve ter percebido, esse fato cria uma espécie de atrito entre as diversas camadas do fluido.
 Tal deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que, multiplicadas pela área da placa, originam uma força tangencial interna ao fluido, responsável pelo equilíbrio da força Ft. externa, o que fará com que a placasuperior assuma uma velocidade constante v0.
 A Figura 1.5b mostra o aparecimento de τ devido à velocidade relativa v1 – v2, que cria um escorregamento entre as duas camadas indicadas.
Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é proporcional (α) ao gradiente da velocidade, isto é, à variação da velocidade com y.
 Disso pode-se traduzir a lei de Newton da viscosidade:
 Os fluidos que obedecem a essa lei são ditos fluidos newtonianos.
 Os fluidos que se comportam de forma a obedecer à Equação 1.2 são a grande maioria, como água, ar, óleos etc., e os restantes, chamados não newtonianos, não serão abordados neste estudo, pois são de pequeno interesse geral, sendo objeto apenas de estudos muito especializados.
1.3 Viscosidades absoluta ou dinâmica
 A lei de Newton da viscosidade impõe uma proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a gradiente da velocidade. Tal fato leva à introdução de um coeficiente de proporcionalidade na Equação 1.2. Tal coeficiente será indicado por μ e denomina-se viscosidade dinâmica ou absoluta.
 A Equação 1.2 ficará então:
 Essa grandeza μ é uma propriedade de cada fluido e de suas condições, como, por Exemplo, a pressão e, principalmente, a temperatura.
 A origem da viscosidade nos fluidos mereceria uma análise microscópica que não será feita neste estudo. De forma simplificada, pode-se dizer que a viscosidade dos fluidos é originada por uma coesão entre as moléculas e pelos choques entre elas. 
 Uma forma de visualizar a existência da viscosidade é retornar à Experiência das Duas Placas. Verificou-se que, após certo tempo de aplicação da força Ft. a placa superior, esta assume uma velocidade v0 constante, pelo equilíbrio dinâmico da força externa por forças desenvolvidas internamente. A viscosidade, portanto, não é uma propriedade observável num fluido em repouso, pois, qualquer que seja a força tangencial, ele se deforma. Com o movimento do fluido, porém, ela faz sentir seu efeito, criando as condições para equilibrar a força Ft. externa.
 Pode-se dizer, então, que viscosidade dinâmica é a propriedade dos fluidos que permite equilibrar, dinamicamente, forças tangenciais externas quando os fluidos estão em movimento. Matematicamente, μ é a constante de proporcionalidade da lei de Newton da viscosidade.
 De uma forma mais prática: Viscosidade é a propriedade que indica a maior ou a menor dificuldade de o fluido escoar (escorrer). As unidades da viscosidade podem ser obtidas por análise dimensional a partir da lei de Newton da viscosidade. Adotando como grandezas fundamentais FLT:
 Utiliza-se ainda o pois e: 1 c pois e = 0,01 pois e. Note-se que a viscosidade dinâmica possui um valor diferente para cada fluido e varia, para um mesmo fluido, principalmente em relação à temperatura. 
 Os gases e os líquidos comportam-se de maneiras diferentes quanto a esse aspecto. Nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura, enquanto nos gases a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura. A razão desse comportamento exige uma análise microscópica que não será abordada. 
 Propriedades ou fluidos: Conceitos fundamentais. Lei de Newton Análise 
Lei de Viscosidade de Podemos iniciar considerando que um elemento de fluido retangular 3D representado na Fig.2.3.
 A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por A = δz ×δx . Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual a força F dividida pela área:
 A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo ϕ conhecido como ângulo de deformação. Num sólido ϕ, é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. Num fluido ϕ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
 A variação da tensão de cisalhamento (tensão por unidade de tempo, τ/tempo) é diretamente proporcional à tensão de cisalhamento. Se uma partícula no ponto E (na figura acima) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x. Para pequenas deformações podemos escrever:
 Obs: Utilizando a nomenclatura das tensões de cisalhamento, a tensão analisada corresponde a uma tensão τyx atuando no plano normal ao eixo y e apontando na direção positiva de x. Desta forma a rigor deveríamos escrever a mesma como:
 
 Fluidos e Sólidos Discutimos as diferenças entre o comportamento de sólidos e fluidos sob uma força aplicada. Resumindo temos: 1. Para um sólido o esforço é uma função da tensão de cisalhamento aplicada (desde que que o limite elástico não tenha sido alcançado). Para um fluido, o valor de esforço é proporcional à tensão aplicada. 
 O esforço num sólido é independente do tempo em que a força é aplicada e (se o limite elástico não é alcançado) a deformação desaparece quando a força é removida. Um fluido continua a fluir enquanto a força é aplicada e não recuperará sua forma original quando a força é removida 
 Quando observamos as propriedades dos sólidos, quando o limite elástico é alcançado eles parecem fluir. Tornam-se plásticos. Contudo não consideram-se como fluidos já que unicamente fluirão após a tensão de cisalhamento atingir um mínimo. 2.4 Fluidos Newtonianos e Não-Newtonianos Até mesmo fluidos que são aceitos como tais podem ter grandes diferenças de comportamento quando submetidos a tensões de cisalhamento. 
 Fluidos obedecendo Lei de Newton onde o valor de µ é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se µ é constante a tensão é linearmente dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos fluidos. 
 Os fluidos em que o valor de µ não é constante são conhecidos como fluidos não-newtonianos. Há várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo. Essas categorias são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da tensão de cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias categorias de fluidos
1.4 Simplificações prática
 Viu-se que a lei de Newton da viscosidade é escrita da seguinte forma:
 Pela figura, observa-se que, a um deslocamento dy na direção do eixo y, corresponde uma variação da velocidade.
 Quando a distância ε é pequena, pode-se considerar, sem muito erro, que a variação de v com y seja linear (Figura 1.7).
A simplificação que resulta desse fato é a seguinte: o ΔABC ≈ ΔMNP. Logo:
 Esse fato leva a simplificações importantes nos problemas, evitando hipóteses e integrações às vezes complicadas
EXEMPLO
 Um pistão de peso G=4N cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 2 m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1 cm e o do pistão é 10,0 cm. Determinar a viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pistão e o cilindro.
Solução:
 Se_ _ v= cte ⇒ a = 0, logo, o pistão está em equilíbrio dinâmico, isto é:
ΣF = ma = 0 
 Na direção do movimento, a força causada pelas tensões de cisalhamento Fμ deve equilibrar o peso G, na velocidade
dada. 
 A seguir, o problema será resolvido também para o caso em que o diagrama não é linear.
 Adotando-se uma coordenada polar R r R i e ≤ ≤ , para uma camada de espessura dr, a velocidade varia de v + dv para v, criando o escorregamento que gera as tensões de cisalhamento. Logo, τ = –μ dv dr , pois para um dr positivo o v varia de um dv negativo.
 Como cada camada se desloca , isso significa que o peso, transmitido no contato com a primeira camada, equilibra-se com as tensões de cisalhamento um dar adiante.
Assim, para uma camada genérica:
1.5 Massa específica (ρ)
 No estudo realizado será considerado, salvo menção contrária, que os fluidos são um meio contínuo e homogêneo, de forma que as propriedades médias definidas coincidam com as propriedades nos pontos. Tal hipótese facilita o estudo e permite introduzir definições simples para todas as propriedadesdos fluidos.
Massa específica é a massa de fluido por unidade de volume.
 Pode-se deduzir uma relação simples entre peso específico e massa específica:
1.8 Peso específico relativo para líquidos (γr)
 É a relação entre o peso específico do líquido e o peso específico da água em condições padrão. Será adotado que
 Como a massa específica e o peso específico diferem por uma constante, conclui-se que a massa específica relativa e o peso específico relativo coincidem.
1.9 Viscosidade cinemática (ν)
 Por comodidade e por outras razões que aqui não serão expostas, convém dar um nome ao quociente μ /ρ que, muitas vezes, aparecerá no decorrer do estudo. Viscosidade cinemática é o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.
 Das unidades, verifica-se que o nome — viscosidade cinemática — deve-se ao fato de essa grandeza não envolver força, mas somente comprimento e tempo, que são as grandezas fundamentais da Cinemática.
1.10 Fluido ideal
 Fluido ideal é aquele cuja viscosidade é nula. Por essa definição conclui-se que é um fluido que escoa sem perdas de energia por atrito. É claro que nenhum fluido possui essa propriedade; no entanto, será visto no decorrer do estudo que algumas vezes será interessante admitir essa hipótese, ou por razões didáticas ou pelo fato de a viscosidade ser um efeito secundário do fenômeno.
 
1.11 Fluido ou escoamento incompressível
 Diz-se que um fluido é incompressível se o seu volume não varia ao modificar a pressão. Isso implica o fato de que, se o fluido for incompressível, a sua massa específica não variará com a pressão.
 É claro que na prática não existem fluidos nessas condições. Os líquidos, porém, têm um comportamento muito próximo a esse e na prática, normalmente, são considerados como tais. Mesmo os gases em certas condições, em que não são submetidos a variações de pressão muito grandes, podem ser considerados incompressíveis. 
 Um dos exemplos práticos é o estudo de ventilação, em que, em geral, essa hipótese é aceitável.
 É importante compreender que nenhum fluido deve ser julgado de antemão. Sempre que ao longo do escoamento a variação da massa específica ρ for desprezível, o estudo do fluido será efetuado pelas leis estabelecidas para fluidos incompressíveis.
1.12 Equação de estado dos gases
 Quando o fluido não puder ser considerado incompressível e, ao mesmo tempo, houver efeitos térmicos, haverá necessidade de determinar as variações da massa específica ρ em função da pressão e da temperatura. De uma maneira geral, essas variações obedecem, para os gases, a leis do tipo:
denominadas equações de estado. Para as finalidades desse desenvolvimento, sempre que for necessário, o gás envolvido será suposto como ‘gás perfeito’, obedecendo à equação de estado:
onde:
p = pressão absoluta
R = constante cujo valor depende do gás
T = temperatura absoluta (lembrar que a escala absoluta é a escala Kelvin e K = °C + 273)
Para o ar, por exemplo, R ≅ 287 m2/s2 K. Numa mudança do estado de um gás:
 O processo é dito isotérmico quando na transformação não há variação de temperatura. Nesse caso:
 O processo é dito isobárico quando na transformação não há variação de pressão. Nesse caso:
 O processo é dito isocórico ou isométrico quando na transformação não há variação de volume. Nesse caso:
 O processo é dito adiabático quando na transformação não há troca de calor. Nesse caso:
onde k é a chamada constante adiabática cujo valor depende do gás. No caso do ar, k = 1,4.
2 - Teorema de Buckingham. Adimensionais típicos. Semelhança. Aplicações da viscosidade. Simplificação da Lei de Newton.
2.1. INTRODUÇÃO 
 Números adimensionais são comumente utilizados na Engenharia, como o número de Mach ou o número de Reynolds, prevendo características condicionais de escoamento, compressibilidade ou incompressibilidade e, as consequências dos efeitos viscosos. Tais coeficientes adimensionais preveem possibilidades de cálculos de acordo a maior aproximação e simplificação possível da realidade. 
 A obtenção desses coeficientes, para relacioná-los de modo próximo ao da realidade será o tema em abordagem, realizando uma dedução do Teorema Pi de Buckingham, e analisando os principais grupos adimensionais. Posteriormente, serão estudadas as propriedades de uma bomba centrifuga aplicando estes coeficientes. Inicia-se para tal objetivo, a dedução adimensional das equações diferenciais básicas. 
 Ao considerar as hipóteses de um escoamento em regime permanente, incompressível, de viscosidade constante e em duas dimensões. As equações de Navier-Stokes são abreviadamente:
 Dividindo os termos dimensionais pelas respectivas unidades, ou seja, 𝑥 e 𝑦 por 𝐿, 𝑢 e 𝑣 por 𝑉∞ e 𝑃 por 𝜌𝑉∞ 2 (pressão da corrente livre), as resultantes são os termos com asteriscos, denotados como adimensionais e, as relações dos dimensionais com estes são 𝑥 = 𝑥 ∗𝐿, 𝑢 = 𝑢 ∗𝑉∞. De imediato, tornando adimensionais as equações Vetor, Rio Grande, v. 25, n. 2, p. 84-101, 2015 diferenciais básicas, tem-se primeiramente para os termos da equação diferencial da conservação de massa:
e para as equações de Navier-Stokes:
 Partindo de equações básicas, é possível deduzir parâmetros adimensionais, como o número Weber. Isso tem como propósito ideal, o de analisar e identificar termos importantes capazes de caracterizar o fenômeno, mesmo sendo nebuloso relacioná-los no caso em questão. 
 Tais análises são fundamentais no instante de adoção de condições para solucionar problemas matemáticos, como também para realizar de forma correta a experimentação de protótipos
0. Grupos adimensionais
 Como trata-se de um estudo praticamente experimental, vários engenheiros foram responsáveis por descobertas de grupos adimensionais, como o inverso do número de Reynolds. 
 Suas aplicações são recorrentes, e a para obtê-las em seu estado final é pertinente comparar as forças comumente encontradas no escoamento (força viscosa, força de pressão, força de gravidade, tesão superficial e força de compressibilidade) com a força de inércia, para prever grupos adimensionais. A título de maiores detalhamentos, demonstra-se a força de inércia por 𝐹 = 𝑚𝑎, equivalente a 𝜌∀𝑉/𝑡, ou em 𝑀𝐿𝑡 −2 , (𝜌𝐿 3 𝐿)/𝑡 2 = 𝜌𝑉 2 𝐿 2 . 
 Equiparando a força viscosa 𝜏𝐴 em suas unidades e realizando a proporção da mesma com a força de inércia, para velocidade em 𝑑𝑢 em um intervalo 𝑑𝑦:
0. MATERIAL E MÉTODOS 
 Vetor, Rio Grande, v. 25, n. 2, p. 84-101, 2015 90 A produção deste trabalho envolve reunião de conhecimentos relativos em periódicos e livros. Ao propor esta revisão, o artigo se mostra na função de facilitar a compreensão do leitor sobre o tema abordado, referindo-se a um tratamento focalizado e detalhado do assunto. 
 Ao estudar as propriedades das bombas centrifugas por meio do Teorema Pi de Buckingham, devido a complexidade do tema, é percebido uma necessidade de uma contribuição bibliográfica. Para tanto, foram utilizadas bases de dados e conhecimentos específicos advindos de bibliografias especificas, utilizando recursos computacionais na plotagem de dados pertinentes e propondo uma maior proximidade com os resultados. Ao explorar recursos computacionais, cálculos foram facilitados e apresentados de uma maneira mais organizada e sucinta. 
 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 Parâmetros iniciais Ao observar as equações adimensionais, alguns coeficientes adimensionais podem ser percebidos, das últimas equações por exemplo. Disso, o inverso do número de Reynolds está associado aos termos viscosos (derivadas parciais de segunda ordem). 
 Assim, o valor obtido pelo inverso do coeficiente possui relação direta ao número e, por conceitos iniciais das leis de viscosidade dos fluidos, está igualmente correlacionado a facilidade de escoamento, influenciando a velocidade quando acoplados ao gradiente de pressão. Essa observação é análoga ao termo 𝑔𝐿𝑉∞ 2 , onde as forças gravitacionais sãoregidas por uma proporcionalidade entre a velocidade de corrente livre e o comprimento de referência. 
 Para a apuração precisa de fenômenos físicos em diversos fins, é conveniente a realização de experimentos, por escalas ou não. A título de exemplificação, a experimentação da relação de coeficientes de arrasto e suas dependências as propriedades em uma esfera, podem depender de aspectos da esfera e do fluido. 
 De início, propriedades correlatas tem de ser identificadas, como o diâmetro 𝐷 da esfera, a velocidade 𝑉 do fluido, sua viscosidade 𝜇 e da massa especifica 𝜌. Nesta situação, alguns parâmetros podem não ter sido mencionados em toda a abrangência existente, no entanto, com a identificação dos termos essenciais e a utilização de experiências em larga escala, é possível introduzir uma curva generalizada para diversos materiais, diversas medidas da esfera e constantes do fluido, postas em termos das propriedades identificadas inicialmente. 
 Embora existam outros métodos para realizar uma análise dimensional, (método inicial) o método baseado no teorema de π Buckingham dá uma estratégia generalizada para obter uma solução. Este teorema é delineado a seguir. Existem dois teoremas de Buckingham, conhecidos como teoremas de π.
 1 o teorema π: A relação entre m variáveis (propriedades físicas tais como velocidade, massa específica etc.) pode ser expressa como uma relação entre m-n grupos de variáveis adimensionais (chamadas grupos π), onde n é o número de dimensões fundamentais (tal como massa, comprimento e tempo) requeridos para expressar as variáveis. 
 Assim um problema físico pode ser expresso como:
 φ ( Q1 , Q2 , Q3 ,………, Qm ) = 0 
então, segundo tal teorema, isto também pode ser expresso como:
 φ ( π1 , π2 , π3 ,………, Qm-n ) = 0 
 Em fluidos nós podemos normalmente utilizar n = 3 (correspondente ao M, L, T). 2 o teorema de π Cada grupo π é função de n variáveis governantes mais uma das variáveis adimensionais
0. O teorema pi de Buckingham Semelhança. Aplicações da viscosidade
 Primeiramente, determina-se um grupo de propriedades julgadas pertinentes ao estudo da situação, uma função 𝐹 genérica irá conter essas variáveis. Todas são visualizadas como um parâmetro qualquer 𝑞 contido em uma função 𝑔, juntamente a outras propriedades contidas na função 𝑞. Logo, para 𝑛 parâmetros: 𝑔(𝑞! , 𝑞2, … , 𝑞𝑛 ) = 0 
 Esses parâmetros dimensionais podem ser transformados em parâmetros adimensionais Π, em uma quantidade 𝑛 − 𝑚, onde 𝑚 é o número mínimo de dimensões independentes associadas, chamados de parâmetros repetentes. Os últimos quando combinados os parâmetros restantes do domínio de 𝑔 formam Π, definido formalmente por: 𝐺(Π1,Π2, … ,Π𝑛−𝑚) = 0 Em que cada Π pode deduzir-se um conjunto de propriedades em uma função, como para Π1 e 𝐺1: Π1 = 𝐺1(Π2, … ,Π𝑛−𝑚) onde a relação entre 𝐺 e 𝐺1 apenas deve ser obtida por meio experimental; e os Π são independentes quando obtidos pelo meio descrito
 Quando formando pela combinação entre outros parâmetros Π, o parâmetro resultante não é considerado independente. O procedimento de escolha dos grupos Π é relativamente simples, no entanto, exige um apropriado conhecimento das propriedades físicas e geométricas, alguns problemas podem parecer exigir muitas características. 
 A maneira mais segura é a escolha de todas as propriedades que apresentem a suspeita de efetivamente influenciarem experimentalmente, conforme a relação entre esses parâmetros é obtida. Dessa forma, há meios que substituem os trabalhosos procedimentos experimentais no que se refere ao teste de parâmetros.
 Esses mais simplórios por dependerem fundamentalmente da área físico-matemática. De início, ocorre a listagem dos parâmetros dimensionais julgados pertinentes, no caso da escolha de parâmetros não necessários, em algum momento, este mostrará sua obsolescência.
 Depois serão estabelecidas as dimensões primárias e os parâmetros serão postos em termos dessas. Logo após, é realizada a correta identificação dos parâmetros repetentes, estes contêm as dimensões primárias (não incluso os termos somente com variações quantitativas) e a partir disso, serão formados grupos dimensionais, combinando os parâmetros repetentes com os remanescentes. 
 E por fim, os grupos dimensionais são resolvidos, os tornando adimensionais. Ressalta-se que o número 𝑛 − 𝑚 mostra a quantidade de parâmetros adimensionais necessários. Onde 𝑚 é igual a 𝑟 na maioria dos casos, mas quando os termos devem ser escolhidos em diferentes sistemas de dimensões primárias (𝑀𝐿𝑡, 𝐹𝐿𝑡, por exemplo). Por observação, percebe-se que os parâmetros repetentes são escolhidos pela generalização das dimensões primárias presentes. 
 E dessa maneira, os grupos adimensionais apresentarão os mesmos em diversas maneiras, desde a correta seleção de dimensões. São variadas as forças fluídas que surgem ao selecionar os parâmetros repetentes, isso experimentalmente é muito útil, por propiciar a correlação de uma grande quantidade de dados, um dos benefícios é a menor propensão ao erro. 
 Além disso, vários parâmetros dimensionais particulares podem ser expressos por meio de análises cuidadosas, como por exemplo, tendo parâmetros repetentes 𝜌, 𝑉 e 𝐿 no caso de forças atuantes na área superficial de um objeto, adotar 𝜌𝑉 2 como valores de tensões, isto significa que ao combinar com outra força, uma quantidade adimensional é obtida [6,25]
1. - Fundamentos do escoamento de fluidos: Regime laminar e turbulente. Trajetória e linha de corrente.
3.1 Introdução
 Não se deseja que o leitor faça disso uma regra, pois outros casos acontecem, mas muitas vezes a incógnita nos problemas é o termo HM (carga manométrica da máquina) que, como apresentado, é utilizado no cálculo de sua própria potência. 
 Nesse caso, normalmente, H1eH2 são conhecidos pelo projetista, pela própria configuração da instalação e pelas condições que lhe são impostas, como, por exemplo, a vazão disponível ou necessária para uma certa aplicação. Restaria, nesse caso, conhecer o termo Hp1,2 (perda de carga), para que, por meio da Equação 7.1, fosse possível determinar HM.
 O objetivo deste capítulo é exatamente estabelecer métodos para a determinação da perda de carga e com isso resolver a Equação 7.1, qualquer que seja a incógnita prefixada pelo projeto. 
 O estudo do Capítulo 7 implica, mais do que qualquer outro, a necessidade de conhecimento de todos os outros já estudados, devendo o leitor reportar-se a eles sempre que necessário.
1. Definições
 Neste item serão introduzidas definições e conceitos utilizados ao longo do capítulo. Prefere-se apresentá-los inicialmente para não interromper a seqüência nos itens posteriores, onde forem necessários.
0. Condutos – Classificação
 Conduto é qualquer estrutura sólida, destinada ao transporte de fluidos. Os condutos são classificados, quanto ao comportamento dos fluidos em seu interior, em forçados e livres.
 Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados O conduto é dito forçado quando o fluido que nele escoa o preenche totalmente, estando em contato com toda a sua parede interna, não apresentando nenhuma superfície livre (Figura 7.1a). O conduto é dito livre quando o fluido em movimento apresenta uma superfície livre
(Figura 7.1b).
0. Raio e diâmetro hidráulico 
Raio hidráulico (RH) é definido como:
onde: A = área transversal do escoamento do fluido;
σ = perímetro ‘molhado’ ou trecho do perímetro, da seção de área
A, em que o fluido está em contato com a parede do conduto.
Diâmetro hidráulico (DH) é definido por:
A tabela a seguir apresenta alguns exemplos
3.2.3 Camada limite numa placa plana
 A noção de ‘camada limite’ será muito útil ao longo deste capítulo, como será visto durante o seu desenvolvimento. 
 Esse conceito é mais facilmente introduzido no escoamento de fluidos sobre placas planas do que no escoamento em condutos. Por causa disso, neste item seráfeito o estudo da camada limite sobre placas planas e essa noção será aproveitada no próximo item para o estudo do mesmo fenômeno no escoamento em condutos.
 Seja uma placa plana de espessura muito pequena, introduzida paralelamente a um escoamento uniforme e em regime permanente de um fluido. Seja a velocidade do fluido, ao longe da placa, uniforme de valor v0. 
 Os acontecimentos serão explicados para um dos lados da placa, sendo que do outro o aspecto será simétrico.
 Suponha-se que, por meio de um medidor, sejam detectadas as velocidades nos pontos ao longo de uma seção vertical (1) (Figura 7.2).
 Ao fazer isso, verifica-se que junto à placa, devido ao princípio da aderência, a velocidade é nula. Quando se percorre a vertical (1), a velocidade é crescente até que, num ponto A, a velocidade coincida com v0 e assim se mantenha para todos os pontos acima dele.
 É óbvio que o fluido até o ponto A sofreu a influência da presença da placa, influência esta que é denotada pela existência de um gradiente da velocidade ao longo da vertical. Acima do ponto A, o fluido comporta-se como se a placa não existisse, isto é, escoa com a mesma velocidade v0 uniforme que ele possuía ao longe. 
 Se a mesma experiência for efetuada ao longo de verticais mais afastadas do bordo de ataque, como a (2) e a (3), verifica-se uma repetição daquilo que aconteceu na (1), com a única diferença de que os pontos (B) e (C), que denotam o fim da variação da velocidade, estarão mais afastados da placa.
 Se isso for realizado em diversas verticais, verifica-se que os pontos do tipo A, B e C pertencem a uma linha que será o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais a velocidade passa a ter valor v0 constante ao longo de cada vertical (Figura 7.3).
 O fluido fica dividido, por essa linha, em duas regiões distintas. Uma em que as velocidades são menores que v0 devido à presença da placa e outra em que a velocidade é v0, não sendo influenciado o escoamento nessa região pela presença da superfície sólida.
 A região entre a placa e a linha construída chama-se ‘camada limite’, enquanto a região acima dela chama-se ‘fluido livre’.
 Note-se que a espessura _ da camada limite é crescente ao longo da placa e pode-se verificar que é função do parâmetro adimensional:
que nada mais é que uma forma do número de Reynolds, como foi visto no Capítulo 6. Logo: _ =f (Rex ). Verifica-se que, para Re x< 5 × 105, as forças viscosas na camada limite são consideráveis, comparativamente com as de inércia, sendo o escoamento, dentro da camada limite, do tipo laminar.
 Quando o Rex ultrapassa esse valor, o escoamento na camada limite passa para turbulento. Para um dado fluido, com uma certa velocidade v0, a passagem para escoamento turbulento acontecerá numa abscissa chamada crítica, correspondente ao valor do número de Reynolds de 5 × 105, também chamado crítico.
 Pela expressão acima, pode-se determinar a abscissa da placa, em que acontece a passagem do movimento laminar para turbulento dentro da camada limite, pois: 
 Isso acontecerá sempre que o comprimento da placa for maior que xcr. A passagem de camada limite laminar para camada limite turbulenta é facilmente observável pelo crescimento repentino de sua espessura, como se observa na Figura 7.4.
 Tal crescimento se deve ao próprio conceito de movimento turbulento, em que, sendo pequeno o efeito das forças viscosas, o efeito da presença da placa transmite-se a uma maior distância dentro do escoamento do fluido.
 Apesar de o movimento, para uma abscissa x > xcr, ser turbulento no interior da camada limite, numa camada de espessura δ muito pequena, junto à placa, devido às baixas velocidades, subsiste um movimento do tipo laminar. Essa região denomina-se ‘subcamada limite laminar’.
O conceito de camada limite laminar e turbulenta e o de subcamada limite laminar serão de grande utilidade na explicação de fenômenos que serão apresentados nos itens seguintes
0. Desenvolvimento da camada limite em condutos forçados
 Seja o conduto de descarga de um tanque (Figura 7.5). Antes de o fluido penetrar no conduto, sendo o tanque de grandes dimensões, terá uma velocidade uniforme. 
 Ao penetrar no tubo, pelo princípio da aderência, haverá a formação da camada limite que, como já observado, é crescente. O diagrama de velocidades vai se ajustando ao longo do tubo, apresentando um gradiente na camada limite e um valor constante no fluido livre.
 A camada limite cresce até preencher o conduto na abscissa x = x. A partir desse ponto, o diagrama tem uma configuração constante em qualquer seção do conduto e o regime de escoamento é denominado ‘dinamicamente estabelecido’.
 O escoamento, nessa situação, será turbulento no conduto, a não ser junto às paredes, onde aparecerá o filme laminar, cuja espessura δ será função de Re = ρvD μ , que, nesse caso, será maior que 2.400. 
 A presença do filme laminar, no escoamento em tubos, permitirá explicar o comportamento de uma grandeza importante num item posterior.
 Em resumo, em condutos o escoamento pode se estabelecer laminar, se Re < 2.000, ou turbulento, se Re > 2.400, e, nesse caso, o escoamento apresentará subcamada limite laminar.
0. Rugosidade 
 Os condutos apresentam asperezas nas paredes internas que influem na perda de carga dos fluidos em escoamento. Em geral, tais asperezas não são uniformes, mas apresentam uma distribuição aleatória tanto em altura como em disposição. No entanto, para efeito de estudo, supõe-se inicialmente (tal hipótese será retirada posteriormente) que as asperezas tenham altura e distribuição uniformes. A altura uniforme das asperezas será indicada por ε e denominada ‘rugosidade uniforme’ (Figura 7.7).
 Para efeito do estudo das perdas no escoamento de fluidos, é fácil compreender que elas não dependem diretamente de ε, mas do quociente DH/ε, que será chamado ‘rugosidade relativa’.
0. Classificação das perdas de carga 
 Se for examinado o comportamento do escoamento de fluidos em condutos, será possível distinguir dois tipos de perda de carga (não esqueça o leitor que perda de carga é a energia perdida pela unidade de peso do fluido quando este escoa). O primeiro tipo é chamado ‘perda de carga distribuída’, que será indicada por hf.
 Tal perda, como o próprio nome diz, é a que acontece ao longo de tubos retos, de seção constante, devido ao atrito das próprias partículas do fluido entre si. Note-se que nessa situação a perda só será considerável se houver trechos relativamente longos de condutos, pois o atrito acontecerá de forma distribuída ao longo deles.
 O segundo tipo corresponde às chamadas ‘perdas de carga locais ou singulares’, que serão indicadas por hs. Elas acontecem em locais das instalações em que o fluido sofre perturbações bruscas no seu escoamento.
 Essas perdas podem, diferentemente das anteriores, ser grandes em trechos relativamente curtos da instalação, como, por exemplo, em válvulas, mudanças de direção, alargamentos bruscos, obstruções parciais etc.
 Esses locais, nas instalações, costumam ser chamados de ‘singularidades’, provindo daí o nome ‘perdas de carga singulares’. A Figura 7.8 mostra uma instalação em que são indicados os tipos de perdas que irão acontecer.
 Entre (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5) e (5 e 6) existem perdas distribuídas.
Em (1) estreitamento brusco, (2) e (3) cotovelos, (4) estreitamento, (5) válvula, existem perdas singulares. Mais adiante será observado que o cálculo de umas e outras perdas será efetuado de formas diferentes, como era de esperar, já que as primeiras dependem do comprimento do conduto, enquanto as outras não dependem.
 Numa instalação completa, o termo Hp1,2 da Equação 7.1 será dado por:
1. Estudo da perda de carga distribuída (hf)
 As hipóteses a seguir estabelecem as condições de validade do estudo.
UNIVERSIDADE BRASIL
FACULDADE POLITÉCNICA DE CAMPINAS -POLICAMP
a. 
 (
2
)
b. Regime permanente,fluido incompressível, para a validade da Equação 7.1. Note-se que gases que escoam com pequenas variações de pressão podem ser considerados incompressíveis.
c. Condutos longos, para que no trecho considerado possa alcançado o regime dinamicamente estabelecido.
d. Condutos cilíndricos, isto é, de seção transversal constante, mas qualquer. Se na instalação a área da a local, será necessário calcular a perda de carga em cada trecho e posteriormente somá-las para obter o total.
e. Regime dinamicamente estabelecido, para que o diagrama de velocidades seja o mesmo em cada seção. 
f. Rugosidade uniforme (esta hipótese será retirada posteriormente).
g. Trecho considerado sem máquinas.
h. Dentro dessas hipóteses, serão aplicadas entre as seções (1) e (2) de um conduto as equações estudadas nos capítulos 3, 4 e 5.
 A equação da energia entre as seções (1) e (2), entre as quais não há máquina, resulta em:
 A soma p+ z γ será chamada ‘carga piezométrica’ (CP). Note-se que, pela Figura 7.10, a CP pode ser medida em cada seção pela instalação de um piezômetro. Adotado um PHR, a carga piezométrica será, então, a distância, em cada seção, do nível superior do líquido no piezômetro até o PHR. 
 Observe-se que, pela Equação 7.7, a perda de carga é dada pela diferença entre as cargas piezométricas das duas seções. Isso permite estabelecer um método experimental para a determinação da perda de carga.
 Se entre as seções (1) e (2) forem instalados muitos piezômetros, o nível superior do líquido em cada um deles indicará a carga piezométrica na seção, isto é, o valor de p + z γ (Figura 7.11). 
Figura
 O lugar geométrico dos pontos p + z γ é denominado linha piezométrica, que mostra geometricamente o andamento da pressão do fluido ao longo do conduto. Será mostrado a seguir que a linha piezométrica, dentro das hipóteses de (a) a (f), é uma linha reta, de forma que, conhecendo-se o valor de p + z γ em dois pontos, ela possa ser traçada.
 Define-se linha da energia como sendo o lugar geométrico dos pontos:
 Essa linha é obtida ao se somar a quantidade αv 2g 2 à carga piezométrica e fornecerá o andamento da energia ao longo da instalação, sendo portanto sempre decrescente no sentido do escoamento, menos entre as seções de entrada e saída de uma bomba, já que esta fornece energia para o fluido.
 Note-se que mantidas as hipóteses de (a) a (f), a linha da energia será uma reta paralela à linha piezométrica, já que αv 2g 2 é constante no trecho considerado (Figura 7.12).
 A diferença de cotas entre dois pontos quaisquer da linha da energia fornecerá o valor da perda de carga no trecho considerado, isto é, entre as seções correspondentes aos dois pontos.
3.6 Condutos industriais
 A experiência de Nikuradse, como foi visto, baseou-se no fato de que a rugosidade dos condutos era uniforme. Ele conseguiu isso artificialmente, colando areia de granulação calibrada no interior dos condutos utilizados na pesquisa.
 Na prática, essa condição não se verifica, pois os condutos industriais apresentam uma distribuição aleatória de rugosidades. Colebrook, ao repetir as mesmas experiências de Nikuradse para condutos industriais, verificou que o comportamento experimental é análogo. 
 Superpondo os seus resultados aos de Nikuradse, Colebrook criou o conceito de ‘rugosidade equivalente k’, isto é, o valor correspondente a ε do tubo artificial para o qual as experiências de Colebrook, com tubos industriais, superpõem-se àquelas de Nikuradse na região hidraulicamente rugosa. 
 Em termos mais simples, a rugosidade equivalente k é uma rugosidade fictícia, uniforme, que substituída no lugar da rugosidade real de um tubo industrial causa o mesmo efeito. Moody e, posteriormente, Rouse construíram, para tubos reais, o diagrama conhecido como diagrama de Moody-Rouse (Figura 7.16). Do lado esquerdo do diagrama, observa-se o valor das rugosidades equivalentes para diversos materiais.
Note-se que ao utilizar o diâmetro hidráulico nas expressões
3.6 Condutos industriais
 A experiência de Nikuradse, como foi visto, baseou-se no fato de que a rugosidade dos condutos era uniforme. Ele conseguiu isso artificialmente, colando areia de granulação calibrada no interior dos condutos utilizados na pesquisa. 
 Na prática, essa condição não se verifica, pois os condutos industriais apresentam uma distribuição aleatória de rugosidades. Colebrook, ao repetir as mesmas experiências de Nikuradse para condutos industriais, verificou que o comportamento experimental é análogo. Superpondo os seus resultados aos de Nikuradse, Colebrook criou o conceito de ‘rugosidade equivalente k’, isto é, o valor correspondente a ε do tubo artificial para o qual as experiências de Colebrook, com tubos industriais, superpõem-se àquelas de Nikuradse na região hidraulicamente rugosa. 
 Em termos mais simples, a rugosidade equivalente k é uma rugosidade fictícia, uniforme, que substituída no lugar da rugosidade real de um tubo industrial causa o mesmo efeito. Moody e, posteriormente, Rouse construíram, para tubos reais, o diagrama conhecido como diagrama de Moody - Rouse (Figura 7.16). Do lado esquerdo do diagrama, observa-se o valor das rugosidades equivalentes para diversos materiais. Note-se que ao utilizar o diâmetro hidráulico nas expressões elas valem para condutos de qualquer seção, circular ou não.
3.7 Problemas típicos envolvendo apenas perda de carga distribuída
 Em muitas instalações, a perda de carga singular é desprezível, em relação à distribuída. É o caso, por exemplo, de instalações longas com poucas singularidades. 
 O caso contrário também acontece. Nas instalações residenciais, por exemplo, devido ao grande número de singularidades, as perdas distribuídas são desprezíveis comparativamente às singulares.
Serão aqui estudadas as soluções de três problemas típicos ligados ao primeiro caso, isto é, as perdas singulares, se existirem, serão desprezíveis.
 Sejam os problemas em que são envolvidas as variáveis L, DH, Q, ν, k e hf. 
Podem-se observar três casos importantes:
I. 1ο caso: dados: L, DH, Q, ν, k, procura-se hf ;
II. 2ο caso: dados: L, DH, hf, ν, k, procura-se Q;
III. 3ο caso: dados: L, Q, hf, ν, k, procura-se DH.
 Volta-se a ressaltar o fato de que o estudo feito a seguir para esses três casos só será válido seH h P1,2 f1,2 = , isto é, hs ≅ 0. O estudo dos três casos será feito por exemplos numéricos, que poderão servir como modelo sempre que um problema se enquadrar num deles.
3.8 Perdas de carga singulares 
 Já foi visto que a perda de carga é singular quando é produzida por uma perturbação brusca no escoamento do fluido.
Viu-se também que tais perturbações são produzidas nas singularidades, como válvulas, registros, alargamentos bruscos etc.
 As perdas de carga singulares também são calculadas por uma expressão obtida pela análise dimensional, como se segue. No fenômeno da perda de carga singular, a função característica é: γhs = f (v, ν, ρ, grandezas geométricas da singularidade), onde v é uma velocidade de referência e as grandezas geométricas são características para cada singularidade.
 Por exemplo, num alargamento brusco (Figura 7.17), são grandezas geométricas características as áreas A1 e A2. 
 O valor numérico da função φ, para um certo valor do número de Reynolds e para certos valores dos coeficientes de forma, será indicado por ks e será chamado ‘coeficiente da perda de carga singular’.
 Exemplos de valores de ks são fornecidos na tabela a seguir.
 Os valores na tabela servem apenas como exemplo. Para maiores informações, o leitor deverá recorrer a manuais de hidráulica ou a catálogos de fabricantes.
 Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados
 Outro método para a determinação das perdas singulares é o dos ‘comprimentos equivalentes’. Comprimento equivalente de uma singularidade é o comprimento fictício de uma tubulação de seção constante de mesmo diâmetro, que produziriauma perda distribuída igual à perda singular da singularidade. Sua determinação pode ser feita da seguinte forma: 
3.9 Instalações de recalque
 É o conjunto de equipamentos que permite o transporte e controle da vazão de um fluido. Compreende, em geral, um reservatório, tubos, singularidades, máquina e um reservatório de descarga.
 A tubulação, que vai desde o reservatório de tomada até a máquina, chama-se ‘tubulação de sucção’ e, geralmente, contém uma válvula de pé com crivo na entrada, que nada mais é que uma válvula de retenção com filtro. Esta tem o objetivo de não permitir a entrada de detritos na máquina e a válvula de retenção não permite o retorno do fluido ao se desligar a bomba (Figura 7.18).
 A tubulação que liga a bomba com o reservatório de descarga chama-se ‘tubulação de recalque’ e contém, em geral, uma válvula de retenção e um registro para o controle da vazão (Figura 7.18). Capítulo 7 _ Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados. 7.18
 Geralmente, o objetivo nas instalações é a seleção e a determinação da potência da máquina hidráulica instalada. Posteriormente, serão vistos alguns exemplos de cálculo, mas antes será discutido o fenômeno da cavitação.
 Ao aplicar a equação da energia entre as seções (1) e (e) de entrada da bomba: H1 =He +Hp1, e Adotando o PHR por (1) e sendo o reservatório de grandes dimensões e aberto à atmosfera, conclui-se que H1 = 0.
3.10 Linhas de energia e piezométrica 
 No item 7.3 foi vista a definição das linhas de energia e piezométrica.
Viu-se que a linha de energia (LE) é o lugar geométrico dos pontos α γ v 2g + p + z 2 de uma instalação e a linha piezométrica (LP), o lugar geométrico dos valores de p + z γ .
 Foi visto, ainda, que essas duas linhas, num trecho de conduto reto de seção constante, são retas paralelas decrescentes no sentido do escoamento e que, nesse caso, a diferença entre a cota de dois de seus pontos corresponde à perda de carga no trecho entre as duas seções correspondentes do conduto.
 Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados 
No caso da existência de perdas singulares, as LE e LP não têm andamento definido, sendo representadas por uma linha sinuosa (Figura 7.19). 
 No caso de uma máquina, as duas linhas serão crescentes, se esta for uma bomba, e decrescentes, se for uma turbina.
 Nos exemplos que serão resolvidos a seguir, o leitor deverá procurar interpretar o aspecto das duas linhas, de forma a não ter dúvidas no traçado em qualquer outro caso.
1. - Escoamento unidirecional. Equações continuidade para regime permanente. Aplicações
 A Fig 1.1 mostra as diferentes classificações que podem ser dadas ao escoamento em Mecânica dos Fluidos, segundo o tipo de fluido, dependência temporal e espacial, segundo a superfície onde escoa, segundo a seção do escoamento e segundo a compressibilidade do fluido. 
 Num fluido escoando sob circunstâncias normais - um rio, por exemplo - se as propriedades (velocidade, pressão) num ponto do campo de escoamento são diferentes de um outro ponto denomina-se escoamento não-uniforme. Quando as propriedades do fluido num ponto do campo de escoamento variam com o tempo o escoamento é denominado escoamento não-permanente ou não-estacionário.
• Escoamento uniforme: Se no escoamento a velocidade tem a mesma magnitude e direção em todo ponto do fluido é dito ser uniforme. Isto se aplica em geral para todas as propriedades do fluido numa determinada seção reta de um sistema em estudo.
 • Não-uniforme: Se em um dado instante, a velocidade não é a mesma em todo ponto (numa determinada seção reta) o escoamento é não-uniforme. Na prática, por tal definição, todo fluido que escoa próximo de uma fronteira sólida é não-uniforme - o fluido na fronteira deve tomar a velocidade da fronteira, geralmente zero. Entretanto se o tamanho e a forma da seção da corrente de fluido é constante o fluxo é considerado uniforme. 
• Estacionário: Um escoamento é denominado estacionário ou permanente quando as propriedades do fluido (velocidade, pressão e também a seção transversal) podem ser diferentes de um ponto a outro mas não mudam com o tempo.
 • Não-Estacionário: Se em qualquer ponto do escoamento, as propriedades mudam com o tempo, o escoamento é considerado como não estacionário. Na prática há sempre ligeiras variações em velocidade e pressão, mas se os valores médios são constantes o escoamento é considerado estacionário ou permanente
 Combinando as definições acima podemos classificar qualquer escoamento em um dos quatro tipos: 
· Escoamento uniforme estacionário. As condições e propriedades do fluido não se modificam com a posição na corrente ou com o tempo. Um exemplo é o fluxo de água em um tubo de diâmetro constante e velocidade constante.
· Escoamento não-uniforme estacionário. As condições mudam de ponto a ponto na corrente mas não muda com o tempo. Um exemplo é o escoamento num tubo com seção variável e com velocidade constante na entrada - a velocidade mudará conforme avançamos no comprimento do tubo até a saída.
· Escoamento uniforme não-estacionário. Em um dado instante as condições em todos pontos são as mesmas, mas mudam com o tempo. Um exemplo é um tubo de diâmetro constante conectado a bomba com vazão constante que é desligada.
· Escoamento não-uniforme não-estacionário. A condição do fluxo varia no tempo e no espaço. Por exemplo ondas num canal. 
 Cada uma das classes de escoamento definidos acima apresenta uma complexidade ascendente. 
 Desta forma o fluxo uniforme estacionário é o mais simples dos quatro. Neste curso são tratados basicamente esta classe de escoamentos. Dificilmente será analisado um escoamento não-uniforme ou com efeitos não-estacionários (exceto problemas dependentes do tempo que podem ser tratados de modo simplificado como estacionários). 
 Na atualidade a Mecânica de Fluidos avançada permite com métodos computacionais CFD ( Computational Fluid Dynamics) determinar campos de escoamentos complexos tais como os escoamentos tridimensionais em turbo máquinas e outros tipos de máquinas. 
 Uma representação deste tipo de solução é apresentado na Fig.1.2. Trata-se da solução numérica das Equações gerais de Mecânica dos Fluidos denominadas Equações de Navier-Stokes. 
4.1 Linhas de Corrente e Tubos de Corrente 
 Na análise do escoamento é útil visualizar a forma do escoamento. Isto pode ser feito desenhando linhas unindo pontos de igual velocidade - contornos de velocidade. Essas linhas são conhecidas como linhas de corrente. As linhas de corrente são linhas tangentes à direção do escoamento, isto é, são linhas tangentes ao vetor velocidade em cada ponto. escoando sobre uma fronteira sólida, por exemplo, a superfície do cilindro ou na parede de um tubo, não pode existir escoamento através da superfície. 
 Nestas condições próximas da fronteira da parede a direção do escoamento acompanha o contorno da fronteira do corpo. 
 Próximo das fronteiras sólidas as linhas de corrente são paralelas àquela fronteira É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo - isto é o caso de escoamento não-estacionário.
 No escoamento permanente a posição das linhas de corrente não muda no tempo. Algumas coisas que devemos saber sobre as linhas de corrente. 
· Devido a que o fluido está movendo-se na mesma direção que as linhas de corrente, o fluido não pode cruzar uma linha de corrente. 
· As linhas de corrente não podem cruzar-se mutuamente. Se fosse verdadeiro isto representaria duas velocidades diferentes no mesmo ponto o que é fisicamente impossível.
· O explicado acima implica que qualquer partícula de fluido que inicia numa linha de corrente deverá permanecer naquela linha de corrente através de todo o escoamento.
 Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubularformada por linhas de corrente onde o fluido escoa (Fig.1.5. Esta superfície tubular é conhecida como um tubo de corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel):
 As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto acima, o fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma parede do tubo de corrente. 
 O tubo de corrente pode freqüentemente ser visto como um tubo de parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo - isto difere no caso do escoamento não estacionário em que as paredes se moverão com o tempo. 
 Também difere porque a “parede” está movendo-se com o fluido Também é importante definir as linhas de trajetória e as linhas de emissão: Linha de Trajetória: Caminho ou trajetória deixada por uma partícula de fluido em movimento. Linha de Emissão Ponto fixo no espaço no qual passam diversas partículas de fluido Somente num escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo é constante com o tempo. Neste caso, as linhas de corrente, de emissão e trajetórias são idênticas. 
 Os campos de escoamentos que trabalham com fluidos considerados não-viscosos e incompressíveis utilizam soluções analíticas que permitem descrever o campo de escoamento apresentando o comportamento das linhas de corrente. Com tal informação pode-se descrever o campo de velocidades e de pressões. Um exemplo típico é solução do escoamento potencial de perfil aerodinâmicos.
 
2. Escoamento Compressível e Incompressível 
 Todos fluidos são compressíveis - como a água - sua massa específica mudará com mudanças de pressão. Sob condições de escoamento permanente, e considerando que as mudanças de pressão sejam pequenas, é possível simplificar a análise do fluxo considerando o fluido como incompressível e com massa específica constante (ρ=cte). 
 Os líquidos são difíceis de comprimir e na maioria das condições em regime permanente são tratados como incompressíveis. Em algumas condições não-estacionárias podem ocorrer diferenças muitas altas de pressão sendo necessário levar em conta a compressibilidade nos líquidos. Os gases, ao contrário, são facilmente comprimidos, sendo tratados como fluidos compressíveis, levando em consideração as mudanças de pressão e temperatura ρ=f(P,T). 
 O ar, por exemplo, é um gás tratado como compressível quando trabalha em compressores e incompressível quando utilizado em ventiladores. Os escoamentos em que as variações da massa específica são desprezíveis denominam-se incompressíveis. 
 Quando existem variações da massa específica que não são desprezíveis o escoamento é denominado compressível. Os gases com transferência de calor desprezível podem ser considerados incompressíveis quando a velocidade é pequena comparada com a velocidade do som. A relação entre a velocidade do fluido e a velocidade do som é denominado número de Mach. M=V/c onde V é a velocidade do escoamento e c a velocidade do som (≅340m/s). A Fig. 17 representa a relação da variação da massa específica de um gás em função do número de Mach. Quando M < 0,3 considera-se o escoamento como incompressível. Um valor de M=0,3 representa uma velocidade do fluido em torno 100m/s. 
 Os escoamentos compressíveis são importantes em sistemas de ar comprimidos, também são importantes em projeto de aeronaves modernas de alta velocidade, ventiladores e compressores. Na Fig.1.7b observa-se efeitos visuais de uma onda de choque de um avião. Tal fenômeno ocorre por efeito da compressibilidade do fluido.
5- Equação da energia para regime permanente: Tipos de energias associadas aos fluidos. Equação de Bernoulli. Equação da energia para fluido real em presença de máquina.
 A equação de bernoulli é obtida a parter do teorema da conservação de energia mecânica e da relação entre o trabalho mecânico e a energia dos corpos Entre as aplicações da equação de Bernoulli, está a explicação para o voo dos aviões
 A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Ela recebe esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, matemático suíço que a publicou em 1738.
Para compreender como a equação de Bernoulli foi obtida, observe a figura:
 Consideramos para essa figura um fluido ideal que apresenta as seguintes características:
1. Escoamento linear – velocidade constante em qualquer ponto do fluído;
1. Incompressível – com densidade constante;
1. Sem viscosidade;
1. Escoamento irrotacional.
 Nesse caso, os fatores que interferem no escoamento do fluido são a diferença de pressão nas extremidades do tubo, a área de seção transversal e a altura. Como o líquido está em movimento a uma determinada altura, ele possui energia potencial gravitacional e energia cinética. Dessa forma, a energia de cada porção de fluido é dada pelas equações:
 Como os volumes e a densidade das duas porções do fluido são iguais, podemos substituir a massa m na expressão acima por:
m = ρ.V
 A variação de energia pode ser associada ao trabalho realizado pelo fluido durante o deslocamento entre as duas posições, como afirma o Teorema do Trabalho da Energia Cinética. Assim, podemos obter a equação:
E2 – E1 = F1.S1 – F2.S2
 A força pode ser obtida pela expressão:
F = P.A
 Dessa forma, a equação acima pode ser reescrita como:
ρ.V(gh2 + 1v22 ) - ρ.V (gh1 + 1v12 ) = (P1 – P2) . V
2                           2            
 Agrupando os fatores que apresentam o subíndice 1 do lado esquerdo da igualdade e os que têm o subíndice 2, podemos rearranjar a expressão acima e obter a equação de Bernoulli:
ρ.V.g.h1 + ρ.V. v12 + P1.V = ρ.V.g.h2 + ρ.V. v22 + P2.V
          2                                          2
 Essa equação também pode ser rescrita da seguinte forma:
ρ.V.g.h + ρ.V. v2 + P.V = Constante
2        
 A equação de Bernoulli é a principal equação dos estudos da Mecânica dos fluidos e explica, por exemplo, como os aviões mantêm-se no ar. A pressão exercida pelo ar que passa pelas asas do avião é menor do que a pressão em sua parte inferior. 
 Essa diferença de pressão cria uma força de baixo para cima, sustentando o avião no ar.
 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Nas aulas anteriores foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui que, para que a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seção de um tubo de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquer. 
 Pode-se, então, fazer um balanço das massas ou vazões em massa entre as seções de entrada ou saída de um certo escoamento. EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias, da mesma forma como foi feito para as massas, por meio da equação da continuidade.
 A equação que permite tal balanço chama-se equação da energia e nos permitirá, associada à equação da continuidade, resolver inúmeros problemas práticos como, por exemplo: determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformação de energia, etc. 
 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido A – ENERGIA POTENCIAL (EP ) É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo de gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR). 
 Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está a uma cota z em relação a um PHR, conforme mostrado na figura a seguir. EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE Note-se que, na equação, que será introduzida posteriormente, interessará somente a diferença das energias potenciais de um ponto a outro do fluido, de forma que a posição do PHR não alteraráa solução dos problemas. Isto é, o PHR é adotado arbitrariamente, conforme a conveniência da solução do problema.
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE B – ENERGIA CINÉTICA (EC ) É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de massa m e velocidade v; a energia cinética será dada por:
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE C – ENERGIA DE PRESSÃO (EPR) Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. Seja, por exemplo, o tubo de corrente da figura a seguir.
 Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será F = pA. No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um ds, sob a ação da força F, produzindo um trabalho:
 EQUAÇÃO DE BERNOULLI Conforme foi citado anteriormente, a equação da energia geral será construída aos poucos, partindo-se de uma equação mais simples, válida somente para uma série de hipóteses simplificadoras
 A equação de Bernoulli, devido ao grande número de hipóteses simplificadoras, dificilmente poderá produzir resultados compatíveis com a realidade. EQUAÇÃO DE BERNOULLI No entanto, é de importância fundamental, seja conceitualmente, seja como alicerce da equação geral, que será construída pela eliminação gradual das hipóteses da equação de Bernoulli e pela introdução dos termos necessários, para que a equação represente com exatidão os fenômenos naturais. 
 As hipóteses simplificadoras são: EQUAÇÃO DE BERNOULLI A – regime permanente; B – sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Entenda-se por máquina qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, na forma de trabalho. 
 As que fornecem energia ao fluido serão denominadas ‘bombas’ e as que extraem energia do fluido, ‘turbinas’. C – sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal; D – propriedades uniformes nas seções; E – fluido incompressível; F – sem trocas de calor. EQUAÇÃO DE BERNOULLI Pelas hipóteses (b), (c) e (f) exclui-se que no trecho de escoamento em estudo seja fornecida ou retirada energia do fluido. Seja o tubo de corrente da figura abaixo, entre as seções (1) e (2).
EQUAÇÃO DE BERNOULLI Deixando passar um intervalo de tempo dt, uma massa infinitesimal dm1 de fluido a montante da seção (1) atravessa-a e penetra no trecho (1)-(2) acrescentando-lhe a energia:
 Na seção (2), uma massa dm2 do fluido que pertencia ao trecho (1)-(2) escoa para fora, levando a sua energia:
 Como pelas hipóteses (b), (c) e (f) não se fornece nem se retira energia do fluido, para que o regime seja permanente é necessário que no trecho (1)-(2) não haja variação de energia, o que implica obrigatoriamente que: dE1 = dE2
 Essa equação poderá ser enunciada da seguinte forma: Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.
EXEMPLO 1: Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm2 , enquanto a da garganta (2) é 10 cm2 . Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio (Hg = 136.000 N/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi (H2O = 10.000 N/m3 ).
FIGURA DO EXEMPLO 1:
6 - Potência de máquina hidráulica. Equação da energia para várias entradas e saídas. Aplicações.
Capítulo 6.1 
Introdução
 Pode-se dizer que as máquinas de fluido são um dos pilares fundamentais da indústria e das centrais elétricas modernas. 
 Encontram-se máquinas deste tipo desde em aplicações de geração de energia até eletrodomésticos, passando por siderúrgicas, indústrias de papel e celulose, mineração, petroquímica e outros inúmeros processos. 
Quase sempre estas máquinas estão associadas a motores ou geradores elétricos de diversos tipos e características. Devido a esta importância, sempre se busca uma melhor associação destes elementos, visando: - Maior desempenho do conjunto; - Menor consumo de energia ou maior geração de energia; - Menores custos de operação e manutenção; - e outros objetivos mais específicos.
6.2-Classificação das máquinas de fluidos As máquinas de fluido, podem ser classificadas em dois tipos básicos: máquinas de fluxo e de deslocamento positivo.
 Máquinas de fluxo: São assim designadas pois o fluido de trabalho passa de maneira contínua pelo elemento principal da máquina, o rotor. Máquina de deslocamento positivo: São assim chamados porque o fluido realiza trabalho (ou consome trabalho) somente em uma fase do deslocamento do elemento principal (pistão, palheta etc.). Máquina Térmica: 
 É a máquina que trabalha com fluido considerado compressível, ex., gás ou vapor d'água. Máquina Hidráulica: É a máquina que trabalha com fluido considerado incompressível dentro da faixa normal de pressão, ex., água ou óleos. Máquina Motora: 
 É assim designada a máquina que retira trabalho mecânico (torque x rotação) da energia contida no fluido. Máquina Geradora: É assim designada a máquina que fornece energia para o escoamento do fluido.
Capítulo 2 - Grandezas de funcionamento 
6.3- Introdução 
 Estas máquinas tem seu funcionamento definido através de três grandezas básicas distintas, consideradas como características fundamentais das máquinas hidráulicas: Q - Vazão - [m3 /s] representa o fluxo de material líquido ou gasoso através da máquina. H - Altura de queda (turbinas) - [mCA] H - Altura de elevação (bombas) - [mCA] ∆h - Diferença de pressão (ventiladores) - [N/m2 ] representa a variação de energia específica do fluido através da máquina. n - Rotação da máquina - [RPM] representa a característica cinemática da máquina. 
 As duas primeiras grandezas tem sua conceituação definida a partir dos princípios da mecânica dos fluidos e a última é decorrente dos princípios da física (cinemática dos corpos rígidos) aplicada a máquinas hidráulicas. 
 Além das grandezas fundamentais são importantes as grandezas derivadas, como a potência hidráulica, potência mecânica (aqui denominada potência efetiva), torque, o rendimento total e outras como veremos neste capítulo. 
 Vazão A mecânica dos fluidos define vazão como o volume de fluido que passa através de uma seção qualquer na unidade de tempo, e vazão em massa a quantidade de massa (kg) que passa na seção na unidade de tempo.
 Esta é determinada com base no princípio da conservação da massa: m Esta equação é simplificada se considerarmos uma velocidade média V uniforme e perpendicular a seção de área A, e escoamento incompressível (massa específica constante): m = ρVA A vazão em volume é a vazão em massa dividido pela massa específica. VA m Q = ρ = Esta equação é utilizada para se calcular a velocidade normal à seção de escoamento quando conhecemos a vazão (em volume) e a área, ou a vazão em função da velocidade média e da área perpendicular a esta velocidade.
 Altura de Queda (turbinas) A conceituação da altura de queda de um aproveitamento hidroelétrico (fig 2.1), composto de uma turbina de reação e demais equipamentos complementares, é feita através do balanço de energia entre as seções de entrada e saída da máquina. É importante notar que a seção de saída, ponto 1
 A altura de queda é definida como a diferença de alturas, entre as seções de entrada 2 da máquina e de saída 1, convenientemente escolhidas. Aplicando a equação de Bernoulli para ambas as seções 1 e 2, e adotando como referência para as alturas de posições o nível de jusante, então obtemse:
 Correção da leitura do manômetro, relativa a altura da referência do instrumento ao centro da seção 2. O sinal da correção depende da posição do manômetro. Z2 ,Z1 - Altura de posição das seções 2 e 1 relativasao nível de referência. A diferença H2-H1 é a altura de queda H para turbinas de reação (considerando o tubo de sucção como parte da turbina): H H H (p p ) a Z (V V )/ 2g (p Z ) 1 1 2 1 2 = 2 − 1 = 2 γ + atm γ ± 2 + 2 + 2 − − γ + Como na seção 1 a pressão absoluta atuante é a pressão atmosférica mais a coluna de água (em termos absolutos) Z1 ao desprezarmos as perdas no escoamento da seção 1 até o nível de jusante - ponto 0, podemos então escrever de acordo com as convenções adotadas: γ + = γ p1 Z1 patm (Z1 < 0)
 Rotação Para máquinas motoras (turbinas), estas são correntemente acopladas a alternadores (geradores de CA) que devem trabalhar com rotações síncronas constantes. Essa rotação síncrona depende do número de pares de pólos do gerador e da frequência da rede elétrica a qual esta ligada a máquina. p f.60 n = onde: f=frequência da rede (Brasil - 60 Hz); p=pares de pólos; n=rotação síncrona. Para pequenas máquinas motoras (turbinas instaladas em pequenas centrais hidrelétricas), trabalha-se normalmente com 1800 ou 1200 [RPM] utilizando alternadores de 2 ou 3 pares de pólos, que são mais baratos.
 Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores) a rotação é fornecida pelo motor de acionamento, o qual se for elétrico de CA, opera com rotações praticamente constantes.
 A rotação síncrona do motor dependerá do número de pares de pólos (normalmente 3600 ou 1800 [RPM]), dada pela mesma equação anterior mostrada para geradores. Com o objetivo de se ter uma rotação na máquina diferente da rotação do motor, utiliza-se transmissão por correias (comuns em ventiladores), por engrenagens ou outro tipo de redutor ou amplificador de rotação
 Potências e rendimento A potência é efetivamente a grandeza mais importante em termos de custos envolvidos em uma instalação.
 Esta grandeza define a quantidade de energia por unidade de tempo gerada por máquinas motoras (turbinas) ou consumida por máquinas geradoras (bombas e ventiladores). 2.5.1) Potência hidráulica Aplicando a lei da conservação da energia, definimos a potência hidráulica como sendo o produto do peso de fluido que passa através da máquina, por unidade de tempo, pela altura de queda ou elevação.
 Este conceito é utilizado para bombas e turbinas hidráulicas da seguinte forma: Ph = γ Q H = ρ g Q H [N.m/s] ou [W] Então, potência hidráulica é a potência (energia hidráulica por unidade de tempo) entregue a turbina, ou a energia hidráulica por unidade de tempo entregue ao fluxo pela bomba hidráulica. 
 Para ventiladores, a potência hidráulica é definida da mesma maneira, e é expressa como sendo o produto da vazão pela diferença de pressão total: Ph = Q ∆pt 2.5.2) Potência de eixo e rendimento total A potência de eixo, Pe , é definida como sendo a potência entregue pela turbina ao gerador ou a potência consumida pela bomba ou ventilador entregue pelo motor. 
 A potência de eixo relaciona-se com a potência hidráulica através do rendimento total da instalação (menor que 1).
 Exemplos de cálculos 
 Turbina de reação Exemplo 2.1 - Calcule a altura de queda sobre a turbina e a potência de eixo (potência mecânica) do aproveitamento hidrelétrico esquematizado ao lado, sendo o rendimento total igual a 90%, conhecendo-se os seguintes dados: i) Q = 0,3 [m3 /s] , ii) diâmetro na tubulação de entrada = 250 [mm] , iii) largura do tubo de sucção na saída = 650 [mm] , iv) altura do tubo de sucção na saída = 250 [mm].
 Turbina de ação
Exemplo: 1 - Determinar a potência hidráulica e a potência de eixo em [CV] de uma turbina Pelton com as seguintes características: i) vazão: 80 [l/s] ii) pressão no manômetro da entrada: 750 [m], iii) diâmetro externo do injetor na seção de medida de pressão: 15 [cm], iv) diâmetro interno do injetor na seção de medida de pressão: 8 [cm], v) correção de instalação do manômetro: 0,25 [m] e vi) rendimento total: 88%
7- Escoamento permanente de fluidos em condutos: Condutos. Raio e diâmetro hidráulico. Camada limite. Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados
7.1 Definições 
 a) Conduto: é toda estrutura sólida destinada ao transporte de um fluido, líquido ou gás. Classificam-se em: - Conduto forçado: toda a face interna do conduto está em contato com o fluido em movimento, não apresentando nenhuma superfície livre. Ex: Tubulações de sucção e recalque, oleodutos, gasodutos. - Conduto Livre: apenas parcialmente a face do conduto está em contato com o fluido em movimento. Ex: esgotos, calhas, leitos de rios.
 b) Raio e diâmetro hidráulico. Raio hidráulico é definido como: Onde: A é a área transversal do escoamento do fluido; é o perímetro molhado ou trecho do perímetro, da seção de área A, em que o fluido está em contato com a parede do conduto. A RH Diâmetro hidráulico DH Diâmetro hidráulico DH é definido por: é definido por: D 4R Para um tubo de seção circular com diâmetro D
 Classificação das perdas de carga São divididas em: Perdas de carga distribuída (hf ) – a que acontece ao longo de tubos retos, devido ao atrito das partículas de fluido entre si. Perdas de carga localizada ou singular (hs) – devido as peças que provocam perturbações bruscas no escoamento, como válvulas, curvas, cotovelos, reduções, medidores, etc.
	
8 - Perda de carga. Perda de carga distribuída. Perda de carga singular. Aplicações.
Perda de carga 
 O escoamento interno em tubulações sofre forte influência das paredes, dissipando energia devido ao atrito. 
 As partículas em contato com a parede adquirem a velocidade da parede, ou seja, velocidade nula, e passam a influir nas partículas vizinhas através da viscosidade e da turbulência, dissipando energia. 
 Essa dissipação de energia provoca um abaixamento da pressão total do fluido ao longo do escoamento que é denominada de Perda de Carga. 
 A perda de carga pode ser distribuída ou localizada, dependendo do motivo que a causa:
Perda de Carga Distribuída
 A parede dos dutos retilíneos causam a perda de pressão distribuída ao longo do comprimento do tubo, fazendo com que a pressão total vá diminuindo gradativamente ao longo do comprimento e por isso é denominada de Perda de Carga Distribuída 
Perda de e Carga Localizada	 
 Este tipo de perda de carga é causado pelos acessórios de canalização, isto é, as diversas peças necessárias para a montagem da tubulação e para o controle do fluxo do escoamento, que provocam variação brusca da velocidade, em módulo ou direção, intensificando a perda de energia nos pontos onde estão localizadas, sendo por isso conhecidas como Perdas de Carga Localizadas. O escoamento sofre perturbações bruscas em pontos da instalação tais como em válvulas, curvas, reduções, etc 
Perda de carga 
 A perda de carga distribuída ocorre ao longo dos trechos retos de tubulação devido ao atrito
 Esta perda de carga depende do diâmetro D e do comprimento L do tubo; da rugosidade ε da parede; das propriedades do fluido, da massa específica ρ e a viscosidade µ; e por fim da velocidade V do escoamento
 A rugosidade da parede depende do material de fabricação do tubo bem como do seu estado de conservação. De maneira geral, um tubo usado apresenta uma rugosidade maior que um tubo novo
 A tabela a seguir apresenta valores da rugosidade para alguns tipos de tubos mais comuns, incluindo a condição de uso para alguns tipos:
 A viscosidade é a mais importante na dissipação de energia. Além de ser proporcional à perda de carga, sua relação com as forças de inércia do escoamento fornece um número adimensional, o número de Reynolds, Re, que é o parâmetro que indica o regime do escoamento.
 Para tubulações de seção circular, o número de Reynolds é calculado conforme a equação abaixo e é admitido o valor 2300 como o limite de transição entre o escoamento laminar e o turbulento.
 A viscosidade cinemática da água varia com a temperatura, mas na prática, para água fria, é usado o valor referente à temperatura de 20 ºC, que vale: ν20 = 1,007.10^-6 m²/s.
Metodo de cálculo de perda de