[Álgebra Linear] Transformação Linear (Resumo)

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 𝑇: 𝑉 → 𝑉 é um operador linear (𝑉 = 𝑊). 
 𝑇(0⃗ ) = 0⃗ , 𝑇(0⃗ ) ≠ 0⃗ , 𝑇 não é uma 
transformação linear. 
 matriz 𝐴(𝑚×𝑛) determina 𝑇𝐴: ℝ
𝑛 → ℝ𝑚 
(o contrário também é válido). 
 
 O conjunto 𝐼𝑚(𝑇) é um 
subespaço vetorial de 𝑉. 
 𝑇 é sobrejetora ⇔ 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊, 
isto é, 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑊. 
 
↑
𝑇(𝑣1⃗⃗⃗⃗ )𝐵
↑
𝑇(𝑣2⃗⃗⃗⃗ )𝐵
 ↑
⋯ 𝑇(𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ )𝐵
 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Def.: 𝑇: 𝑉 → 𝑊; 𝑇(�⃗� + 𝑣 ) = 𝑇(�⃗� ) + 𝑇(𝑣 ) 𝑒 𝑇(𝛼�⃗� ) = 𝛼𝑇(�⃗� ) 
 
• Teoremas: 𝑇(𝑎1𝑣1⃗⃗ ⃗ + … + 𝑎𝑛𝑣𝑛⃗⃗ ⃗) = 𝑎1𝑇(𝑣1⃗⃗ ⃗) + …+ 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛⃗⃗ ⃗) 
 
 Núcleo de 𝑻: 𝑽 → 𝑾 
Def.: 𝑁(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉; 𝑇(𝑣 ) = 0⃗ }
i. 𝑁(𝑇) é um subespaço vetorial de 𝑉 ii. 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é injetiva ⇔ 𝑁(𝑇) = {0 } 
 
 Imagem de 𝑻: 𝑽 → 𝑾 
Def.: 𝐼𝑚(𝑇) = {�⃗⃗� ∈ 𝑊; 𝑇(𝑣 ) = �⃗⃗� } 
 
• Teorema da dimensão: 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑉 
i. Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊, então 𝑇 é injetiva ⇔ é sobrejetiva 
ii. Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊, e 𝑇 é injetiva, então 𝑇 transforma um base em base, isto é, transforma a base 
𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } de 𝑉 na base 𝑇(𝐵) = {𝑇(𝑣1⃗⃗ ⃗) + 𝑇(𝑣1⃗⃗ ⃗) + ⋯+ 𝑇(𝑣𝑛⃗⃗ ⃗)} de 𝑊. 
 
 Isomorfismo de 𝑻: 𝑽 → 𝑾 
Def.: Bijeção de 𝑇: 𝑉 → 𝑊, isto é, 𝑁(𝑇) = {0 } e 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑊 (𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊). 
 
 Matriz de uma transformação linear 
Dado 𝑇: 𝑉 → 𝑊, sejam 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 
𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑚, bem como, 𝐴 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ,… ,𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } e 
𝐵 = {𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑤2⃗⃗⃗⃗ ⃗,… ,𝑤𝑛⃗⃗⃗⃗ ⃗} são respectivamente as 
bases de 𝑉 e 𝑊, temos que [𝑇]𝐵
𝐴 é uma matriz 
de ordem 𝑚 × 𝑛, no qual, cada coluna é 
formada pelas componentes das imagens dos 
vetores de 𝐴 em relação à 𝐵: 
[
𝑦
1
𝑦
2
⋮
𝑦
𝑛
] = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋱ ⋮
… 𝑎𝑚𝑛 − 𝜆
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 
 
 
 
[ 𝑇(𝑣 )]𝐵 = [𝑇]𝐵
𝐴 ∙ [𝑣 ]𝐴 
 
 Operações 
ADIÇÃO: (𝑇1: 𝑉 → 𝑊 e 𝑇2: 𝑉 → 𝑊) 
(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣 ) = (𝑇1)(𝑣 ) + (𝑇2)(𝑣 ) 
Obs.: [𝑇1 + 𝑇2]𝐵
𝐴 = [𝑇1]𝐵
𝐴 + [𝑇2]𝐵
𝐴 
 
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: (𝑇: 𝑉 → 𝑊) 
(𝛼𝑇)(𝑣 ) = 𝛼𝑇(𝑣 ) 
Obs.: [𝛼𝑇]𝐵
𝐴 = 𝛼[𝑇]𝐵
𝐴 
 
 
 
COMPOSIÇÃO (função composta) 
𝑇1: 𝑉 → 𝑊 e 𝑇2: 𝑊 → 𝑈 ⇒ 𝑇2 ∘ 𝑇1: 𝑉 → 𝑈 
(𝑇2 ∘ 𝑇1)(𝑣 ) = 𝑇2((𝑇1)(𝑣 )) 
Obs.: [𝑇2 ∘ 𝑇1]𝐶
𝐴 = [𝑇2]𝐶
𝐵 ∙ [𝑇1 ∘ 𝑇2]𝐵
𝐴 
[
1 0
0 −1
] 
[
−1 0
0 1
] 
[
−1 0
0 −1
] 
[
0 1
1 0
] 
[
0 −1
−1 0
] 
[
𝛼 0
0 𝛼
] 
[
𝛼 0
0 1
] 
[
1 0
0 𝛼
] 
[
1 𝛼
0 1
] [
1 0
𝛼 1
] 
 Transformações lineares planas (𝑇:ℝ2 → ℝ2) 
REFLEXÕES 
 
i. Em torno do eixo 𝑥 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥,−𝑦) 
 
ii. Em torno do eixo 𝑦 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, 𝑦) 
 
iii. Na origem 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥,−𝑦) 
iv. Em torno da reta 𝑦 = 𝑥 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥) 
 
v. Em torno da reta 𝑦 = −𝑥 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑦,−𝑥)
DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO
i. Na direção do vetor. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼(𝑥, 𝑦), 𝛼 ∈ ℝ 
→ |𝛼| > 1, 𝑇 dilata o vetor. 
→ |𝛼| < 1, 𝑇 contrai o vetor. 
→ 𝛼 = 1 𝑇 é a identidade 𝐼. 
→ 𝛼 < 0, 𝑇 troca o sentido do vetor. 
 
ii. Na direção do eixo 𝑥. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝛼𝑥, 𝑦), 𝛼 > 0 
→ 𝛼 > 1, 𝑇 dilata o vetor. 
→ 0 < 𝛼 < 1, 𝑇 contrai o vetor. 
→ 𝛼 = 0 𝑇 é projeção sobre 𝑦. 
(𝑥, 𝑦) → (0, 𝑦) 
iii. Na direção do eixo 𝑦.
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝛼𝑦), 𝛼 > 0 Para 𝛼 = 0, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0), onde 𝑇 será a 
projeção ortogonal do plano sobre o eixo 𝑥. 
CISALAMENTO
i. Na direção do eixo 𝑥. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝛼𝑦, 𝑦), 𝛼 ∈ ℝ 
ii. Na direção do eixo 𝑦. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦 + 𝛼𝑥), 𝛼 ∈ ℝ
 
ROTAÇÃO
𝑇𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 cos𝜃 − 𝑦 sen𝜃 , 𝑥 sen𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) [𝑇𝜃] = [
cos 𝜃 −sen𝜃
sen𝜃 cos𝜃
] 
 Transformações lineares no espaço (𝑇:ℝ3 → ℝ3) 
REFLEXÕES 
i. Em relação aos planos
𝑥𝑂𝑦 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, −𝑧) 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
] 
𝑥𝑂𝑧 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥,−𝑦, 𝑧) 
[
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] 
𝑦𝑂𝑧 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑥, 𝑦, −𝑧) 
[
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
ii. Em relação aos eixos
𝑥 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥,−𝑦,−𝑧) 
𝑦 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑥, 𝑦, −𝑧) 
𝑧 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑥,−𝑦, 𝑧) 
 
iii. Na origem:𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥,−𝑦,−𝑧) 
ROTAÇÃO
𝑇𝜃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sen 𝜃 , 𝑥 sen 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃 , 𝑧) 
Em torno do eixo 𝑧 
 
(
cos 𝜃 − sen 𝜃 0
sen 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
)