02 - Teoria de probabilidades

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PROF. GIOVANNI PELLIZZER
CAMPO GRANDE, 2020
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo e Geografia
DISCIPLINA: ELEMENTOS FINITOS (TÓPICOS DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL)
ENGENHARIA CIVIL
Axiomas da teoria de 
probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Definições de probabilidades
Existem diversas formas de definir a probabilidade de ocorrência de um
evento �, denotada como �[�]:
• Definição frequentista;
• Definição clássica;
• Probabilidade como grau de confiança;
• Definição axiomática.
Axiomas da teoria de probabilidades
Definições de probabilidades: Definição frequentista
Se o evento � é observado �� vezes em � realizações do experimento,
a definição frequentista de probabilidades é dada por:
� � = lim
�→
��
�
Nesta definição, a probabilidade é calculada à posteriori, baseada em
um grande número de observações do experimento. Esta definição é
importante pra associar probabilidades com o mundo observável, e
será utilizada frequentemente para interpretar probabilidades. No
entanto, está definição é limitada porque, na prática, o número de
observações nunca chegará a infinito.
Axiomas da teoria de probabilidades
Definições de probabilidades: Definição clássica (antes do evento
ocorrer)
Sendo �� o número de possíveis resultados favoráveis ao evento � e � o número total
de resultados possíveis, a definição clássica de probabilidades é dada por:
� � =
��
�
Nesta definição, a probabilidade � � é encontrada à priori, antes da primeira
realização do experimento. Para evitar ambiguidade na contagem de �� e �, é
necessário que os � eventos sejam equi-prováveis. Em palavras, a definição é dada
por: ”A probabilidade de um evento � é igual a razão entre o número de resultados
favoráveis a � e o número total de resultados possíveis, desde que estes sejam equi-
prováveis!” Na definição acima, ”equi-prováveis” significa ”com a mesma
probabilidade”, o que significa que o objeto a ser definido passa a fazer parte da
definição! Sendo assim, a definição clássica também não serve como definição, mas
ainda assim pode ser entendida como uma interpretação de probabilidades. Esta
interpretação é utilizada frequentemente. Muitas vezes, a definição frequentista é
utilizada para definir os eventos equi-prováveis.
Axiomas da teoria de probabilidades
Definições de probabilidades: Probabilidade como grau de confiança
Nesta definição subjetiva, também conhecida como ”definição
Bayesiana”, a probabilidade � � está associada ao grau de confiança
do sujeito em relação a ocorrência do evento �. Enquanto a definição
frequentista está associada à média de fenômenos repetitivos, ou à
múltiplas observações de um evento, a definição subjetiva refere-se a
uma única ocorrência do evento. Exemplos:
”Acho que vai chover amanhã!”
”Vou lançar uma moeda. Tenho 50% de certeza de que vai dar cara!”
”O Vasco tem 90% de chance de ganhar o campeonato estadual!”
Axiomas da teoria de probabilidades
Definições de probabilidades: Definição axiomática (definição
matemática/formal)
Cada uma das definições anteriores tem a sua utilidade na solução de
problemas práticos. No entanto, nenhuma delas se presta para a
formulação de uma teoria de probabilidades. A Teoria Matemática de
Probabilidades é baseada na seguinte definição de probabilidades:
A probabilidade associada a um evento � é um número associado a
este evento, que obedece aos três seguintes postulados:
1.� � ≥ 0; i.e., a probabilidade é um número maior ou igual a zero;
2. � Ω = 1; i.e., a probabilidade um evento certo é igual a um;
3. � � + � = � � + �[�] se � e � forem eventos mutuamente
exclusivos.
Axiomas da teoria de probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Definições:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Definições:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Teoria de conjuntos
Operações:
Axiomas da teoria de probabilidades
Espaço de probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Espaço de probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Espaço de probabilidades
Regra de adição 
de 
probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Espaço de probabilidades
Axiomas da teoria de probabilidades
Probabilidades condicionais
� � ∩ � = � � � ∙ �[�]
OU
Regra do produto
Axiomas da teoria de probabilidades
Probabilidades condicionais
Axiomas da teoria de probabilidades
Probabilidades condicionais
Axiomas da teoria de probabilidades
Probabilidades condicionais
Axiomas da teoria de probabilidades
Teorema da probabilidade total
Ou seja, cada evento ��
é independente
Axiomas da teoria de probabilidades
Teorema da probabilidade total
Axiomas da teoria de probabilidades
Teorema da probabilidade total
Axiomas da teoria de probabilidades
Teorema de Bayes
Expressão que 
inverte a condição de 
condicionamento
Teorema de Bayes
Axiomas da teoria de probabilidades
Teorema de Bayes
Axiomas da teoria de probabilidades
Independência de eventos
Axiomas da teoria de probabilidades
Independência de eventos
Axiomas da teoria de probabilidades
Independência de eventos
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias
Definição de variável aleatória
Variáveis aleatórias
Definição de variável aleatória
Variáveis aleatórias
Função de distribuição acumulada de probabilidades
Variáveis aleatórias
Função de distribuição acumulada de probabilidades
��(�): Função de distribuição acumulada de probabilidades
(em inglês “cumulative distribution function”, CDF)
��(�): Função de densidade de probabilidades (para v.a.s contínuas) ou função de massa de probabilidade 
(para v.a.s discretas)
(em inglês “probability density function”, PDF e “probability mass function”, PMF)
Variáveis aleatórias
Função de densidade de probabilidades
Variáveis aleatórias...
• Contínuas: o domínio é formado por um número infinito de pontos incontáveis
• Discretas: o domínio é formado por um número finito ou infinito contável de pontos
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias contínuas
Análogo a 
definição 
clássica de 
derivada
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias contínuas
Exemplos:
• Temperatura do ambiente
• Distância percorrida por um veículo
• Altura das pessoas
• Retorno financeiro de um investimento
• Salinidade da água do mar
• Dimensões de uma viga
• Resistência de um material
• Velocidade do vento (e outras cargas atuantes em estruturas)
• Altura da maré
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias discretas
�: função delta de Dirac
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias discretas
Exemplos:
• n° de chamadas na central do corpo de bombeiros no período da manhã
• n° de alunos aprovados numa disciplina com 80 alunos matriculados
• n° de acessos a um determinado site, das 0h as 6h
• n° de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num
banco no último ano
• n° de consultas ao médico num determinado ano
• n° de domicílios com crianças menores de 6 anos
• n° de clientes que visitaram uma loja num determinado período
• Terremoto de uma dada intensidade
• Ultrapassagem do nível d’água de uma barragem
• Presença ou não de defeito num dado elemento estrutural
• Resposta certa ou errada a um teste
Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias
Valor esperado e momentos de uma variável aleatória
Variáveis aleatórias
Valor esperado e momentos de uma variável aleatória
Variáveis aleatórias
Variância
Variáveis aleatórias
Momentos de ordem de uma variável aleatória
Variáveis aleatórias
Coeficientes adimensionais
Modelos analíticos de 
fenômenos aleatórios
Modelos analíticosde fenômenos aleatórios
Tais modelos são uma forma de descrever matematicamente os fenômenos
aleatórios (ou variáveis aleatórias) observados no mundo real. Diz-se que um
determinado fenômeno aleatório (ou variável aleatória) segue uma dada
“distribuição de probabilidades” que auxilia a descrever o seu comportamento
em termos probabilísticos.
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Tipos de distribuição de probabilidades para v.a.s discretas:
• Distribuição uniforme discreta
• Distribuição binomial (ou distribuição de Bernoulli)
• Distribuição geométrica
• Distribuição de Poisson
• Distribuição hipergeométrica
• Outras
Tipos de distribuição de probabilidades para v.a.s contínuas:
• Distribuição uniforme
• Distribuição normal (ou Gaussiana)
• Distribuição lognormal
• Distribuição exponencial
• Distribuição exponencial deslocada
• Distribuição de Rayleigh
• Distribuição logística
• Distribuição de Gumbel (para máximos e mínimos)
• Distribuição de Frechet (para máximos e mínimos)
• Distribuição de Weibull (para máximos e mínimos)
• Outras
Usadas na teoria de 
valores extremos
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição uniforme discreta
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Experimento de Bernoulli
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição binomial (ou distribuição de Bernoulli)
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição binomial (ou distribuição de Bernoulli)
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição binomial (ou distribuição de Bernoulli)
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição de Poisson
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição de Poisson
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição de Poisson
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição de Poisson
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias contínuas
Generalidades
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias contínuas
Distribuição uniforme
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias contínuas
Distribuição normal (ou Gaussiana)
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias contínuas
Distribuição normal (ou Gaussiana)
Modelos analíticos de fenômenos aleatórios
Variáveis aleatórias contínuas
Distribuição normal (ou Gaussiana)
Teorema do limite central
Teorema do limite central
Teorema do limite central
Teorema do limite central
Ajuste de distribuições 
estatísticas + testes de aderência