Vamos recordar a relação de De Broglie que é uma expressão que resume bem o princípio da dualidade onda e partícula

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Vamos recordar a relação de De Broglie que é uma expressão que resume bem o princípio da dualidade onda e partícula. Esta relação nos diz que a toda partícula que se move com um momento linear específico, está associada uma onda de comprimento λ.
Onde p é o momento linear dado pelo produto da massa pela velocidade. 
H é a constante de Planck dada por: 6,62607004 × 10-34 m2 kg / s 
λ é comprimento de onda associado.
Verifique: Uma bolinha de beisebol de massa de 0,5Kg se desloca com velocidade de 40m/s, ache o comprimento de onda associado a esta bolinha. 
Um elétron de massa aproximada de 9,11 × 10-31kg se move com a mesma velocidade da bolinha de beisebol de 40m/s, qual o comprimento de onda associado a este elétron? 
Em qual situação, o comportamento ondulatório é mais evidenciado? Em corpo macroscópico tal como uma bolinha ou em uma partícula quântica tal como um elétron? Por quê?
Já que estamos falando de ondas, nada mais justo que relembrarmos a equação que descreve o comportamento geral de uma onda CLÁSSICA que se propaga em uma dimensão não é mesmo? 
Onde v é a velocidade de propagação da onda. 
E se a onda se propaga em 3 dimensões no espaço? Como fica a sua equação? Assume a seguinte forma:
O lado esquerdo desta equação podemos escrever resumidamente do seguinte modo:
Onde 
Ótimo! Até então vimos a equação geral que descreve o comportamento clássico de uma onda que se propaga em um meio. Mas e no caso de partículas como um elétron, que equação de onda nós adotaremos? R: A Equação de Schoroedinger!
Vamos escrever a ES? Aí segue:
HΨ = EΨ.
Só isto! Onde H é um operador chamado de operador hamiltoniano 
Ψ é a nossa autofunção de onda 
 E é o nosso autovalor de Energia. 
Pergunta: O que seria esse operador hamiltoniano? Bom, a grosso modo ele descreve uma soma de energia cinética e potencial de um sistema.
Em termos clássicos, ele poderia ser escrito do seguinte modo:
Onde o primeiro termo seria a energia cinética e V(x) seria a energia potencial do sistema. 
Exemplo: Tente encontrar o hamiltoniano de um sistema massa-mola formado por uma bolinha de massa 3kg que oscila com velocidade de 2m/s em uma mola cuja constante elástica é de 2N/Kg e cuja deformação máxima é de 2cm. 
Bom, para o caso em que estamos interessados da ES, os operadores momento linear e energia são definidos como sendo:
E = 
Portanto, o hamiltoniano do sistema pode ser escrito como sendo:
Portanto, podemos escrever HΨ = EΨ como sendo:
Pronto, chegamos à famosa equação de Schroedinger. Esta equação depende do tempo? Sim, é uma equação temporal. Depende de quantas coordenadas espaciais? Apenas uma única coordenada, a coordenada x. Portanto, dizemos que ela é a equação do schoroedinger dependente do tempo e unidimensional. (ESDT-1)
E como seria ela escrita nas três dimensões espaciais x, y e z?
Segue abaixo a ESDT -3
Pouquinho grande né? Mas vamos escrever a soma daquelas três derivadas parciais em termos do operador laplaciano, ficando assim:
Na Física Clássica, qual é a equação fundamental que descreve o movimento de qualquer corpo? A segunda lei de Newton, não é mesmo? F = ma. Também chamada de princípio fundamental da dinâmica. E no mundo quântico? Qual equação irá descrever o movimento de uma partícula quântica? A Equação de Schroedinger! Aqui não vale mais a aplicação da segunda lei de Newton 
Tá, mas e daí???
Eu sei agora o significado da ES, mas em termos físicos e práticos, como eu posso interpretá-la? Bom, ela sozinha não faz lá muito sentido não, mas podemos interpretá-la em termos de probabilidades de nós encontrarmos uma determinada partícula quântica numa região do espaço!
Sendo assim, podemos definir a densidade de probabilidade de encontrarmos uma partícula quântica em uma região do espaço x compreendida entre dois pontos a e b como sendo: 
P[a;b] = 
Opa, apareceu um asterisco indicando o conjugado da autofunção Ψ que pode ser uma função complexa. 
Mas e se Ψ não for uma função complexa, mas sim real? Aí nós teremos:
P[a;b] = 
Já que estamos falando de probabilidades, qual a probabilidade máxima de um determinado evento do universo ocorrer? 100% ou 1 inteiro não é mesmo? Ótimo! Isto faz parte da imposição de uma condição, que chamamos de condição de normalização pela qual diz que a soma de todas as probabilidades de ocorrência de um evento só pode ser igual a um inteiro, ou seja:
Mas e se esta integral resultar em um valor diferente de 1? Significa que a função Ψ não está normalizada! E faremos o quê então para poder normalizar Ψ? Deveremos então encontrar uma constante de normalização N de tal forma que:
 Exemplo: Poço ou caixa de potencial infinito.
Seja a função de onda abaixo que descreve o comportamento de uma dada partícula em uma região do espaço x compreendida entre dois pontos 0 e l.
, n = 1, 3, 5,...
1) Por que neste caso n está assumindo apenas valores ímpares?
2) Quais os valores de Ψ nas regiões I e III e qual a probabilidade de encontrar a partícula nestas regiões?
3) Qual a probabilidade de encontrar a partícula na região que vai de 0 a l/2? (Até metade do poço)
4) Esta função de onda está normalizada? Caso não esteja, ache a sua constante de normalização N e escreva a nova função de onda com a constante de normalização encontrada. 
(Dica: 
5) Qual é a função de onda para o estado fundamental desta partícula? (n=1)
6) Considerando que na região onde a partícula se encontra, a energia potencial do sistema é nula, ache a expressão para o autovalor de energia E do sistema. 
(Dica: Substitua a expressão de Ψ encontrada na ES:
7) Encontre o valor de energia mínima do sistema, ou seja, o valor de energia no estado fundamental n = 1.
8) A energia encontrada no item anterior foi igual ou diferente de zero? O que isto significa fisicamente em comparação com o caso clássico? Uma partícula quântica poderá está em repouso em algum momento dentro desta caixa?
9) Em três dimensões, como ficariam as expressões para função de onda e energia da partícula no caso geral? E no caso fundamental para n=1?
Exemplo
Verifique se a função bidimensional abaixo está normalizada e caso não esteja, encontre uma constante de normalização:
F(x,y) = 
Podemos escrever esta função como sendo:
F(x,y) = 
Vamos aplicar agora a integral de normalização à função e verificar se o resultado desta integral será igual a 1. 
Dica: Utilize a seguinte expressão para te auxiliar:
Exemplo:
Verifique se a função abaixo está normalizada, caso não esteja, ache sua constante de normalização:
F(x,y) = 
Perceba que você pode escrever f(x,y) como sendo:
F(x,y) = 
E daí usar a integral: 
Funções ortogonais ou ortonormais:
Dadas duas funções f e g, dizemos que elas são ortonormais ou ortogonais se o produto interno entre elas for dado por:
<f.g> = 
Onde: 
Exercício:
Mostre que = 
Dado um operador quântico qualquer, podemos encontrar o valor esperado ou valor médio deste operador por meio da seguinte definição:
<O> = 
ou 
<O> = Para o caso de Ψ(x) real. 
E a medida de incerteza deste operador ou desvio padrão deste operador fica definido como sendo:
ΔO = 
Deste modo, temos o princípio da incerteza de Heisenberg que nos diz que: É impossível se conhecer simultaneamente o momento e a posição dede uma dada medida quântica, expresso pela relação:
ΔxΔp = 
Dito de outro modo, os operadores posição e momento linear não comutam entre si! Se você consegue determinar com precisão a posição ocupada pela partícula, o seu momento será desconhecido. Assim como, se você consegue determinar com precisão o seu momento, a sua posição será desconhecida!
Exercício
Sabendo-se disso, mostre que a função de onda encontrada para o caso do poço de potencial infinito satisfaz o princípio da incerteza. 
O operador momento angular: