matematica financeira parte 9

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Descontos 
 
 
Desconto é um abatimento no valor total de uma dívida ou de um pagamento de títulos, quando efetuamos este pagamento antes da data estipulada. 
 
Alguns conceitos são utilizados no cálculo de descontos: 
 
· Valor nominal. É o valor indicado no título, na data de seu vencimento. 
· Valor atual. É o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento. 
 
Assim, temos que: 
 
𝐷 = 𝑉𝑁 − 𝑉𝐴 
 
Onde, 
D = desconto; 
VN = valor nominal; VA = valor atual. 
 
Temos dois tipos de descontos: o simples e o composto. 
 
➢ Descontos Simples 
 
Existem duas convenções para o desconto simples, o desconto racional e o desconto comercial. 
 
❖ Desconto Racional 
 
O desconto simples racional, também conhecido como desconto verdadeiro ou desconto “por dentro”, é calculado com base no valor atual do documento descontado. 
 
 
É calculado através da seguinte expressão: 
 
𝐷 = 𝑉𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
Onde, 
D = desconto racional; VA = valor atual; i = taxa de desconto; n = período de antecipação. 
 
Observe que o desconto racional equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. 
 
Temos também a seguinte relação, que relaciona o valor atual com o valor nominal: 
 
𝑉𝑁
𝑉𝐴 
 
Exemplo 1: Considere um título com valor nominal de R$ 1,000, com prazo de vencimento para daqui a 6 meses. Supondo uma taxa de desconto de 5% a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do desconto respectivo? 
 
Solução: 
VN = R$1000,00 n = 6 meses i = 5% ao mês = 0,05 VA = ? 
D = ? 
 
Observe que primeiro devemos encontrar o valor atual, para depois calcularmos o valor do desconto. Então o exercício é composto por duas etapas. Na primeira etapa utilizaremos a fórmula do VA: 
 
 
𝑉𝑁
𝑉𝐴 
 
𝑉𝐴 
 
𝑉𝐴 = 
 
𝑉𝐴 = 
 
𝑉𝐴 = 769,23 
 
Assim, temos que o valor atual é de R$769,23. Agora podemos encontrar o valor do desconto. Para isso utilizaremos a forma generalizada de desconto: 
 
𝐷 = 1000 − 769,23 
 
𝐷 = 230,77 
 
Assim, o desconto racional simples foi de R$230,77. Observe que se você quisesse calcular utilizando a fórmula do desconto racional também obteria o mesmo resultado: 
 
𝐷 = 𝑉𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷 = 769,23 ∙ 0,05 ∙ 6 
 
𝐷 = 230,77 
 
❖ Desconto Comercial 
 
O desconto simples comercial, também conhecido como desconto bancário ou desconto “por fora”, é calculado com base no valor nominal do documento descontado. 
 
É calculado através da seguinte expressão: 
 
𝐷 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
Onde, 
D = desconto comercial; VN= valor nominal; i = taxa de desconto; n = período de antecipação. 
 
Observe que o desconto comercial equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. 
Temos também a seguinte relação, que relaciona o valor nominal com o valor atual: 
 
𝑉𝐴
𝑉𝑁 
 
Exemplo 2: Um título no valor de R$ 4800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4476,00 e a taxa de desconto comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate, em meses. 
 
VN = 4800 VA = 4476 i = 32,4% a.a. = 0,324 a.a. n = ? 
 
Observe que a taxa está anual e o tempo foi pedido em meses, então teremos que passar a taxa de anual para mensal: 0,324/12 = 0,027. Agora podemos resolver o exercício. Observe que há duas formas de resolução, utilizando-se a equação de VN, ou calculando-se o desconto e utilizando-se a fórmula do desconto comercial. Iremos utilizar aqui a segunda opção: 
 
𝐷 = 𝑉𝑁 − 𝑉𝐴 
 
𝐷 = 4800 − 4476 = 324,00 
 
Assim, 
𝐷 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
324 = 4800 ∙ 0,027 ∙ 𝑛 
 
324 = 129,6 ∙ 𝑛 
 
𝑛 = = 2,5 
 
Ou seja, o resgate aconteceu com 2 meses e meio de antecedência. 
 
Observação: Conforme vimos, o desconto comercial é igual aos juros produzidos pelo valor nominal. Já o desconto racional é igual aos juros produzidos pelo valor atual. Decorre que para uma mesma taxa de desconto e mesmo prazo de antecipação o desconto comercial é maior que o desconto racional, pois a base de cálculo do primeiro (valor nominal) é maior que a base de cálculo do segundo (valor atual).