matematica financeira parte 10

Prévia do material em texto

Descontos 
 
 
Como vimos na semana passada, temos que desconto é um abatimento no valor total de uma dívida ou de um pagamento de títulos, quando efetuamos este pagamento antes da data estipulada. De modo que: 
 
𝐷 = 𝑉𝑁 − 𝑉𝐴 
 
Onde, 
D = desconto; 
VN = valor nominal (valor indicado no título, na data de 
seu vencimento); 
VA = valor atual (valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento). 
 
Vimos também que existem dois tipos de descontos: o simples e o composto. Assim, seguiremos com o desconto composto. 
 
➢ Descontos Composto 
 
O desconto composto em geral não é utilizado na prática e seu estudo somente possui serventia teórica. Assim como o desconto simples, pode ser Racional ou Comercial. 
 
❖ Desconto Comercial Composto 
 
O desconto comercial composto, também chamado de desconto por fora ou desconto bancário, é, na verdade, a fórmula do valor atual (que faz o papel do montante, ao compararmos a equação com a equação do montante composto) em que a taxa incide sobre a quantia do valor nominal (que faz o papel de capital). 
 
A fórmula do desconto comercial composto é: 
 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 (1 − 𝑖)𝑛 
 
Exemplo 1: Calcule o valor a ser pago ao se antecipar um cheque de R$1200,00, 3 meses antes do prazo, com taxa de desconto a 2% a.m., utilizando-se a modalidade de desconto comercial composto. 
 
Solução: 
VA = ? VN = 1200,00 n = 3 
i = 2% a.m. = 0,02 
 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 (1 − 𝑖)𝑛 
 
𝑉𝐴 = 1200 (1 − 0,02)3 
 
𝑉𝐴 = 1200 (0,98)3 
 
𝑉𝐴 = 1200 ∙ 0,941192 
 
𝑉𝐴 = 1129,43 
 
Assim, o valor a ser pago será de R$1129,43. 
 
❖ Desconto Racional Composto 
 
No desconto racional composto, também conhecido como desconto verdadeiro ou desconto por dentro, a base de cálculo é o valor atual, que é menor do que o valor nominal. Portanto, a diferença entre desconto composto comercial e racional é a base de cálculo, enquanto que um é o valor nominal, o outro é o valor atual. 
 
No desconto composto racional, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal (considerando-se a equação de juros compostos). 
A fórmula do desconto racional composto é: 
 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 (1 + 𝑖)𝑛 
 
Vamos resolver o mesmo exercício do exemplo 1, porém agora na modalidade de desconto racional, para que possamos comparar a diferença entre os valores. 
 
Exemplo 2: Calcule o valor a ser pago ao se antecipar um cheque de R$1200,00, 3 meses antes do prazo, com taxa de desconto a 2% a.m., utilizando-se a modalidade de desconto racional composto. 
 
Solução: 
VA = ? VN = 1200,00 n = 3 
i = 2% a.m. = 0,02 
 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 (1 + 𝑖)𝑛 
 
1200 = 𝑉𝐴 (1 + 0,02)3 
 
1200 = 𝑉𝐴 (1,02)3 
 
1200 = 𝑉𝐴 ∙ 1,061208 
 
𝑉𝐴 = 
 
𝑉𝐴 = 1.130,79 
 
Assim, o valor a ser pago será de R$1130,79. 
 
Observe que o desconto comercial é maior que o desconto racional, assim como acontece no desconto simples. Vamos ver mais exemplos: 
 
Exemplo 3: Uma duplicata tem valor nominal de R$4.000,00 e vencerá daqui a dois meses. Se ela for descontada hoje pelas regras do desconto comercial composto, à taxa de desconto de 10% ao mês, o valor descontado será: 
 
a) 760,00 
b) 800,00 
c) 2400,00 
d) 3200,00 
e) 3240,00 
 
Solução: 
VN = R$4000,00 n = 2 meses 
i = 10% ao mês = 0,1 VA = ? 
 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 (1 − 𝑖)𝑛 
 
𝑉𝐴 = 4000 (1 − 0,1)2 
 
𝑉𝐴 = 4000 (0,9)2 
 
𝑉𝐴 = 4000 ∙ 0,81 = 3.240,00 
 
Logo, gabarito letra E. 
 
Exemplo 4: Determine o desconto racional composto de um valor nominal de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. 
 
Solução: 
D = ? 
VN = R$1250,52 i = 1,7% ao mês = 0,017 
n = 2 meses 
 
Observe que aqui o que foi pedido é o valor do desconto, mas para calcularmos o desconto é necessário que saibamos o valor atual. Então o primeiro passo é calcular VA. 
 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 (1 + 𝑖)𝑛 
 
1250,52 = 𝑉𝐴 (1 + 0,017)2 
 
1250,52 = 𝑉𝐴 (1,017)3 
 
1250,52 = 𝑉𝐴 ∙ 1,034289 
 
𝑉𝐴 = 
 
𝑉𝐴 = 1.209,06 
 
Agora, para encontrarmos o valor do desconto, basta utilizar definição geral: 
 
𝐷 = 𝑉𝑁 − 𝑉𝐴 
 
𝐷 = 1250,52 − 1209,06 = 41,46 
 
Portanto o desconto será de R$41,46.