Unidade 3 Descontos Simples

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Aula 10-13
DESCONTOS SIMPLES 
Prof. Josester Teixeira 
Conceito 
O desconto é a diferença entre o valor futuro de um título (duplicata, nota promissória, letra de cambio, cheque pré-datado etc.) e seu respectivo valor atual. O valor do desconto será obtido pela aplicação de uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título (valor no dia de seu vencimento).
Conceito
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.
Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto
Desconto Simples 
	As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.
	Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: (a) desconto “por dentro” (ou racional); e (b) desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).
	Conforme foi salientado, são identificados dois tipos de desconto simples: o desconto “por dentro” (ou racional) e o desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).
Desconto racional (ou “por dentro”)
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples, conforme desenvolvidos no primeiro capítulo.
Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples:
Dr = C × i × n
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:
Dr = N – Vr
sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e Vr o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação.
Como:
Tem-se: 
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n).
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo:
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas no capítulo inicial. É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto.
Exemplo 1
	Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Solução:
Graficamente
Desconto ou valor do desconto
Valor Descontado
Vr = N – Dr
Vr = 4.000,00 – 380,10 = $ 3.619,90
ou
	Do ponto de vista do devedor, $ 380,10 representam o valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente (3 meses antes de seu vencimento). O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de $ 3.619,90.
Exemplo 2
Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10.
Solução:
n = 2 meses (60 dias)
N = $ 26.000,00
Vr = $ 24.436,10
Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o capital liberado. Logo:
Dr = Vr × i × n
Desconto bancário (ou comercial, ou “por fora”)
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. 
Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos.
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.
O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” (DF), no regime de juros simples, é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é:
 
 
DF = N × d × n
O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido:
VF = N – DF’
VF = N – N × d × n
VF = N (1 – d × n)
Exemplo 1
 
Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Solução:
Graficamente
Desconto
DF = N × d × n
DF = 4.000,00 × 0,035 × 3
DF = 420,00
	Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato, conforme ressaltado anteriormente, de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual, como é característico das operações de desconto racional.
Em verdade, o valor do desconto “por fora” equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é:
Dr = $ 380,10
DF = $ 420,00
Para uma taxa de 3,5% a.m. e um período de desconto de 3 meses, conforme estabelecido na ilustração, tem-se:
DF = Dr (1 + i × n)
DF = 380,10 × (1 + 0,035 × 3)
DF = 380,10 × (1,105)
DF = $ 420,00
O cálculo do valor descontado (VF) é desenvolvido:
VF = N (1 – d × n)
VF = 4.000,00 × (1 – 0,035 × 3)
VF = 4.000,00 × (0,895)
VF = $ 3.580,00
	Torna-se evidente que o devedor desse título, descontado pelo desconto bancário (ou comercial, ou “por fora”), assume encargos maiores que aqueles declarados para a operação.
	A taxa de juros efetiva desta operação não equivale à taxa de desconto utilizada. Note que, se são pagos $ 420,00 de juros sobre um valor atual de $ 3.580,00, a taxa de juros assume o seguinte percentual efetivo:
(ou: 3,77% a.m. pela equivalente composta).
Logo, no desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de desconto (d) e a taxa efetiva de juros (i) da operação. Em toda operação de desconto “por fora” há uma taxa implícita (efetiva) de juro superior à taxa declarada. O item seguinte dispensa um tratamento mais detalhado para este assunto.
	Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10.
	Solução:
Exemplo 2 
DF = N × d × n
DF = 26.000,00 – 24,436,10 = $ 1.563,90
n = 2 meses (60 dias)
N = $ 26.000,00
d = ?
DF = N × d × n
1.563,90 = 26.000,00 × d × 2
1.563,90 = 52.000,00 × d
Atividade de fixação