Método de Eliminação de Gauss e Gauss-Seidel

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Cálculo Numérico
Lista 3
Método de Eliminação de Gauss, Pivotamento e Refinamento
1. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Eliminação
de Gauss.
(a)
2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6.9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6.9
x1 + x2 + x3 + x4 = 10.2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12.3
(b)
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 − x2 − x3 − x4 = −1
x1 + x2 + x3 −+ x4 = 3
2. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Eliminação
de Gauss, em um sistema de ponto flutuante de 3 algarismos e arredondamento.
(a)
1.19x1 + 2.11x2 − 100x3 + x4 = 1.12
14.2x1 − 0.122x2 + 12.2x3 − x4 = 3.44
+ 100x2 − 99.9x3 + x4 = 2.15
15.3x1 + 0.110x2 − 13.1x3 − x4 = 4.16
Solução real [0.176, 0.00126,−0.00206,−1.18]
(b)
3.03x1 − 12.1x2 + 14x3 = −119
−3.03x1 + 12.1x2 − 7x3 = 120
6.11x1 + 14.2x2 + 21x3 = −139
Solução real [0, 10, 1/7]
3. Repita o exerćıcio anterior utilizando a estratégia de pivotamento. Compare os resultados.
4. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Eliminação
de Gauss, em um sistema de ponto flutuante de 3 algarismos e arredondamento. Depois,
aplicar o método de refinamento de soluções (realizar duas iterações):
1
(a)
0.03x1 + 58.9x2 = 59.2
5.31x1 − 6.1x2 = 47
(b)
x1 + 4x2 + 52x3 = 57
27x1 + 110x2 − 3x3 = 134
22x1 + 2x2 + 14x3 = 38
Método de Jacobi
5. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi,
com no máximo 10 iterações:
(a) x(0) = (0, 0, 0, 0), ε < 10−2
x1 − 0.25x2 − 0.25x3 = 0
−0.25x1 + x2 − 0.25x4 = 0
−0.25x1 + x3 − 0.25x4 = 0.25
− 0.25x2 + x4 = 0.25
(b) x(0) = (0, 0, 0, 0), ε < 10−2
4x1 + x2 + x3 + x4 = 7
2x1 − 8x2 + x3 − x4 = −6
x1 + 2x2 − 5x3 + x4 = −1
x1 + x2 + x3 − 4x4 = −1
6. Verifique se os sistemas do exerćıcio acima satisfazem as condições de convergência vistos
em aula.
Método de Gauss-Seidel
7. Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-
Seidel, com no máximo 10 iterações:
(a) x(0) = (1, 3, 1, 3), ε < 10−2
5x1 − x2 + 2x3 − x4 = 5
x1 + 9x2 − 3x3 + 4x4 = 26
3x2 − 7x3 + 2x4 = −7
−2x1 + 2x2 − 3x3 + 10x4 = 33
(b) x(0) = (0, 0, 0, 0, 0), ε < 10−2
10x1 + 4x2 − x3 + 3x4 = 2
− 8x2 − 2x3 + x4 − 3x5 = 5
2x1 − 4x2 + 7x3 = 13
−x1 + 2x2 − 3x3 − 10x4 + 2x5 = 4
2x1 − x2 − x3 + x4 − 7x5 = 7
8. Verifique se os sistemas do exerćıcio acima satisfazem as condições de convergência vistos
em aula.
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