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Corpos Rígidos e Mobilidade Vamos conceituar mecanismo, no âmbito <ie projeto de máqui- nas, relacionando-o ao estudo dos diversos componentes mecânicos tais como sistemas articulados, cantes e excêntricos, catracas e siste- mas intermitentes, trens rotativos envolvendo engrenagens, polias, cor- rentes e correias, etc. Neste contexto, busca-se enfatizar, como ponto fundamental, a cinemática do movimento, contrastando com o projeto dinâmico-estrutural que tem como base a obtenção de esforços internos e externos a paitir da análise do mecanismo. Desta forma a ciência dos mecanismos pode ser estudada de duas maneiras distintas, seja com base na obtenção das equações cinemáticas para um mecanismo já exis- tente e de geometria definida ou com base na determinação ou criação de mn novo mecanismo que irá resolver um dado problema cinemático. O primeiro caso leva o nome específico de análise ao passo que no se- gundo caso teríamos a síntese do mecanismo. Embora a sua aplicação possa abranger todo o campo da mecâ- nica técnica, o estudo dos mecanismos teve seu grande avanço a paitir do surgimento da mecânica fina, particularmente no desenvolvimento de instrumentos de precisão, instrumentação e dos computadores aualó- 1 Mecanismos Articulados gicos. Atualmente, seu desenvolvimento tem se acelerado bastante para suprir a demanda de aplicações voltadas à robótica. Saiba mais O termo 1cinemáticoa envolve os conceitos de deslocamentosf velocidades e acelerações. 1.1.Corpo Rígido Apesar de não existir no mundo real, podemos imaginar que um determinado corpo físico, espacial, não se deforme, linear ou augu- larmente, em nenhuma direção quando submetido a um sistema de for- ças, externas e/ou internas de qualquer natureza ou intensidade. A este coipo daremos o nome de corpo rígido, enfatizando aqui que apesar de se tratar de uma idealização podemos utilizar este conceito na prática da engenharia para vários tipos de materiais desde que os campos de for- ças envolvidos sejam tais que os deslocamentos se tornem desprezíveis em relação às geometrias envolvidas. Mesmo entendendo, nestes casos, que os coipos são elásticos e não rígidos, vamos considerá-los com cor- pos rígidos para efeito de análise cinemática de mecanismos. 1.2.Movimentos Planos Um corpo rigido qualquer pode se deslocar no espaço de tal modo que ao tomarmos três pontos distintos deste, estes pontos estejam sempre sobre um plano imaginário para qualquer posição do corpo. Se este plano imaginário permanecer sempre paralelo a um outro plano de referência fixo e a mna distância invariável deste plano de referência, nós dizemos que este corpo tem movimento plano. Caso os movimen- tos de um corpo rígido não se enquadrem nesta situação, este será dito espacial. Em função disto, algumas classificações de movimento ineren- tes aos coipos rígidos podem ser definidas. 1.2.1.Translação Verifica-se quando um corpo rígido movimenta-se de tal for- ma que tomados três pontos distintos sobre este. os mesmos manterão 2 Capítulo 1 - Corpos Rígidos e Mobilidade sempre uma distância lixa de um determinado plano de referência, nas diversas posições ocupadas. Ksta definição para a translação permite duas formas de movi- mentos distintos chamados de “translação retil ínea” e “translação cur- vilínea” como explicado a seguir: • Translação retilínea - As trajetórias de dois pontos quaisquer do corpo são retas paralelas ou coincidentes. Quando o corpo se movimenta ora para a frente, ora para trás, têm-se um mo- vimento alternativo, como é o caso do cursor 4 da figura 1.2. Na prática a translação retilínea só é possível para movimentos alternados. •Translação curvilíneo - As trajetórias descritas agora, para dois pontos distintos no corpo, são linhas cuivas paralelas entre si. A barra 3 da figura 1.1 é um exemplo de translação curvilínea em (trajetória cicloidal). (3) —4-— —^— Figura 1.1 - Exemplo de translação curvilínea para a peça nD. 3 do carrinho Observe: De acordo com a definição dada, o movimento de translação, no plano,podeser subdividido em dois tipos. 1.2.2. Rotação Cada ponto do corpo rígido movimenta-se de tal forma que a sua distância a um eixo fixo, não necessariamente pertencente ao coipo, normal ao plano de movimento, pennanece constante, também pode-se dizer que segmentos de reta pertencentes ao coipo e perpendiculares ao plano de referência descrevem cascas cilíndricas concêntricas. É o caso da barra 2 da figura 1.2. 3 Mecanismos Articulados 1.2.3.Movimento Combinado Um ponto qualquer, pertencente ao corpo ou não, porém invari- ável geometricamente em relação a este, terá movimento de translação, retilínea ou curvilínea, enquanto o próprio corpo terá movimento local, de rotação em relação a este ponto. Um exemplo clássico se ver ifica para a biela (barra 3 da figura 1,2) nos mecanismos biela-manivela. CD(D/Ái í Y/////////////JV////, 4 Figura 1.2 - Exemplos de rotação. translação retili nea e movimento combinado. 1.3.Movimentos Espaciais Movimento Helicoidal - Ocorre quando todos os pontos rno- vem-se simultaneamente com rotação e translação relativos a um eixo fixo, de tal forma que estes dois movimentos tenham uma relação fun- cional definida ou seja, um dependerá do outro sempre. É a caso de uma porca, quando rotacionada em tomo de um parafuso fixo ou do parafuso rotacionado em tomo da porca fixa, veja a figura 1.3 a seguir. A referência para descrição do movimento seria um eixo e um plano perpendiculares. Figura 1.3 - Movimento helicoidal do parafiíso com base na porca fixa. 4 Capítulo 1 - Corpos Rígidos e Mobilidade Saiba mais: Nomovimento helicoidal háumo rotação em torno deum eixo que se desloca axialmente, havendo uma correlação funcional entre estedestacamento e rotação ( destoe axial (a) )t 1.3.1.Movimento Esférico Ocorre quando cada ponto do corpo rígido mantém-se a uma distância constante de um ponto fixo. Um exemplo clássico são as ró- tulas esferoidais como é o caso da conexão do espelho com a caixa fixa na figura. 1.4 abaixo ou ainda as cruzetas das juntas cardan utilizadas na transmissão de automóveis. Para este caso, podemos tomar um sistema cartesiano espacial e fixar o seu centro com referência para o movimen- to. Figura 1.4 - Alguns automóveis têm movimento es fálico para o espelho retrovisor. 1.3.2.Movimento Espacial Geral Este tipo de movimento apresenta características que não se enquadram em nenhum dos casos estudados até o momento, todavia em muitas situações estes poderão ser correlacionados com os movimen- tos planos ou espaciais helicoidais e esféricos. Para isto considera-se que o plano ou sistema de referência, fixo para estes casos, estará agora em movimento, fazendo parte de um sistema local com posições bem definidas, o que irá facilitar em muito a sua análise cinemática. 5 Mecanismos Articulados 1.4.Mecanismo eMáquina 1.4.1.Conceituarão inicialpara Mecanismo Em uma primeira abordagem, vamos definir mecanismo como sendo uma combinação de coipos rígidos e resistentes que podem efe- tuai' movimentos relativos entre si, dispostos de tal forma que possibili- tem a transformação de um movimento em outro. Observe: Posteriormerite, esteconceito inicial de mecanismo será forma- lizado de uma maneira mais rígida quando alguns conceitos tiverem sido absorvidos. No que concerne à transformação do movimento o esquema, de “caixa preta’' abaixo, ilustra as quatro possibilidades possíveis: UNIFORME -> » UNIFORME * NÃO-UNIFORMEUNIFORME -» NÃO-UNIFORME -» * UNIFORME * NÃO-UNIFORMENÃO-UNIFORME » O primeiro caso envolve as engrenagens circulares, crema- Iheiras, correntes, coireias, etc. Para a transformação uniforme em não- uniforme, segundo caso, pode-se citar as engrenagens não circulares, as cames, catracas, compressores e os mecanismos articulados, dentre outros. A transformação mostrada no terceiro caso tem como um exem- plo clássico os motores de combustão interna e o último caso encontra muitos exemplos nos mecanismos de barras. 6 Capítulo 1 - Corpos Rígidos e Mobilidade1.4.2.Máquina Conjunto de mecanismos destinado a transmitir força/momento de uma fonte de potência contra uma resistência a ser superada. Classi- camente utilizada, esta conceituação devida a Franz Reuleaux, é apenas uma das várias tentativas de se conceituar máquina. Como exemplos clássicos, podemos citar as máquinas operatrizes em geral, as prensas mecânicas, ou hidráulicas, e os motores de combustão interna utilizados em veículos automotivos. Como já foi dito, o presente estudo limita-se à síntese análise de mecanismos e, como conseqííência as máquinas em geral não serão objeto deste estudo. 1.5.Classificação dos Mecanismos 1.5.1.Quantoao Tipo Apesar dos muitos esforços neste sentido, não se tem ainda uma classificação completamente unificada e geral para os diversos tipos de mecanismos. Uma das classificações que tem mais aceitação estabelece seis categorias básicas: • Mecanismos de parafuso; • Mecanismos de barras; • Mecanismos de roda, incluindo as engrenagens; • Mecanismos de cantes; • Mecanismos de catraca ou intermitentes; • Órgãos de tração/compressão - partes contendo rigidez em um único sentido. Pelo conceito de máquina, fica claro que as mesmas podem ser vistas como um agrupamento destas diversas partes interligadas de alguma forma. Saiba mais: Esta é o classificação mais aceita pela comunidade técnica e científica e foi iniciafmente apresentada peio alemao Franz Releaux . 1 Mecanismos Articulados 1.5.2.Quanto à Geometria Do ponto de vista geométrico, tomando-se como base as pos- sibilidades de movimento no espaço dos elementos que compõem o mecanismo, estes podem ainda ser subdivididos em: • Planos • Esféricos • Espaciais Mecanismos Planos Todas as partes envolvidas no mecanismo terão movimento plano, necessariamente com o mesmo plano de referência - plano de referência paralelo e fixo comum à todas as partes, ver item 1.2.1. A figura 1.5 mostra um exemplo com um mecanismo de quatro barras, onde a barra que está mais à frente ao se movimentar conduz as outras duas com movimentos característicos em planos paralelos. n T Figura 1.5 - Mecanismo de barras onde todas as bar- ras têm movimento plano. Considerando-se que mais de noventa por cento dos mecanis- mos existentes e de uso prático são do tipo plano e que a grande maio- ria dos mecanismos espaciais, incluindo os robôs baseados em braços mecânicos, podem ser subdivididos em grupos de mecanismos pianos, então nosso estudo, especificamente para mecanismos de baixas, vai se concentrar neste tipo de mecanismo. 8 Capítulo 1 - Corpos Rígidos e Mobilidade Mecanismos Esféricos Todas as partes envolvidas terão movimentos esféricos con- cêntricos, veja movimento esférico no item 1.2.2, como por exemplo a jimta cardan da figura 1.6. Note que apesar da definição de movimento esférico generalizar as possibilidades geométricas, na prática os meca- nismos esféricos terão cada uma de suas banas tendo movimento de rotação local e em planos fixos, o que permitirá uma análise bastante facilitada do movimento e também do mecanismo. Figura 1.6 - Ajunta cardan se constitui num meca- nismo esférico pelo fato de o movimen- to da cruzeta ser esférico. Mecanismos Espaciais Caracterizam-se peia liberdade de deslocamentode um ou mais de seus componentes em três dimensões, isto é, as suas barras têm ne- cessariamente movimentos espaciais puros. Exemplo na figura 1.7. Figura 1.7 - Exemplo de mecanismo espacial Faz-se necessário enfatizar que os órgão de tração/compressão descritos na classificação de Releaux não se enquadram nesta classifi- 9 Mecanismos Articulados cação geométrica tendo em vista o fato de serem constituídos por um misto de corpos rígidos e flexíveis, o que impossibilita a descrição exata de trajetória de pontos em suas partes flexíveis. 10 Capítulo 1 - Corpos Rígidos e Mobilidade Exercícios 1. Cite pelo menos três exemplos de movimento plano geral, movi- mento helicoidal e movimento esférico. 2. Quais as possíveis críticas que podem ser feitas ao conceito de me- canismo como foi dado neste capítulo? 3. Qual é o tipo de movimento efetivado pelos rolos, nos rolamentos de rolos cilíndricos? 4. Como você designaria um sistema de freio a disco (sapatas e disco de freio), utilizando os conceitos de mecanismo, máquina e a classi- ficação de Reuleaux? 5. Classifique os mecanismos abaixo, com relação à geometria: - Par de engrenagens helicoidais reversas - Par de engrenagens cónicas de dentes retos - Mecanismo de Geneva - Amortecedor de automóvel - Sistema de correia e polias com eixos reversos 6. Dê exemplos de mecanismos que constituam órgãos de tração/com- pressão na classificação de Reuleaux. 7. Para os robôs mostrados na figura 1.8, determine o tipo de movi- mento para cada braço relativamente ao seu apoio e globalmente à base. ^lz^ rl ( i 0 .isr-TO b ca Figura 1.8 - Robôs com movimentos específicos para os braços. 11 Mecanismos Articulados Referências Bibliográficas R.L. NORTON-Design of machinery: an introduction to the synthe- sis and analysis of mechanisms and machines -McGraw-Hiil. Fourth Edition 2007, J. E. SHIGLEY, JJ. UICKER-Theory of Machines and Mechanisms -McGraw-Hill, Second Edition 1995. J. E. SHIGLEY -Cinemática dos Mecanismos- Ed. Edgard Blflcher, 1970. C. S. SHARMA. K. PUROHIT - Theory of Meclianisms and Machines - Prentice-Hall, New Delhi. 2006. 12 Coordenadas Generalizadas A análise de um mecanismo de forma geral pode se tomar bas- tante complexa no que díz respeito ao equacionamento de seus deslo- camentos, velocidades e aceleraçãoea, à medida em que aumentamos o número de barras na sua constituição, principalmente se utilizarmos os métodos dc posicionamento - coordenadas cartesianas - comuns na mecânica clássica. A esse respeito vamos introduzir o conceito de co- ordenadas generalizadas no posicionamento das diversas barras de um mecanismo, simplificando e permitindo uma análise cinemática bastan- te concisa de forma geral. 2.1.Coordenadas Generalizadas A configuração de um sistema mecânico em que todos os cor- pos envolvidos tenham movimento plano ou espacial, com um número finito de corpos rígidos, pode ser expressa por um número finito de vari- áveis reais chamadas coordenadas generalizadas. Cada corpo rígido, no plano, poderá ser denotado por tres coordenadas generalizadas ou por seis coordenadas no espaço, percebendo-se que no plano este tem tres graus de liberdade, sendo possíveis dois deslocamentos c uma rotação. 1 3 Mecanismos Articulados No espaço seriam seis, constitu ídos por três deslocamentos e três rota- ções, Assim, é fácil a obtenção das variáveis do sistema quando todos os coipos estiverem livres. Para as situações em que isto não ocorre, o sistema pode ser simplificado (reduzido) após a determinação das equa- ções de restrição como visto à frente. Este sistema geral de coordenadas generalizadas será indicado por: (*,,x2,x Como exemplo, o sistema mostrado na figura 2.1 pode ser des- crito com a utilização do ângulo 0 que a barra AB forma com a hori- zontal e das coordenadas x e y de um ponto qualquer na barra. Nesta situação, as coordenadas generalizadas seriam (x. y, d ). Também pode- ríamos descrevê-lo utilizando as coordenadas cartesianas de dois pon- tos distintos da bana c o sistema de coordenadas generalizadas seria então dado por (x , X-, y ). » ) 2-13 > By- / p j / / A /y/ x®<y / x; x, Figura 2, ] - Descrição do sistema (barra AB} em co- ordenadas generalizadas . Observe: Deve ser evitado, no sistema de coordenadas generalizadas inicial variáveis que sejam constantes. Isto só deve acontecer comoconseqiiência de restrições futuras. 14 Capítulo 2 - Coordenadas Generalizadas 2,1.1. Restrições Pontos materiais de um sistema mecânico ou de partículas po- dem estabelecer vínculos entre si, através de fixações ou ligações mó- veis entre dois ou mais corpos, que impõem limitações aos seus des- locamentos. Estes vínculos também são chamados restrições. Observe porém que se houver uma ligação entre dois corpos pertencentes aosistema, do tipo soldagem, ou seja, sem que haja a partir dai possibili- dade de movimento relativo entre eles, isto não será uma restrição e sim uma transformação de dois eoqios em um único no referido sistema que passa a ter uni corpo a menos. Neste caso serão geradas equações de restrição, subentendemos que ai houve uma “restrição virtual". t í B B© © l A A ba Figura 2.2 - Em (a), sistema sem restrição em rela- ção à reta \ e em (b). com restrição im- posta peia haste 1. Se a restrição puder ser equacionada com a utilização de coor- denadas generalizadas, e eventualmente também do tempo quando uma ou mais variáveis que compõe o sistema for temporal, de tal fornia que se possa ter como verdadeira a equação 2-2 a seguir: f (Xi > XuXi* ela será dita holonômica, caso contrário será chamada nao-holonômiea, como ò o caso dos mecanismos com base em órgãos de tração ou com- pressão como especificado na classificação de ReJeaux. X ) = 0 2-2r 15 Mecanismos Articulados Saiba mais: Sistemas com órgãos não rígidos onde náo se pode prever ex- pansões ou contrações devidas à dilatação térmica no tempo são sempre não-holonómicos. 2.1.2.Graus de Liberdade de um Sistema Mecânico Determinado convenientemente, um sistema de coordenadas generalizadas para um sistema mecânico de corpos rígidos em que as restrições, se houver, sejam todas do tipo holonômicas, define-se o nú- mero de graus de liberdade do sistema através da seguinte relação: / - n - r onde: / - número de graus de liberdade do sistema; n - número de coordenadas generalizadas usadas para descre- ver o sistema; r - número de equações de restrição existentes no sistema de coordenadas generalizadas adotado. Desta forma, o número de graus de liberdade é uma caracteris- tica intrínseca do sistema e independe do sistema particular de coorde- nadas utiliz.ado para sua descrição.Apenas ressalte-se que o número de equações de restrição será diferente de um sistema para o outro, desde que os mesmos tenham número de coordenadas diferentes. Em particu- lar, é possível se achar um conjunto de coordenadas independentes tal que o número de equações de restrição, neste sistema, seja nulo. Neste ponto se faz interessante o leitor perceber a singeleza, simplicidade e também exatidão do tratamento matemático que vai per- mitir a obtenção do número de graus de liberdade para qualquer tipo de sistema de corpos rígidos, a despeito da idéia intuitiva para tal fim, que se coloca nos compêndios de mecânica geral. Também, apesar de estarmos dando enfoque a sistemas de corpos rígidos no plano, é fácil perceber que tal tratamento pode ser estendido aos sistemas espaciais sem nenhuma dificuldade. C omo exemplo elucidativo, vamos considerar uina liaste, figu- 2-3 16 Capítulo 2 - Coordenadas Generalizadas ra 2.3, ao piano biditnensional (x,>!) coni uma extremidade fixa em (x0, v0) e com capacidade de rotacionar em tomo deste. Na outra extremida- de desta haste coloca-se uma segunda através de um pivô rotativo que permite giro entre as duas. Figura 2.3 - sistema no plano com 2 graus de liber- dade e duas equações de restrição. A configuração do sistema será então dada por quatro coor- denadas xpi, yn, xV 2 e >’r> , e, para este caso, o número de equações de restrição é dois: (.Yí*O Xpi )" + ( Vro — yn }' Uvi — XF2 )‘ + ( y? i - ypi )1 — li Note que aqui vPG, são constantes que podem ser utilizadas livremente nas equações de restrição, logo o número de graus de liber- dade do sistema será: / = r t - m = 4 - 2 = 2 Poderíamos também utilizar como coordenadas generalizadas os ângulos 0, e 0 , que as barras fazem com a horizontal. Neste caso, ficaríamos sem nenhuma equação de restrição envolvendo estas coor- denadas. l i 2-4 2-5 Saiba mais: 5eo sistema de coordenadas generalizadas escolhido for line- armente independente,o númerodeequações derestriçãoserá semprenulo. 17 Mecanismos Articulados 2.2.Exemplo Prático Vejamos agora um exemplo mais clássico que irá consistir na formação do mecanismo biela-manivela que iremos estudar em deta- lhes no capítulo 4. Sejam portanto três corpos rígidos, livres no plano, como mostrado na figura 2.4a, e descritos pelo sistema de coordenadas generalizadas da equação 2-6 a partir da geometria de posicionamento montada na figura 2.4b. (xuxí ,xiiyi , y2 ty3 ,a ,q> ,ô ) 2-6 b Figura 2.4 - Sistema com três corpos rígidos tio piano. Vamos agora criar quatro restrições para este sistema, figura 2.5, consistindo de um pivotamento nas coordenadas (3,5) do plano para o ponto Px, vinculo A, um pivotamento entre o corpo 1 e o corpo 2, vinculo B, um pivotamento entre o corpo 2 e o corpo 3, vínculo C, e vamos excluir o deslocamento angular e deslocamento na direção y para o corpo 3, ficando este sempre na coordenada v = 3, vinculo D. Figura 2.5 - Sistema após a aplicação das restrições. Desta forma, o vinculo A,permitindo que o eorpo 1 apenas ro- tacione na coordenada (3,5) cria as duas restrições da equação 2-7. 18 Capítulo 2 - Coordenadas Generalizadas x, = 3 >>i = 5 O vínculo B, ligando o corpo 1 ao corpo 2 por uma rotação relativa cria as duas restrições da equação 2-8. Ci cos a + C3 cosÇ -x3 + = 0 Cisena - C2 sen <p O vinculo C, ligando o corpo 2 ao corpo 3 por uma rotação relativa cria as duas restrições da equação 2-9. ( 1 ) 2-7( 2) (3) 2-8= 0 (4) (5)*2 = Xj y2 = y* O vinculo D, limitando o corpo 3 apenas a deslocamentos na horizoantal na coordenada 5, cria também duas restrições mostradas na equação 2-10. 2-9(6) <5 = 0 (7) >>3 = 5 Contando então o número de equações de restrição (em número de 8) e o número de coordenadas no sistema original (9), podemos uti- lizar a equação 2-3, obtendo: /= « - / = 9 - 8 = 1 2-10(8 ) 2-11 19 Mecanismos Articulados Exercícios 1. Determine um sistema de coordenadas generalizadas, lineamiente independente, que descreva o sistema físieo esboçado na ligura 2.6 abaixo. AJ Figura 2.6 - Sistema com dois corpos rígidos uo es- paço. 2. Dado o sistema físico, mostrado na figura 2.7, encontre um sistema de coordenadas generalizadas para o mesmo e, após a montagem do par esférico (junção dos ponto B e ('), determine o número de equa- ções de restrição e o número de graus de liberdade para o sistema final . Figura 2.1 - Montagem de duas barras com movi- mento esférico. 3* Para cada um dos sistemas mostrados nas figuras 2.8 e 2.9, deter- mine sistemas de coordenadas generalizadas, com as consequentes equações de restrição decorrentes* A ss8B /c \P ?R &/ /B tf * : r̂r~ ha Figura 2.8 - Barras em contato por rolamento. 20 Capítulo 2 - Coordenadas Generalizadas h Figura 2.9 - Barras em contato por deslizamento. 4. As quatro banas da Figura 2.10a, estão inicialmenle livres no pla- no, ligando-se em seguida às barras 2, 3 e 4, através de seus pivôs, à barra J , como mostrado na figura 2.10b. Escolha um sistema de coordenadas generalizadas para estas barras na concepção (a) e, em função deste sistema, determine o número de graus de liberdade após a montagem como mostrado na concepção (b). G UE t 7,3\ / / /.B \\ A \\® AU Ayx // X / X y/ ®y \/ / x x ba Figura 2 10 - Sistema original em I e montagem final em 2 21 Mecanismos Articulados Referências Bibliográficas D. R. MARGHITU - Kinematic chains and machine components de- sign -Elsevier Academic Press, 2005. R.L. NORTON - Design of machinery: an introduction lo the synthe- sis and analysis of mechanisms and machines - McGraw-Hill, Fourth Edition 2007. S. DOUGHT - Meehanies of Machine — John Wiley & Sons Inc, 2001 . C. S. SHARMA, K. PUROHIT - Theory of Mechanisms and Machines- Prentice-Hall, New Delhi, 2006. 22 Cadeias Cinemáticas O conceito de mecanismo visto no capítulo 2, como sendo um conjunto de corpos rígidos interligados e com possibilidade de movi- mentos relativos entre si, irá requerer um estudo mais detalhado do pon- to de vista destas ligações e também destes movimentos. Neste capítulo serão apresentados novos conceitos para estes corpos rígidos atrelados entre si formando as "‘cadeias cinemáticas”e como consequência será estabelecida uma definição mais exala para o termo mecanismo, bem como iremos entender melhor as suas relações, classificação e tipos. 3/L Pares Cinemáticos Neste estudo será designado barra a qualquer peça rígida que componha um mecanismo. Então, pelo conceito inicial de mecanismo, visto na capítulo anterior, ban as adjacentes devem ser convenientemen- te ligadas para que executem o movimento desejado umas em relação às outras propiciando uma entrada e uma saída do movimento, A cada uma deslas ligações, conexão entre duas barras, é dado o nome de par cinemático e cada uma das partes que formam o par é chamada elemen- to cinemático. 23 Mecanismos Articulados Fique ligado: No estudo dos mecanismos e das cadeias cinemáticas em ge- ral, os corpos rígidos envolvidos levam simplesmente o nome de1BARRAí 3,1 *1 - Classificação Os pares cinemáticos podem ser classificados em superiores e inferiores, sendo a distinção feita pela forma de contato entre as super- fícies de cada elemento que forma o par Nos pares inferiores, o contato se dá superficialmente, enquanto nos superiores, o contato é linear ou pontual. Decorre disto que os pares inferiores podem suportar cargas mais elevadas, ao passo que os superiores apresentam menores perdas por atrito, a tabela 3 A elucida detalhadamente esta situação, mostran- do um comparativo das vantagens e desvantagens de se utilizar um ou outro par. VANTAGENS DESVANTAGENSPAR * não suportam cargas eleva- daso menores perdas por atrito * pequena dissipação de calor desgastam-se mais rapida- mente * exigem maior refinamento de construção a 3 UI * suportam cargas elevadas * São de fácil construção desgastam-se uniforme- mente * grandes perdas por atrito * velocidade de trabalho moderada o 0J c IH Tabela .11 - relação entre par superior e inferior 3.1,2 * Pares Inferiores Na prática os mecanismos e máquinas se utilizam muito mais de pares inferiores do que de pares superiores, sendo também possível na maioria dos casos substituir-se um par superior por dois outros pa- res inferiores que executarão a mesma trajetória e síntese cinemática, muilo embora islo não seja de boa prá tica quando o projeto exige pares 24 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas superiores, À despeito disto e considerando a complexidade dos pares superiores para mecanismos de barras, este estudo será restrito aos pa- res interiores quando tratarmos de mecanismos de banas. Existem seis pares cinemáticos identificados por Reuleaux como sendo inferiores. Na tabela 3.2 apresenta-se uma classificação relacionando os nomes e símbolos empregados e que serão discutidos com base nos possíveis movimentos relativos entre dois corpos rígidos, no espaço 3D, figura 3.1, sendo um deles associado ao sistema global fixo e o outro associado a um sistema local inicialmente livre. Seja a barra 2 no espaço, vinculada ao sistema cartesiano lo- cal ( ? /, v, w), figura 3.1, eom possibilidade de movimento em relação à barra 1, vinculada ao sistema de referência (A\ y7 z), o número de graus de liberdade inicial da hurra 2 em relação à hurra 1 será 6, isto é, três deslocamentos lineares nas direções dos eixos coordenados, representa- dos pelas variáveis (x, y, z ) e tres rotações em torno de cada eixo local, representadas por w 2 SUMI 1 Figura 3.1^possibilidade» de movimento relativo da barra J em relação à barra 2 - A análise que se segue será feita restringindo-se a possibilidade de alguns destes seis possíveis movimentos da barra 2 e considerando que a barra 1, associada ao sistema de referência, esteja fixa: a. Restringindo-se o movimento dc translação em x, y e z, e de rotação em u e v, tem-se apenas possibilidade de rotação em tomo de wi O movimento é então de rotação 0, e o par chama-se rotativo, simbolizado por R. 25 Mecanismos Articulados />. Restringindo-se iodas as três rotações em relação a u, v e Wj e os deslocamentos segundo x e y\ fica-se com a possi- bilidade apenas de translação paralela a z. O par é chamado prismático e será simbolizado pela letra P. c. Supondo que a barra 2 gire sobre uma hélice em volta do eixo w\ ela também irá se deslocar seguindo uma direção paralela a z. Este par é dito helicoidal e será representado por S j onde o indiee p representa o passo da hélice. Note que aqui o deslocamento está associado à rotação e vice- versa. d. Quando se permite apenas rotação em tomo de w e transla- ção em relação a 2, têm-se o chamado par cil índrico, repre- sentado por C. e. Sendo permitido apenas rotação em tomo de qualquer dos três eixos u, v c H , o par é dito esférico e scra representado pela letra G da palavra “globular”. / Finalmente, quando sao permitidas apenas duas translações x c y e uma rotação em tomo de um eixo paralelo a z, tem-se o par plano, denotado por F. Tipo de Movimento Símbolo Utilizado Graus de Liberdade Variáveis para DescriçãoTipo de Par Rotativo Prismático Helicoidal R 1 e linear P 1 x S 1 x o u 0 Cilíndrico Esférico Plano C 2 xf 0 Superficial G 3 Ô,4, Tjf x, y, QF 3 Tabela 3.2 - pares inferiores, siinbologia. Reuleaux considera os pares rotativo e prismático como caso especial do par helicoidal com passo zero e infinito respectivamente, Desta forma, é possível se representar o par rotativo por S0 e o par pris- mático por S . Para todos os pares inferiores, com exceção do par plano, as li- gações se verificam através de invólucros, porque em cada caso um ele- mento envolve o outro. À figura 3.2 ilustra estes seis diferentes tipos. 26 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas / /. f-J- J J t í i1 : 1 /í : i I1 1 .V0 I R y : r lír ‘hm t íI í I i1 i' '1 Jf1 ' , ' 7 'I i t \ iI I - i • . ft.i VE i /L 1 I' ^ 1 ' • ' vi. - V '>.\\\—1 1 ' ' ' M'i ' , Ir l» ' ex~f(Wi s c 0 r®1| ( I(jfo\ «"w H, I. -;l !U G Figura 3,2 - Os seis tipos básicos de parOS cinemáti- cos inferiores, 27 Mecanismos Articulados 3.1.3. Pares Superiores Os pares superiores não seguem uma classificação rigida como no caso dos inferiores.Assim, cada problema deve ser tratado como um caso em separado. A titulo de exemplos de pares superiores a contato pontual têm-se os mancais de esfera, as engrenagens helicoidais de ei- xos reversos c as juntas homocinéticas. Já o contato linear é encontrado em carnes com seguidor de rolo, mancais ciiindricos e nas engrenagens em gera!. Na maioria dos casos, o movimento relativo entre os elementos é bastante complexo, porém ocasionalmente é possível substituir as li- gações formadas por pares superiores, por outras contendo apenas pares inferiores, como é o caso ilustrado na ligura 3.3. Figura 3J - Substituição de um par superior por um equivalente inferior. 3.2. Barras e Elementos Cinemáticos Como já mencionado, o termo “barra” é aqui empregado para designar qualquer corpo material que possa transmitir movimento entre as várias parles de um mecanismo. A barra deverá conter elementos cinemáticos que representem um local de contato ou conexão à uma outra barra. As barras, em função do número de elementos cinemáticos, po- dem se classificar ein: • barra binária - possui dois elementos (nl) • barra ternária - possui três elementos (n3) • barra quaternária - possui quatro elementos e assim por diante. 23 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas 3.2.1. Representação Convencional e Representação Esquemática A figura 3.4 mostra as possíveis representações na forma con- vencional e na forma esquematizada de barras binárias, ternárias e de maior ordem, A representação esquemática simplifica o desenho da bar- ra através de esboços rápidos efetivados por segmentos para o núcleo da barra e pequenos círculos nas extremidades ou cantos para represen- tar os elementos cinemáticos. A convenção para o esquema de barras com mais de dois elementos cinemáticos não colineares, consiste em hachuriar o polígono que tem como vértices os elementos cinemáticos como no caso das barras b e d. Figura 3.1 - Representaçáo esquemática das barras - eiri (rí) barra binária, em (b} e (t?) barra ternária e em (d ) barra com5 elemen- tos, A figura 3.5 mostra mais alguns exemplos de representação esquemática de barras binárias c ternárias agora contendo elementos cinemáticos do tipo rotativo e também prismáticos. 29 Mecanismos Articulados fc) • : mm (f) Fipura 3.5 - Exemplos esquemáticos de banas cou- lendo elementos cinemáticos de tipos diferentes. Milito embora se tenha uma representação esquemática para os elementos cinemáticos do tipo helicoidal, cilíndrico, esférico e facial, esta não se apresenta dc fornia rígida, e então deixaremos a encargo do aluno desenvolver suas próprias formas a medida em que se fizer necessário. Saiba mais: Nas cadeias planas, que serão o objeto principal dos nossos es- tudos, os pares cinemáticos presentes seroo exefusivamente do tipo Rotativo e Prismático. 3.3.Cadeia Cinemática Deline-se cadeia cinemática como sendo uma coleção dc barras Ligadas entre si através de seus elementos cinemáticos. Lembrando que o conceito de barra se traduz em corpo rígido e se toma fácil ver que apesar dc tennos cadeias cinemáticas constituídas dc outros elementos que não barras, tais como engrenagens, carnes c outros, não a teremos quando houverem no conjunto mecanismos não rígidos, último item da classificação de Relcaux, lais como corroías c correntes. A cadeia é dita fechada quando lodos os elementos cinemáti- cos estão ligados entre si, não sobrando nenhum, em nenhuma barra 30 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas da cadeia, sem conexão, caso contrário ela será aberta, figura 3.6. A cadeia cinemática será dita simples quando formada apenas por barras binárias, independentemente de ser aberta ou não. R„ R* R* 3R,, 0 A A22K R, =1 1Rl! Rir (b) w Figura 3 6 - (i7) cadeia cinemática fechada, (6) ca- deia aberta e (r) cadeia cinemática fe- chada simples 3.3.1.Critério de Griibler para Cadeias Pianas Utilizando-se o sistema de coordenadas generalizadas (.v. v. z ) para a descrição dc uma cadeia cinemática fechada, onde todos os pares cinemáticos sào do tipo rotativo e no plano, contendo uma barra fixa como base, ó possível sc mostrar que o número dc graus de liberdade do sistema poderá ser determinado em função apenas do número dc banas n e do número dc pares cinemáticos j da cadeia. Dc fato, se tivéssemos apenas uma barra no plano, a sua posi- ção poderia ser determinada por três variáveis (.v r y 8 ), sendo portan- to igual aio número de graus de liberdade, figura 3.7a. Adicionando- se uma outra barra por meio de um par cinemático do tipo rotativo, o sistema resultante passará a ter 4 graus de liberdade, figura 3.7b, isto é, foi adicionado apenas mais um grau dc liberdade e não 3 como se po- deria inicialmente imaginar. O aluno pode comprovar tal fato aplicando os conceitos de grau de liberdade e coordenadas generalizadas visto no capitulo 2, parlindo-se de um sistema plano com duas banas livres e determinando o número de equações de restrição após a junção destas pelo par cinemático rotativo. Conclui-se então que o par cinemático rotativo reduz dois graus de liberdade da segunda barra , Assim para ti barras livres no plano: 3nf 3-1 31 Mecanismos Articulados Se estas ;? barras formarem j pares cinemáticos, cada par cine- mático vai reduzir dois graus de liberdade, e então: /- 3rt - 2 j Perceba que a quantidade de elementos cinemáticos em cada baira pode ser qualquer, ou seja. não estamos trabalhando somente com barras binárias e sim com barras de qualquer ordem. Sempre que se jun- tam duas barras por um par cinemático rotativo, dois graus de liberdade são retirados do sistema. 3-2 t / / It / 1 t Lr/% 1i l-l. * (bí(ai Figura 3 ,7 - Bana livre no plano (<7) e conectada a uma secunda bana em (Z>) Agora fixando-se uma das banas ao sistema de referência, ha- verá redução de inais três graus de liberdade e chega-se ao chamado Critério de Griibler para os mecanismos planos: /= 3(«-1) - 2j onde: f= número de graus de liberdade da cadeia /7 = número total de barras na cadeia j número de pares cinemáticos do tipo rotativo Observe que esta dedução se baseia nos mecanismos planos contendo apenas pares cinemáticos do tipo rotativo. A despeito disto, será visto mais adiante que levando-se em consideração certos critérios, a equação 3-3 também poderá ser aplicada em cadeias contendo pares prismáticos e até mesmo pares helicoidais em algumas situações. 3-3 32 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas (a) (b) H = 6 J = S / - / w (d) JT =í J =í f = 2f = l (e) (f) 5 (9) (h) Figura 3.8 - Estruturas em (a), (b) e (c), em (d) e (e) mecanismos impostos de 1 barras, ca- deia não imposta em (f) e mecanismos complexos em (g) e (h). Fique ligado: 0Critério pode ser aplicado para outros tipos depares cinemá- ticos,desde que estes tenham um s<5 grau de liberdade,como è o raso dos pares prismático ehelicoidal. 33 Mecanismos Articulados É possível também se estender o critério para cadeias planas contendo pares cinemáticos superiores, notando-se que estes têm dois graus de liberdade, após considerações similares às feitas acima chega- se a: / = 3(n - \ ) - 2 j - h 3-4 Onde h denota o número total de pares superiores presentes na cadeia. Sc a solução da equação 3-3 for f < 0 , o movimento c impossí- vel e o mecanismo forma uma estrutura: em particular para/= 0 têm-se uma estrutura estaticamente determinada e para / — —1 há uma barra redundante na cadeia que conduz a estrutura a ser estaticamente in- determinada ou hiperestática. Quando/- 1 diz-se que há movimento imposto, porém sendo/- 2 ou maior, só haverá imposição na cadeia se houver mais de um movimento de entrada perfeitamente conhecidos e em barras distintas. A figura 3.8, acima, exemplifica várias cadeias onde é possível a aplicação do critério. Observe: Perceba que as estruturas nâo sáo objeto de estudo nos cursos de mecanismos. 3.3.2. CadeiasContendo Pares Prismáticos Os pares cinemáticos do tipo prismático semelhantemente às juntas rotativas, possuem um só grau de liberdade, tendo por isto em alguns casos, características semelhantes à estas. Isto permite que se adaptem ao Critério dc Grubter, desde que sejam feitas três restrições indispensáveis: a. Nenhuma barra da cadeia deve conter somente pares pris- máticos cujas direções de movimento sejam paralelas entre si, como no caso da figura 3.9. 34 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas Figura 3,9 - Á barra 3 é permitido movimento, semque haja movimento das outras barras da cadeia 6. Barras binárias possuindo somente pares prismáticos, figu- ra 3.10, não devem ser diretamente ligadas entre si. +6 Figura 3 , 10 - As banas 3 z 4 podem mover-se para uma segunda posição sem que haja mo- vimento das outras banas, c. Nenhum polígono fechado de barras da cadeia, ligura 3.11, deve ter menos que dois pares cinemáticos do tipo rotati- vo. 35 Mecanismos Articulados Figura 3,11 - Notar a impossibilidade de rotaçào do par rotativo ií 34, imposla pdo par pris- mático P^ y 3.3.3.Cadeias Impostas Quando f — 1 numa cadeia cinemática fechada com uma barra fixa, é possível um movimento vinculado de tal forma que a configura- ção. em determinado instante, de uma bana qualquer da cadeia possa predizer toda a configuração do sistema naquele instante. Neste caso diz-se que a cadeia tem movimento imposto. Este caso é de suma im- portância e de grande interesse na síntese de mecanismos. O critério de Gmbler com f — 1 permite então escrever; 2j + 4 3-5n = 3 e . 3 - 2 3-6J = 2 n Onde, como já sabemos, n é o numero total de barras na cadeia e j é o número total de pares cinemáticos rotativos e prismátieos, desde que estes últimos satisfaçam os três critérios anterionnente descritos. Observando-se que j deve ser sempre um número inteiro, pois 36 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas não se pode ter tração de par cinemático, a equação 3-6 obriga que n seja par. A tabela 3.3 fornece as primeiras cadeias impostas possíveis. n 2 6 8 LO4 1 4 7 10 13J s r + Tabelíi 3.3 - Cadeias impostas possíveis Agora considerando que haja w, barras binárias, n3 banas ter- nárias, n, barras quaternárias eassim por diante até que se chegue a t?k barras com k elementos cinemáticos na cadeia, onde k representa o número de elementos cinemáticos da barra de maior ordem, o número total de baixas n da cadeia será dado por: n = + fls + n, + • • + >h Sendo assim, é fácil verificar que o número total de elementos cinemáticos na cadeia será dado por 2n? + 3/J3 + 4ih + + ktu . Agora notando que cada par cinemático é formado por dois elementos cine- máticos, percebe-se que o número total de pares cinemáticos na cadeia deverá ser: 3-7 l ( + 3í?3 + 4/?4 + Considerações geométricas na imposição da cadeia permitem que se obtenha o número de elementos cinemáticos da bana de maior ordem em função do número total de barras. Denotando este número pela letra k, tem-se então: + knk ) 3-8J = a m2 3-92 IJm fato interessante a ser observado é que nas ca- deias impostas haverá sempre a necessidade de se ter um de- tenrúnado número de barras binárias envolvidas para se con- seguir mobilidade. Em função do número de barras restantes é possível se chegar a: 2 n2 = 4 + Jji -3)15, 3-10 .4 37 Mecanismos Articulados A demonstração desta equação, que poderá ser feita substituiu- do-se 3-7 e 3-8 em 3-6, ficará a cargo do aluno. E importante notar que n , não é constante para um determinado n, uma vez que é possível se ter qualquer dos n. ( 2 < i <k = n/2 ) nulo em algumas permutações dos vários tipos de cadeias com n barras possíveis. Como exemplo, vamos verificar as possíveis combinações na formação de cadeias cinemáticas c mecanismos quando o número total de barras for igual a seis. As equações 3-6 e 3-9, para este caso nos fornecem: j = 7 ek = 3 Substituindo em 3-7 e 3-8, é possível se construir o sistema de equações lineares: n2 + n3 = 6 2nt + 3/íí = 14 ' L que, após resolvido fornecerá: Hz = 4 «3 = 2 Ou seja, sò é possível se ter movimento imposto através de uma cadeia com seis barras, se esta cadeia contiver quatro barras binárias e duas barras ternárias. Como só foi possível se encontrar uma configura- ção envolvendo 4 banas binárias e 2 barras ternárias, diz-se que só há possibilidade de uma permutação para o sistema. Em verdade, uma segunda permutação seria possível, figura 3.13, porém esta resultaria em uma cadeia de apenas 4 barras, uma vez que duas barras binárias em conjunto com a barra quaternária formam uma estrutura. Estas permutações - em que há possibilidade de formação de estrutura para um conjunto dc barras da cadeia - não serão detectadas sempre que se use a equação 3-9 na obtenção das cadeias possíveis. Examinando as alternativas da equação 3-13, é possível se montar a cadeia de duas íbnnas diferentes, ligura 3.12a e 3.12b, per- mitindo portanto duas variações. A variação é entendida como sendo as diferentes formas de se conectar as banas dentro de uma permutação. 3-11 3-12 3-13 38 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas R* Ri, <ò, Figura 3 , 1 2 - Variaç&es possíveis, em (a) cadeia de Stepheoson e em (b) cadeia de Watt. Figura 3 , 13^ Permutação que degenera-se eui uma cadeia de quatro banas. A partir de uma variação, é possível se conseguir os vários me- canismos (cadeia fechada com uma barra lixa) através das inversões. Cada fixação de uma barra diferente produz uma inversão da cadeia e consequentemente um mecanismo de caracteristicas diferentes. Perce- ba que as posições relativas entre as barras quando em movimento não se alteram em cada inversão. Neste exemplo, são possíveis apenas duas inversões distintas para a cadeia de Watt e duas para a dc Stephenson. As demais são idên- ticas a uma destas duas. 39 Mecanismos Articulados Exercícios 1. Como pode ser classificado o par cinemático formado pelo mecanis- mo dc genova mostrado na figura 3.14? Figura 3.14 - Cadeia com giro intermitente conhecida como “ffiocaniamo de getieva". 2. Dc exemplos (desenhe) dc cadeias contendo pares cinemáticos do tipo helicoidal, cil índrico, esférico c plano. 3. Faça desenhos utilizando a representação convencional dos vários modelos de mecanismos existentes no laboratório de mecânica. 4. lente encontrar uma fórmula extensiva do Critério de Griibler para cadeias espaciais contendo pares superiores e inferiores. 5. Demonstre que para cadeias impostas, o número k de elementos ci- nemáticos da barra de maior ordem não pode ser superior a n/2,ou seja, a barra de maior ordem, na última variação, terá: b = "K 2 elementos cinemáticos. 40 Capítulo 3 - Cadeias Cinemáticas 6. Numa cadeia imposta, conhecidos o número de elementos “i” da barra de maior ordem, demonstre que o número de barras binárias é dado por: 2 4 + - ;i)«n2 = i=4 7. Analise as possíveis combinações (permutaçooes e inversões) para cadeias de oilo barras. 41 Mecanismos Articulados Referências Bibliográficas ). B. MARGHITU - Kinemalie ehains and machinc components de- sign - Elsevier Academic Press, 2005. R.L. NORTON - Design ofmachinery: an introduction to the synthe- sis and analysis of mechanisms and machines Mcíiraw-Hitl, Fourtli Edition 2007, J. E. SHIGLEY, J.J. UICKER -Theory of Machines and Mechanisms -McGraw-IIill, Seeond Edition 1995. ,í. H, SHIGLEY- Cinemática dos Mecanismos - Ed. Edgard Bltieher, 1970. C. S. SIIARMA, K. PUROIII ! ' - Theory of Mechanisms and Machines - Prentice-Hall, New Delhi, 2006. 42 Mecanismos de Quatro Barras Sabemos, por definição, que toda cadeia que contém somente barras binária é classificada como “cadeia simples”, ao passo que con- tendo barras ternárias e/ou de maior ordem será dita tLeudeia composta”. Naturalmente que haverão uma infinidade de cadeias simples no uni- verso dos mecanismos de forma geral, porém imposta^ a única possível é a cadeia de quatro barras, como já atestado no capítulo 3* 4.1» Importância das Cadelas de Quatro Barras Apesar da complexidade de uma cadeia composta, por conter banas dc ordem superior a dois, o seu estudo pode ser bastante facilita- do quando a subdividimos cm várias cadeias simples e fixamos a análi- se em cada uma delas separadamente. As cadeias compostas com mais interesse são as que têm movimento imposto, por sorte, nestes casos, pode ser demonstrado que a decomposição também recairá em cadeias simples com movimento imposto. Mais uma vez lembrando que para sc ter um movimento im- posto em uma cadeia simples, é necessário que esta tenha unicamente quatro barras, fica fácil se perceber que o estudo das cadeias compostas 43 Mecanismos Articulados que têm movimento imposto reduz-se ao estudo das cadeias simples de quatro banas quando da deeoposição destas em duas ou mais cadeias deste tipo. Saiba mais: Cadeias compostas de sets barras podem ser decompostas em duas cadeias simples; cadeias compostas de oito barras podem ser decompostas em três cadeias simples; e assim sucessiva- mente. Como exemplo de subdivisão, vamos analisar o mecanismo da plaina litnadora mostrado na figura 4. la, A cadeia cinemática para este mecanismo, esquematizada na figura 4.1b,contém duas barras ternárias e quatro barras binárias, sendo por tanto uma cadeia composta, em que o movimento de entrada se verifica pela barra de número 5, através do motor que deverá ser solidário à barra 1. j o4 (o ,"2 -y/6 1mg rLVi / / f % IE>1 \ ha Fígum A . I - Em (a), mecanismo da plaina limadora e em (b)T representação esquemática para esta cadeia composta. A cadeia da figura 4.1h pode ser decomposta em duas outras, simples, figura 4.2a e 4.2b, contendo cada uma delas quatro barras bi- nárias. Na primeira, temos o movimento de entrada pela barra J, repre- sentado pela velocidade angular OD e na segunda, o movimento de entra- 44 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras da, representado pela velocidade co1, se fará pela barra 2' e naturalmcntc, este será o mesmo da barra 2 da primeira cadeia. h Figura 4 . 2 - Decomposição da cadeia composta em duas simpleti . mostrando cm (a) a cadeia base e em (b) a cadeia dependente. Uma forma mais correta dc representação convencional das duas cadeias decompostas pode ser vista nas figuras 4.3a e 43b, cor- respondendo respectivamenteás figuras 4.2a c 4.2è. Esla representação mostra claramente que as duas situações sao, na verdade, apenas in- versões do mecanismo biela-manivela, que será abordado mais adiante ainda neste capítulo. 1 4 R K:CO 2R . i r R. ha Figura 4.3 - Decomposição da cadeia composta em duas simples, mostrando em (a) a cadeia base e em (b) a cadeia dependente. 4.2.Quadrilátero Articulado Na cadeia de quatro barras, quando todos os pares cinemáticos sào do tipo rotativo, o mecanismo é conhecido como o "quadrilátero ar- ticulado". Neste caso, tem-se a base como sendo a barra fixa, nela estão pivotados a manivela e o seguidor (também chamado contra-manivela ou balaneim), e à estes dois, conecta-se através dc pivôs móveis a barra 45 Mecanismos Articulados acopladora, figura 4.4. CB!*/ 01 / /\ /\ Fipura 4A - Quadrilátero articulado com a devida nomenclatura. 4,2*1* Critério de Grashof A lei de Grashof fornece uma maneira simples para se classifi- car os mecanismos de quatro barras quanto aos possíveis tipos de movi- mento. O seu enunciado pode ser traduzido da seguinte maneira: A soma dos comprimentos da barra menor e da maior de um mecanismo plano de quatro barras nao pode ser maior do que a soma das duas barras restantes para que haja rotação relati- va continua entre dois membros . Quando o mecanismo satisfaz a esta lei, ele é chamado qua- drilátero articulando de Grashof ou simplesmente mecanismo Grashof. Identificando, na cadeia de quatro barras, a barra de maior comprimen- to pela letra a, a de menor comprimento pela letra b e as demais pelas letras c e d, esta será do tipo Grashof se a seguinte relação matemática for satisfeita: a 4 b < c + d 4- 1 Observe: OCritério de Grashof éde suma Importância noestudodos me- canismos,, por definir se uma cadeia pode receber ou não, um movimento a partir de um motor 46 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras Pela geometria de diferentes tamanhos de barras, os mecanis- mos Grashof admitem quatro inversões e, em função de qual barra vá ser tomada como fixa, são possíveis os seguintes casos: Dois mecanismos manivela-balaneim, figuras 4.5a e 4.5í>, são possíveis. Em cada caso a manivela é a barra me- nor, Note que a manivela tem possibilidade de um giro de 360°: a. \ i 9 //\ V \ *! H /\ / ha P 4.5 * Mecanismos manivela baktndm possí- veis para o quadrilátero Orashof Uma dupla manivela resulta quando a barra menor é tomada fixa, neste caso as duas barras adjacentes à barra menor terão giro completo. b. Figura 4.6 - Mecanismo Grashof de dupla manivela com a fixação da ban a menor. Um mecanismo duplo-balancim é formado quando a barra oposta à menor é tomada fixa, a barra oposta à barra c, 47 Mecanismos Articulados lixa terá giro completo relativo às suas barras adjacentes. / I Ia 1/x X // j \y f /X * iX -yxH. Adx IX y iX% ^ yx /x\ yv\ c Fipurn 4-7 - Duplo balancim Grashof com a fixação da bana oposla à menor, Se íJ -f- /) = c + os mecanismos possíveis serão idênticos aos anteriores, porém terão um problema envolvendo o sentido de rotação nos pontos de mudança (onde os pares cinemáticos tomam-se eoline- ares). Neste ponto deverá ser emprestada alguma forma de auxílio ao sistema para assegurar a continuidade no sentido de rotação da contra- manivela , Saiba mais: Define-se *'ponto de mudança" quando três ou mais pares cine- máticos tornam-se colineares. Com estas dimensões só serão possíveis duas inversões, como mostrado na figura 4.8 c os mecanismos possíveis irão ter nomes espe- cíficos: paralelogramo- As barras iguais são opostas. Neste caso, todos os quatro possíveis mecanismos são dupla-manivela, figura 4.8o. deltoide - As banas opostas são de tamanhos diferentes, figura 4.8Ô. 48 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras b \ a c \drnmmm ba Figura 4.8 - Exemplos de paralelogramo em (a) e deltóide em (bj. Caso íi l à > c + d, somente mecanismos duplo-balancins re- sultarão, havendo quatro possíveis, dependendo de qual barra seja to- mada como íixa, 4.3.Mecanismo Biela-Manivela No quadrilátero articulado, se um dos pares cinemático for do tipo prismático, com os três restantes rotativos, o mecanismo é denomi- nado “biela-manivela”. Então este pode ser considerado como um caso especial do quadrilátero articulado, figura 4.9, quando uma das barras (normalmente o seguidor) tem comprimento inilnilo. B 45S-& B b ^ prismáticoIb A r/A ! 40 3 /a OA / d V77I f:dwmmm oE s ha Figura 4 .9 * Similaridade do quadrilátero aniculado com o mecanismo biela-manivela. Para este casa não existe um critério de mobilidade como o de Grashofj porém é interessante notar que para que tenhamos um giro completo da manivela, íigura 4.9, sc faz necessário que a barra a seja menor que a barra e que a distância a + b seja menor que o segmento Ofí .A 49 Mecanismos Articulados No caso em que o eixo do seguidor se alinha com o ponto O Figura 4.10, se faz necessário apenas que a barra a seja menor que a barra b. A’ Como no caso anterior, aqui também temos uma nomenclatura particular para o mecanismo biela-manivela, como mostrado na figura 4.10. biela oi acopladorb > d c seguidor ou pistão Figura 4.10 - Nomenclatura para o mecanismo biela- mmiivda. 4.4. Transmissão de Movimento 4.4.1. Qualidade da Transmissão A figura 4.11 mostra a conexão pelo par cinemático rotativo Rab, de duas banas adjacentes a e b,numa cadeia cinemática qualquer. Supondo que a barra a seja a transmissora de movimento, tem-se então a força Fab aplicada por esta à barra b, através do par cinemático RI . Imaginando-se que o centro instantâneo de rotação da barra h seja o ponto (\ a força que efetivamente impõe movimento à barra b será Fnh na direção normal à barra h. A força Fjb tangente à barra b,apesar de comprimi-ta, não participa da realização de movimento desta barra, porém a sua reação no elemento cinemático B da barra a vai participar do movimento desta. De fato F. pode também ser decomposta em Fbú £ r na normal aae F tangente à esta barra. Aqui, novamente F apenas com- prime a barraa,ao passo que Fm participa efetivamente do movimento relativo do ponto B em relação ao ponto A. O ângulo formado pelas forças F e A . é de vital importância na transmissão do movimento, cm particular, é fácil notar que se este ângulo fosse reto, Ftb ínexistiria e em consequência, toda a força F seria aproveitada pela barra b. 50 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras / / / 55 b / dh b Figura, 4*11 - Transmissão de movimento em bairas adjacentes, em (a) esforços transmitidos e em (6) velocidades relativas. A figura 4.11b substitui as força F c pelas velocidades (velocidade relativa do ponto B cm relação ^4) e v velocidade absoluta dc B cm relação a C\ uma vez que estamos tomando í 1 como centro instantâneo de rotação da barra b. Em função disto, podemos agora definir: â ngulo de transmissão -menor ângulo entre as direções do vetor velocidade relativa vnA da barra conduto-BA ^ra e a direção da velocidade absoluta v da barra conduzida. O valor ótimo, do ponto dc vista da transmissão é (p = 90°\| a tolerância recomendada é de ±50".Assim sendo, um mecanismo cujo ângulo de transmissão cm dado instante c <p - 90" - a, tem o mesmo mé- rito que um ângulo dc transmissão <p = 90° + a , veja a figura 4.12o. Portanto, o ângulo formado pelas barras a e b,figura 4,12, tam- bém pode ser tomado como o ângulo de transmissão <p cm qualquer instante. BC Fique ligado: Quanto JTW/s oangulo de transmissãoseaproximar de 90°,me- lhor seráaqualidadedú transmissãoi Ângulos menores que40a ou maiores que 1300 só serão aceitos se houver compensação de movimento. 51 Mecanismos Articulados Íiíj 4b /w—\ % / haa / \/ V A AC C ba Figura 4.12 - O angulo entre as velocidades rB e vBCtem o mesmo efeito que o ângulo for- mado pelas banas, uo que diz respeito a transmissão do movimento 44*2, Posiçõesde Pontos Mortos Com base na qualidade da transmissão do movimento, dizemos que há uma posição de ponto morto quando duas barras adjacentes da cadeia assumem uma configuração tal que passam ater duas posições de ponto morto relativas a um dado par cinemático, figura 4.13, h\a t' \ 9 f f - a - -Bv ^ / \a 9(fHX A ba Figura 4.13 - Duas posições de ponto morto sào pos- síveis para um par cinemático rotativo. A importância das posições de ponto morto se deve ao fato de que para estas posições a força transmitida não favorece a rotação da barra receptora, sendo totalmente usada para compressão ou tração desta, pois aí o ângulo de transmissão, veja no parágrafo anterior é de 180°. 4.4.3.Transmissão no Quadrilátero Articulado No quadrilátero articulado, é possível se saber de antemão os valores máximo e m í nimo do ângulo de transmissão em função das di- 52 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras mensões das quatro barras. Nos mecanismos Grashofo ângulo de maior importância é o formado peia barra acopladora com a baixa seguidora. Seja então o mecanismo Grashof com as dimensões d para a barra lixa, a para a manivela, b para o acoplador e c para o seguidor. C A mmmm Figura 414 - Ângulo de transmissão em mecanismos de quatro barras. O angulo de pressão tp,formado pelas barras bcc será máximo quando o lado oposto a este ângulo, segmento BD, for máximo, e será mínimo quando este lado também o for i )a geometria plana, nós sabemos que as posições de máximo e mínimo do segmento BD ocorrerão para as duas posições de ponto mor- to das barras a c d relativas ao par cinemático rotativo A, figura 4, 15a e 4.15h respectivamente. b a BB da A A ha Figura 4.15 - Em (o) máximo angulo de transmissão e em ( £») minimo para o quadrilátero Grashof. Para o primeiro caso, as barras a e d somam-se formando o triângulo BCDt e então: 53 Mecanismos Articulados ( a + d )2 = b2 + c- 2bc cos <p 4-2ma.\ e para o segundo caso, o triângulo BCD c agora formado pela barra d menos a barra a, tendo-se , em consequência a relação: ( d - a ) 2 = b2 + c2 2bc cos <p 4-3min As equações (4.2) e (4.3), após reordenadas, podem ser escritas sob a forma: -a1 + b1 + r - d1 - 2adçw = arc cos( ) 4-42hc e — a2 + b’ + c2 — d2 + ladarc cos( 4-52bc 4.5. Plano Acoplador Se imaginarmos um plano solidário ao acoplador de um meca- nismos de quatro barras comum ou do tipo biela-manivela, um ponto qualquer deste plano irá descrever uma curva fechada quando a mani- vela completar um ciclo, assim para várias pontos distintos, teremos várias curvas, figura 4.16. Estas curvas são conhecidas como curvas do acoplador. A quantidade de curvas possíveis é infinita e podem ser expressadas por equações de sexta ordem para o mecanismo de quatro barras e quarta ordem para o mecanismo biela-manivela. R \ Figura 4*16 - Plano do acoplador e curvas do acopla- dor uo quadrilátero articulado. 54 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras Figura 4.17 - Plano do acoplador e curvas do acopla- dor o mecanismo biela-manivela . Uma caracteristica do quadrilátero articulado plano, predita pelo teorema de Robert-Chebyshev, é que dado um ponto Mpertencen- te ao plano acoplador e sua respectiva curva, figura 4.18, existirão dois outros mecanismos, figura 4.19a e 4.19i, também articulados de quatro barras o denominados mecanismos parentes, que geram a mesma curva descrita por M. Figura 4.18 - Curva gerada pelo poulo jlíf pertencente ao plano acoplador. 55 Mecanismos Articulados c1 ; / / P_ NM or A r / o, y *aFigura 4 19 - Mecanismos parentes { a ) e (b ) geiam a mesma curva descrita pelo ponlo A/ do mecanismo anterior, A construção destes mecanismos fica evidenciada na figura 4.20, observando-se a semelhança de triângulos e dos paralelogramos formados pelos lados destes. ' A- OC / l \ Á_ j \/ Y Figura 4.20 - Obtenção dos mecanismos parentes a partir do mecanismo original . As figuras 4.21, 4.22 e 4.23 ilustram a utilização de curvas de pontos do acoplador em vários tipos de mecanismos. 56 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras Figura 4.21 - Fxenipío fie utilização de curva cio aco- plador na cadeia de Janaeo permitindo o movimento das pernas do mecanismo. vySSJSAe , Lapidação Esférica r j vO ro QJ Co. O o Figura 4.22 - Utilização de curvas do acoplador no mecanismo para lapidação de diaman- tes. 57 Mecanismos Articulados Figura 4.23 - Transportador de tijolos com base emcurva do acoplador. 58 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras Exercícios 1 . Faça um esquema equivalente ao da figura 4.1 para os mecanismos mostrados abaixo c subdivida-os em cadeias simples de quatro bar- ras. Figura 4.24 - Mecanismo de basculamento de um tra- tor e mecanismo de uma prensa hidráu- lica, 2. Tente mostrar pelo menos seis exemplos de mecanismos reais que utilizem quadriláteros articulados, seja em cadeias compostas ou simples. 4. Faça um esboço das trajetórias dos quatro mecanismos não Grashof existentes, 5. No mecanismo biela-manivela da figura 4.9b, laça uma análise re- ]acionando os comprimentos das barras a e b e também do ângulo de inclinação do seguidor» no sentido de verificar a possibilidade de giro completo da manivela. 6. Com relação às posições de pontos mortos; a.quais os problemas existentes? b. quais as soluções práticas poss í veis? c. este é um problema típico de par cinemático rotativo? d. mostre as posições críticas c problemas acarretados para os mecanismos “deltoide1* e "paralelogramo1? 59 Mecanismos Articulados 7, Determine a qualidade da transmissão, faça um grálico, para o me- canismo Grashof em que: a = 2 c — 4 b = 6 d = 5 8. Determine os mecanismos parentes para os quadriláteros articula- dos e correspondentes pontos M de seus planos acopladores para as figuras 4,25a e 4.25h mostradas abaixo, Figura 4,25 - Quadriláteros articulados com pontos no plano acoplador. 60 Capítulo 4 - Mecanismos de Quatro Barras Referências Bibliográficas D. B. MARGHITU - Kinematic chains and machine components de- sign -Elsevier Academic Press, 2005. R.I.. NORTON - Design of machinery: an introduetion to the synthe- sis and analysis of mechanisms and machines McGraw-Hill, Fourth Edition 2007. J. E. SIIIGLEY - Cinemática dos Mecanismos - Ed. Edgard Biitcher, 1970. S. DOUGHT - Mechanies of Machine - John Wiley & Sons lnc, 2001. D. C. TAO-Applied Linkage Synthesis-Addison-Wesley Publishing, 1974. C. S. SHARMA, K. PUROHIT - Theory of Mechanisms and Machines- Prentice-Hall, New Delhi, 2006, 61 Mecanismos Articulados 62 Coeficientes de Velocidade O conceito de mecanismo, como já visto anteriormente, está intrinsecamente ligado à ideia da modificação de movimentos; a cadeia cinemática recebe o movimento através de uma "‘barra de entrada" e o transforma para um novo movimento externando-o por uma “barra de saida'\ A relação entre este movimento de saída pelo de entrada é dc suma importância e vem facilitar a análise e desenvolvimento das expressões finais principalmenle na obtenção das acelerações cm me- canismos de barra. Neste tipo de mecanismo esta razão recebe o nome de Coeficiente de Velocidade c em outros tipos mecanismos razão ou relação de transmissão. 5.1,Posicionamento das Cadeias Cinemáticas Ioda eadeia cinemática, seja ela imposta ou não, terá uma sis* tema de coordenadas generalizadas associado envolvendo coordenadas conhecidas ou predeterminadas, chamadas aqui de coordenadas prin- cipais q. e coordenadas desconhecidas inicialrnente ou a se determinar, chamadas coordenadas secundárias s.. Em particular, toda bana da ca- deia deverá ter a sua coordenada generalizada seja cia do tipo principal 63 Mecanismos Articulados ou secundária, pois assim toda a cadeia poderá ser descrita em termos de deslocamentos, velocidades e acelerações. 5.2.Coeficientes de Velocidade No caso das cadeias impostas apenas uma coordenada princi- pal se fará necessário. Vamos supor conhecidas, para esta coordenada, a posição q , a velocidade q , ca aceleração r/ , em qualquer instante de tempo. Se a cadeia tiver n+2 banas, a quantidade de coordenadas generalizadas necessárias para a sua descrição será n-1, pois teremos n coordenadas secundárias c mais uma coordenada principal, notando que a barrafixa - terá que haver uma, pois trata-se de cadeias impostas - não necessita de coordenadas para o seu posicionamento. A expressão 5-1 a seguir define este sistema de coordenadas generalizadas, sendo q a coordenada principal e A\, í = L.n, as coordenadas secundárias. (q, Si , Sj , s3 , ” • ,s„ ) 5-1 Saiba Mais: A coordenada generafizada para a qual se conhecem os com- ponentes de deslocamento, velocidade e aceleração ê chama- da principal\ as demais são secundárias. O coeficiente de velocidade, que será denotado aqui pela letra ft, é específico para cada barra da cadeia e, consequentemente para cada coordenada generalizada c delinido pelo quociente da velocidade desta barra íf dividido pela velocidade da barra principal </ , barra esta sempre associada à coordenada generalizada principal, veja a equação 5-2. s,h = * 5-2 Também, como tantos autores, aqui estaremos utilizando a clássica notação de ponto sobre a variável para denotar derivada em relação ao tempo. ,_ dq dst 5-3q = e Si =dl d t 64 Capítulo 5 - Coeficientes de Velocidade Note que esta definição dada em 5-2, pode sei matematicamen- te desenvolvida da seguinte forma: dsi dl_ _ dsL dt dq dq E chegamos à expressão definitiva para o coeficiente de velo- cidade na forma: dSi Si dl 5 -4dqQ dt dsik = 5 -5dq que é bastante prático e conveniente, vez que normalmente não dispo- mos da velocidade A. para utilizarmos a expressão 5-2 na obtenção do coeficiente de velocidade. Fique Ligado: O coeficiente de velocidade para uma dada coordenada, tam- bém pode ser obtidopeladiferenciaçãodesta em relaçãoá Co- ordenada principal (ks= ds/dq), 5.2.1.Obtenção da Veloddade a Partir do Coefkiente de Velocidade E imediato que se tivermos o coeficiente de velocidade para uma barra qualquer, poderemos obter a velocidade desta barra a partir da equação 5-2 da seguinte forma; Si — qk E será esta a forma tnais conveniente de se obter a velocidade e a preferencialmente utilizada em nossos estudos. 5.2.2. Obtenção da Aceleração a Partir do Coeficiente de Velocidade Diferenciando-se diretamente a equação 5-6 em relação ao tempo, obtém-se: + aa-| » Ar = qkt + q 5-6 dk, 5-7d! dk pode ser desenvolvido matematicamente daPorém o termo seguinte maneira: dt 65 Mecanismos Articulados dk; _ dkj dg _ dki dt ~ dq dl ~ 1 \ A expressão 5-8dq ~ damos o nome de ‘"Coeficiente da Aceiera-dq ção" e vamos representá-la pela letra /, sendo assim: dk ,ti 5-9dq E, desta forma, a equação 5-7 pode ser reescrita: i: — qki + í/2 S/ 5-10 Observe: Apesar de receber o nome de coeficiente da aceleração a ex- pressãodk/dq é diferente da razão s q, como poderíamos ini- dalmente pensar. Perceha que k è função de todas as variáveis no sistema de coordenadas generalizadas utilizado e portanto, nós podemos utilizar a regra da cadeia para funções de várias variáveis, na obtenção do coefi- ciente da aceleração, como mostrado na expressão 5-11. dk , _ dki , 3^ dSí_ dk . ds_dq dq dsi dq 3í2 dq dk ; ds»2- +t( = + 5-11r 3.v, dq Ou: dk; | dk,íi = k j 5-12dq dsjJ = 1 Que facilita sobremaneira o cálculo de Como exemplo elucidativo da obtenção dos coeficientes de velocidade c aeeleraçao vamos supor uma cadeia cinemática em que o sistema de coordenadas generalizadas seja (0, a3 [i) e que para esta tenhamos as seguintes equações de restrição: 66 Capítulo 5 - Coeficientes de Velocidade acos0 + bsen a + c cos0 - c — 0 [a sen 0 r bcos a — csen 0 Derivando este sistema na variável 8 e lembrando que a e fi são funções de 0, vem: F -a sen 0 + b = 0 d0da sen 0 — 0 cos/i = 0 COSO’ - cdl) dO Aacos0 - b . A sen a —dfí dO Substituindo os valores de da/dd por ko e dfi/dd por k„c rearran- jando o sistema, teremos: bknCosa — ckn sen 0 = a sen 6 hka sen a + cklt cos0 - a cos 0 % Agora temos um sistema linear nas incógnitas k;i e k perfeita- mente solúvel e cuja solução é mostrada a seguir: t _ a sen (0 + 0) b sen ( a +0) a cos(ar + 0) c sen ( a +0) Para o cálculo dos coeficientes da aceleração vamos utilizar a equação 5-11, obtendo primeiramente / : kg — 9k„ 9k „ 3k «<L= kc, t k30 "30 ' 3a onde: 9A„ _ a cos (0 + 8) 30 b sen {a 3- 0) 3ka _ ci cos(a + 0)sen {0_+ 0) 3a b [sen ( a + 0) ] 2 9kg _ a sen ( a- ff ) 30 b [sen (a +0)Y 67 Mecanismos Articulados e em seguida /.: dk dk dkL +30 3a L + í kí/t = onde: 3kti g sen ( a + &) 3Ô c sen (a -f /?) a ços (0 - 0) c [sen (cr + 0)Y cos( a + f j ) cos ( a + 0 ) [sen ( a + 0) }2 38 " Bkt 3a 3k /s a 38 c 5.3 Extensão às Cadeias não Impostas Para cadeias não impostas (dois ou mais graus de liberdade) se fará necessário uma coordenada generalizada principal para cada grau de liberdade, pois só assim o posicionamento da cadeia poderá ser des- crito. Suporemos então conhecidos, para cada uma destas coordenadas, as posições qrtr = L.m,as velocidades q,,e as acelerações q,,em qual- quer instante de tempo. Se a cadeia tiver rt+m+1 barras, a quantidade de coordenadas generalizadas necessárias para a sua descrição será n-m, sendo n a quantidade de coordenadas secundárias e m a quantidade de coordenadas principais, notando-se maiis uma vez que a barra fixa não necessita de coordenadas para o seu posicionamento. A expressão 5-13 define este sistema de coordenadas generalizadas, sendo q r = L.m,as coordenadas principais e S , i = l,.n, as coordenadas secundárias. (q,, q2,q3, - - •,qw,Si ,Si ,Sj, Agora vamos ter um coeficiente de velocidade associado a cada coordenada principal, este será denotado aqui pela letra k onde o pri- meiro índice (/) denota a barra secundária e o segundo índice (/ ) denota a barra principal, teremos então m “coeficientes de velocidade” para cada barra secundária na cadeia e, não esquecendo de notar também que cada variável secundária s.depende de todas as variáveis principais q r 1„m, c somente delas pelo conceito de número de graus de liberdade, ou seja s. - f(q, ,q , ), pode-se definir o “coeficiente dc velocidade s„ ) 5-13v 68 Capítulo 5 - Coeficientes de Velocidade pela expressão: 3i',k, - - 5-14àq, Novamente nós devemos perceber a facilidade do cálculo de k a partir da equação montada para cada s., pois a derivada é parcial. Fique Ligado: Nocaio de cadeias não impostas irão existir *im" coeficientes de velocidade para cada barra secundária nacadeia, 5.3.1.Velocidade em Cadeias não Impostas Mais uma vez notando que a variável s{ depende das variáveis principais qf , r = l ..m, ou seja si a derivada de j em relação ao tempo pode ser obtida apl ícando-se a regra da eadeia para funções de várias variáveis: dtu dfr . 3f, dg dt 3í/I dt 9i}2 dl E, percebendo que pressão final para a velocidade de cada barra secundária em cadeias não impostas dada pela equação 5-16 abaixo. Si = 2kjdsJ-i Apesar de parecer complexa, esta expressão é bastante fácil de ser calculada, como veremos no capítulo 7 com a obtenção simplificada de lodos os k.'s pelo método matricial. 5.3.2.Aceleração emCadelas não Impostas Diferenciando-se diretamente a equação 5-16 em relação ao tempo, obtém-se: dSj dqM 3qm dl = ki„ ficamos com a ex- 5-15Si = 1 * dq. 3.V;= Qr edt dqr 5-16 dktiSi - £ U/ jkji + q 5-17J dt 69 Mecanismos Articulados é/ kMij pode ser desenvolvido matematicamente daPorem o termo seguinte maneira: dkis i /f ^ dkjj dgr( )qr dt onde m representa a quantidade de coordenadas principais e n a quanti- dade de coordenadas secundárias, veja capitulo 7, teremos novamente o nosso “Coeficiente da Aceleração" dado por: VírT 0<i' df \ 'Okij <! ,H=£o 5-18dt dt r=l ^ Ok:: ( /.S1f J 5-19A? — Ífí j .-=1 E então a equação 5-17 se transforma em: m I -YjUhk, i c/ jy 5-20 J = ' 5A Dimensão do Coeficiente de Velocidade Desde que estaremos lidando com cadeias planas, os pares cinemáticos envolvidos serão somente do tipo rotativo e /wròjwdftco, como consequência poderemos ter movimentos angulares e lineares para as barras. Desta fornia ê possível se ler uma razão entre velocida- des que não seja adimensional como por exemplo uma velocidade an- gular dividida por uma velocidade linear ou vice-versa, E então, quandoisto acontecer (dimensão existente para o coeficiente de velocidade), devemos informar esta dimensão ao fornecer os valores de k , como_ r por exemplo“cm " quando a variável secundária é linear e a principal é angular ou “l /cm ”, em caso contrário. Já o coeficiente da aceleração sempre terá dimensão “ }/seg” (ou o inverso de outra unidade de tempo qualquer), mas pode ter esta dimensão acrescida da unidade linear em cm 'seg quando a variável se- cundária for linear e a principal for angular ou“1/cm.seg" no caso in- verso. 70 Capítulo 5 - Coeficientes de Velocidade Exercícios 1. Deduza a expressão para a aceleração, em cadeias impostas, a partir da equação 5-6, reescrita abaixo. Si - qki 2. Uma cadeia cinemática tem (d, <p,x) para o seu sistema de coorde- nadas generalizadas c, com este sistema as seguintes equações de restrição: o cos0 + xcos <p b = 0 a sen 6 — x sen <p Determine os coeficientes de velocidade k e k e também os coefi-q? x cientes da aceleração / e l .T <p x 3. Uma cadeia cinemática com dois graus de liberdade, tem ( 0V 0,, <p ) para o seu sistema dc coordenadas generalizadas c permite montar as seguintes equações de restrição: acos0\ + bcos + c cos <p — d = 04 a sen Oi + bsen ft + c sen <p - e = 01 L Sabendo-se que 6í e 0 , sâo coordenadas principais, determine o co- eficiente dc velocidade c aceleração / para a coordenada (p. 4. Resolva o problema anterior supondo agora que as duas coordena- das principais são linearmente dependentes com 8= 20v 5. Na figura abaixo, A- é a coordenada principal e a e y são secundárias. Determine os coeficientes dc velocidade c aceleração. = 0 y a .«i- XFigura 5. J - Cadeia de quatro barras com coordena- das generalizadas x, a e y. 71 Mecanismos Articulados Referências Bibliográficas J. E. SHIGLEY, J.J. UICKER - Theory of Machines and Mechanisms -McGraw-IIill, Second Edition 1995. S. DOUGHT - Mechanics of Machine - John Wiley & Sons Inc, 2001 . C. S. SIIARMA, K. PUROHIT - Theory ofMechanisms and Machines - Prentice-Hall, New Delhi, 2006, 72 Cadeias Impostas, Análise Os conceitos de cinemática da partícula e cinemática de corpos rígidos, aqui considerados dc conhecimento do aluno para uma aborda- gem deste curso são de grande valia para a análise dos mais diversos tipos de sistemas e em particular também para as cadeias impostas em geral, mas esle método vai requerer uma análise detalhada para cada bana da cadeia, tornando difícil e complexa a sua aplicação. Este ca- pitulo visa desenvolver métodos específicos às cadeias impostas com base cm conceitos matriciais de forma a se ter uma análise facilitada por uma abstração de detalhes das barras e buscando uma abordagem conceituai, tendo como base a cadeia global. Para que tenhamos uma ideia inicial do método, vamos primei- ramente aplicá-lo, de forma prática a uma cadeia imposta de quatro bar- ras por ser esta a cadeia mais simples possível E para facilitar mais ain- da a nossa análise, vamos escolher o mecanismo biela-manivela cujas equações de deslocamento, velocidades e acelerações sao de íaeil ob- tenção, posteriormente far-se-á aplicação deste desenvolvimento para cadeias compostas impostas contendo um número qualquer de barras. 73 Mecanismos Articulados 6.1.Mecanismo Biela-manivela 6.1.1. Análise de Posição Seja a composição de vetores mostrada na figura 6.1h para o mecanismo 6. lo. Podemos então escrever a seguinte equação vetorial: a + h — x = Ó 6-1 -V ba Figura 6^1 - Mecanismo Biela-Manivela (a) e uma das possíveis composições vetoriais cm (b). Decompondo os vetores da figura 6.1b segundo as direções x c y, iremos obter o sistema de equações não lineares nas incógnitas <p c .v. acos0 + bcos <p — x = 0 asen 0 bsen <p ft> Este sistema fornece de imediato a solução para o deslocamen- to angular <p pela equação: 6-2= 0 <p - uresen ( ~ sen 0) 6-3 O valor de x pode ser obtido, isolando-se os quadrados de cos <p e seu <p em cada linha e soinando-as, para obter: x — acos0 ± v b O sinal negativo do radical pode ser eliminado notando que para 0 - K/2 teríamos .v negativo, sendo isto impossível para a geome- tria apresentada, ficamos então com; 3 a1sen2 d 6-4 74 Capítulo 6 - Cadeias Impostas, Análise x — acosO + v b~ — cr sen 2 77 Como o valor final do deslocamento x. 6-5 6.1.2. Velocidades Após a aplicação das equações 6-3 e 6-5 podemos considerar conhecidos os deslocamentos e eonsequentemente os valores de <p e x. Cabe também lembrar que as variáveis a.b, e 6 são fornecidas de ante- mão como dados de projeto. Derivando-se o sistema de equações (6.2) na variável principal 6,obtém-se: d(p ãx— a sen 6 — b = 0írsen çjde âô 6-6 acos0 - b ,,. cosç - 0d0 Porém, como visto no capítulo cinco, podemos substituir as de- rivadas de <p c de v, em 0, pelos respcctivos coeíicientes de velocidade e licamos com: asen 0 — bk„,sen <p acos0 - bk<>,cos <p fc, = 0 6-7= 0 que c linear nas incógnitas k c kx,e podemos colocá-lo em um arranjo matricial, equação 6-8, de forma a se ter uma melhor compreensão: — asen 0 a cos 0 í> sen (£> I I /;», ,í> COS çJ ORJtx. Designando por: bsen <p I bcos <p 0 a matriz principal do sistema, sua inversa será: 6-8 M 6-9 0 1„1M ~1 6-10h cos <p - bcos (f> b sen <f> Efetuando o produto da mesma em ambos os lados da equação 6-8, obtém-se: 75 Mecanismos Articulados — I — sen6 bcos <p bsen <p cos0 K1 0— a 6-11JfcJ frcos çc E finalmente: a cos0 b cos cp sen_( çp COS çJ E,como visto no capítulo cinco, podemos determinar a veloci- dade angular da barra b,pelo produto de k pela velocidade angular da barra principal. kf í 6-12> ~ H kt Sa cos 0 b QOS <p<p = 0 6-13 e a velocidade linear do pistão, pelo produto de k pela veloci- dade angular da barra principal. . Ascntp + É') 6-14cos ç> 6.1.3. Acelerações Aqui também, consideraremos conhecidos, além dos parâme- tros já mencionados anteriormente, a aceleração angular da barra a. Aplicando-se a equação 5-10, teremos: s = DA:+ %% onde: 6-15 K 'K ~ 6-16.k,, e: dk, 1 f ok, . dk« . dk, ,-fc + Le dOdO d(p 3.vPL = - 6-17dk. Dk, Dk , dke A-, + %-k,dO 30 d <p 3x 76 Capítulo 6 - Cadeias Impostas, Análise Calculando-se as derivadas parciais na matriz L, obtém-se: a sen 0 b sen ç? h cos:tp cos(ç> + 9) _ cos(2p + ff ) cos <y cos‘ç> Cuja substituição e equacionamento dos ks fornece: — Mtan 0 + À̂ tanp) jp kx ( 2 cot { <p + 0) - tan çj) 1: linalmcnte o valor da aceleração será dado por: — fc», ( tan 0 + &„ tan <p) kI ( 2 mt { <p + 0) — tun ©) a sen <pcos0 kp + 0kx L = i 6-18 k„+ 0kx L 6-19 h I Cr 'S = P = 0 + (r 6-20kAx 6.1.4.Substituição Numérica Considerando-se uma velocidade angular constante para a bar- ra a (Ó - cte) e uma relação entre b e a da ordem 3, foi possível se levantar, numericamente, os gráficos de deslocamentos, velocidades e acelerações, figuras 6.2 e 6.3, para as variáveis <p e v, em função do des- locamento angular 6. A divisão de cada ponto das curvas pelo seu valor máximo positivo, normalização, tem por objetivo enquadrar as curvas no intervalo [-1,1] no eixo das ordenadas. <p 0*• l<2J i£t / i ** O* t * 2 64 * *Z-A\ #il«J - IA Figura 6 2 Gráficos de deslocamento, velocidade e aceleração para a variável <p. 77 Mecanismos Articulados i X *l *J * » / *L** r°/Aè 4 V / * 1/ X - r Figura 6.3-Gráficos de deslocamento* velocidade eaceleração para a variável x. 6.2. Caso geral 6.2.1.Montagem do Sistema Vamos supor um mecanismo qualquer, tendo movimento im- posto, e com í7-l 1 coordenadas generalizadas descrevendo-o com o se- guinte sistema: ( q,Si,s2, fo, , Sn ) 6-21« - i Onde as coordenadas s , i — dependem diretamente da coordenada principal q e, dado que a cadeia é imposta, isto permitira a formação de n equações de restrição, obtendo-se o sistema de equações não-lineares mostrado a seguir: MQ SUSUSI , . -V,) 0m H vJ = 0i + * 1 6-22 . Sn) = 0 Saiba mais: A coordenada generalizada para a qual se conhecem os com- ponentes de deslocamentot velocidade e aceleração é chama- da principal,as demais sdo secundárias, 78 Capítulo 6 - Cadeias
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