Geo Ana Vetorial

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Geometria
analítica
licenciatura em
matemática
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C
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 3
vetorial
Ministério da Educação - MEC
Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal de Nível Superior
Universidade Aberta do Brasi l
Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Ceará
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
Fortaleza, CE
2008
Licenciatura em Matemática
Geometria Analítica Vetorial
Marcos Antônio de Macedo
Créditos
Presidente
Luis Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário da SEED
Carlos Eduardo Bielschowsky
Diretor de Educação a Distância
Celso Costa
Reitor do IFCE
Cláudio Ricardo Gomes de Lima
Pró-Reitor de Ensino
Gilmar Lopes Ribeiro
Diretora de EAD/IFCE e 
Coordenadora UAB/IFCE
Cassandra Ribeiro Joye
Vice-Coordenadora UAB
Régia Talina Silva Araujo
Coordenador do Curso de 
Tecnologia em Hotelaria
José Solon Sales e Silva
Coordenador do Curso de 
Licenciatura em Matemática
Zelalber Gondim Guimarães
Elaboração do conteúdo
Marcos Antônio de Macedo
Colaborador
Marília Maia Moreira
Equipe Pedagógica e Design Instrucional
Ana Claúdia Uchôa Araújo
Andrea Maria Rocha Rodrigues
Cristiane Borges Braga
Eliana Moreira de Oliveira
Gina Maria Porto de Aguiar Vieira 
Jane Fontes Guedes
Lívia Maria de Lima Santiago
Luciana Andrade Rodrigues
Regina Santos Young
Equipe Arte, Criação e Produção Visual
Benghson da Silveira Dantas
Davi Jucimon Monteiro 
Diemano Bruno Lima Nóbrega
Germano José Barros Pinheiro
Hommel Almeida de Barros Lima 
José Albério Beserra 
José Stelio Sampaio Bastos Neto
Larissa Miranda Cunha 
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Roland Gabriel Nogueira Molina
Equipe Web
Aline Mariana Bispo de Lima 
Antonio de Pádua Madeiros Alves Filho
Benghson da Silveira Dantas 
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Luiz Alfredo Pereira Lima
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Samantha Onofre Lóssio 
Tibério Bezerra Soares
Thuan Saraiva Nabuco
Revisão Textual
Aurea Suely Zavam
Nukácia Meyre Araujo de Almeida
Revisão Web
Débora Liberato Arruda Hissa
Saulo Garcia
Logística
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Secretários
Breno Giovanni Silva Araújo
Francisca Venâncio da Silva
Auxiliar
Zuila Sâmea Vieira de Araújo
Maria Tatiana Gomes da Silva
Carla Anaíle Moreira de Oliveira
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Macedo, Marcos Antônio de.
 Geometria analítica vetorial / Marcos Antônio de Macedo; Coordena-
ção Cassandra Ribeiro de Oliveira e Silva. - Fortaleza: UAB/IFCE, 2008.
 123p. : il. ; 27cm.
ISBN 978-85-475-0005-4
 1. GEOMETRIA ANALÍTICA 2. VETORES (MATEMÁTICA) I. Silva, 
Cassandra Ribeiro de Oliveira e. (Coord.) II. Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCE III. Universidade Aberta do Brasil IV. 
Título.
CDD – 516.3
M141g
Catalogação na Fonte: Etelvina Marques (CRB 3 – Nº 615)
SUMÁRIO
AULA 2
AULA 3
AULA 4
Apresentação 7
Referências 123
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Currículo 124
Introdução a vetores 8
Sistema de coordenadas tridimensional 9
Introdução a vetores 14
Decomposição no plano e no espaço 21
AULA 1
Produto interno 28
Representação geométrica do produto interno 29
Expressão cartesiana do produto interno 33
Duas aplicações tradicionais do produto interno 38
Produto vetorial 43
Produto vetorial 44
Produto misto 51
Demonstrações das propriedades 56
Reta 61
Equações da reta 62
Posições relativas entre duas retas 67
6 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Plano 72
Equações do plano 73
Complemento sobre planos 80
AULA 6
AULA 7
AULA 8
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
AULA 5
Distâncias 84
Distância envolvendo ponto e reta 85
Distâncias envolvendo ponto e plano 91
Cônicas 96
Elipse e círculo 97
Hipérbole e parábola 102
Transformação de coordenadas 109
Translação de eixos de coordenadas 110
Rotação de eixos de coordenadas 114
7APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), 
A disciplina Geometria Analítica Vetorial tem como objetivo familiarizar o aluno com os conceitos 
fundamentais da Geometria Analítica e Vetores, fornecendo-lhe um conjunto de ferramentas 
que permitam avançar nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Física e Álgebra Linear.
A disciplina está estruturada em duas partes: vetores e geometria analítica. Na primeira parte, 
são introduzidas as propriedades e operações com vetores de maior relevância, considerando 
que o estudo desses elementos é de fundamental importância para compreensão e 
entendimento da geometria analítica.
Na segunda parte, é realizado um estudo acerca das retas e dos planos no espaço 
tridimensional, utilizando-se como ferramentas básicas as principais operações e 
propriedades dos vetores, além de uma abordagem sobre transformação de coordenadas.
No desenvolvimento dos conteúdos, procuramos seguir sempre uma ordem lógica na 
apresentação dos temas. Dessa forma, pretendemos facilitar e fornecer condições para que 
os próprios alunos avancem de modo progressivo no domínio da disciplina.
Como parte de sua avaliação, você deverá resolver, ao final de cada aula, um conjunto de 
exercícios cujo grau de complexidade aumenta de forma gradativa desde os conceitos mais 
básicos aos mais complexos.
A partir de agora, convido-os a viajar nesse mundo da geometria analítica.
Bons estudos!
Marcos Antônio de Macedo
8 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Caro(a) aluno(a),
Nesta aula será introduzido o conceito geométrico e analítico de vetores, os 
quais serão utilizados como ferramenta imprescindível nas aulas subsequentes, 
permitindo a você, a formação de uma visão espacial dentro da geometria analítica 
tridimensional.
Objetivos
• Introduzir a linguagem geométrica de vetores coligada às técnicas algébricas 
que envolvem coordenadas
• Desenvolver uma visão integrada com os problemas de geometria resolvidos 
por meio de técnicas algébricas
AULA 1 Introdução a Vetores
9AULA 1 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Sistema de coordenadas tridimensional
ObjetivOs
• Apresentar a ferramenta básica para o estudo da 
geometria analítica e vetores
• Identificar um ponto no sistema de coordenadas 
tridimensionais
Neste tópico será abordado o sistema de coordenadas retangulares tridimensionais (ou sistema de coordenadas cartesianas), elemento básico e ferramenta fundamental no estudo da geometria analítica. 
A palavra cartesiano se deve a René Descartes, conhecido como Cartesus. No 
sistema cartesiano, x recebe o nome de abscissa, y de ordenada e z o nome de cota.
1.1 SISTEMA COORDENADO RETANGULAR TRIDIMENSIONAL
Vimos na geometria analítica plana que, para localizar um ponto no plano, 
são necessários dois números reais, ou seja, qualquer ponto do plano pode ser 
facilmente representado como um par ordenado (a,b) de números reais, onde a é a 
coordenada x e b é a coordenada y. Para localizar um ponto no espaço, precisamos 
de três números reais (a, b, c).
Para representar um ponto no espaço, 
precisamos, primeiramente, fixar um ponto 
0, chamado de origem, e três retas orientadas 
ortogonais entre si passando por 0, que 
denominamos eixos coordenados 0x, 0y e 0z, 
como ilustrado na figura 1.
s a i b a m a i s !
Conheça mais sobre o renomado matemático 
acessando o site https://educacao.uol.com.br/
biografias/rene-descartes.htm.
10 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Figura 1 – Sistema de eixos cartesianos
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto temos três 
planos coordenados: o pano x0y ou xy, o plano x0z ou xz e o plano y0z ou yz, 
como mostra a figura 2. Os três planos se interceptam dividindo o espaço em oito 
regiões,cada uma delas chamada octante. O primeiro octante é determinado pelos 
eixos positivos (figura 2).
Figura 2 - Planos coordenados
A cada ponto P do espaço vai corresponder uma terna (a, b, c) de números 
reais, chamadas coordenadas de P e denominadas abscissa, ordenada e cota, 
respectivamente. Para se determinar as coordenadas de P, procedemos da seguinte 
forma:
Baixamos por P uma perpendicular ao plano xy determinando o ponto P’ (projeção 
ortogonal de P sobre o plano xy). As coordenadas de P’ no plano xy representam 
as duas primeiras coordenadas de P que são a e b. A terceira coordenada de P 
(coordenada c) marcada no eixo z a partir da origem representa a distância de P ao 
plano xy, como mostra a figura 3.
Figura 3 – Coordenadas de um ponto no espaço
11AULA 1 TÓPICO 1
O produto 
    x x x, y, z x, y, z = ( ) ∈{ } é o conjunto de todas as 
triplas ordenadas de números reais e é denotado por 

3. Existe uma correspondência 
bijetora entre cada ponto P do espaço e triplas ordenadas (x, y, z) no 

3, que é 
chamado sistema coordenado retangular tridimensional.
Note que, se um ponto pertence a um 
plano coordenado, uma de suas componentes é 
nula. Em particular:
• O ponto (0, y, z) pertence ao plano yz.
• O ponto (x, 0, z) pertence ao plano xz.
• O ponto (x, y, 0) pertence ao plano xy.
Se o ponto pertence a um eixo coordenado, 
duas de suas componentes é nula. Em particular:
• O ponto (0, 0, z) pertence ao eixo 0z.
• O ponto (x, 0, 0) pertence ao eixo 0x.
• O ponto (0, y, 0) pertence ao eixo 0y.
Vejamos os exercícios resolvidos a seguir.
ExErcício rEsolvido
1. Que superfícies de 

3 são representadas pelas seguintes equações?
a) x 4= b) z 5=
Solução:
a) a equação x 4= representa o conjunto ( ){ }x,y,z / x 4= que é o conjunto 
de todos os pontos de 

3 com coordenada x 4= . Isso representa um plano paralelo 
ao plano yz interceptando o eixo x no ponto (x, 0, 0), como mostra a figura 4a.
b) a equação z 5= representa o todos os pontos de 

3 com coordenada z 5=
. Isso representa um plano paralelo ao plano xy interceptando o eixo z no ponto (0, 
0, z), como mostra a figura 4b.
Figura 4a – O plano intercepta o 
eixo x no ponto (4,0,0)
Figura 4b – O plano intercepta o 
eixo x no ponto (0,0,5)
g u a r d e b e m i s s o !
Em geometria analítica bidimensional, o gráfico 
de uma equação envolvendo x e y é uma curva 
em ²; na geometria analítica tridimensional, 
uma equação que envolve x, y e z representa uma 
superfície em ³.
12 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
1.2 DISTÂNCIA DE DOIS PONTOS
A fórmula bastante conhecida para a distância entre dois pontos em um 
plano pode ser estendida para a seguinte fórmula tridimensional.
2 2 2d(A,B) AB x y z= = D +D +D em que 1 1 1A(x , y , z ) e 2 2 2B(x , y , z )
Para justificar esta fórmula, vamos construir um paralelepípedo, onde A e B 
são vértices opostos e as faces são paralelas aos planos coordenados. Se 1 1 1A(x , y , z ) 
e 
2 2 2B(x , y , z ) são vértices do poliedro (como indica a figura 5), então temos:
2 1 AC x - x= 2 1 CD y - y= 2 1 BD z - z=
Figura 5 – Distância entre A e B no espaço
Como os triângulos ABD e ACD são retângulos, duas aplicações do teorema 
de Pitágoras nos fornecem:
 AB AD BD2 2 2= +
 AD AC CD 2 2 2= +
Combinando as duas equações, vem...
2 2 2 2 AB AC CD BD = + +
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 AB x - x y - y z - z = + +
2 2 2
2 1 2 1 2 1 AB x - x y - y z - z = + +
fazendo 
2 1 2 1 2 1x x x , y y y e z z zD = - D = - D = - temos, 
2 2 2 AB x y z = D +D + D
ExErcícios rEsolvidos
1. Qual a distância do ponto A(2, -1, 7) ao ponto B(1, -3, 5)?
Solução:
2 2 2 AB (2 1) ( 1 3) (7-5) = - + - + +
 AB 1 4 4= + + =3
13AULA 1 TÓPICO 1
2. Determine a equação da esfera de centro no ponto C(a, b, c) e raio r.
Solução: 
A esfera, por definição, é o conjunto de todos os pontos P(x, y, z) cuja 
distância a um ponto fixo C é uma constante r.
O ponto C pertence à esfera se, e somente se, PC r= , ou seja
2 2 2r (x a) (y b) (z c) = - + - + -
2 2 2(x a) (y b) (z c) - + - + - = r 2
Em particular, se o centro é o ponto (0, 0, 0), a equação da esfera fica
2 2 2 2x y z r+ + =
Vimos como identificar um ponto no sistema de coordenadas tridimensionais 
através de suas coordenadas e também como calcular a distância entre dois pontos 
no espaço.
A seguir faremos uma introdução sobre o estudo de estudos.
14 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Neste tópico apresentaremos o conceito de vetor e faremos uma abordagem, ainda que superficial, de suas operações do ponto de vista geométrico.
O termo vetor surgiu na mecânica com o engenheiro Flamengo Simon Stevin 
(O Arquimedes Holandês) quando apresentou, em 1586, o problema da composição 
de forças e enunciou uma regra através de experimentos para se determinar a 
soma de duas forças aplicadas a um mesmo corpo, conhecida hoje como regra do 
paralelogramo.
Assim como a força, certas grandezas, 
além de um número real para indicar sua 
intensidade, precisam de uma direção e um 
sentido (Por exemplo: velocidade, aceleração, 
etc.) Tais grandezas são denominadas grandezas 
vetoriais. Outras grandezas ficam bem definidas 
apenas por um número real, acompanhado 
logicamente de sua unidade de medida 
correspondente (exemplo: 13 kg de massa, 30ºc de temperatura etc). Tais grandezas 
são denominadas grandezas escalares. 
TÓPICO 2 Introdução a vetores
ObjetivOs
• Introduzir a noção de vetor
• Identificar e realizar operações básicas com vetores no plano
s a i b a m a i s !
Acesse ao site https://brasilescola.uol.com.br/
biografia/simon-stevin.htm para conhecer mais 
sobre a vida de Simon Stevin.
15AULA 1 TÓPICO 2
2.1 DEFINIÇÕES
i) Em um segmento orientado XY, chama-
se vetor v
®
 (figura 6) o conjunto infinito de todos 
os segmentos eqüipolentes a XY. Cada segmento 
orientado do conjunto é chamado imagem 
geométrica ou representante do vetor.
Figura 6 – Conjunto de segmentos eqüipolentes
Notações
1. Uma seta em cima de uma letra minúscula. 
Exemplos: a,
®
 b
®
, c
®
, . . . v,
®
w
®
2. Uma letra minúscula sobrelinhada. Exemplos: 
a, b , c, ... v , w .
3. Dois pontos que são origem e extremidade do 
vetor.
Figura 7 - Na representação xy x y
→
= − , x é a origem e y a extremidade do representante do vetor v
Essa última notação é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-
1877) e apresenta uma certa vantagem na prática das aplicações das operações 
algébricas com vetores.
4. Uma terna ordenada de números reais 1 1 1v ( x , y , z )
®
= que representa a 
extremidade de um vetor cuja origem é o ponto 0(0, 0, 0) do sistema de coordenadas 
tridimensionais.
at e n ç ã o !
Dois segmentos são equipolentes quando têm 
a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento.
s a i b a m a i s !
O Matemático Hermann Grassmann é conhecido 
pela sua contribuição no desenvolvimento do 
Cálculo Vetorial Geral, que possibilita o uso de 
um número qualquer de dimensões.
16 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Figura 8 - v x y z
→
= ( , , ) 1 1 1
ii) Módulo de um vetor v
®
, indicado por v , representa o comprimento do 
vetor. Por exemplo:
Figura 9 - v 6 u.c=
iii) Vetor nulo apresenta direção e sentido arbitrários e módulo igual a zero. 
O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação geométrica é a origem 
do sistema de coordenadas.
iv) Vetor unitário é o vetor de módulo igual a 1.
v) Versor de um vetor v
®
 é o vetor unitário de mesma direção e sentido de 
v
®
.
Figura 10 – u
®
 é o versor de v
®
Observe que 
v
u
3
®
®
= . Generalizando temos: Se u
®
 é versor de v
®
, então 
v
u
v
®
®
= .
vi) O vetor oposto de AB
®
 é o vetor BA
®
 indicado por AB
®
- . Em outras 
palavras, o vetor oposto de AB
®
 possui mesmo comprimento e direção de AB
®, 
porém sentido contrário.
Figura 11 - −
→
AB é o oposto de BA
®
at e n ç ã o !
Quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, 
o representante de um vetor é aquele cuja origem 
coincida com a origem do sistema.
17AULA 1 TÓPICO 2
vii) Dois vetores são colineares quando apresentam mesma direção.
De acordo com o exposto até o presente momento, concluímos que podemos 
associar o conceito de vetor à ideia de translação. A mesma ideia não se transfere 
para retas paralelas, tendo em vista que elas apresentam posições fixas. Portanto 
duas retas paralelas e distintas jamais serão colineares.
viii) Três vetores u, v e w
® ® ®
 são coplanares quando tiverem representantes 
paralelos ao mesmo plano.
Figura 12 – u
® ® ®
, v e w são coplanares. Figura 13 – u
® ® ®
, v e w não são coplanares
 
2.2 OPERAÇÕES COM VETORES DO PONTO 
DE VISTA GEOMÉTRICO
As operações envolvendo vetores são 
tradicionalmente efetuadas de duas formas 
equivalentes. Uma delas, mais analítica, veremos 
no tópico 3 desta aula. A segunda, com um 
caráter mais geométrico que apresentaremos a 
seguir.
2.2.1 Multiplicação por Escalar
Seja uma constante K e um vetor v
®
. O 
produto da constante pelo vetor é o vetor k v
®
, que possui as seguintes características:
a) Se k>0, o vetor k v
®
 terá a mesma direção e sentido de v e terá módulo 
igual a k . v (cf. figura 14).
b) Se k<0, o vetor k v
®
 terá a mesma direção, porém sentido contrário de v e 
terá módulo igual a k . v (cf. figura 15).
g u a r d e b e m i s s o !
Dois vetores são sempre coplanares, enquanto 
três vetores podem ou não ser coplanares.
Convenção: O vetor nulo é paralelo a qualquer 
vetor e coplanar a qualquer conjunto de vetores 
coplanares.
18 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Figura 14 – u v
→ →
= 3. Figura 15 – u v
→ →
=−3.
 (mesma direção e sentido) (mesma direção e sentido contrários)
2.2.2 adição dE vEtorEs
Geometricamente, a soma de dois vetores 
u
®
 e v
®
 é o vetor s
®
= u
®
+ v
®
 com origem na origem 
de um dos vetores e extremidade na extremidade 
do outro vetor, como mostra a figura 16.
Figura 16 – A soma s
®
 representa a diagonal de um paralelogramo 
cujos lados são os vetores u e v
2.2.3 difErEnça dE vEtorEs
A diferença entre os vetores u
®
 e v
®
 é igual à soma de u
®
 com o oposto de v
®
, 
ou seja: u
®
- v
®
= s
®
= u
®
+ (- v
®
). Veja o esquema na figura abaixo.
Figura 17 – Representação geométrica da diferença de dois vetores
ExErcícios rEsolvidos
1. Dados os vetores u
®
 e v
®
 da figura, mostrar um representante do vetor:
a) u
®
- v
®
b) v
®
- u
®
c) u
®
- 2 v
®
 
at e n ç ã o !
Sabemos que o paralelogramo apresenta duas 
diagonais distintas. Para a regra do paralelogramo 
determinado pelas representantes de e de mesma 
origem A, adota-se a diagonal que contém o ponto 
A. A regra do paralelogramo é muito utilizada na 
composição de forças em Física.
19AULA 1 TÓPICO 2
Solução:
a) b) 
 
c) 
2. Determine o módulo do vetor soma dos vetores u
®
 e v
®
, ortogonais, tais 
que u 3
®
= e v 4
®
= .
Solução:
Tendo em vista que os vetores são ortogonais, consideremos dois 
representantes de u
®
 e v
®
 de mesma origem e em seguida aplicamos a regra do 
paralelogramo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem
2 2 2u v u v
® ® ® ®
+ = + Þ 2 2 2u v 4 3 25
® ®
+ = + = Þ u v 25
® ®
+ =
 
20 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Estudamos vetores do ponto de vista 
geométrico, no caso, eles eram representados 
por segmentos de reta orientados. A partir do 
próximo tópico, apresentaremos uma outra 
forma de representá-los: os segmentos orientados 
estarão relacionados com os sistemas de eixos 
cartesianos do espaço.
at e n ç ã o !
Quando os vetores não forem ortogonais, basta 
usar a lei dos cossenos.
21AULA 1 TÓPICO 3
TÓPICO 3 Decomposição no plano e no espaço
ObjetivOs
• Definir combinação linear
• Introduzir o conceito de base canônica
• Definir operações com vetores representados por ponto 
no plano e no espaço
O conceito de combinação linear é central tanto na geometria analítica quanto na álgebra linear e dele dependem vários outros conceitos, inclusive o conceito de decomposição de vetores no plano, que 
é uma ferramenta bastante utilizada na Física quando se pretende determinar as 
componentes de uma força que atua num corpo. 
3.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO
Dados dois vetores 1v
®
 e 2v
®
, não colineares, qualquer vetor 
→
v do plano pode 
ser decomposto segundo as direções de 1v
®
 e 2v
®
, ou seja, existem dois números 
reais 1k e 2k tais que 1 1 2 2v k v k v
® ® ®
= + , como mostra a figura abaixo.
Observe que v
®
 é uma combinação linear dos vetores 1v
®
 e 2v
®
, e o conjunto 
{ }1 2v , v® ® é chamado de base do plano. Assim, qualquer conjunto { }1 2e , e® ® de 
vetores não colineares constitui uma base do plano.
Figura 18 – Decomposição de v
®
 nas direções de v v
® ®
1 2 e 
22 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
3.2 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores 1v
®
, v2
®
, 3v
®
, . . ., nv
®
 e os números reais 1k , 2k , 3k , . . . , nk . 
Diz-se que v
®
 é combinação linear de 1v
®
, v2
®
, 3v
®
, . . . , nv
®
 se 1 1v k v
® ®
= + 2 2k v
®
+...+ n nk v
®
. Observe que v
®
 representa a soma vetorial dos múltiplos escalares de 
1v
®
, v2
®
, 3v
®
, . . . , nv
®
.
Por exemplo, se 1v 2v
® ®
= + 
23v
®
 - 
35v
®
, então v
®
 é combinação linear de 1v
®
, 
 v2
®
 e 3v
®
.
Uma base é dita Ortonormal, se seus vetores forem ortogonais e unitários. Há 
infinitas bases ortonormais no plano x0y e, vale destacar, uma delas chamada base 
canônica (figura 19). A base canônica é formada por vetores cujos representantes 
têm origem em 0 e extremidades nos pontos (1, 0) e (0, 1), cujas representações são
i
®
e j
®
, respectivamente.
Figura 19 – Base canônica
Vimos que umas das formas de se representar um vetor é através das 
coordenadas do ponto de sua extremidade quando a origem é o ponto 0 do plano 
cartesiano. Assim, temos i
®
= (1, 0) e j
®
=( 0, 1). 
Seguindo essa linha de raciocínio, podemos concluir que qualquer vetor do 
plano x0y é uma combinação linear dos vetores i
®
 e j
®
. Vejamos a figura 20:
Figura 20 – ( v x i y j
→ → →
= + )
x i
®
 é a projeção ortogonal de v
®
 na direção i
®
 e y j
®
 a projeção de v
®
 na 
direção de j
®
.
v x i y j
® ® ®
= + ( v
®
como combinação linear de i
®
 e j
®
)
v
®
=(x, y) (expressão analítica de 1v
®
)
23AULA 1 TÓPICO 3
3.3 OPERAÇÕES
Seja ( )1 1 1v x ,y
®
= , ( )2 2 2v x ,y
®
= e k um número real diferente de zero.
a) Adição
→
1v + 2v
®
=( )1 1x ,y + ( )2 2x ,y = ( 1 2x x ,+ 2 2x y )+ 
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2, -3 1, -2 2 1 , -3-2 3, -5+ = + =
b) Multiplicação por k
k x x kx kx1 2 1 2, ,( )=( )
c) Igualdade
 vv 2 ⇒=1 ( )1 1x ,y = ( )2 2x ,y Þ 1 2 1 2x x e y y= =
ExErcício rEsolvido
Sejam ( )1v 5, 2 
®
= e ( )2v 1, 6 
®
= , calcule 1 2s v v
® ® ®
= + e represente no 
plano cartesiano.
Solução:
1 2s v v
® ® ®
= + Þ ( ) 5, 2 + ( ) 1, 6 Þ ( ) 6, 8 Þ ( )s 6, 8 
®
=
Figura 21 - Diagonal do paralelogramo formado pelos vetores v1
®
 e v2
®
Observe que s
®
 é a diagonal do paralelogramo.
3.4 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Em algumas situações, o vetor é representado por um segmento orientado 
que não parte da origem do sistema de coordenadas.
Sejam os vetores 
1 1OA (x , y )
®
= e 2 2OB (x , y )
®
= não colineares. De acordo 
com a figura abaixo, temos:
OB OA AB
® ® ®
= + Þ AB OB OA
® ® ®
= - Þ 2 2 1 1AB (x , y ) (x , y )
®
= - 
Þ 2 1 2 1AB (x x , y y )
®
= - -
24 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Figura 22 – Vetor definido por dois pontos
Observe que o vetor AB
®em que A( 1, 3) e B(3, -2) não possui origem no 
ponto O do sistema. Então, para se determinar um representante de v
®
 com origem 
em O do plano cartesiano, fazemos ( )v 3 1, 2 3 
®
= - - - Þ ( )v 2, 5 
®
= - .
Figura 23 - representação geométrica de v
®
Observe que os dois segmentos representam o mesmo vetor.
ExErcícios rEsolvidos
1. Determine o vetor w
®
 na expressão 
1
3w 2u v w
2
® ® ® ®
+ = + tal que u (3, 1) 
®
= - 
e v ( 2, 4) 
®
= - .
Solução:
A equação 13w 2u v w
2
® ® ® ®
+ = + pode ser resolvida como uma equação 
numérica:
6w 4 u v 2w
® ® ® ®
+ = +
6w 2w v 4 u
® ® ® ®
- = -
4w v 4 u
® ® ®
= -
1
w v u
4
®
® ®
= -
Substituindo u e v
® ®
 na equação, temos
1
w ( 2, 4) ( 3, -1)
4
®
= - -
1
w ( , 1) ( 3, -1)
2
®
= - -
7
w ( , 2) 
2
®
= -
25AULA 1 TÓPICO 3
2. Dados os pontos A(-1, 2), B(4, 3) e C(1, 5), determine D(x, y) de tal forma 
que 1CD AB
3
® ®
= .
Solução: 
( )CD C D (1, 5) (x, y) 1 x, 5-y 
®
= - = - = -
( ) ( )AB B A (4, 3) ( 1, 2) 4 1, 3 2 5, 1 
®
= - = - - = + - =
Logo
( ) ( )11 x, 5 y 5, 1
3
- - =
( ) 5 11 x, 5 y , 
3 3
æ ö÷ç- - = ÷ç ÷çè ø
pela condição de igualdade, vem 
5
1 x
3
 
1
5 y
3
ìïï - =ïïïïïíïïïï - =ïïïî
Resolvendo o sistema encontramos 
2
x
3
=- e 
14
y
3
= , daí 
2 14
D , 
3 3
æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø
.
3.5 DECOMPOSIÇÃO NO ESPAÇO
Vimos que qualquer conjunto { }1 2v , v® ® 
de vetores, não colineares, representa uma 
base do plano. Então, qualquer vetor 
→
v do 
plano é combinação linear dos vetores 1 2 3v , v e v
® ® ®
 e 1 2 3v , v e v
® ® ®
. 
No espaço, qualquer conjunto { }1 2 3˘˝˘˝® ® ® 
de vetores não coplanares representa uma base, 
portanto qualquer vetor v
®
 do espaço é uma combinação linear de 1 2 3v , v e v
® ® ®
, ou 
seja, sempre existem os números 
1 2 3m , m e m tais que 1 2 31 2 3v m v m v m v
® ® ® ®
= + + .
A base canônica { }i , j , k® ® ® é uma base ortonormal (vetores unitários e 
ortogonais entre si), cujos vetores possuem as direções dos eixos coordenados. 
Assim, qualquer vetor do espaço é uma combinação linear dos vetores i , j e k
® ® ®
, 
como mostra a figura 24.
Figura 24 – Base canônica no espaço tridimensional
at e n ç ã o !
Coplanares - figuras geométricas que pertencem 
ao mesmo plano.
26 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
v x i y j z k
® ® ® ®
= + + (
→
v como combinação linear dos vetores i , j , k
® ® ®
)
v (x, y, z)
®
= (expressão analítica de 
→
v )
3.6 OPERAÇÕES
Sejam os vetores ( )1 1 1 1v x , y , z
®
= , ( )2 2 2 2v x , y , z
®
= em um número real
a) ( )1 2 1 2 1 2 1 2v v x x , y y , z z
® ®
+ = + + +
b) m. 1v
®
= ( )1 1 1mx , my , mz
c) 1 2v v 
® ®
= Þ 1 2 1 2 1 2x x , y y e z z= = =
ExErcício rEsolvido
1. Dados dois pontos A(0, 1, -1 ) e B(1, 2, -1 ) e os vetores u (-2, -1, 1 )
®
= , 
v (3, 0, -1 )
®
= e w (-2, 2, 2 )
®
= , verifique se existem os números 1 2 3a , a e a tais 
que 1 2 3w a AB a u a v
® ® ® ®
= + + .
Solução:
Temos: ( )AB B A 1, 2, 1
®
= - = - - ( ) 0, 1, 1- = ( ) 1-0, 2 ( 1), 1 1+ - - + 
= ( ) 1, 1, 0 .
Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2, 2, 2 a . 1, 1, 0 a . 2, 1, 1 a . 3, 0, 1- = + - - + -
ou
 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 3 3 2, 2, 2 a , a , 0 2a , -a , a 3a , 0, a- = + - + -
Somando os três vetores do segundo membro, temos:
( ) ( )1 2 3, 1 2 2 3 2, 2, 2 a 2a 3a a a , a a- = - + - -
pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema:
1 2 3
1 2 
2 3
a 2a 3a 2
 a a 2 
 a a 2
ì - + =-ïïïï - =íïï - =ïïî
cuja solução é 1 2 3a 3, a 1 e a 1= = =-
3.7 VETORES COLINEARES
Em (2.2.1) vimos que os vetores k.v
®
 e v
®
 têm a mesma direção. Assim se dois 
vetores ( ) ( )1 1 1 2 2 2u x , y , z e v x , y , z
® ®
= = são colineares (têm a mesma direção), 
então u k.v
® ®
= em que k é um número real, ou seja:
 ( ) ( )1 1 1 2 2 2x , y , z k. x , y , z= ou ( ) ( )1 1 1 2 2 2x , y , z kx , ky , kz=
Assim, 1 2x kx= , 1 2y ky= e 1 2z kz= ou 11 1
2 2 2
yx z
x y z
= = .
27AULA 1 TÓPICO 3
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, ou seja, dois vetores 
são paralelos ou colineares quando suas componentes correspondentes são 
proporcionais.
Exemplo:
Determine os valores de p e q para que sejam paralelos os vetores 
u (p 1, 3, 1 )
®
= + e u (4, 2, 2q-1 )
®
= .
Solução
De acordo com a condição de paralelismo de vetores, temos
p 1 3 1
4 2 2q 1
+
= =
-
 ou 
2(p 1) 12
 
3(2q 1) 2
ì + =ïïíï - =ïî
 resolvendo o sistema vem 
5
p 5 e q
6
= =
Vimos, neste tópico, que qualquer vetor do plano ou do espaço pode ser 
expresso como combinação linear da base canônica-elemento que estará presente 
em praticamente todas as aulas do nosso curso.
A próxima aula será dedicada ao estudo do produto interno de vetores, que 
representa uma outra forma de multiplicação de vetores, além desta vista nesta 
aula.
28 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Caro(a) aluno(a),
Estudamos na aula anterior a multiplicação de um vetor por um número real 
(multiplicação por escalar). Além desse tipo de produto, pudemos também definir 
multiplicações ou produto de vetores entre si.
Nesta aula será apresentada uma nova modalidade de multiplicação entre vetores, 
cujo resultado é definido como Produto escalar ou Produto interno entre dois 
vetores.
O produto interno (ou escalar) entre dois vetores 

u e 

v , denotado por 

u .

v 
ou 
 
u, v , e que nos fornece como resultado um número real, possui grande 
aplicabilidade nas diversas áreas afins. Na matemática, por exemplo, entre outras 
aplicações, o produto interno pode ser usado para resolver muitos problemas de 
natureza geométrica.
Objetivos
• Introduzir o conceito geométrico e cartesiano de produto escalar
• Apresentar aplicações do produto interno, tanto no cálculo de projeções de 
vetores como no cálculo de ângulos diretores de um vetor
AULA 2 Produto Interno
29AULA 2 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Representação geométrica do produto interno
ObjetivOs
• Definir produto interno sob o ponto de vista geométrico
• Usar o produto interno para resolver problemas 
geométricos
Neste tópico será introduzido o conceito de produto escalar dando-lhe um significado geométrico. Com isso pretendemos proporcionar a você, uma visão geométrica dessa ferramenta no 
intuito de facilitar suas aplicações nas diversas áreas afins.
dEfinição
Dados os vetores não nulos u
®
 e v
®
, chama-se produto interno (ou escalar) 
dos vetores u
®
 e v
®
, denotado por u
®
. v
®
 ou u,v
 
 (lê-se u escalar v), o número 
real obtido pela multiplicação do módulo de um dos vetores (digamos u
®
) pelo 
módulo da projeção ortogonal de v
®
 na direção de u
®
 (veja Figura 1).
 Projeção de v
®
 na direção de u
®
 u,v 
 
 = u 
®
. v 
®
. cos q
Figura 1 - AC
®
 Projeção de v
®
 na direção de u
®
30 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
 v 
®
. cos q = projeção ortogonal de v
®
 na 
direção de u
®
.
AC
®
 é a projeção ortogonal de v
®
 na direção 
de u
®
, ou seja, AC
®
 = proj v
®
.
Assim proj v
®
= u 
®
. cos q
Observe que se q é o ângulo entre u
®
 e v
®
:
i) Se 0
2
< <θ
π
, cos q > 0 Þ
 
 u , v 
® ®
 > 
0;
ii) Se 
π
θ π
2
< < , cos q < 0 Þ 
 
 u , v 
® ®
 
< 0;
iii) Se θ
π
=
2
, cos 
2
0
π
= Þ 
 
 u , v 
® ®
 = 0.
A partir da observação (iii), podemos 
concluir que, se os vetores u
®
 e v
®
 são ortogonais, 
ou se um dos vetores é nulo, o produto interno 
a eles é nulo.
Por exemplo:
Os vetores i
®
 e j
®
 das bases canônicas são 
unitárias e ortogonais, daí:
i
®
. j
®
 = i 
®
 . j 
®
. cos q , mas q = 90º (cos 90º = 0)
i
®
. j
®
 = 1 . 1 . 0 = 0
1.2 PROPRIEDADES
Sejam u
®
 e v
®
 dois vetores e k um número real diferente de zero:
a) 
 
 u , v 
® ®
= 
 
 u , v 
® ® 
 u , v 
® ®u , v 
® ® 
 u , v 
® ® 
 u , v 
® ®
 (comutativo);
b) k. 
 
 u , v 
® ®
= 
 
 k.u , v 
® ®
 = 
 
 u , k.v 
® ®
 (associativo em relação a uma 
constante k);
c) 
 
 u , v w 
® ®
+ = 
 
 u , v 
® ®
 +
 
 u , w 
® ®
;
d) u
®
 . u
®
 =
2
 u 
®
.
Esta última pode ser facilmente demonstrada usando a definição de produto 
interno
u
®
 . u
®
 = u 
®
 . u 
®
. cos q .
Os vetores são colineares, portanto q = 0 e cos q = 1, logo:
v o c ê s a b i a?
A operação de multiplicação escalar, de 
importância fundamental em muitas áreas da 
Matemática e da Física, foi criada por Grassmann 
e por isso leva o seu nome.
s a i b a m a i s !
Você pode conhecer um pouco da história dos 
vetores e da contribuição de Hermann Grassmann 
lendo o texto sobre esse assunto disponível no 
site http://ecalculo.if.usp.br/historia/grassmann.
htm.
31AULA 2 TÓPICO 1
u
®
 . u
®
 = u 
®
 . u 
®
. 1 Þ 
2
 u 
®
 = u
®
 . u
®
ExErcícios rEsolvidos
1.Calcule 
 
 u , v 
® ®
 tendo em vista que u
®
 
= (0, 3, 4) e v
®
 = (2, 3, 6).
Solução:
Observe que os vetores são colineares 
(componentes correspondentes proporcionais), 
daí q = 0 e cos q = 1.
 u 
®
= 2 2 22 3 6+ + = 25 = 5
 v 
®
= 2 2 22 3 6+ + = 49 = 7
Assim,
u
®
v
®
 = u 
®
. v 
®
.cos q
u
®
v
®
 = 5 . 7 . 1 = 35
2. Demonstre a lei dos cossenos: è2 2 2a b c 2bc.cos= + - q .
Figura 2 - a b c 2bc cos 2 2 2= + − ⋅ q (lei dos cossenos)
Solução:
Sejam a = CB 
®
, b = AC 
®
 e c = AB 
®
.
Pela definição de diferença de dois vetores (cf. Aula 1) CB AB AC
® ® ®
= - .
Multiplicando os dois lados da equação por CB
®
, vem:
CB
®
. CB
®
= ( AB
®
- AC
®
) . CB
®
, mas CB
®
= ( AB
®
- AC
®
), então 
2
 CB 
®
= AB
®
. AB
®
- 
2. AB
®
. AC
®
 + AC
®
. AC
®
2
 CB 
®
= 
2
 AB 
®
+ 
2
 AC 
®
- 2. AB
®
. AC
®
.
Mas, pela definição de produto interno, temos:
AB
®
. AC
®
= AB 
®
. AC 
®
. cos q , Daí:
2
 CB 
®
=
2
 AB 
®
 + 
2
 AC 
®
- 2 . AB 
®
. AC 
®
. cos q .
Tendo em vista que a = CB 
®
, b = AC 
®
 e c = AB 
®
, temos:
è2 2 2a b c 2bc.cos = + - q . 
at e n ç ã o !
u u u
→ → →
⋅ ≠
2
, pois u
®
 não é um número real, 
enquanto u
2→
= ⋅u u
 
32 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
3. Se a 
®
 = 4 e b 
®
 = 10, calcule a
®
. b
®
, sabendo que o ângulo entre a
®
 e 
b
®
 é 120.
Solução:
cos 120º = - cos (180°-120°) = - cos 60º = - 1
2
a
®
 . b
®
 = a 
®
 . b 
®
. cos q Þ a
®
 . b
®
 = 4 . 10 . 1
2
æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø
 Þ a
®
 . b
®
 = -20.
Vimos, neste tópico, que o produto interno de dois vetores está diretamente 
relacionado ao ângulo por eles formado e pode ser calculado multiplicando o 
módulo de um deles pelo módulo da projeção do outro sobre ele. No próximo 
tópico apresentaremos um método usado no calculo do produto interno a partir de 
suas formas analíticas.
33AULA 2 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Expressão cartesiana do produto interno
ObjetivO
• Definir o produto interno a partir de suas formas 
cartesianas
Neste tópico mostraremos que é possível calcular o produto interno de dois vetores sem o auxílio do ângulo entre eles, ou seja, usando apenas os pontos do plano ou espaço que representam as 
extremidades dos representantes dos vetores.
dEfinição
Sejam os vetores 1 1 1u x i y j z k
® ® ® ®
= + + e 2 2 2v x i y j z k
® ® ® ®
= + + , 
o produto interno dos vetores u
®
 e v
®
 em termos de coordenadas é dado por 
1 2 1 2 1 2x x y y z z+ + .
Observe que u, v   = u . v 
® ®
= ( )1 1 1x i y j z k .® ® ®+ + ( )2 2 2x i y j z k® ® ®+ + , 
daí
 u ,v 


 = 1 2x x i . i
® ®
 + 1 2x y i . j
® ®
 + 1 2x z i .k
® ®
 + 
→→
i. jxy 21 + 1 2y y j . j
® ®
 + 
1 2y z j. k
® ®
 + z x k i1 2
 
× + 1 2z y k . j
® ®
 + 1 2z z k .k
® ®
.
34 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Tendo em vista que:
i i
i
k
Vetores coline
→ →
→ →
→ →
=
=
=





 1
 j 1
 k 1
.
.
.
aares
i
i
j
Vetores o
→ →
→ →
→ →
=
=
=





 j 0
 k 0
 k 0
.
.
.
rrtogonais
então:
 u, v =  1 2 1 2 1 2x x y y z z+ +
Observe que, em termos de coordenadas, o produto interno é igual à soma 
dos produtos das componentes correspondentes dos vetores u
®
 e v
®
.
2.1 DEMONSTRAÇÃO DAS PROPRIEDADES
Sejam ( )1 1 1 u x , y , z
®
= , ( )2 2 2 v x , y , z
®
= , ( )1 1 1 w x , y , z=

 e k um número 
real diferente de zero.
1) u, v   = v, u 


De fato:
1 2 1 2 1 2u,v u. v x x y y z z
® ®
= = + +
  = 2 1 2 1 2 1x x y y z z+ + v. u v,u
® ®
= =

2) k. u, v k u, v u, kv = =    
De fato:
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2k.(u. v) k.(x ,y ,z ).(x ,y ,z ) (kx ,ky ,kz ).(x ,y ,z )
® ®
= = = ( k u.v
® ®
).
Da mesma forma:
k u v k x y z x y z x y z kx ky kz u
 
⋅( )= ( )⋅( )=( )⋅( )=1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2, , , , , , , ,
 
,kv( )
3) u, v w u,v u,w+ = +
   
 
De fato:
u.(v w)
® ® ®
+ = ( )1 1, 1x , y z .( )2 3 2 3 2 3x x , y y , z z+ + +
1 2 3 1 2 3 1 2 3x .(x x ) y .(y y ) z .(z z )= + + + + + =
x x x x y y y y z z z z1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3+( )+ +( )+ +( )
x x y y z z x x y y z z1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3+ +( )⋅ + +( )
e x x y y z z x x y y z z1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3+ +( )⋅ + +( )= (u. v) (u. w)
® ® ® ®
+ ou u,v u,w+
  
35AULA 2 TÓPICO 2
4) Deixamos a demonstração da propriedade 4 a seu cargo. Vamos lá?
ExErcícios rEsolvidos
1. Determine o produto interno u, v   , sendo u 2 i 3 j 2k
® ® ® ®
= + - e 
v i 3 j k
® ® ®
= - +

.
Solução:
 u, v 2, 3, 2 . 1, -3, 1= -  = 2.1 3.( 3) ( 2).1+ - + - = -9
2. Calcule o ângulo entre os vetores u ( 2, 3, -1) e v ( 1, -3, 1 )
® ®
= =
Solução:
u. v u . v . cos 
® ®® ®
= q
u . v
 cos 
 u . v 
Þ q=


2 2 2 2 2 2
( 2, 3, -1 ) . (1, -3, 1)
 cos 
2 3 ( 1) . 1 ( 3) 1
Þ q=
+ + - + - +
2 9 1
 cos 
14 . 11
- -
Þ q=
8
 cos 
151
-
Þ q=
-8
 arc cos 
151
Þ q=
3. Prove que o triângulo A( 2, 3, 1), B( 2, 1, -1 ) e C( 2, 2, -2 ) é um triângulo 
retângulo.
Solução:
A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto no triangulo 
é mostrar que o produto escalar de dois vetores que representam os lados do 
triângulo é nulo.
AB ( 0, - 2, -2 )
®
=
AC ( 0, -1, -3 )
®
=
BC ( 0, 1, -1 )
®
=
Calculemos:
AB . AC ( 0, -2, -2 ) . ( 0, -1, -3 ) 0 2 6 8 0 
® ®
= = + + = ¹ 
AB . BC ( 0, -2, -2 ) . ( 0, -1, -1 ) 0 2 2 0 
® ®
= = - + =
Observando que AB . BC 0 
® ®
= , o ângulo formado pelos vetores AB e BC 
® ®
é reto. Logo ABCD é retângulo.
4. Determine um vetor ortogonal a u ( 1, -1, 0) e v ( 1, 0, 1)
® ®
= = .
Solução:
Seja w ( x, y, z)
®
= o vetor procurado. Para que w

 seja ortogonal aos vetores 
u e v
® ®
, devemos ter:
36 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
w . u 0
® ®
= e w . v 0
® ®
= . Assim:
w . u ( x, y, z ) . ( 1, -1, 0 ) 0
® ®
= = Þ x y 0- =
w . v ( x, y, z ) . ( 1, 0, 1 ) 0
® ®
= = Þ x z 0+ =
Podemos concluir que o sistema 
 x y 0
 x z 0
ì - =ïïíï + =ïî
 é indeterminado e sua solução 
é:
y x
z x
=
=-
Isto significa que os vetores ortogonais a u e v
® ®
 são do tipo (x, x -x) . Para 
se determinar um deles, basta atribuir um número real a x. Assim, para x=2, temos 
(2, 2, -2).
5. Os vetores u

 e v

 são colineares. Calcule v

, conhecendo-se u 2 i j k
® ® ®
= + +

 
e u . v 3
® ®
=
Solução:
Seja v ( x, y, z )
®
= , então temos:
a) Se u
®
 e v
®
 são colineares suas componentes correspondentes são 
proporcionais, logo:
yx z
2 1 1
= = Þ x 2y= , y z= e x=2z [I]
b) u . v 3
® ®
= Þ ( 2, 1, 1 ) . ( x, y, z ) 3 = Þ 2x y z 3+ + = [II]
Substituindo I em II, resulta:
2. (2y) + y + y = 3 Þ 
1
y
2
=
De x 2y= , vem x 1=
De y = z, concluímos que 1z
2
=
Portanto, 
1 1
v 1, , 
2 2
® æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
 ou 
→→→→
++= k
2
1 j
2
1 iv
6. Ache os vetores ) zy, ,x(v =
→
tais que:
i) v 6
®
=
ii) v
®
 é ortogonal a u ( 3, -3, 0 )=

iii) v
®
 é ortogonal a w ( 0, 2, - 1 )=

Solução: 
De (i) vem:
 v v . v 
®
= Þ v (x, y, z ) . ( x, y, z ) 
®
= Þ 2 2 2v x y z
®
= + +
37AULA 2 TÓPICO 2
Þ 2 2 26 x y z= + + Þ 2 2 26 x y z= + + [I]
De (ii) vem: v . u 0
® ®
= Þ (x, y, z ) . ( 3, -3, 0 ) 0= Þ 3x 3y 0- =
Þ x y= [II]
De (iii) vem: v . w 0
® ®
= Þ (x, y, z ) . ( 0, 2, -1 ) 0= Þ 2y z 0- =
Þ z 2y= [III]
Substituindo II e III em I vem:
2 2 26 x y z= + + Þ 2 2 2y y (2y) 6+ + = Þ y =± 1
De I e II temos: x 1=± e z 2=±
Então: v ( 1, 1, 2 ) = ± ± ±

Observamos, neste tópico, que o produto interno de dois vetores pode ser 
facilmente obtido pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos 
vetores. No próximo tópico, abordaremos duas aplicações tradicionais do produto 
interno.
38 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Neste tópico daremos total atenção a duas aplicações tradicionais do produto interno. Uma delas é o calculo dos ângulos diretores de um vetor e a outra consiste numa ferramenta que utilizaremos 
nas aulas posteriores, que é a projeção de um vetor.
3.1 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES
Os ângulos diretores de um vetor não nulo v
®
 são os ângulos , e a b g no 
intervalo (0, p ) que v
®
 forma com os eixos coordenados x, y e z (veja figura 3 ).
Os cossenos diretores desses ângulos diretores, cos , cos e cos a b g, são os 
cossenos diretores de v
®
.
Figura 3 - Ângulos diretores de v
®
 a é o ângulo entre i

 e 
→
v
 b é o ângulo entre j
®
 e v
®
 g é o ângulo entre k
®
 e v
®
TÓPICO 3 Duas aplicações tradicionais do produto interno
ObjetivOs
• Determinar o ângulo diretor de um vetor, bem como conhecer 
suas propriedades
• Usar o produto interno para calcular a projeção de um vetor na 
direção de outro
39AULA 2 TÓPICO 3
Seja v ( x, y, z )
®
= e, baseando-nos na definição de ângulos diretores, temos:
i . v 
cos 
 i . v 
® ®
a =


 Þ 
(1, 0, 0) . (x, y, z ) 
cos 
 v 
a =

 Þ 
 x 
cos 
 v 
a =

j . v 
cos 
 j . v 
® ®
b=


 Þ 
(0, 1, 0) . (x, y, z ) 
cos 
 v 
b=

 Þ 
 y 
cos 
 v 
b=

cos 
j . v 
 j . v 
γ =
→ →


 Þ 
(0, 0, 1) . (x, y, z ) 
cos 
 v 
g =

 Þ 
 z 
cos 
 v 
g =

3.2 PROPRIEDADES
1. As componentes do versor u
®
 de um vetor v

 são os cossenos diretores de v
®
. 
Seja u
®
 o versor de um vetor v (x, y, z ), então:
®
=
v
u
 v 
®
=


 Þ 
( )x,y,z
u
 v 
=


 Þ 
yx z
u , , 
 v v v 
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

 ou seja:
( )u cos , cos e cos 
®
= a b g
2. Tendo em vista que o versor de u

 é um vetor unitário, então u 1
®
= , ou 
seja:
( ) u cos , cos e cos 1
®
= a b g =
mas:
2 2 2 u cos cos cos 1
®
= a + b + g =
então:
2 2 2cos cos cos 1a + b + g=
ExErcícios rEsolvidos
1. Dados os pontos A(2, 2, -3 ) e B(3, 1, -3) , calcule os ângulos diretores do 
vetor AB
®
.
Solução:
AB B A (1, -1, 0 )
®
= - =
2 2 2 AB ( 1) 1 0 2
®
= - + + =
 x 
cos 
 AB 
®
a = Þ 
 -1 
cos 
2
a = Þ 45a = °
 y 
cos 
 AB 
®
b= Þ 
- 1 2
cos 
22
b= =- Þ 135b= ° 
40 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
z 
cos 
 AB 
®
g= Þ 
0 
cos 0
2
g = = Þ 90g = °
Podemos observar que, como 90g = ° , o vetor AB
®
 é ortogonal ao eixo z 
ou ao vetor k

 da base canônica. Assim, sempre que a terceira componente de um 
vetor for nula, ele é ortogonal ao eixo z. De modo semelhante, o vetor do tipo (0, y, 
z ) é ortogonal ao eixo x e o vetor do tipo (x, 0, z) é ortogonal ao eixo y.
2. Determine o versor de v 6 j 8k= +



Solução:
Seja u
 o vetor de v

, assim u (cos , cos , cos )= a b g

. Por outro lado 
2 2 v 0 6 8 10= + + =

 x 
cos 
 v 
a =

 Þ 
 0 
cos 
10
a = Þ cos 0a =
 y 
cos 
 v 
b=

 Þ 
 6 
cos 
10
b= Þ 
3
cos 
5
b=
 z 
cos 
 v 
g =

 Þ 
8 
cos 
10
g = Þ 
4
cos 
5
g =
Assim, 
3 4
u 0, , 
5 5
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

.
Observe que u 1=

 já que u

 é versor de v

. Confira você mesmo!
3.3 PROJEÇÃO DE UM VETOR
Dados dois vetores não nulos u e v
® ®
 e q o ângulos entre eles. O nosso 
objetivo é determinar em termos de coordenadas a projeção de v
®
 na direção do 
vetor u
®
.
Figura 4 – O vetor w
®
 é projeção ortogonal de v
®
 na direção de u
®
Uma vez que w
®
 é a projeção de v
®
 na direção de u
®
, escrevemos 
U
w proj v®
® ®
= . 
41AULA 2 TÓPICO 3
Do triângulo retângulo ABC, vem:
 w v .cos 
®
= q Þ 
 
 u . v 
 w v . 
 u . v 
® ®
® ®
® ®= Þ 
 
 u . v 
 w . 
 u 
® ®
®
®= [I]
w
®
 e u
®
 são colineares, daí:
w
®
= k u
®
 ( k é um número real)
Segue-se que:
 w 
®
= . k . u 
®
 Þ 
1
 k w . 
 u 
®
®= [II]
Substituindo (I) em (II), vem:
 
 u . v 1
 k . 
 u u 
® ®
® ®= Þ 2
u . v
k
 u 
® ®
®
=
De w
®
=k u
®
. vem:
2 
u . v
w . u
 u 
® ®
® ®
®
æ ö÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 ou u . vw . u
u . u
® ®
® ®
® ®
æ ö÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷è ø
Portanto, o vetor que representa a projeção de v
®
 na direção de u
®
 é:
U
u . v
w proj v . u
u . u
®
® ®
® ® ®
® ®
æ ö÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷è ø
ExErcício rEsolvido
1. Determine o módulo do vetor projeção de v ( 2, 1, 1 )
®
= na direção do 
vetor u ( 3 , -2, 0 )
®
= .
Solução:
Podemos resolver este problema de duas formas:
Determinamos a projeção de v
®
 sobre u
®
 usando a fórmula 
U
u . v
w proj v . u
u . u
®
® ®
® ® ®
® ®
æ ö÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷è ø
, em seguida, calculamos o seu módulo. Vejamos:
U
(3, -2, 0 ) . ( 2, 1, 1)
proj v . ( 3, -2, 0 )
( 3, -2, 0 ). ( 3, -2, 0 )
®
® æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Þ 
U
6 -2 0
proj v . ( 3, -2, 4 )
 9 4 0
®
® æ ö+ ÷ç= ÷ç ÷çè ø+ +
 Þ 
U
4
proj v . ( 3, -2, 0 )
13
®
®
= 
Þ 
U
12 8
proj v , - , 0 
13 13
®
® æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
42 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Calculando o módulo de 
U
proj v®
®
, temos:
2 2
U
12 8
 proj v 0 
13 13
®
® æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
 Þ 
U
208 4 13
 proj v 
169 13
®
®
= =
b) Calculando o módulo diretamente pela fórmula 
 
 u . v 
 w . 
 u 
® ®
®
®= ou 
 
U
 u . v 
 proj v . 
 u 
®
® ®
®
®= , temos:
 
U
 u . v 
 proj v . 
 u 
®
® ®
®
®= Þ ( )U
 ( 3, -2, 0 ). (2, 1, 1 ) 
 proj v . 
 3, -2, 0 
®
®
=
U
 proj v ®
®
=
 6-2 0 4 4 13
. 
13 9 4 13
+
= = =
+
Vimos nesta aula que o produto escalar está diretamente relacionado ao 
ângulo de dois vetores. Assim, muitos problemas geométricos podem ser resolvidos 
e fórmulas generalizadas, com o auxilio dessa ferramenta. Na próxima aula 
estudaremos uma outra modalidade de produto entre vetores, que é o chamada 
Produto vetorial.
43AULA 3
AULA 3 Produto vetorial
Caro(a) aluno(a),
Nesta aula abordaremos mais dois conceitos relacionados à multiplicação de 
vetores – Produto vetorial e Produto misto –, elementos imprescindíveis ao estudo 
de disciplinas posteriores e suporte necessário para o estudo do conteúdo das 
aulas subsequentes.
Os tópicos 1 e 2 trazem uma análise bastante objetiva desses elementos, já o 
tópico 3 volta-se para as demonstrações de algumas propriedades desses 
produtos.
Objetivos
• Familiarizar o aluno com os produtos de vetores e suas aplicações práticas 
em cálculos de áreas e volumes
• Proporcionar ao aluno suporte para calcular o produto escalar, o produto 
vetorial e misto, entre vetores, bem como utilizar as respectivas interpretações 
geométricas
44 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
No presente tópico, estudaremosuma das modalidades de produto entre vetores que diferentemente do produto interno, é limitada a espaços tridimensionais e tem com como representação 
geométrica um vetor. O produto vetorial possui grande aplicabilidade nas áreas 
afins, principalmente na Física, pelo uso frequente de grandezas vetoriais.
OBSERVAÇÕES
A multiplicação vetorial foi criada por J. Gibbs. 
Os seguintes produtos vetoriais merecem atenção especial: 
® ®
=u.v
® ® 
 u . v . cos q (verdadeiro)
® ®
u x v = è
® ® 
 u . v . sen q (falso)
è
® ®
=
 
u x v u . v . sen q (verdadeiro)
1.1 DEFINIÇÃO
O produto vetorial de dois vetores 
®
u 
e 
®
v não colineares, (tomados nesta ordem) 
representado por 
®
u x 
®
v , é um terceiro vetor 
com as seguintes características:
i) Direção: O vetor 
® ®
u x v é perpendicular 
aos vetores 
® ®
u e v simultaneamente;
ii) Sentido: Os vetores 
® ® ® ®
u, v e u x v , 
nesta ordem, formam um triedro positivo;
TÓPICO 1 Produto vetorial
ObjetivOs
• Introduzir a noção de produto vetorial do ponto de vista 
geométrico e analítico
• Descrever algumas propriedades e aplicações do produto 
vetorial
s a i b a m a i s !
Acesse o site http://www.fem.unicamp.
br/~em313/paginas/person/gibbs.htm e conheça 
mais sobre o matemático Josiah Williard Gibbs, 
criador do produto externo (ou vetorial).
45AULA 3 TÓPICO 1
iii) Módulo: 
® ® ® ®
=
 
 u x v u . v . sen q , onde q é a medida do ângulo 
entre 
® ®
u e v .
Figura 1 – Representação geométrica do produto vetorial 
 
u v+
1.2 PROPRIEDADES
1. 
® ® 
u x u = 0.
2. 
® ®
=u x v 0 se:
a) um dos vetores for nulo.
b) 
® ®
u e v forem colineares, pois sen q = 0 quando q= 0 ou 180º.
3. O produto vetorial é anticomutativo, ou 
seja, 
® ® ® ®
=-u x v v x u . Porém, .u x vv x u
 →→→→
=
4. Associativo: m (
® ® 
u x v ) = (m
®
u ) x 
®
v = 
® ®
u x (m v).
5. Os vetores 
® ® ®
i , j e k , nesta ordem, 
representam um triedro positivo (como mostra 
a figura 2).
Figura 2 – Triedro positivo
Assim, 
® ® ® ® ® ® ® ® ®
= = =
 
k i x j , j k x i , i j x k .
Como consequência temos: -
® ® ® ® ® ®
= - =k j x i , j i x k e -
® ®
=i k x
®
j .
Casos particulares: 
® ® ® ® ® ® ® ® ®
= = =
 
i x i 0, j x j 0 e kx k 0 .
6. 
® ® ® ® ® ® ®
+ = +u x ( v w) u x v u x w.
7. 
® ® 
u x v é ortogonal simultaneamente a 
® ®
u e v.
at e n ç ã o !
As demonstrações das propriedades acima estão 
no tópico 3.
46 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
8. Se è
® ®
¹u 0 e q é ângulo dos vetores 
® ®
u e v , então: 
® ® ® ®
=
 
 u x v u . v . sen q . 
9.
® ® ® ® ® ®
¹u x ( v x w) ( u x v) x w , o produto vetorial não é associativo.
1.3 EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO VETORIAL
Veremos, agora, como determinar o produto vetorial de dois vetores quando 
são conhecidos suas expressões cartesianas.
Dados: 
®
u =
→
ix1 + 1y
®
j + 1z
®
k e 
®
v = 2x
®
i + 2y
®
j + 2z
®
k .
®
u x 
®
v = (
→
ix1 + 1y
®
j + 1z
®
k ) x ( 2x
®
i + 2y
®
j + 2z
®
k ) Þ 
®
u x 
®
v = 1x 2x (
®
i x
→
i ) + 1x 2y (
®
i x
®
j ) + 1x 2z (
®
i x
→
k ) + 2x 1y (
®
j x
®
i ) + 
 1y 2y (
®
j x
®
j ) + 1y 2z (
→
j x
®
k ) + 2x 1z (
→
k x
®
i ) + 2y 1z (
®
k x
®
j ) + 1z 2z (
®
k x 
®
k ). 
(*)
Considerando que 
®
i x
→
i = 0, 
®
i x
®
j = 
®
k , 
®
i x
®
k = -
®
j , 
®
j x
®
i = -
®
k , 
®
j x
®
j =0, 
®
j x
®
k =
®
i , 
®
k x
®
i =
®
j , 
®
k x
®
j = -
®
i e 
®
k x
®
k = 0 e colocando 
®
i , 
®
j e 
®
k em evidência 
na equação (*), temos:
®
u x
®
v = ( 1y 2z - 2y 1z )
®
i + ( 2x 1z - 1x 2z )
®
j + ( 1x 2y - 2x 1y )
®
k
Observe que 1y 2z - 2y 1z = 
1 2
1 2
y y
 
z z
, 2x 1z - 1x 2z = 
1 2
1 2
x x
 
z z e 
1x 2y - 2x - 1y =
1 2
1 2
x x
y y
Assim, 
® ® 
u x v = 
1 2
1 2
y y
 
z z
 . 
®
i - 1 2
1 2
x x
 
z z
 . 
®
j + 
1 2
1 2
x x
 
y y
 . 
®
k
Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é recorrer à utilização da 
notação 
®
u x 
®
v = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
 x y z 
x y z
Na verdade, o símbolo à direita da igualdade, baseado no Teorema de 
Laplace, não representa um determinante, tendo em vista que a primeira linha não 
são números reais, e sim vetores. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade 
com que a fórmula pode ser memorizada.
47AULA 3 TÓPICO 1
ExErcícios rEsolvidos
1. Sendo 
®
u = 2
®
i + 3
®
j – 
®
k e 
®
v =
→
i - 
®
j 
+ 2
®
k , calcule 
® ®
u x v e 
® ®
v x u .
Solução:
a) 
® ®
u x v = 
® ® ®
i j k
 2 3 -1 
1 -1 2
 = 
 
-
-
 3 1 
 
1 2
 .
→
i - -2 1 
1 2
 .
®
j + 
-
2 3
 
1 1 
. 
®
k
® ®
u x v = (6 – 1) 
→
i - (4 + 1) 
®
j + (-2 – 3) 
®
k Þ 
® ®
u x v = 5
→
i - 5
®
j - 5
®
k
b) 
® ®
v x u = 
® ® ®
i j k
 1 -1 2 
2 3 -1 
 = 
®-
-
1 2
 . i
 3 1 
 - 
®
-
1 2
 . j
2 1 
 + 
®-1 1 
 . k
2 3
® ®
v x u = (1 - 6) 
→
i - (-1 – 4) 
®
j + (3 + 2) 
®
k Þ 
® ®
v x u = -5
→
i + 5
®
j + 5
®
k
Observe que 
® ®
u x v = -
® ®
v x u , ou seja, os vetores 
® ®
u x v e 
® ®
v x u , são 
opostos, o que significa dizer que o produto vetorial é anticomutativo como vimos 
acima, na propriedade 3.
2. Calcule o versor de 
® ®
u x v onde 
®
u = (2, 3, -1) e 
®
v = (2, 1, 0).
Solução:
® ®
u x v = 
® ® ®
 i j k 
 2 3 -1 
2 1 0
 = 
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
 3 -1 2 -1 2 3 
 , - , 
 1 0 2 0 2 1
® ®
u x v = (0 + 1, - (0 + 2), 2 – 6) Þ 
® ®
u x v = (1, -2, -4)
O versor 
® ®
u x v é o vetor 
® ®
® ® 
u x v
 u x v 
 (veja aula 1).
® ®
® ® 
u x v
 u x v 
= 
( )
( ) ( )+ +2 22
 1, -2, -4 
 1 -2 -4
 = 
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
1 -2 -4
 , , 
21 21 21
s a i b a m a i s !
Revise o Teorema de Laplace acessando o site 
disponível em https://www.youtube.com/
watch?v=bNiw3CMGsK4.
48 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
1.4 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO 
VETORIAL
Geometricamente o módulo do produto vetorial de dois vetores 
®
u e 
®
v mede 
a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
® ®
=AB u e 
® ®
=AD v , como mostra 
a figura 3:
Figura 3 - Módulo de u x v
® ®
 = área do paralelogramo ABCD
Observe que a área ABCD = 
®
 u . h 
Considerando que è
®
=h v . sen q , temos: área de ABCD = è
® ®
 u . v . sen q
Mas è
® ® ® ®
=
 
u x v u . v . sen q (propriedade 9), então: área de 
ABCD = 
® ® 
 u x v .
ExErcícios rEsolvidos
1. Calcule a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
®
u = (2, 3, -1) e 
®
v = (1, 4, 3).
Solução:
® ®
u x v = 
® ® ®
æ ö÷ç ÷- = ç ÷ç ÷çè ø
 i j k
 3 -1 2 -1 2 3
2 3 1 , - , 
4 3 1 3 1 4
1 4 3
® ®
u x v = (9 + 4, - (6 + 1), 8 + 3) Þ 
® ®
u x v = (13, -7, 11) Þ
Área = 
® ®
= + + =
 
2 2 2u x v 13 (-7) 11 339
2. Determine a área de um triângulo cujos vértices são os pontos A (2, 1, 0), 
B (-1, 3, 2) e C (0, 1, 2), como mostra a figura 4.
Figura 4 - Área do triângulo ABC = metade da área do paralelogramo ABCD
49AULA 3 TÓPICO 1
Solução:
Observe que a área do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo 
ABCD.
Assim temos:
Área do triângulo = 
® ® 1
 . AC x AB 
2
®
= = =AC C - A ( 0, 1, 2 ) - ( 2, 1, 0 ) ( -2, 0, 2 )
e 
®
= = =AB B - A ( -1, 3, 2 ) - ( 2, 1, 0 ) ( -3, 2, 2 )
® ®
AC x AB = 
® ® ®
æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø
 i j k 
 0 2 -2 2 -2 0
 -2 0 2 , - , 
 2 2 -3 2 -3 2
 -3 2 2
® ®
AC x AB = (-4, -2, -4) Þ 
® ® 
 AC x AB = + +2 2 2 (-4) (-2) (-4) = 
= 36 6
Área = 
® ® 1
 . AC x AB 
2
 Þ Área = Þ
1
 . 6 
2
 Área = 3
3. Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
®
u = 
(2, -6, 3) e 
®
v = (4, 3, 1).
Solução:
Se 
® ®
u x v e 
® ®
v x w são simultaneamente ortogonais a 
®
u e 
®
v , então os 
versores de 
® ®
u x v e de 
® ®
v x u constituema solução do problema:
® ®
u x v = 
® ® ®
® ® ®
- = +
i j k 
-6 3 2 3 2 -6
 2 6 3 i - j .k
3 1 4 1 4 3
4 3 1
 ou 
® ®
u x v = -15
®
i + 10
®
j + 30
®
k , isto é, 
® ®
u x v = (-15, 10, 30) e 
® ®
v x w = (15, 
-10, -30).
Assim, se 
®
a e 
®
b são os versores de 
® ®
u x v e 
® ®
v x u , respectivamente, então:
®
a = 
® ®
® ® 
u x v
 u x v 
 = 
( )
( ) + +2 2 2
 -15, 10, 30 
 -15 10 30
 = 
( ) -15, 10, 30 
 1225
 = ( )
1
 -15, 10, 30 
35
 
= 
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
3 2 6
 - , , 
7 7 7
50 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
®
b = 
® ®
® ® 
v x u
 v x u 
 = 
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
3 2 6
 , - , 
7 7 7
Observe que os vetores 
®
a e 
®
b são unitários.
Vimos que o produto vetorial de dois vetores é representado por um terceiro 
vetor simultaneamente ortogonal a esses dois vetores e que possui sentido de um 
triedro positivo. No próximo tópico, estudaremos um tipo de produto que envolve 
o escalar e o vetorial numa mesma expressão.
51AULA 3 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Produto misto
ObjetivOs
• Introduzir a noção de produto misto do ponto de vista 
analítico
• Descrever algumas propriedades e aplicações do produto 
misto
O produto misto é uma espécie de produto que envolve o produto interno (estudado na aula 2) e o vetorial numa única expressão. Tendo em vista que o produto vetorial é representado por um 
vetor e o produto interno por um número real, podemos concluir que o produto 
misto também é representado por um número real.
DEFINIÇÃO
Chama-se produto misto dos vetores 
→
u , 
®
v e 
®
w , tomados nesta ordem e rep-
resentado por 
® ® ® 
( u, v, w ) , o número real 
→
u . (
®
v x
®
w ).
Se 
®
u =
→
ix1 + 1y
®
j + 1z
®
k , 
®
v = 2x
®
i + 2y
®
j + 2z
®
k e 
®
w = 
® ® ®
+ +3 3 3x i y j z k , temos:
→
u . (
®
v x
®
w ) = ( )1 1 1x , y , z . 
® ® ®
2 2 2
3 3 3
 i j k
x y z
x y z
→
u . (
®
v x
→
w ) = ( )1 1 1x , y , z . 
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
y z x z x y
 , - , 
y z x z x y
52 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
→
u . (
®
v x
®
w ) = 1x . 
2 2
3 3
y z
 
y z
 - 1y . 
2 2
3 3
x z
 
x z
 + 1z . 
2 2
3 3
x y
 
x y
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
→
u . (
®
v x
®
w ) = 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
 x y z
x y z
x y z
ExErcícios rEsolvidos
1. Sejam os vetores 
→
u = ( 2, 1, -1 ), 
®
v = ( 2, 0, 4 ) e 
®
w = ( 1, 1, -2 ), calcule:
a) (
→
u ,
®
v ,
®
w ) b) (
®
v ,
®
w ,
→
u )
Solução:
a) (
→
u ,
®
v ,
®
w ) = = +
2 1 -1
0 4 2 4 2 0
 2 0 4 2 . - 1 . (-1) . 
1 -2 1 -2 1 1
1 1 -2
(
→
u ,
®
v ,
®
w ) = - 8 + 8 – 2 = - 2 
b) (
®
v ,
®
w ,
→
u ) = = +
2 0 4
1 -2 1 -2 1 1 
 1 1 -2 2 . - 0 . 4 . 
1 -1 2 -1 2 1 
2 1 -1
(
®
v ,
®
w ,
→
u ) = 2 – 0 – 4 = - 2
2. Dados os pontos A (1, 2, 3), B (-1, 0, 3) e C (4, 2, -1), calcule 
(
®
AB , 
®
BC , 
®
AC ).
Solução:
®
AB = B – A = (-1, 0, 3) – (1, 2, 3) = (-2, -2, 0)
®
BC = C – B = (4, 2, -1) – (-1, 0, 3) = (5, 2, -4)
®
AC = C – A = (4, 2, -1) – (1, 2, 3) = (3, 2, -4)
(
®
AB , 
®
BC , 
®
AC ) = 
-2 -2 0
 5 2 -4 
3 0 -4
 = - 2 . 
2 -4
 
0 -4
 - ( - 2) . 5 -4 
3 -4
 + 0 . 5 2 
3 0
2.1 PROPRIEDADES
1. (
→
u ,
®
v ,
®
w ) = 0 se:
a) um dos vetores for nulo.
b) nenhum dos vetores é nulo, mas dois são colineares.
53AULA 3 TÓPICO 2
c) os três são coplanares (cf. figura 5 ).
Figura 5 - v w e u
→ → →
× são coplanares
2. A ordem cíclica dos vetores não altera o produto misto. Assim, (
→
u ,
®
v ,
®
w ) 
= (
®
v ,
®
w ,
→
u ) = (
®
w ,
→
u ,
®
v ).
3. (
→
u ,
®
v ,
®
w + 
®
r ) = (
→
u ,
®
v ,
®
w ) + (
→
u ,
®
v ,
®
r ) (propriedade dos determinantes).
ExErcício rEsolvido
1. Utilize o produto misto para mostrar que os vetores 
→
u = (1, 4, -7), 
®
v = (2, -1, 4) e 
®
w = (0, -9, 18) são coplanares.
Solução:
Tendo em vista que dois vetores não são colineares (não possuem coordenadas 
correspondentes proporcionais), se (
→
u ,
®
v ,
®
w ) = 0 , então 
→
u ,
®
v e 
→
w são coplanares.
Se (
→
u ,
®
v ,
®
w ) = 
1 4 -7
 2 -1 4
0 -9 18
 = 1 . 
-1 4
 
-9 18
 - 4 . 
2 4
 
0 18
 - 7 . 
2 -1
 
0 -9 
(
→
u ,
®
v ,
®
w ) = 1 . (18) – 4 (36) – 7 (-18) = 0.
Isso significa dizer que 
→
u ,
®
v e 
®
w são coplanares.
Determine o volume do paralelepípedo cujas arestas são 
®
AB , 
®
AC , 
®
AD , 
considerando A (1, 3, 4), B (-1, 2, 0), C (1, 1, 2).
Solução: 
Figura 6 – Paralelepípedo para cálculo de volume
®
AB = B – A = (-1, 2, 0) – (1, 3, 4) = (-2, -1, -4)
®
AC = C – A = (1, 1, 2) – (1, 3, 4) = (0, -2, -2)
®
AD = D – A = (-1, 2, 3) – (1, 3, 4) = (-2, -1, -1)
54 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Volume = ( )® ® ® AB , AC , AD 
(
®
AB ,
®
AC ,
®
AD ) = 
-2 -1 -4
 0 -2 -2
-2 -1 -1
 = - 2 . 
-2 -2
 
-1 -1
 - (-1) . 
0 -2
 
-2 -1
 + (-4) . 
0 -2
 
-2 -1
(
®
AB ,
®
AC ,
®
AD ) = -2 . 0 – 4 + 16 = 12
(
®
AB ,
®
AC ,
®
AD ) = 12 = 12
2.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO
Geometricamente, o módulo do produto misto (
→
u ,
®
v ,
®
w ) é igual ao volume 
de um paralelepípedo cujas arestas são representadas pelos vetores 
→
u , 
®
v e 
®
w , 
conforme figura 7.
Figura 7 - Paralelepípedo cujos lados são os vetores u v w
� � ��
, e 
Sabemos que o volume de um paralelepípedo é dado pela expressão:
V altura=( )⋅( )área da base ou = bV A . h 
mas: 
® ®
=
 
bA v x u 
sendo q o ângulo entre os vetores 
®
u e 
® ®
v x w , a altura do paralelepípedo 
é dada por:
®
= qh u . cos .
É necessário considerar o valor absoluto de q cos , pois q pode ser obtuso. 
Assim, o volume do paralelepípedo é:
® ® ®
= q
 
V u . v x w . cos 
Fazendo 
® ®
v x w =
®
a , temos: 
® ®
= qV u . a . cos (I)
mas, de acordo com a definição de produto interno:
® ®® ®
= qu . a u . a . cos Þ 
® ®® ®
= q u . a u . a . cos (II)
55AULA 3 TÓPICO 2
Comparando I e II, temos 
® ®
=
 
V u. a ou ( )
® ® ®
=
 
V u . v x w ou 
® ® ®
=
 
V ( u, v, w ) .
Vimos neste tópico que o produto misto é uma espécie de mistura (daí o 
nome) de um produto escalar (interno) com o produto vetorial e tem como resultado 
uma escalar. Vimos ainda que este tipo de produto é igual, em valor absoluto, ao 
volume de um paralelepípedo, cujas arestas são os vetores que compõem o produto.
56 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
Reservamos este tópico para as demonstrações de algumas propriedades dos produtos vetorial e misto considerando o grau de sua importância.
Considerando que propriedades do 
produto vetorial e produto misto estão 
intimamente relacionadas com as propriedades 
dos determinantes, utilizaremos, em algumas 
ocasiões, os princípios do Teorema de Laplace 
(pela sua praticidade), muito embora o 
determinante de 3ª ordem possa ser resolvido 
pela regra de Sarrus.
3.1 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL (DEMONSTRAÇÕES)
Sejam os vetores 
®
u =
→
ix1 + 1y
®
j + 1z
®
k , 
®
v = 2x
®
i + 2y
®
j + 2z
®
k e 
® ® ® ®
= + +3 3 3w x i y j z k e “m” um número real diferente de zero.
1. u x u
�� ��
 = 0
® ® 
u x u = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 = 0 (propriedade dos determinantes: duas filas 
paralelas iguais) consequências: 
®
i x
®
i = 0, 
®
j x
®
j = 0 e 
®
k x
®
k = 0
TÓPICO 3 Demonstrações das propriedades
ObjetivO
• Realizar as demonstrações de algumas propriedades dos 
produtos vetorial e misto
s a i b a m a i s !
Faça uma revisão da Regra de Sarrus, 
acessando o site https://www.youtube.com/
watch?v=zp7726v2sfo.
57AULA 3 TÓPICO 3
2. u v
�� �
 x = 0
a) 
®
u = 0 ou 
®
v = 0
b) 
®
u e 
®
v são colineares. Assim 
®
u = m
®
v
® ®
=u x v
® ® ®
2 2 2
2 2 2
i j k 
 mx my mz
x y z
 = m 
® ® ®
2 2 2
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 = m.0 = 0
3. u x v v x u
�� � � ��
 =−
® ®u x v = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 = - 
® ® ®
2 2 2
1 1 1
i j k 
 x y z
x y z
 = 
® ®
-v x u
Consequência:
®
i x
®
j = -
®
j x
®
i , 
®
i x
®
k = - 
®
k x
®
i e 
®
j x
®
k = - 
®
k x
®
j .
4. (m u
��
) x v

 = m ( u v
�� �
 x =)
(m
®
u ) = (m 1x , m 1y , m 1z )
(m
®
u ) x 
®
v = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k 
 mx my mz
x y z
De acordo com a propriedade dos determinantes:
(m
®
u ) x 
®
v = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k 
 mx my mz
x y z
 = m . 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 = m (
® ® 
u x v )
5. O comentário sobre a propriedade 5 se encontra no tópico 1 desta aula.
6. u x v w u x v u x w
�� � �� �� � �� ��
 +( )= +
Tendo em vista que 
® ®
+ = + + +
 
2 3 2 3 2 3(v w) ( x x , y y , z z )
® ® ®
+ =u x ( v w) 
® ® ®
+ + +
1 1 1
2 3 2 3 2 3
i j k 
 x y z
x x y y z z
58 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
De acordo com a propriedade dos determinantes:
® ® ®
+ + +
1 1 1
2 3 2 3 2 3
i j k 
 x y z
x x y y z z
 = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 + 
® ® ®
1 1 1
3 3 3
i j k
x y z
x y z
Assim, 
® ® ® ® ® ® ®
+ = +u x ( v w) u x v u x w .
7. u v
�� �
 x = é ortogonal simultaneamente a u v
�� �
 e 
® ® 
u x v é ortogonal a 
®
v . Assim 
®
v . (
® ® 
u x v ) = 0
®
v . (
® ® 
u x v ) = ( 2x , 2y , 2z ) . 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 =
( 2x , 2y , 2z ) . 
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
 , - , 
y z x z x y
Þ
®
v .(
® ® 
u x v ) = 2x
1 1
2 2
y z
 
y z
 - 2y 1 1
2 2
x z
 
x z
 + 2z
1 1
2 2
x y
 
x y
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
®
v .(
® ® 
u x v ) = 
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
 = 0
b) 
® ® 
u x v é ortogonal a 
®
u . Assim 
®
u . (
® ® 
u x v ) = 0
®
u . (
® ® 
u x v ) = ( 1x , 1y , 1z ) . 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 =
( 1x , 1y , 1z ) . 
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
 , - , 
y z x z x y
Þ
®
u . (
® ® 
u x v ) = 1x
1 1
2 2
y z
 
y z
 - 1y
1 1
2 2
x z
 
x z
 + 1z
1 1
2 2
x y
 
x y
 Þ 
®
u . (
® ® 
u x v ) 
= 
1 1 1
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
 = 0
8. u x v u v
�� � �� �
 = ⋅ ⋅ sen q
® ® 
u x v = 
® ® ®
1 1 1
2 2 2
i j k
x y z
x y z
 = 
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
 , - , 
y z x z x y
59AULA 3 TÓPICO 3
® ® 
u x v = 1 2 2 1( y z - y z ) - 1 2 2 1( x z - x z ) + 1 2 2 1(x y - x y )
 u x v
 
=
→→
( ) ( ) ( )+ +2 221 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 y z - y z x z - x z x y - x y
® ®
=
 
2u x v 21 2 2 1( y z - y z ) + 
2
1 2 2 1( x z - x z ) + 
2
1 2 2 1(x y - x y )
Desenvolvendo os quadrados, somando e subtraindo 2 21 1x y , 
2 2
2 2x y e 
2 2
1 2z z no segundo membro, e considerando a relação 
( )+ + = + + + + +2 2 2 2 a b c a b c 2ac 2bc 2ab , temos:
® ®
=
 
2 u x v ( )+ +2 2 21 1 1 x y z . ( )+ +2 2 22 2 2 x y z - ( )+ +
2
1 2 1 2 1 2 x x y y z z , 
mas 
® ® 
2 2 u . v = ( )+ +2 2 21 1 1 x y z . ( )+ +2 2 22 2 2 x y z e (
®
u .
®
v ) 2 
= ( )+ +
2
1 2 1 2 1 2 x x y y z z , então: 
® ® ® ®
= -
 
2 2 2 u x v u . v (
®
u .
®
v ) 2 . (esta última 
relação é conhecida como Identidade de 
Legrange).
Observe que 
®
u .
®
v = 
® ®
 u . v . cosa .
Assim,
® ® ® ®
= -
 
2 2 2 u x v u . v 
® ®æ ö÷ç - a÷ç ÷çè ø
2 
 u . v cos 
® ® ® ®
=
 
2 2 2 u x v u . v ( 1 - cos
2
a )
® ® ® ®
=
 
2 2 2 u x v u . v . sena e finalmente 
® ® ® ®
=
 
 u x v u . v . sen q .
9. Observe na figura abaixo que u x v x w
�� � ��
 ( ) é coplanar com v

 e w
��
, e 
u x v x w
�� � ��
 ( ) é coplanar com u
��
 e v

. Assim u x v x x x w
�� � �� �� � ��
 w u v( )≠( ) .
Figura 8 -
  
u x (v x w) é coplanar a v

 e w
��
at e n ç ã o !
A relação u x v u v 
 
2 2 2
→ → → →
= −. ( u
®
. v
®
)² é 
conhecida como Identidade de Lagrange. Essa 
identidade é gerada a partir do produto interno 
dos vetores 
 
u x v e 
 
u x v , ou seja:
   
   
   
 
u v,u v
 u,u u,v 
 v,u v,v
 u ² . v ² - 
× × = =
   
   
u,v . v,u
 u ² . v ² - u.v
=
( )²
60 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
3.2 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO (DEMONSTRAÇÕES)
1. (
®
=u 0, 
®
v e 
®
w ) = 0, se:
a) um dos vetores for nulo
b) dois deles forem colineares
c) os três forem coplanares.
a) Se 
®
=u 0 então:
(
®
=u 0, 
®
v e 
®
w ) = 2 2 2 
3 3 3
0 0 0
 x y z
x y z
 = 0 (propriedades do determinante: fila nula)
b) Supondo 
®
=u 0 e 
®
v colineares, então:
®
=u 0= 
®
m v ou ( 1x , 1y , 1z ) = (m 2x , m 2y , m 2z )
® ® ® 
( u, v, w ) = 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
mx my mz
 x y z
x y z
 = m . 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
x y z
 x y z
x y z
 = m . 0 = 0
c) Os três são coplanares 
Observe na figura 5 que (
®
v x
®
w ) é ortogonal a 
®
v e 
®
w (segundo a definição 
de produto vetorial). Se 
®
=u 0. (
®
v x
®
w ) = (
®
=u 0,
®
v ,
®
w ) = 0, concluímos, pela definição 
de produto interno, que 
®
=u 0 e 
®
v x
®
w são ortogonais. Assim 
®
=u 0 está no mesmo plano 
que 
®
v e 
®
w .
Com essas demonstrações, chegamos ao final do estudo de vetores. Alguns 
conceitos e propriedades estudados nas aulas 1, 2 e 3 servirão como base para o 
desenvolvimento do estudo de elementos abordados nas aulas subsequentes, como 
reta, plano e superfícies.
61AULA 4
AULA 4 Reta
Caro(a) aluno(a),
O conhecimento que obtivemos sobre vetores nas aulas anteriores constitui parte 
fundamental para o estudo das aulas subsequentes. Nesta aula iremos estudar 
as equações da reta no espaço tridimensional, bem como as características e 
particularidades de cada uma delas.
Objetivos
• Reconhecer, interpretar e operar com cada tipo de equação de reta no 
espaço bem como analisar suas posições relativas
• Resolver problemas relacionados a retas no espaço tridimensional
62 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
As curvas no espaço ou no plano estão associadas a uma equação que relaciona as coordenadas (x, y) no plano ou (x, y, z) no espaço. Tal equação pode se apresentar sob diversos formatos e cada um com 
suas características próprias. Na geometria analítica, no plano, por exemplo, vimos 
que uma reta pode ser representada pelas equações reduzida, geral segmentária ou 
paramétrica, porém cada uma com sua particularidade. O coeficiente angular a, 
por exemplo, aparece de forma explícita no formato = +y ax b (equação reduzida 
da reta no plano). Porém, se pretendemos conhecer a ordenada do ponto em que a 
reta intercepta o eixo 0y, podemos recorrer à equação segmentária + =
yx
1
p q
 em 
que q é o elemento procurado.
No espaço, equações da reta vêm configuradas para três variáveis x, y e z. 
São elas: equação vetorial, equações simétricas, equações paramétricas e equações 
reduzidas. Construiremos os formatos das equações baseados no conhecimento de 
vetores estudados na aula anterior.
1.1 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Considere uma reta r que contém o ponto 1 1 1A(x , y , z ) e tem a direção de 
um vetor 
®
=v (a,b, c) . Para que um ponto P(x,y,z) do espaço pertença à reta r, 
é necessário e suficiente que os vetores 
®
AP e 
®
v sejam colineares, como mostra a 
figura a seguir:
TÓPICO 1 Equações da reta
ObjetivOs
• Determinar as equações vetoriais, paramétricas e simétricas de 
uma reta do espaço
• Conhecer, interpretar e operar com cada formato de equação da 
reta no espaço
63AULA 4 TÓPICO 1
Figura 1 – Reta AP com ponto A e direção do vetor v
®
Assim, 
® ®
=AP t v ou 
®
- =P A t v ( )Ît R Þ 
®
= +P A t v ou ( )=x,y,z 1 1 1(x , y , z ) + 
®
t v 
 onde o vetor 
®
=v (a,b, c) é chamado vetor diretor da reta r e t é chamado parâmetro. 
Observe que existe uma correspondência biunívoca entre cada número real t e um 
ponto da reta,ou seja, para cada número atribuído a t, temos um ponto da reta.
ExEMplo: 
Vamos determinar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 
A(2, -1, 3) e possui a direção do vetor 
® ® ® ®
= +v i 2 j -4 k .
Considerando que P(x,y,z) é um ponto qualquer dessa reta, temos:
® ®
=AP t v Þ ( )=x,y,z -(2, 1, 3) + -t.(1, 2 , 4)
Para cada valor de t, temos um ponto da reta. Assim, para =t 2 , temos:
( )=x,y,z -(2, 1, 3) + -2.(1, 2 , 4) Þ ( )=x,y,z -(2, 1, 3) + -(2, 4 , 8)
Þ ( )=x,y,z -(2, 1, 3)
O ponto P -(2, 1, 3) é um ponto da reta r.
1.2 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Sejam P(x,y,z) , 
1 1 1A(x , y , z ) e 
® ® ® ®
= + +v a i b j c k um ponto genérico, um 
ponto conhecido e o vetor diretor da reta r, respectivamente.
Da equação vetorial de r 
® ®
=AP t v ou ( )=x,y,z 1 1 1(x , y , z ) + t.(a, b, c) , 
temos: ( )=x,y,z 1 1 1(x , y , z ) + (at, bt, ct) Þ
ì = +ïïïï = +íïï = +ïïî
1
1
1
x x at
y y bt
z z ct
Estas equações, nas quais a, b e c não são todos nulos, são chamadas equações 
paramétricas da reta.
64 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
ExEMplos:
As equações paramétricas da reta r, que contém o ponto -A(2, 1, 3) e 
possui a direção do vetor 
® ® ® ®
= +v 2i 2 j -5k , são dadas por:
ì = +ïïïï =- +íïï = -ïïî
x 2 2.t
y 1 2.t
z 3 5.t
Para se obter um ponto da reta r atribui-se um valor real para t. Assim, para 
t=3, temos:
ì =ïïïï =íïï =-ïïî
x 8
y 5
z 12
 ou seja, -(8, 5, 12) é um ponto da reta r.
1.3 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Uma outra maneira de descrever uma reta é eliminar o parâmetro t das 
equações paramétricas. Se nenhum dos números a, b ou c é 0, podemos resolver 
cada uma das equações para t 
-
= = =11 1
y-yx x z-z
t , t e t
a b c
e igualar o resultado, obtendo
-
= =11 1
y-yx x z-z
 
a b c
Estas equações são chamadas equações simétricas da reta que contém o ponto 
1 1 1A(x , y , z ) e a direção do vetor 
®
=v (a,b, c) . Mesmo que um dos componentes 
desse vetor seja nulo, podemos eliminar o parâmetro t. Por exemplo, se =a 0 , 
podemos escrever as equações da reta como: 
= 1x x =
1 1y-y z-z 
b c
Isso indica que a reta é paralela ao plano yz, tendo em vista que o vetor 
®
=v (O,b, c) é paralelo ao plano coordenado yz (veja figura 2 )
Figura 2 – Reta paralela ao plano yz
65AULA 4 TÓPICO 1
Assim, se a reta é paralela ao plano xz, seu vetor diretor é do tipo 
®
=v (a, o b) 
e suas equações simétricas ficam:
 1r =1 1
x-x z-z
 
a c
 e 
ì =ïïïïïíï --ïï =ïïî
 1 
11
z z
y yx x
 
a b
 se a reta for paralela ao plano 
coordenado xy, como mostram as figuras seguintes.
Figura 3 – Reta paralela ao plano xz Figura 4 – Reta paralela ao plano xy
Seguindo esse raciocínio, não é difícil concluir que, se a reta é paralela a 
um dos eixos coordenados, o vetor diretor dessa reta possui duas componentes 
nulas. Assim, por exemplo, se a reta for paralela ao eixo x, seu vetor é do tipo 
®
=v (a, 0, 0 ) e suas equações ficam:
ì =ïïïï =íïï = +ïïî
 1 
 1
1
y y
 z z 
 x x at
ExErcícios rEsolvidos
1. Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo 
ponto -A( 2, 4, 3) e A( 3,-1, 1) .
Solução:
Não nos foi dado de forma explícita o vetor paralelo à reta (vetor diretor 
da reta), mas observe que o vetor 
®
v com representação 
® 
AB é paralelo à reta e 
®
= -v (3 2, -1-4, 1-(-3)) ou 
®
=v ( 1, -5, 4 ) .
Então os componentes do vetor diretor são = =- =a 1, b 5 e c 4 . Assim, 
tomando o ponto -A( 2, 4, 3) e o vetor 
®
=v ( 1, -5, 4 ) , as equações paramétricas 
ficam:
ì = +ïïïï = -íïï =- +ïïî
x 2 t
 y 4 5t
 z 3 4 t
66 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
e as equações simétricas são:
- +
= =
y-4x 2 z 3
 
1 -5 4
2. Qual a interseção dessa reta com o plano xy?
Solução:
A reta intercepta o plano xy quando =z 0 . Tomando =z 0 nas equações 
simétricas obtemos:
-
= =
y-4x 2 3
 
1 -5 4
Resolvendo as equações, temos =
11
x
4
 e =
1
y
4
. Portanto a reta intercepta 
o plano xy no ponto æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
11 1
, , 0
4 4
.
3. Calcule o ângulo entre as retas 
ì = +ïïïï =íïï =- -ïïî
 x 3 t 
r : y t 
 z 1 2t
 e 
+
= =
y-3x 2 z
s : 
-2 1 1
.
Solução:
Os vetores que definem as direções de r e s são, respectivamente, 
®
=1v ( 1, 1, -2 ) e 
®
= - 2v ( 2, 1, 1) . Tendo em vista que o ângulo entre as retas é o 
mesmo ângulo entre os vetores diretores, chegamos a:
cosθ = =
→ →
→ →
 v . v 
 v . v 
1 2
 
1 2
+ + - + +2 2 2 2 2 2
 (1, 1, -2 ) . ( -2, 1, 1 )
1 1 ( 2) x (-2) 1 1
= 1
2
,
logo θ =





arc cos 
1
2
.
Vimos que cada reta no espaço está relacionada a um conjunto de equações 
em que figuram as variáveis x, y e z, e que traz consigo informações importantes 
da reta. No próximo tópico, estudaremos as posições particulares que duas retas 
assumem no espaço.
67AULA 4 TÓPICO 2
TÓPICO 2 Posições relativas entre duas retas
ObjetivO
• Conhecer e determinar as diversas posições 
relativas entre duas retas no espaço
Uma vez que já estudamos as equações das retas, veremos, neste tópico, como usá-las para que possamos determinar as posições relativas que duas retas podem assumir no espaço.
2.1 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS
Sejam duas retas 
®
1v e 
®
2v cujos 
vetores diretores são ( )
®
=1 1 1 1v a , b , c e 
( )
®
=2 2 2 2v a , b , c respectivamente. Se r e s são 
paralelas, seus vetores diretores são colineares. 
Assim, 
®
1v = k
®
2v ou = = =
1 1 1
2 2 2
a b c
k
a b c
.
ExEMplo:
A reta 1r , que passa pelos pontos 
-1A (2, 2, 1) e 1B (4, 3, 2) , e a reta 2r que passa 
pelos pontos -2A (-6, 1, 5) e 2B (-2, 3, 1) são 
paralelas. De fato:
a) A direção de 1r é dada pelo vetor 
 
®
1v = 

1 1A B = (2, 1, 3);
b) A direção de 
®
2v é dada pelo vetor 
®
2v = 
®
2A
®
2B = (4, 2, 6);
c) De acordo com a condição de paralelismo 
de duas retas 1
2
a
a
 = 1
2
b
b
 = 1
2
c
c
, as retas 1 2r e r 
são paralelas, pois 2
4
=
1
2
 =
3
6
.
at e n ç ã o !
Seja uma reta r 1 , que contém o ponto 
A ( x , y , z ) 1 1 1 1 e possui a direção de um 
vetor v a b c 1 1 11
→
= ( ), , , representada pelas 
equações x x
a
 
y-y
b
 
z-z
c
1
1
1
1
1
1
−
= = . 
Qualquer reta r2 , paralela a r 1 , tem parâmetros 
diretores a , b , c2 2 2 proporcionais aos 
parâmetros diretores a , b , c1 1 1. Dessa forma, 
a , b , c1 1 1 são parâmetros diretores de qualquer 
reta paralela a r 1 . Assim, se A ( x , y , z )2 2 2 2 
é um ponto qualquer do espaço, as equações 
da reta paralela à r 1 , que passa por A2 , são:
x x
a
 
y-y
b
 
z-z
c
2
1
2
1
2
1
−
= = .
68 Geomet r ia Ana l í t i ca Ve to r ia l
2.2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS
Duas retas r e s de direções 
®
1v = ( 1a , 1b , 1c ) e 
®
2v =( 2a , 2b , 2c ), 
respectivamente, são ortogonais se os vetores 
®
1v e 
®
2v também o forem, ou seja, r 
e s são ortogonais se 
® ®
=1 2v .v 0 ou + + =1 2 1 2 1 2a . a b . b c . c 0 .
ExErcícios rEsolvidos
1. Verifique se as retas 1r : 
ì =ïïïï = +íïï = +ïïî
x 3t
y -1 5t
z 3 4t
 e s: 
ì =ïïïí +ï =ïïî
y 3
x-3 t 1
8 -6
 são ortogonais.
Solução:
A direção de r é 
®
1v = (3, 5, 4);
A direção de s é 
®
2v = (8, 0, -6);
A condição de ortogonalidade de duas retas é: 1a 2b + 1b 2b + 1c 2c = 0.
Neste caso:
3 . 8 + 5 . 0 + 9 ( -6 ) = 0, que prova serem ortogonais as retas r e s.
2. Calcule o valor de k para que as retas r: 
ì = +ïïíï =ïî
y kx 1
z -2x
 e s: 
ì = +ïïïï =íïï =ïïî
x 1 3t
y 2-2t
z 5tsejam ortogonais.
Solução:
Os vetores 
®
1v = ( 1, k, -2 ) e 
®
2v = ( 3, -2, 5 ) são vetores diretores de r e s, 
respectivamente.
A condição de ortogonalidade permite escrever:
1 . 3 + k . (-2 ) + ( -2) . 5 = 0, daí -2k = 10 – 3 Þ k = - 7
2
.
2.3 CONDIÇÃO DE COOPLANARIDADE DE DUAS RETAS
Duas retas 1r que