Lista5

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Lista 5
Prof. Adriano Delfino
CDI 3
Assunto: Rotacional, Divergente, Superfícies e Integrais de Superfícies.
1. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado.
(a) F (x, y, z) = (xyz, 0, x2y)
(b) F (x, y, z) = (x2yz, xy2z, zyz2)
(c) F (x, y, z) = (ex sin y, ex cos y, z)
(d) F (x, y, z) = (0, xey, yez)
(e) F (x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
(x, y, z)
(f) F (x, y, z) = (0, exy sin z, y tan−1(x
z
))
(g) F (x, y, z) = (ln x, lnxy, lnxyz)
(h) F (x, y, z) = (ex, exy, exyz)
2. Um resultado falado em sala diz que se F é conservativo então rotF = 0. A volta vale
quando o domínio de F é todo o R3( tem a ver com simplesmente conexo). Nos exercícios
abaixo veri�que se o campo é conservativo ou não. Primeiro encontre o domínio. Em
caso a�rmativo, encontre a função potencial.
(a) F (x, y, z) = (y2z3, 2xyz3, 3xy2z2)
(b) F (x, y, z) = (xyz2, x2yz2, x2y2z)
(c) F (x, y, z) = (2xy, x2 + 2yz, y2)
(d) F (x, y, z) = (ez, 1, xez)
(e) F (x, y, z) = (ye−x, e−x, 2z)
(f) F (x, y, z) = (y cos(xy), x cos(xy),− sin z)
3. Identi�que a superfície que tem a equação paramétrica dada.1
(a) σ(u, v) = (u+ v, 3− v, 1 + 4u+ 5v)
(b) σ(u, v) = (2 sinu, 3 cosu, v), 0 ≤ v ≤ 2
(c) σ(u, v) = (u, cos v, sin v)
(d) σ(u, v) = (u, u cos v, u sin v)
4. Parametrize as superfícies dadas.
(a) O plano que passa pelo ponto (1, 2,−3) e contem os vetores (1, 1,−1) e (1,−1, 1).
(b) A metade inferior do elipsoide 2x2 + 4y2 + z2 = 1.
(c) A parte do hiperbolóide x2 + y2 − z2 = 1 que está a direita do plano xz.
(d) A parte do parabolóide elíptico x+ y2 + 2z2 = 4 que está em frente do plano x = 0.
(e) A parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está acima do cone z =
√
x2 + y2.
(f) A parte da esfera x2 + y2 + z2 = 16 que está entre os planos z = −2 e z = 2.
(g) A parte do cilindro y2 + z2 = 16 que está entre os planos x = 0 e x = 5.
(h) A parte do plano z = x+ 3 que está dentro do cilíndro x2 + y2 = 1.
5. Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada no ponto dado.
(a) x = u+ v, y = 3u2, z = u− v; (2, 3, 0)
(b) x = u2, y = v2, z = uv;u = 1, v = 1
(c) σ(u, v) = (u2, 2u sin v, u cos v);u = 1, v = 0
(d) σ(u, v) = (uv, u sin v, v cosu);u = 0, v = π
6. Determine a área da superfície.
1No Stuart, ele denota as superfícies pela letra r.
1
(a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que está no primeiro octante.
(b) A parte do plano 2x+ 5y + z = 10 que está dentro do cilíndro x2 + y2 = 9.
(c) A superfície z = 2
3
(x
3
2 + y
3
2 ), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(d) A parte do plano σ(u, v) = (1 + v, u− 2v, 3− 5u+ v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
(e) A parte da superfície z = xy que está dentro do cilíndro x2 + y2 = 1.
(f) A parte da superfície z = 1 + 3x + 2y2 que está acima do triângulo com vértices
(0, 0), (0, 1) e (2, 1).
(g) A parte do parabolóide hiperbólico z = y2−x2 que está entre os cilíndros x2+y2 = 1
e x2 + y2 = 4.
(h) A parte do parabolóide x = y2 + z2 que está dentro do cilíndro y2 + z2 = 9.
(i) A parte da superfície y = 4x + z2 que está entre os planos x = 0, x = 1, z = 0 e
z = 1.
(j) O helicoide com equação σ(u, v) = (u cos v, u sin v, v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π.
(k) A superfície com equações paramétricas x = u2, y = uv, z = 1
2
v2, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤
2.
7. Calcule a integral de superfície.2
(a)
∫∫
S
x2yz dS onde S é a parte do plano z = 1+ 2x+3y que está acima do retângulo
[0, 3]× [0, 2].
(b)
∫∫
S
xy dS onde S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2).
(c)
∫∫
S
yz dS onde S é a parte do plano x+ y + z = 1 que está no primeiro octante.
(d)
∫∫
S
y dS onde S é a superfície z = 2
3
(x
3
2 + y
3
2 ), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(e)
∫∫
S
yz dS onde S é a superfície com equações paramétricas x = u2, y = u sin v, z =
u cos v, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π
2
.
(f)
∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS onde S é o helicoide com equação vetorial
σ(u, v) = (u cos v, u sin v, v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π.
(g)
∫∫
S
x2z2 dS onde S é a parte do cone z2 = x2 + y2 que está entre os planos z = 1 e
z = 3.
(h)
∫∫
S
z dS onde S é a superfície x = y + 2z2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
(i)
∫∫
S
y dS onde S é a parte do paraboloide y = x2 + z2 que está dentro do cilíndro
x2 + z2 = 4.
2Alguns autores denotam a superfície pela letra σ.
2
(j)
∫∫
S
y2 dS onde S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro
x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
(k)
∫∫
S
(x2z + y2z) dS onde S é o hemisfério x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.
(l)
∫∫
S
xz dS onde S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y2+ z2 = 9 e pelos
planos x = 0 e x+ y = 5.
(m)
∫∫
S
(z + x2y) dS onde S é a parte do cilindro y2 + z2 = 1 que está entre os planos
x = 0 e x = 3 no primeiro octante.
(n)
∫∫
S
x2 + y2 + z2 dS onde S é a parte do cilindro x2 + y2 = 9 entre os planos z = 0 e
z = 2, juntamente com os discos do fundo e do topo.
8. Calcule a integral de superfície
∫∫
S
F dS para o campo vetorial F e a superfície orientada
S. Em outras palavras, calcule o �uxo de F através de S.
(a) F (x, y, z) = (xy, yz, zx) onde S é a parte do parabolóide z = 4 − x2 − y2 que está
acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 com orientação para cima.
(b) F (x, y, z) = (y, x, z2) onde S é o helicoide do exercício 7 letra (f) com orientação
para cima.
(c) F (x, y, z) = (xzey,−xzey, z) onde S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro
octante com orientação para baixo.
(d) F (x, y, z) = (x, y, z4) onde S é a parte do cone z =
√
x2 + y2 abaixo do plano z = 1
com orientação para baixo.
(e) F (x, y, z) = (x, y, z) onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = 9.
(f) F (x, y, z) = (−y, x, 3z) onde S é o hemisfério z =
√
16− x2 − y2, y ≥ 0 com orien-
tação para cima.
(g) F (x, y, z) = (0, y,−z) onde S é formada pelo parabolóide y = x2 + z2, 0 ≤ y ≤ 1 e
pelo círculo x2 + z2 ≤ 1, y = 1.
(h) F (x, y, z) = (xy, 4x2, yz) onde S é a superfície z = xey, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 com
orientação para cima.
(i) F (x, y, z) = (x, 2y, 3z) onde S é o cubo com vértices (±1,±1,±1).
(j) F (x, y, z) = (x, y, 5) onde S é a fronteira da região delimitada pelo cilincdro x2+z1 =
1 e pelos planos y = 0 e x+ y = 2.
(k) F (x, y, z) = (x2, y2, z2) onde S é a fronteira do semi-cilindro sólido 0 ≤ z ≤√
1− y2, 0 ≤ x ≤ 2.
(l) F (x, y, z) = (y, z − y, x) onde S é a superfície do tetraedro com vértices
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
9. Determine o centro de massa do hemisfério x2+y2+ z2 = a2, z ≥ 0, se ele tiver densidade
constante.
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