A2 - CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA

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23/07/2021 Ilumno
ilumno.sgp.starlinetecnologia.com.br/ilumno/schedule/resultcandidatedetailprint/5727223/9cb5b86c-59b1-11ea-b8e3-0242ac110034/ 1/5
Local: Sala 1 - Sala de aula / Andar / Polo Bangu / POLO BANGU - RJ 
Acadêmico: EAD-IL10010-20202B
Aluno: GABRIEL DE SOUZA RODRIGUES LEITE BARTRAS 
Avaliação: A2-
Matrícula: 20201302061 
Data: 18 de Junho de 2020 - 08:00 Finalizado
Correto Incorreto Anulada  Discursiva  Objetiva Total: 10,00/10,00
1  Código: 29479 - Enunciado:  O resultado de produtos entre vetores pode ser um número real ou
um vetor, e a cada produto se pode associar uma interpretação geométrica distinta.  Sobre o
vetor que é resultado de , podemos afirmar que:
 a) É igual a (2, 3, 1).
 b) Possui módulo igual a 1.
 c) É paralelo a  stack u space with rightwards arrow on top e a 
v with rightwards arrow on top.
 d) É ortogonal a  stack u space with rightwards arrow on top e a 
v with rightwards arrow on top.
 e) Forma ângulo obtuso com   stack u space with rightwards arrow on top e com 
v with rightwards arrow on top.
Alternativa marcada:
d) É ortogonal a  stack u space with rightwards arrow on top e a 
v with rightwards arrow on top.
Justificativa: Resposta correta:É ortogonal a  e a . Esta é uma propriedade do produto vetorial: o
vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal a cada um dos vetores. Distratores:É paralelo
a  e a . Errada. É ortogonal, ou seja, forma ângulo de 90 graus, simultaneamente, com os vetores u
e v.É igual a (2, 3, 1). Errada. Não há dados para realizar o cálculo.Possui módulo igual a
1. Errada. Não há dados para realizar o cálculo.Forma ângulo obtuso com   e com . Errada.
O ângulo é de 90 graus.
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2  Código: 29958 - Enunciado:  Em um projeto de campo de futebol do condomínio A, uma das
laterais do campo foi representada tendo como suporte a reta r, cuja direção é determinada pelo
vetor , e um de seus cantos foi posicionado sobre a origem do sistema cartesiano. Determine a
equação vetorial da reta que suporta uma das laterais desse campo de futebol. 
 a) P = (3, 4, 0)t.
 b) P = (1, 0, 0) + (3, 4, 0)t.
 c) P = (1, 1, 0) + (3, 4, 0)t.
 d) P = (3, 4, 0) + (0, 0, 0)t.
 e) P = (1, 1, 1) + (3, 4, 0)t.
Alternativa marcada:
a) P = (3, 4, 0)t.
Justificativa: Resposta correta:P = (3, 4, 0)t.Como o ponto determinado é a origem, ou seja, (0, 0,
0), não precisa aparecer, pois não interferirá na representação da reta, aparecendo somente seu
vetor diretor e o parâmetro t. Distratores:P = (3, 4, 0) + (0, 0, 0)t. Errada. O ponto e o vetor diretor
estão trocados quanto à sua posição com relação ao parâmetro t.P = (1, 1, 1) + (3, 4, 0)t. Errada. O
ponto (1, 1, 1) não pertence à reta r, porque ela passa pela origem. P = (1, 1, 0) + (3, 4, 0)t. Errada.
O ponto (1, 1, 0) não pertence à reta r, porque ela passa pela origem.P = (3, 4, 0) + (1, 1, 0)t. Errada.
O ponto (1, 1, 0) não é o vetor diretor da reta r, nem (3, 4, 0) é um de seus pontos.
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3  Código: 29015 - Enunciado:  Por meio do cálculo vetorial e da geometria analítica, é possível
determinar a posição de um vetor a partir das coordenadas de outros dois vetores, operando
sobre essas coordenadas algebricamente. Dados os vetores = (2, –3) e = (–1, 4), pode-se inferir
que o vetor  = 3 – 2 é representado por:
 a) (8, 17).
 b) (8, –1).
 c) (8, –17).
 d) (6, –17).
 e) (–8, –17).
Alternativa marcada:
c) (8, –17).
Justificativa: Resposta correta:(8, –17).3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –8) = (6 + 2, –9 – 8)
= (8, –17). Distratores:(8 e 17). Errada. Pode ter trocado o último sinal de 3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1,
4) = (6, –9) + (2, –8) = (6 + 2, –9 – 8) = (8, 17).(–8 e –17). Errada. Pode ter trocado o penúltimo sinal
de 3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –8) = (6 + 2, –9 – 8) = (-8, -17).(6 e –17). Errada. Pode ter
trocado o último sinal de 3ü – 2v = 3(2, -3) – 2(-1, 4) = (6, -9) + (-2, -8) = (6 – 2, -9 – 8) = (6, -17).(8 e –
1). Errada. Pode ter trocado a última conta e seu sinal de 3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –
8) = (6 + 2, –9 – 8) = (8, –1).
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4  Código: 29971 - Enunciado:  Dois planos são perpendiculares se, e somente se, vetores normais
a cada um esses planos forem perpendiculares, conforme mostra a figura a seguir.  Considere os
planos determinados pelas equações a seguir.  Sobre esses planos, pode-se inferir que:
 a) Os planos são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de o produto escalar
entre seus vetores normais 
n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space minus 1 comma space minus 2 right parenthesis
 ser igual a zero.
 b) Os planos são paralelos, o que pode ser observado pelo fato de o produto vetorial entre
seus vetores normais 
n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space minus 1 comma space minus 2 right parenthesis
 ser igual a zero.
 c) Os planos são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de o produto escalar
entre seus vetores normais 
n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space 1 comma space minus 3 right parenthesis
 ser igual a zero.
 d) Os planos não são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de o produto
vetorial entre seus vetores normais 
n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space 1 comma space minus 3 right parenthesis
 não ser igual a zero.
 e) Os planos não são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de os vetores
normais a cada um 
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n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space 1 comma space minus 3 right parenthesis
 não apresentarem produto escalar igual a zero.
Alternativa marcada:
e) Os planos não são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de os vetores normais
a cada um 
n with rightwards arrow on top subscript 1 equals le� parenthesis 1 comma space 1 comma
space 0 right parenthesis space e space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top equals
le� parenthesis 1 comma space 1 comma space minus 3 right parenthesis
 não apresentarem produto escalar igual a zero.
Justificativa: Resposta correta:Os planos não são perpendiculares, o que pode ser observado
pelo fato de os vetores normais a cada um  não apresentarem produto escalar igual a zero. e
como  é diferente de zero, os planos não são perpendiculares. Distratores:Os planos são
perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de o produto escalar entre seus vetores
normais   ser igual a zero. Errada. O produto escalar entre seus vetores normais sendo diferente
de zero mostra que os planos não são perpendiculares. Os planos são perpendiculares, o que
pode ser observado pelo fato de o produto escalar entre seus vetores normais  ser igual a zero.
Errada. O vetor   não é o vetor normal ao plano .Os planos são paralelos, o que pode ser
observado pelo fato de o produto vetorial entre seus vetores normais  ser igual a zero. Errada.
Produto vetorial igual a zero não determina paralelismo, e o segundo vetor normalnão é esse.Os
planos não são perpendiculares, o que pode ser observado pelo fato de o produto vetorial entre
seus vetores normais  não ser igual a zero. Errada. Produto vetorial diferente de zero não
determina se os vetores são ou não perpendiculares, mas sim um outro vetor ortogonal aos dois
simultaneamente.
5  Código: 29950 - Enunciado:  Ponto, reta e plano são chamados de entes primitivos da
matemática. Não há definição para eles; são ideias aceitas por todos e que representamos
graficamente. Na geometria analítica, há equações diferentes para representar uma reta, por
exemplo, com intuito tanto gráfico quanto algébrico. Diante disso, marque a alternativa que
apresenta corretamente a equação vetorial da reta.
 a) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos pertencentes a uma reta paralela à r, e 
v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
 b) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o
vetor diretor da reta r.
 c) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
 d) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor ortogonal à reta
r.
 e) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t
, em que A é uma reta paralela à reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor
da reta r.
Alternativa marcada:
c) r colon space P space equals space A space plus space v with rightwards arrow on top. t, em
que A e P são pontos da reta r, e  v with rightwards arrow on top é o vetor diretor da reta r.
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Justificativa: Resposta correta:, em que A e P são pontos da reta r, e  é o vetor diretor da reta
r.Essa é a definição para equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto A e tem direção dada
pelo vetor v. Distratores:, em que A e P são pontos da reta r, e  é o vetor ortogonal à reta r. Errada.
O vetor v é paralelo à reta r., em que A e P são pontos pertencentes a uma reta paralela à r, e  é o
vetor diretor da reta r. Errada. A e P pertencem à reta r., em que A e P são pontos sempre
conhecidos da reta r, e  é o vetor diretor da reta r. Errada. P representa um ponto qualquer da reta
r, usado para que se possa determinar um ponto de reta pela equação., em que A é uma reta
paralela à reta r , e  é o vetor diretor da reta r.  Errada. A é um ponto de r.
6  Código: 29476 - Enunciado:  Para um projeto de layout de produção, o engenheiro observou que
será necessário posicionar um campo de controle de qualidade que possua a mesma distância
em relação a uma das esteiras A e B e esteja sobre a direção do eixo . Quando representadas em
um plano cartesiano, as coordenadas das extremidades das esteiras são A(-1, -2) e B(5, -4). Diante
disso, marque a alternativa que apresenta corretamente as coordenadas do ponto em que deve
ser posicionado o campo de controle de qualidade.
 a) (2, 0).
 b) (2, 1).
 c) (3, 0).
 d) (3, -3).
 e) (0, 5).
Alternativa marcada:
c) (3, 0).
Justificativa: Resposta correta: (3, 0). O ponto procurado deve estar sobre o eixo dos x; assim,
tem que ter a coordenada y = 0, ou seja, é do tipo P(x, O).Deve-se ter d(P, A) = d(P, B) ou   = A – P =
(-1 – x, -2 – 0) e  = B – P = (5 – x ,  -4 – 0).Logo: Distratores:  (0, 5). Errada. A ordenada deveria ser
zero, independentemente de qualquer outra informação, porque o ponto deve estar sobre OX.(3,
-3). Errada. As raízes da equação não são o ponto procurado; a ordenada deveria ser zero,
independentemente de qualquer outra informação, porque o ponto deve estar sobre OX.(2, 0).
Errada. O aluno pode ter errado no último cálculo, fazendo 36/12 = 2.(2, 1). Errada. A ordenada
deveria ser zero, independentemente de qualquer outra informação, porque o ponto deve estar
sobre OX.
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7  Código: 29973 - Enunciado:  A construção de uma equação geral do plano pode ser um processo
tão mais direto quanto for a qualidade dos dados que coletamos sobre ele. Se forem conhecidos
um vetor normal, esse plano e um ponto deste, o processo será mais rápido, porém há
momentos em que a solicitação de um projeto é a equação na sua forma geral de um plano, que
deve passar por três pontos conhecidos, e esses são os únicos dados disponíveis. Considere que
seja necessário realizar o seccionamento de um bloco retangular passando pelos vértices I, J e K,
de modo que resulte em duas peças em forma de rampa, conforme mostra a figura a seguir.  Na
elaboração do projeto de corte, um bloco retangular foi posicionado com o centro de sua base
sobre a origem do sistema de eixos cartesianos, sendo que suas arestas medem
quatro metros. Considere os vértices do bloco I (2, 2, 0), J (–2, 2, 4) e K (–2, –2, 4). Diante
disso, marque a alternativa que apresenta uma equação geral do plano seccionador,
considerando os vetores diretores do plano com origem em I e extremidades em J e K.
 a) –4x + 4z – 32 = 0.
 b) 16x + 16z – 32 = 0.
 c) 16x + 16y – 32 = 0.
 d) 16x + 16z + 32 = 0.
 e) –4x – 4y + 4z + 16 = 0.
Alternativa marcada:
2,00/ 2,00
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b) 16x + 16z – 32 = 0.
Justificativa: Resposta correta:16x + 16z – 32 = 0. são vetores do plano seccionador, não
paralelos, e o produto vetorial entre eles gera um vetor nomal ao plano , que é necessário para
construir a equação geral do plano; aplicando o ponto I na equação obtida, 16x + 16z + d = 0,
temos como resultado o valor d = –32; portanto 16x + 16z – 32 = 0. Distratores: –4x + 4z – 32 = 0.
Errada. (–4, 0, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano, como é necessário para construir a
equação geral.–4x – 4y + 4z + 16 = 0. Errada. (–4, –4, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano,
como é necessário para construir a equação geral.16x + 16z + 32 = 0. Errada. O valor de d é –
32.16x + 16y – 32 = 0. Errada. A ordenada do vetor normal é zero, e não a cota.
8  Código: 29968 - Enunciado:  Um plano pode ser representado por meio de equações dos tipos
vetorial, paramétrica e geral, e os elementos que compõem essas equações são vetores e
pontos. Diante disso, pode-se afirmar que, para construir a equação geral de um plano, é
necessário que se conheça, ou se obtenha:
 a) Um vetor normal ao plano e um ponto do plano.
 b) Dois vetores paralelos ao plano e dois pontos do plano.
 c) Dois vetores normais ao plano e um ponto do plano.
 d) Dois vetores normais ao plano e dois pontos do plano.
 e) Dois vetores não paralelos do plano e dois pontos do plano.
Alternativa marcada:
a) Um vetor normal ao plano e um ponto do plano.
Justificativa: Resposta correta: Um vetor normal ao plano e um ponto do plano.  Com o vetor
normal ao plano, sua direção está determinada, e o ponto define por onde plano deve passar
dentre aqueles que têm a mesma direção.  Distratores:Dois vetores não paralelos do plano e um
ponto do plano. Errada. Não são necessários dois vetores.Dois vetores paralelos ao plano e dois
pontos do plano. Errada. Não são necessários dois vetores paralelos, e basta um ponto do
plano.Dois vetores normais ao plano e um ponto do plano. Errada. Só será necessário um vetor
normal ao plano.Dois vetores normais ao plano e dois pontos do plano. Errada. Só será
necessário um vetor normal ao plano e um ponto.
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