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Virgilio F. M. dos Santos 
FM2S Campinas - SP 
MANUAL SOBRE GRÁFICOS DE 
CONTROLE 
 
 
 1 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Introdução 
O conceito de variação foi introduzido no Capítulo 8. Algumas ferramentas para 
se investigar a variação nos dados foram apresentadas no Capítulo 5: gráficos de Pareto, 
gráficos de tendência, gráficos de frequência e de dispersão. Esse capítulo desenvolve 
o método do gráfico de controle como um modo mais formal de se investigar a variação 
e de orientar o desenvolvimento de mudanças para a melhoria. O gráfico de controle é 
uma extensão do gráfico de tendência discutido no Capítulo 24. O método do gráfico 
de controle fornece uma definição operacional para os dois tipos de causas de variação 
em uma medida: 
Causa comuns: – aquelas causas que são inerentes ao sistema (processo ou 
produto) todo o tempo, afeta cada um que trabalha no sistema, e afeta todas os 
resultados do sistema. 
Causas especiais: – aquelas causas que não são parte do sistema (processo ou 
produto) todo o tempo ou não afetam a todos, mas que surgem devido a circuns-
tâncias específicas. 
Um sistema que tem apenas causas comuns afetando o resultado é chamado de 
sistema estável, ou que está no estado de controle estatístico. Um processo estável 
implica apenas que a variação é previsível dentro de limites estatisticamente 
estabelecidos. Um sistema cujo resultado é afetado tanto por causas comuns quanto por 
causas especiais é chamado de sistema instável. Um sistema instável não significa 
necessariamente que tenha grande variação. Significa que a magnitude da variação de 
um período de tempo para outro é imprevisível. 
Além de fornecer esses conceitos básicos de variação, o Dr. Shewhart forneceu 
também o método para determinar se um sistema é dominado por causas comuns ou 
especiais. Esse método é conhecido como Gráfico de Controle de Shewhart. O gráfico 
de controle é uma ferramenta estatística usada para distinguir, em uma medida de 
qualidade, entre variação devido a causas comuns e variação devido a causas especiais. 
O nome usado para descrever o gráfico (“controle”) é enganoso, uma vez que o uso 
mais comuns desses gráficos é o de investigar a variação e avaliar o impacto de 
mudanças. Um nome melhor poderia ser “gráficos de aprendizado” mas o nome que 
Shewhart escolheu para o gráfico em 1920 persistiu. A Figura 25-1 mostra um exemplo 
de gráfico de controle típico. 
 2 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-1: Ilustração de um Gráfico de Controle de Shewhart 
(gráfico de aprendizado) 
 
A construção de um gráfico de controle tipicamente envolve: 
• Plotar os dados, ou algum resumo dos dados, por ordem de ocorrência (com 
freqüência pela ordem de tempo). 
• Determinar alguma medida da tendência central dos dados (por ex. média). 
• Determinar alguma medida da variação de causa comum dos dados. 
• Calcular a linha central e os limites de controle superior e inferior (ver Figura 
25-1). 
O Capítulo 8 a respeito de dados apresenta exemplos de medidas úteis de 
qualidade para tipos diferentes de organizações. Um tipo de gráfico de controle pode 
ser desenvolvido para cada uma dessas medidas. O método do gráfico de controle é útil 
em todas as fases do Modelo para Melhoria: 
1. “O que estamos tentando realizar?” 
Os gráficos de controle que já existem, para medidas de um sistema ou de um 
processo, podem ser usados para decidir se um esforço de melhoria deve se 
focalizar em mudanças fundamentais ou em corrigir sistemas ou processos 
atuais. 
2. “Como saberemos que uma mudança é uma melhoria?” 
O método do gráfico de controle fornece um modo formal de decidir se a 
variação observada em uma medida de qualidade deve ser atribuída a 
k..13121110987654321
E
s
ta
tí
s
ti
c
a
Limite Superior de Controle (LCL)
Linha Central (CL)
Limite Inferior de Controle (LCL)
 3 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
mudanças feitas ou a outras causas de variação no sistema, processo ou 
produto. 
3. “Quais mudanças podemos fazer que resultarão em uma melhoria?” 
O gráfico de controle pode ajudar um indivíduo ou uma equipe a decidir se o 
foco para o próximo ciclo deve ser a identificação ou remoção de causas 
comuns de variação ou de causas especiais de variação. 
O Capítulo 8 discutiu os dois enfoques básicos para se lidar com a variação, 
resumidos na Figura 25-2. Para melhorar a qualidade de um processo é importante 
reconhecer se o processo é dominado por causas comuns ou por causas especiais. Isso 
determinará quem é responsável por passos específicos da melhoria, quais recursos são 
necessários e quais ferramentas serão úteis (ver Figura 25-3). Uma vez que produtos ou 
serviços inaceitáveis podem resultar tanto de causas comuns como de especiais, a 
comparação de características de qualidade com os requisitos (inspeção de produto) não 
é uma base para a ação sobre o processo. A inspeção de produto é útil para se separar 
produtos e serviços bons dos ruins, e para estabelecer prioridades sobre qual processo 
melhorar. 
O método do gráfico de controle fornece uma definição operacional desses 
conceitos. O gráfico de controle é uma ferramenta estatística usada para distinguir entre 
a variação em um processo devido a causas comuns e a variação devida a causas 
especiais. Especificações de produto ou serviço não são parte de um gráfico de controle. 
O método do gráfico de controle tem aplicação geral por toda a organização. Ele pode 
ajudar qualquer um a aprender a respeito dos processos em que trabalham e a agir a 
respeito. A alta gerência pode usar um gráfico de controle para estudar a variação em 
vendas, os supervisores podem usar a ferramenta para atribuir responsabilidades para a 
melhoria de um processo, o pessoal administrativo pode usá-los para identificar opor-
tunidades para melhoria e os operadores podem usar gráficos de controle para saber 
quando ajustar um processo. 
Esse módulo discute o uso geral de gráfico de controles, incluindo um histórico 
curto, tipos de gráficos de controle, como planejar um gráfico de controle, interpretação 
dos gráficos e alguns conceitos errados a respeito de gráficos de controle. O método de 
gráfico de controle inclui: 
• Seleção de características de qualidade e estatística a serem plotadas. 
• Um método de medida e amostragem. 
• Uma estratégia para determinar subgrupos de dados (incluindo tamanho e 
freqüência do subgrupo). 
• Critérios para sinalizar uma causa especial 
Figura 25-2: Duas Interpretações de Variação 
 
 4 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
 
 
 
 
 
 
V
a
ri
a
ç
ã
o
 d
e
 R
e
s
u
lt
a
d
o
Excessiva
Variação
Permissível
Variação
Excessiva
Variação
Máxima
Expectativa
Desejado
Resultado
Mínima
Expectativa
Resultados
Aceitáveis
Foco: No resultado do 
processo (produto ou serviço) 
 
Objetivo: Classificar 
resultados como aceitáveis ou 
inaceitáveis 
 
Base: O que o cliente quer ou 
precisa. 
 
Métodos: 
Especificações, budgets, 
metas, expectativas 
A Variação é Aceitável ou Inaceitável 
V
a
ri
a
ç
ã
o
 d
e
 P
ro
c
e
s
s
o
Processo
Instável
Processo
Estável
Processo
Instável
Limite
Superior de
Controle
Linha
Central
Limite
Inferior de
Controle
Variação Devido a
Causas Comuns
Variação Devido a Causas Comuns ou Especiais 
Foco: Nas causas da variação 
no processo: máquina / métodos 
de trabalho / materiais / 
ambiente / trabalhadores / 
gerência / sistema de media 
 
Objetivo: Fornecer uma base 
para atuar sobre o processo 
 
Base: O que o processo está 
atualmente fornecendo 
 
Métodos: Gráficos de controle 
 5 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-3: Métodos e Responsabilidades para a Melhoria 
 
Métodos Primários de Investigação 
1. Planejamento de Experimentos 1. Gráficos de controle 
2. Subgrupamento / estratificação 2. Subgrupamento / estratificação 
3. Gráficos de controle 3. Planejamento de ExperimentosResponsabilidade pela Identificação 
1. Peritos técnicos 1. Trabalhadores no processo 
2. Supervisores 2. Supervisores 
3. Trabalhadores no processo 3. Peritos técnicos 
Responsabilidade pela Melhoria 
1. Gerência 1. Supervisores 
2. Peritos técnicos 2. Peritos técnicos 
3. Supervisores 3. Gerência 
4. Trabalhadores no processo 4. Trabalhadores no processo 
 
 
Selecionar uma medida de processo 
ou característica de qualidade 
Desenvolver gráfico 
de controle apropriado 
Reduzir Causas Comuns 
(mudar o processo) 
Descobrir e atuar sobre 
Causas Especiais 
Identificar Causas 
Comuns ou Processos 
Alternativos 
Identificar 
Causas Especiais 
O Processo 
é Estável? 
Sim Não 
Processo Estável Processo Instável 
 6 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Histórico dos Gráficos de Controle 
Atribui-se ao Dr. Walter A. Shewhart o desenvolvimento do gráfico de controle 
(ASQC, 1976). Em 1924, Shewhart anexou um gráfico a um memorando ao Diretor de 
Engenharia de Inspeção do Laboratório da Bell Telephone. O memorando respondia a 
um pedido para: 
“. . . o desenvolvimento de uma forma aceitável de relatório de inspeção que 
possa ser modificado de tempos em tempos, a fim de fornecer à primeira 
vista a maior quantidade de informação acurada.” 
Shewhart foi bem além do pedido original. Ele publicou os detalhes do método 
do gráfico de controle no Bell System Technical Journal de 1926 a 1930. Em 1931 
Shewhart publicou Economic Control of Quality of Manufactured Product (Shewhart, 
1931), o qual inclui a teoria e a aplicação de gráficos de controles. Gráficos de controle 
são chamados gráficos de Shewhart em algumas partes do mundo para distinguir 
gráficos baseados na teoria de Shewhart de outros gráficos de “controle”. A predição 
era o conceito chave na definição de “controle” (Shewhart, 1931, p. 6). 
“Um fenômeno é dito controlado quando, por meio do uso da experiência 
passada, pudermos prever, pelo menos dentro de limites, como se pode 
esperar que o fenômeno varie no futuro.” 
Por meio de seu trabalho na Western Electric, Shewhart descobriu que 
características de qualidade em processos de manufatura tendem a não estar em 
controle. Ele também descobriu que era possível identificar e remover as causas de 
situações fora de controle, e trazer o processo para um estado de controle. 
O gráfico de controle consiste de três linhas plotadas em um gráfico. Um gráfico 
de controle é construído obtendo-se medidas para algumas características de um 
processo. Os dados são então agrupados pelo período de tempo, local ou outras variáveis 
descritivas. Esses conjuntos de dados são chamados subgrupos. Subgrupos múltiplos, 
com freqüência obtidos ao longo do tempo, são necessários para se construir um gráfico 
de controle. 
Uma estatística descritiva (o resultado de se fazer contas com os dados), tais como 
média, amplitude ou percentual com defeito, é calculado a partir das medidas em cada 
subgrupo. A estatística é então plotada em um gráfico com o eixo horizontal sendo o 
número do subgrupo e o eixo vertical sendo a escala para a estatística. 
Quando 20 a 30 subgrupos tiverem sidos plotados no gráfico, os limites de 
controle podem ser calculados. Os limites de controle limitam a variação da 
característica de qualidade devida a causas comuns. Foram desenvolvidas fórmulas para 
os limites de controle para todos os tipos comuns de gráficos de controle (ver a seção 
Base Técnica para detalhes sobre a origem dos limites de controle “três sigmas”). 
Apesar dos limites serem baseados na teoria estatística, Deming (1986) claramente diz 
 7 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
que os limites de controle não devem ser associados com qualquer cálculo de 
probabilidade. 
Ao desenvolver o método do gráfico de controle, Shewhart enfatizou a importância 
do equilíbrio econômico entre procurar causas especiais que não existem e deixar de lado 
causas que de fato existem. Foi também necessário desenvolver regras que dêem um 
equilíbrio econômico aceitável para todos os tipos de medidas em uma variedade de 
sistemas, processos e produtos. A Figura 25-4 ilustra o impacto desses dois erros. 
 
Figura 25-4: Erros Cometidos ao se Tentar Melhorar Resultados 
ERRO 1: Reagir a um resultado como se viesse de uma causa especial, quando na 
verdade vem de causas comuns de variação. 
ERRO 2: Tratar um resultado como se viesse de causas comuns de variação, quando 
na verdade vem de uma causa especial 
 
SITUAÇÃO ATUAL 
AÇÃO NENHUMA MUDANÇA MUDANÇA 
Atuar sobre o resultado 
individual 
– $ + $ 
Tratar o resultado como 
parte do sistema; 
trabalhar para mudar o 
sistema (comum) 
 
+ $ 
 
– $ 
 
As razôes fundamentais para o uso dos limites de três sigmas de Shewhart são: 
• Os limites têm base na teoria estatística. 
• Os limites provaram na prática que distinguem causas especiais de causas 
comuns de variação. 
• Na maior parte dos casos, o uso de limites minimizará o custo total devido tanto 
à reação excessiva quanto à falta de reação à variação no processo. 
• Os limites protegem a moral dos trabalhadores no processo ao definir a 
magnitude da variação que está embutida no processo. 
 8 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Subgrupamento e Estratificação 
O conceito de subgrupo é um dos mais importantes componentes do método de 
gráfico de controle. Shewhart disse o seguinte a respeito de subgrupamento (Shewhart, 
1931, p.229): 
“Obviamente, o objetivo final é não apenas detectar problemas mas também 
encontrá-los, e tal descoberta naturalmente envolve classificação. O 
engenheiro que é bem sucedido em dividir seus dados em subgrupos 
racionais baseado em hipóteses racionais está portanto inerentemente 
melhor a longo prazo do que um que não seja assim tão bem sucedido.” 
O conceito de Shewhart é o de organizar (classificar, estratificar, agrupar etc.) os 
dados dos processos de um modo que provavelmente faça com que os dados de cada 
subgrupo tenham as maiores chances de serem parecidos e que os dados de outros 
grupos tenham as maiores chances de serem diferentes. O propósito do subgrupamento 
racional é o de incluir apenas causas comuns de variação dentro de um subgrupo, com 
todas as causas especiais de variação ocorrendo entre subgrupos. 
A estratificação é a separação e classificação de dados de acordo com variáveis ou 
fatores selecionados. O objetivo é encontrar padrões que ajudem a entender os 
mecanismos causais em um processo. A estratificação em um gráfico de controle está 
usualmente focalizada no ordenamento dos subgrupos, com ordem de tempo mais 
prevalecente. Os subgrupos podem também ser ordenados por outros fatores tais como 
fornecedor, turno, operador, posição da peça etc., para investigar a importância desses 
fatores. 
O método mais comum de se obter subgrupos racionais é o de manter o tempo 
“constante” dentro de um subgrupo. Apenas dados obtidos no mesmo tempo (ou para 
algum período de tempo selecionado) são incluídos em um subgrupo. Dados de períodos 
de tempo diferentes estarão em outros subgrupos. Esse uso do tempo como base do 
subgrupamento permite a detecção de causas de variação que vêm e vão com o tempo. 
Como exemplo de subgrupamento, considere um estudo planejado para reduzir 
pagamentos atrasados. Os dados históricos dos arquivos de contabilidade serão usados 
para estudar a variação nos pagamentos atrasados. O que é uma boa maneira de se 
subgrupar os dados históricos sobre pagamentos atrasados? Os dados podem ser 
agrupados por mês de vencimento, mês de recebimento, por conta principal, por linha 
de produto ou por gerente de conta. Conhecimento ou teorias a respeito do processo 
devem ser usados para desenvolver subgrupos racionais. Algumas combinações de 
tempo (mês de recebimento ou de vencimento) e uma ou mais das outras variáveis no 
processo seriam um modo razoável de se desenvolver o primeiro gráfico de controle. 
Após selecionar o método de subgrupamento,o usuário do gráfico de controle 
deve ser capaz de dizer quais fontes de variação no processo estarão presentes dentro 
de subgrupos e quais fontes ocorrerão entre subgrupos. O objetivo específico do gráfico 
 9 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
de controle com freqüência ajudará a determinar a estratégia para o subgrupamento dos 
dados. Por exemplo, se o objetivo for o de avaliar diferenças entre fornecedores de 
matéria prima, então apenas matérias de um único fornecedor devem ser incluídas nos 
dados de cada subgrupo. 
Tipos de Gráfico de Controle 
Há muitos tipos diferentes de gráficos de controle. O gráfico apropriado para se 
usar em uma aplicação particular depende primariamente do tipo dos dados. Seguindo 
a discussão no Capítulo 8, os diferentes tipos de dados podem ser classificados em três 
categorias (ver Tabela 25-1 para exemplos): 
• dados de classificação, 
• dados de contagem, e 
• dados contínuos. 
Para dados de classificação, a característica de qualidade é registrada em uma de 
duas classes. Exemplos dessas classes são unidades conformes/não conformes, 
tolerável/não tolerável, ou bom/ruim. Para se obter dados de contagem, o número de 
incidências de um tipo particular são registrados: número de erros, número de acidentes, 
ou número de indicações de vendas. Para dados contínuos é registrado o valor numérico 
medido da característica de qualidade, por exemplo uma dimensão, atributo físico ou 
número calculado. 
Tabela 25-1: Exemplos de Tipos de Dados 
Tipo de 
Dado 
Característica 
de Qualidade 
Dados 
Registrados 
Classificação Desempenho de Entrega 
Refazer trabalho 
Arranhões 
Entrega a tempo / atrasada 
OK primeira vez / refazer 
OK / arranhões excessivos 
Contagem Mudanças 
Acidentes 
Arranhões 
Número de mudanças por desenho 
Número de acidentes por mês 
Número de arranhões na superfície 
Contínuo Tempo 
Peso 
Arranhões 
Número de minutos adiantado ou atrasado 
Gramas usando balança de laboratório 
Comprimento em cm para cada arranhão 
Nota: Na literatura de gráficos de controle, os dois primeiros tipos são chamados dados 
de atributo, enquanto que o terceiro é chamado de dados de variáveis 
Como pode ser visto na Tabela 25-1, os dados para algumas características de 
qualidade podem ser registrados como qualquer um dos três tipos. Por exemplo, para 
 10 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
algo com um grande número de características dimensionais, os dados podem ser 
registrados em qualquer uma dos seguintes maneiras: 
• classificação: – o objeto atende ou não às especificações 
• contagem – número de dimensões que não atendem a especificações, ou 
• contínua – valor medido para as dimensões selecionadas. 
Dados contínuos podem ser convertidos para dados de atributo aplicando-se uma 
definição operacional para a contagem ou classificação. Uma dimensão registrada pode 
ser classificada como atendendo ou não à especificação; entretanto, essa conversão não 
funciona na outra direção. As dimensões medidas são desconhecidas para um objeto 
que é registrado como não atendendo às especificações. 
De um modo geral, sempre que possível os dados devem ser coletados como 
dados de variáveis, já que o aprendizado pode ocorrer com muito menos medidas se 
comparado com as classificações ou contagens de atributos. Os gráficos de controle 
para dados de variáveis requerem menos medidas em cada subgrupo do que o gráfico 
de controle de atributo. Os tamanhos de subgrupos típicos para gráficos de dados de 
variáveis variam de 1 a 10, enquanto que os tamanhos de subgrupo para dados de 
atributo variam de 30 a 1000. 
A Figura 25-5 contem um resumo de gráficos freqüentemente usados e o tipo de 
dados aos quais eles se aplicam. Para dados contínuos, duas estatísticas descritivas 
importantes das medidas em um subgrupo são a média das medidas e a amplitude (maior 
medida menos a menor medida). A média é chamada de X-barra ( X ) e a amplitude de 
R. Dois gráficos de controle são necessários: o gráfico de X-barra para as médias e o 
gráfico R para as amplitudes. São incluídas de duas a dez medidas para cada subgrupo, 
e os tamanhos mais comuns de subgrupos variam de três a seis. 
Se o tamanho do subgrupo for variável (o número de medidas muda de um 
subgrupo para outro), o desvio padrão (outra estatística descritiva para a variação) é 
usada no lugar da amplitude. Os gráficos X-barra e S são usados nesse caso, onde S é o 
símbolo para o desvio padrão dos valores no subgrupo. Para a maior parte das aplicações 
com dados de variáveis, o tamanho do subgrupo pode ser mantido constante. Assim, o 
gráfico S tem uso limitado. 
Em algumas aplicações não é prático ter medidas múltiplas em um subgrupo. Por 
exemplo, existe apenas uma determinação do número mensal de vendas. Nessas 
aplicações, a medida única é tratada como um subgrupo e é plotada em um gráfico X. 
 11 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-5: Seleção do Tipo Particular de Gráfico de Controle 
 
 
 
 
 
 
 
Quando as unidades de amostragem são classificadas em duas categorias 
(unidades conformes e não conformes), o gráfico P (p = porcentagem não conforme) é 
apropriado. O gráfico P pode ser usado tanto com um tamanho de subgrupo fixo quanto 
variável. O gráfico NP (np = número de unidades não conformes) só pode ser usado 
quando o tamanho do subgrupo é constante. 
TIPO DE DADOS 
CONTAGEM OU 
CLASSIFICAÇÃO 
(DADOS DE ATRIBUTO) 
CONTÍNUOS 
(DADOS DE VARIÁVEIS) 
CONTAGEM CLASSIFICAÇÃO 
Defeitos ou 
não conformidades 
Unidades defeituosas 
ou não conformes 
Oportunidade 
Fixa 
Oportunid
ade 
Variável 
Tamanho 
Fixo de 
Subgrupo 
Tamanho 
Variável de 
Subgrupo 
Subgrupo 
de 
tamanho 1 
Tamanh
o Fixo 
de 
Subgrup
o 
Tamanho 
Variável 
de 
Subgrupo 
Gráfico 
C 
Gráfico U Gráfico 
NP 
Gráfico 
P 
Gráfico 
X 
Gráficos 
X-barra 
e R 
Gráficos 
X-barra 
e S 
Número 
de 
defeitos 
defeitos 
por 
unidade 
Número de 
Defeituosos 
Medida 
Individual 
Média e 
Amplitude 
Média e 
Desvio 
Padrão 
Alguns Outros Tipos de Gráficos de Controle para Dados de Variáveis 
1. Média móvel 
2. Amplitude Móvel 
3. Mediana e amplitude 
4. Soma Cumulativa (CUSUM) 
5. Média Móvel Exponencialmente Ponderada (EWMA) 
Perc. de 
Defeituosos 
 12 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Para dados de contagem, o gráfico C (número de incidências) é apropriado quando 
a oportunidade para uma ocorrência é relativamente constante em cada subgrupo. O 
gráfico U (número de incidências por unidade) é necessário para dados de contagem 
quando a oportunidade para a ocorrência é variável entre subgrupos. O tamanho do 
subgrupo é substituído pelo conceito de área de oportunidade para os gráficos C e U. 
Há outros tipos de gráficos de controle tais como o gráfico de controle da mediana 
e o gráfico de soma cumulativa, usados para aplicações especiais. Os sete tipos de 
gráficos mostrados na Figura 25-5 são os gráficos de controle de Shewhart mais 
encontrados na prática. 
Interpretação de um Gráfico de Controle 
O gráfico de controle fornece a base para tomar ações para se melhorar um 
processo. Um processo é considerado estável quando existe uma “distribuição aleatória” 
dos pontos plotados dentro dos limites de controle. Para um processo estável, a ação 
deve ser direcionada para identificar as causas importantes de variação comuns a todos 
os pontos. Se a distribuição (ou padrão) não é aleatória, o processo é considerado como 
instável e a ação deve ser tomada no sentido de descobrir mais a respeito das causas 
especiais de variação. 
Existe um consenso entre usuários de gráficos de controles de que um único ponto 
fora dos limites de controle é uma indicação de uma causa especial de variação. 
Entretanto, tem havido muitas sugestões para sistemas de regras para identificar causas 
especiais que aparecem como padrões não aleatórios dentro dos limites de controle. A 
Figura 25-6 contém cincoregras que são recomendadas para o uso geral com gráficos 
de controle. 
Essas regras são consistentes no sentido de que a chance de ocorrências das regras 
2, 3, 4 ou 5 para um processo estável estão próximas da chance da regra 1 ocorrer em 
um processo estável. 
 13 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-6: Regras para Determinar uma Causa Especial 
UCL
LCL
CL
UCL
LCL
CL
1. Um único ponto fora dos 
limites de controle 
2. Oito ou mais pontos seguidos acima 
(ou abaixo) da linha central 
UCL
LCL
CL
3. Seis pontos consecutivos crescendo 
(tendência para cima) ou descendo 
(tendência para baixo) 
UCL
LCL
CL Um terço
externo
4. Dois de três pontos consecutivos próximos 
(um terço externo) de um limite de controle 
UCL
LCL
CL
interno
Um terço
5. Quinze pontos consecutivos próximos (um terço interno) da linha central 
 14 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Ao se aplicar as regras, as seguintes orientações ajudam na interpretação consistente 
dos gráficos: 
• Empates entre dois pontos consecutivos não alteram uma tendência (regra 3). 
• Um ponto exatamente em um limite de controle não é considerado fora do limite 
(regra 1). 
• Um ponto exatamente na linha central não altera nem conta para uma tendência 
(regra 2). 
• Quando não existe um limite de controle inferior ou superior (por exemplo, em 
um gráfico de amplitude com menos de sete medidas em um subgrupo ou em 
gráfico P com 100% como resultado possível para o processo), as regras 1 e 4 
não se aplicam para o limite que falta. 
• Quando gráficos de controle têm limites que variam devido a números variáveis 
de amostras dentro de subgrupos (ver, por exemplo, a Figura 25-12 na seção 
sobre Gráficos de Controle de Atributos), a regra 3 não deve ser aplicada. 
A regra 5 é especialmente útil para detectar a redução de variação em um gráfico 
particular ou para detectar subgrupamento impróprio em um gráfico X-barra. 
Circunstâncias especiais podem indicar o uso de alguns testes adicionais dados por 
Nelson (1984). Deming (1986) enfatiza que a questão mais importante é a necessidade 
de estabelecer de antemão quais regras se aplicam a qualquer circunstância. 
Desenvolvendo um Gráfico de Controle 
O uso eficiente de gráficos de controle exige um planejamento cuidadoso para 
desenvolver e manter o gráfico. Muitas tentativas de se usar gráficos de controle não 
foram bem sucedidas devido à falta de planejamento e preparação. A Figura 25-7 
contém um formulário de planejamento que pode ser usado para desenvolver um gráfico 
de controle. 
Todo gráfico de controle dever ser associado a um ou mais objetivos. O objetivo 
pode ser o de melhorar o resultado do processo, identificar ou remover causas especiais 
de um processo, ou estabelecer controle estatístico de modo que a capacidade do 
processo possa ser determinada. Os objetivos devem resumidos no formulário do 
gráfico de controle. Após um certo período, o objetivo pode ser alcançado. O gráfico de 
controle deve ser abandonado nessa ocasião e um novo objetivo desenvolvido. 
Há várias questões relacionadas à medição e à amostragem que têm que ser 
resolvidas antes de se começar um gráfico de controle. Os tipos de dados para cada 
variável a ser plotada determinará o tipo de gráfico a se usar. Deve-se documentar as 
informações a respeito da variabilidade do sistema de medição a ser usado. Se a 
variabilidade não for conhecida, ou se a estabilidade do processo de medida não estiver 
documentada, deve-se planejar um esforço para desenvolver essa informação. 
 15 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-7: Formulário para Planejamento de um Gráfico de Controle 
1. OBJETIVO DO GRÁFICO: 
2. AMOSTRAGEM, MEDIÇÃO E SUBGRUPAMENTO 
Medida a ser plotada: 
Tipo de dados: 
Método de medição: 
Qualidade do processo de medição: 
Localização da amostragem: 
Estratégia para subgrupamento: 
Freqüência de subgrupos: 
Tipo de gráfico de controle: 
3. CAUSAS ESPECIAIS MAIS PROVÁVEIS: 
4. OBSERVAÇÕES NECESSÁRIAS: 
Observação Responsabilidade 
 
 
5. PLANO DE REAÇÃO PARA PONTOS FORA DE CONTROLE: (anexar cópia) 
6. ADMINISTRAÇÃO 
Tarefa Responsabilidade 
Fazer medição: 
Registrar os dados nos gráficos: 
Calcular estatísticas: 
Plotar estatísticas: 
Estender/mudar limites de controle: 
Arquivamento: 
 
7. CRONOGRAMA PARA ANÁLISE: 
 
 
 16 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Algumas questões importantes de amostragem para gráficos de controle incluem 
o ponto de amostragem, a freqüência da amostragem e a estratégia para medidas de 
subgrupamentos (ver a seção de Subgrupamentos e Estratificação). 
A documentação da informação sobre o processo, incluindo atividades 
significativas, é a parte mais importante de muitos gráficos de controle. Essa 
documentação inclui mudanças no processo, identificação e investigação de causas 
especiais, e outros dados relevantes do processo. Informações de fluxogramas e 
diagramas de causa e efeito devem ser usados para identificar observações particulares 
que devam ser registradas. A responsabilidade para registrar essas informações críticas 
deve ser claramente estabelecida. 
Deve ser estabelecido um plano para reação a causas especiais no gráfico. 
Freqüentemente é útil fazer uma lista de verificação dos itens a serem avaliados ou um 
fluxograma dos passos a seguir. O plano de reação deve estabelecer a transferência de 
responsabilidade pela identificação da causa especial, se isso não puder ser feito em um 
nível local. Por exemplo, um plano de reação para um gráfico de controle em um 
laboratório, para monitorar um sistema de medida, pode ter o aspecto: 
1. Execute o padrão de controle de qualidade 
2. Notifique operações a respeito de um problema potencial. 
3. Reveja o livro de registros para quaisquer mudanças recentes na 
instrumentação. 
4. Prepare um novo padrão de controle de qualidade e teste-o. 
5. Substitua a coluna no instrumento. 
6. Notifique o supervisor e chame a equipe de conserto do instrumento. 
7. Documente os resultados dessas investigações no gráfico de controle. 
Há várias obrigações administrativas necessárias para se manter um gráfico de 
controle eficaz. A responsabilidade pela medição periódica, pelo registro dos dados, 
pelo cálculo de estatísticas e pela plotagem das estatísticas no gráfico têm que ser 
delineadas. Uma consideração importante é a revisão adequada e a extensão dos limites 
de controle. A Figura 25-8 mostra um exemplo de um formulário completo de 
planejamento para um gráfico de controle mantido por um grupo de contabilidade. 
Os limites de controle para o gráfico devem ser estabelecidos usando-se de 20 a 
30 subgrupos de um período, quando o processo é estável. Se for desejável estender os 
limites de controle, quaisquer pontos afetados pelas causas especiais devem ser 
removidos e os limites de controle recalculados. Os limites devem ser estendidos apenas 
quando eles são calculados usando os dados sem as causas especiais. 
 17 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-8: Exemplo de um Formulário para Planejamento Completo 
1. OBJETIVO DO GRÁFICO: Investigar as causas de cobranças devolvidas a fim 
de reduzir o número de cobranças devolvidas que têm que ser mandadas de novo. 
2. AMOSTRAGEM, MEDIÇÃO E SUBGRUPAMENTO 
Medida a ser plotada: Porcentagem de cobranças devolvidas que não são pagas 
Tipo de dados: Classificação 
Método de medição: Supervisor de contabilidade registra o número de cobranças 
enviadas cada semana e número devolvido sem pagamento 
Qualidade do processo de medição: Contagens completas e precisas podem ser 
feitas. Os totais podem ser validados. 
Localização da amostragem: Lista mestra e devoluções que passam pela mesa do 
supervisor. 
Estratégia para subgrupamento: Subgrupo será todas as cobranças colocadas no 
correio em uma dada semana (historicamente de 35 a 90 cobranças) 
Freqüência de subgrupos: Um por semana – 100% das cobrançaspara aquela 
semana. 
Tipo de gráfico de controle: gráfico P 
3. CAUSAS ESPECIAIS MAIS PROVÁVEIS: 
Novos clientes, mudança de preços, atualizações de programas de computadores, 
novos funcionários no Departamento de Contabilidade. 
4. OBSERVAÇÕES NECESSÁRIAS: 
Observação Responsabilidade 
Número de novos clientes cada semana 
Novos funcionários 
Mudanças no programa do computador 
 Supervisor 
Supervisor 
informática 
5. PLANO DE REAÇÃO PARA PONTOS FORA DE CONTROLE: 
O supervisor convocará reunião da equipe do departamento para discutir causas especiais 
6. ADMINISTRAÇÃO 
Tarefa Responsabilidade 
Fazer medição: 
Registrar os dados nos gráficos: 
Calcular estatísticas: 
Plotar estatísticas: 
Estender/mudar limites de controle: 
Arquivamento: 
 Supervisor 
Supervisor 
Supervisor 
Qualidade 
Supervisor 
Supervisor 
7. CRONOGRAMA PARA ANÁLISE: Equipe revê a cada mês. 
 18 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
A revisão dos limites de controle deve ser feita apenas quando os limites de 
controle não forem mais apropriados. Existem quatro circunstâncias quando os limites 
de controle devem ser recalculados: 
1. Quando o gráfico de controle inicial tem causas especiais e existe o desejo de 
se usar os limites calculados para a análise de dados a serem coletados no 
futuro. Nesses casos, os limites de controle devem ser recalculados após 
remover os dados associados às causas especiais. 
2. Quando limites de controle preliminares foram calculados com menos de 20 a 
30 subgrupos (observação: limites preliminares não devem ser calculados com 
menos de 12 subgrupos). Nesse caso, os limites devem ser recalculados 
quando 20 a 30 subgrupos estiverem disponíveis. 
3. Quando tiverem sido feitas melhorias no processo e as melhorias resultarem 
em causas especiais no gráfico de controle. Os limites de controle devem então 
ser recalculados para o novo processo. 
4. Quando o gráfico de controle permanecer fora de controle por um longo 
período de tempo (20 ou mais subgrupos) e todas as tentativas de identificar e 
remover as causas especiais tiverem falhado. Os limites de controle devem ser 
recalculados para determinar se o processo se estabilizou em um nível 
operacional diferente. 
A data em que os limites de controle foram calculados por último deve ser parte 
do registro corrente do gráfico de controle. 
O formulário para se registrar os dados e se plotar o gráfico de controle é outra 
consideração importante. O formulário deve permitir um registro contínuo e não deve 
ter que ser recomeçado todo dia ou semana. O formulário do gráfico de controle deve 
incluir espaço para documentar decisões importantes e informações a respeito do 
processo tiradas do formulário de planejamento. Os dados registrados devem incluir a 
hora e o local e a pessoa que faz as medidas, assim como os resultados das medidas. 
A escala nos gráficos deve ser estabelecida de modo a permitir uma interpretação 
visual da variação no processo. Uma boa escala é fácil de se plotar, fácil de ler, e deixa 
espaço para valores futuros que possam ser afetados pelas causas especiais. Valores na 
escala devem ser números arredondados e espaçados uniformemente. Com os limites 
de controle centrados no gráfico, cerca de metade da escala deve estar incluída dentro 
dos limites de controle. 
Um cronograma de análise deve ser estabelecido para todo gráfico de controle 
ativo. A freqüência da análise pode variar para os diferentes níveis de gerência. Por 
exemplo, a equipe de melhoria de qualidade pode se reunir para analisar o gráfico 
semanalmente, o gerente de departamento se reúne com a equipe mensalmente para rever 
o gráfico, e o vice-presidente revê os gráficos com o gerente ao final de cada trimestre. 
 19 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Conceitos Errados Comuns em Gráficos de Controle 
Apesar de os gráficos de controle serem usados há muitos anos em uma variedade 
de situações, existem vários conceitos errados ligados ao seu uso. Os seguintes erros de 
conceito estão resumidos, baseados em uma apresentação feita por Michael Flynn 
(Flynn, 1983): 
1. Gráficos de controle são ferramentas para funcionários de produção para 
dizer a eles como ajustar seus processos. 
Um gráfico de controle é uma ferramenta para entender a variação. Um operador 
reagindo a uma situação fora de controle é um entre muitos usos possíveis para 
um gráfico de controle, mas certamente não é o mais importante em muitas 
organizações. 
2. Gráficos de controle são apenas para operações de produção ou 
manufatura. 
Os gráficos de controle devem ser usados para entender a variação em todos os 
processos importantes em uma organização. Esses incluem relações de 
funcionários, segurança, contabilidade, planejamento, manutenção, engenharia, 
pesquisa, atendimento a cliente e assim por diante. 
3. Limites de controle são limites além das quais não queremos ir. 
Os limites de controle não têm nada a ver com o que queremos. Os limites apenas 
definem as regiões para causas comuns de variação. Com freqüência queremos 
que um processo saia fora de controle, se, por exemplo, a mudança resultar em 
um maior faturamento ou menos erros nas ordens de compra. 
4. Limites de controle são limites dentro dos quais o processo pode variar 
ao acaso. 
Uma formulação melhor seria dizer que os limites de controles são limites no 
processo dentro dos quais os resultados de amostras podem variar devido a causas 
comuns, quando o processo absolutamente não muda. Esse conceito errado é uma 
boa razão para não ligar os pontos plotados em um gráfico de controle. A linha 
ligando os pontos implica uma “mudança” para alguns observadores. 
5. O processo pode ir e vir – sob controle, fora de controle, e depois de novo 
sob controle. 
A estatística calculada para subgrupos diferentes varia. Se uma causa especial 
resulta em uma mudança no processo, os pontos do subgrupo ainda assim vão 
variar, mas agora alguns podem estar dentro dos limites de controle e outros fora. 
A Figura 25-9 mostra um gráfico de controle com causas especiais circuladas nos 
 20 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
subgrupos 9, 11, 12 e 14. Na verdade existe apenas uma causa especial importante 
que ocorreu depois do subgrupo 7 e que foi removida depois do subgrupo 14. Não 
existe uma correspondência de um para um entre a ocorrência de causas especiais 
no processo e pontos fora de controle no gráfico de controle. 
Figura 25-9: Esquema de um Gráfico de Controle 
6. Gráficos de controle só podem ser usados para acompanhar processos ao 
longo do tempo. 
O modo mais comum de se desenvolver gráficos de controle é definir subgrupos 
por períodos de tempo, mas há muitas outras possibilidades tais como por 
funcionário, por cliente, por fornecedor, por rolo, por lote de material, por cidade, 
por número do instrumento e assim por diante. Gráficos de controle são 
apropriados para todos esses agrupamentos de dados. 
7. É mais difícil manter limites de controles estreitos do que amplos 
Os limites de controle são calculados usando o mesmo método todas as vezes. 
Limites de controle “estreitos” indicam que a variação de causa comum no 
processo é relativamente pequena. A freqüência e a magnitude das causas 
especiais (o que não é parte do cálculo do limite de controle) determina a 
dificuldade em se “manter limites de controles”. 
8. Limites de controle dois-sigma resultam em controles “mais restritos” do 
que os limites tradicionais três-sigma. 
Usar outros limites que não sejam os três-sigma de Shewhart provavelmente 
resultará em custos maiores devidos tanto à reação excessiva às causas comuns 
quanto à pouca reação a causas especiais. Para processos estáveis, reagir a todos os 
pontos fora de um limite dois-sigma resultará em um aumento de variação no 
resultado do processo. 
E
s
ta
tí
s
ti
c
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11121314151617181920
 21 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
9. Causasespeciais são sempre indicações de um problema de baixa 
qualidade, e 
10. Não é necessário investigar causas especiais que resultem em qualidade 
melhor. 
Shewhart chamava as causas especiais de causas assinaláveis, i.e., a variação 
podia ser “atribuída” a uma causa particular. A variação na direção correta pode 
certamente ser boa. Em um gráfico de controle para o percentual com defeito, as 
causas especiais importantes são aquelas que resultam em pontos abaixo do limite 
de controle inferior (i.e., porcentagem de defeito reduzida). Se puder ser 
encontrada uma maneira de se incorporar essas causas especiais no processo, 
então uma melhoria fundamental no processo pode ser feita. 
O mais poderoso conceito associado com gráficos de controle é a sua 
aplicabilidade universal. Todos os níveis de uma organização e todos os departamentos 
de uma organização devem conhecer os conceitos de causas de variação comuns e 
especiais, e do uso de gráficos de controle para diferenciá-las. 
Base Técnica sobre Gráficos de Controle de Shewhart 
Essa seção discute algumas das bases estatísticas para gráficos de controle. Dr. 
Shewhart (Shewhart, 1931) enunciou três postulados relativos a controle que formam a 
razão fundamental para os gráficos de controle: 
Postulado 1: – Os sistemas de causas aleatórias não são todos parecidos no sentido de 
nos permitir prever o futuro em termos do passado. 
Postulado 2: – Sistemas constantes de causas aleatórias de fato existem na natureza 
(mas não necessariamente em um processo de produção). 
Postulado 3: – Causas assinaláveis de variação podem ser encontradas e eliminadas. 
Baseado nesses três postulados, um processo pode ser trazido a um estado de 
controle estatístico achando-se as causas assinaláveis e eliminando-as do processo. A 
dificuldade surge em julgar, a partir de um conjunto de dados, se causas assinaláveis 
estão presentes ou não. Assim, existe a necessidade de um gráfico de controle. 
Como os limites de controle devem ser construídos? Shewhart (1931, p. 276) diz 
que 
“Obviamente, a base para tais limites têm que ser, em última análise, empírica.” 
Ele enfatizou a importância do equilíbrio econômico entre procurar por causas 
assinaláveis quando elas não existem e deixar passar causas assinaláveis que de fato 
existem. Era também necessário desenvolver regras que fornecessem um equilíbrio 
 22 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
econômico aceitável para todas as características de qualidade em uma variedade de 
processos. 
Shewhart chamou os limites de controle “três-sigma” e forneceu uma fórmula 
geral para se calcular os limites para qualquer estatística: 
Seja T uma estatística qualquer a ser plotada, então 
a linha de centro CL =  
o limite superior de controle: UCL =  + 3*t 
o limite inferior de controle: UCL =  – 3*t 
onde  é o valor esperado da estatística e t é o desvio padrão da estatística. Shewhart 
enfatizou que a teoria estatística pode fornecer o valor esperado e o desvio padrão, mas 
a evidência empírica justifica a amplitude dos limites (o uso de “3” no cálculo do limite 
de controle) . 
O desafio em qualquer situação particular é o de desenvolver estimativas 
apropriadas do valor esperado e do desvio padrão da estatística a ser plotada. Estatísticas 
apropriadas foram desenvolvidas para gráficos de controle para uma ampla variedade 
de aplicações. 
Um exemplo importante é o gráfico X-barra e R para dados de variáveis. Como 
deve ser estimado o desvio padrão da média para o cálculo dos limites três-sigma para 
o gráfico X-barra? Uma maneira seria calcular as médias para cada subgrupo e então 
calcular o desvio padrão desses médias. O problema desse enfoque é que a magnitude 
do desvio padrão das médias seria influenciado tanto pelas causas de comuns de 
variação quanto pelas especiais. É desejável que o desvio padrão seja uma medida da 
variação devida apenas a causas comuns. A alternativa recomendada é usar apenas a 
informação dentro de um subgrupo para estimar o desvio padrão. Isso é facilmente 
conseguido usando-se a amplitude do subgrupo, computando-se a média das amplitudes 
e então aplicando os fatores apropriados à amplitude média para obter os limites de 
controle três-sigma. 
Shewhart forneceu alguma teoria estatística que pode dar informações sobre o 
desempenho dos limites de controle. A desigualdade de Tchebycheff pode ser usada 
para estabelecer limitantes para esses limites, sem fazer qualquer suposição sobre a 
distribuição dos dados ou sobre a estatística descritiva. O teorema diz que a 
probabilidade (P) de que um valor observado da estatística caia dentro dos limites de 
três sigmas (desde que o processo seja estável) satisfaz a inequação: 
P > 1 – (1/32) ou P > 0.89 
Assim, pelo menos em 89% do tempo, se o processo for estável, espera-se que a 
estatística plotada caia dentro dos limites de controle. Mais uma vez, essa afirmação 
 23 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
não requer qualquer suposição sobre a forma ou a distribuição dos dados ou sobre a 
estatística. 
Gráfico de Controle para Medidas Individuais 
O gráfico de controle para medidas individuais (ou o gráfico X) é um dos tipos 
mais fáceis de gráfico de controle para se estudar a variação em dados contínuos. O 
gráfico de controle para dados individuais é útil quando: 
• Não há um modo racional de organizar os dados em subgrupos. 
• As medidas de desempenho do processo só podem ser obtidas com pouca 
freqüência. 
• A variação a qualquer momento (dentro de um subgrupo) é insignificante 
comparada com a variação entre subgrupos. 
Exemplos de situações e dados onde um gráfico de controle de individuais pode 
ser útil incluem processamento de lotes, dados de contabilidade, registros de 
manutenção, dados de embarque, faturamentos, eficiências, vendas, custos, e variâncias 
de previsão ou budget. Muitas vezes a freqüência de coleta dos dados não pode ser 
controlada para essas situações e tipos de dados. 
Leituras de instrumentos, tais como temperaturas, fluxos, pressões etc., muitas 
vezes têm variação mínima a qualquer instante dado, mas variam ao longo do tempo. O 
estudo do desgaste de ferramentas é outro exemplo de variação de curto prazo 
insignificante se comparada à variação ao longo do tempo. Gráficos de controle de 
medidas individuais podem ser úteis nesses casos. 
Algumas das vantagens do gráfico de controle para dados individuais (comparado 
com outros gráficos para dados contínuos) são os seguintes: 
• O gráfico é uma extensão do familiar gráfico de tendência. 
• Não são necessários cálculos para plotar o gráfico. 
• A plotagem é feita cada vez que uma medida é feita, fornecendo um rápido feed-
back. O estudo do processo não tem que esperar por medidas adicionais. 
• Uma vez que apenas um gráfico é necessário para cada característica de 
qualidade, gráficos para medidas múltiplas de desempenho podem ser agrupados 
em um único formulário para fins de apresentação, a fim de facilitar a avaliação 
de um processo. 
• A capacidade de um processo pode ser avaliada diretamente a partir dos limites 
de controle no gráfico. 
O gráfico de controle para medidas individuais é diferente do gráfico X-barra e R 
ou X-barra e S na forma com que a variação dentro de cada subgrupo é calculada. Uma 
 24 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
vez que existe apenas uma medida em cada “subgrupo”, a variação dentro de um 
subgrupo não pode ser calculada. Já que a medida individual é plotada (os X’s), todas 
as fontes de variação são combinadas em um único gráfico. Não há oportunidade de 
focalizar em diferentes fontes de variação por meio de diferentes estratégias de 
subgrupamento quando se usa um gráfico de controle de medidas individuais. 
Entretanto, podem ser feitas ordenações diferentes dos dados a fim de focalizar em 
diferentes fontes de variação. 
Algumas das desvantagens do gráfico de controle para medida individuais 
(comparadocom outros gráficos para dados contínuos) são as seguintes: 
• Uma vez que existe apenas uma medição em cada “subgrupo”, não há 
oportunidade de se focalizar em diferentes fontes de variação por meio de 
subgrupamento. 
• Todas as informações (dados) são plotadas em um gráfico em vez de dois. 
• O gráfico X é mais sensível a uma distribuição não simétrica de dados e, quando 
essa condição existe, ela pode exigir que seja usada efetivamente uma 
transformação de dados. 
Desenvolvendo um gráfico X 
Há vários símbolos associados com gráficos de controle para dados contínuos. Os 
seguintes símbolos são usados com gráficos de medidas individuais: 
X – medição individual de característica de qualidade 
n – tamanho de subgrupo (número de medições por subgrupo) 
k – número de subgrupos usados para desenvolver os limites de controle 
 – símbolo de somatória 
X – (X-barra) média das K medições 
MR – Amplitude móvel (maior – menor) de duas medições consecutivas 
RM – (MR-barra) média das K–1 médias móveis 
* – símbolo de multiplicação 
Para desenvolver um gráfico de controle para medições individuais são 
necessárias k = 20 a 30 medições da característica de qualidade a ser plotada. As k 
medições individuais são plotadas no gráfico X, e a média das medições é a linha central 
do gráfico. As amplitudes médias dos pares de medidas são usadas para desenvolver 
limites de controle para o gráfico X e para estimar o desvio padrão do processo. 
 25 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
A amplitude média é calculada agrupando-se em pares as medições consecutivas. 
A amplitude é calculada para cada conjunto de duas medições subtraindo-se o menor 
valor do maior valor. Cada medição individual é considerada duas vezes no cálculo das 
amplitudes móveis. Uma vez que uma medição “prévia” não está disponível para a 
primeira medição no conjunto, apenas k – 1 amplitudes móveis podem ser calculadas. 
A média das amplitudes móveis ( RM ) é usada no lugar do R usual. A Figura 25-10 
contém um formulário para se calcular os limites de controle apropriados. 
Uma vez que o gráfico X de medições individuais contém todas as informações 
disponíveis sobre os dados, não é necessário se plotar as amplitudes médias. Entretanto, 
plotar as amplitudes médias fará com que aumentos ou reduções na variação do 
processo fiquem mais óbvios do que no gráfico X. Se as amplitudes médias forem 
plotadas as regras 2, 3 e 4 não devem ser usadas para avaliar causas especiais. 
Os passos para se desenvolver um gráfico de controle para medições individuais 
são os seguintes: 
1. Calcule as k – 1 amplitudes e a média das amplitudes médias ( RM ). 
2. Calcule o limite superior de controle para as amplitudes médias usando: 
UCL + 3.27 * RM Observação: 3.27 é o fator D4 para n = 2 
3. Após remover quaisquer amplitudes maiores do que UCLMR, recalcule a 
média móvel ( RM ). Observação: Esse passo é feito uma vez. 
4. Calcule a média das k medições ( X ). 
5. Calcule os limites de controle para o gráfico X usando: 
UCL = X + (2.66 * RM ) 
LCL = X – (2.66 * RM ) 
6. Calcule e trace uma escala tal que os limites de controle “englobem” os 50% 
internos da área de plotagem. 
7. Plote as k = 20 a 30 medições no gráfico X 
8. Trace a linha central ( X ) e os limites de controle no gráfico X. 
 26 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-10: Formulário de Cálculo de Gráfico X 
NOME _____________________________________ DATA _________________________ 
PROCESSO _____________________ DESCRIÇÃO DA AMOSTRA __________________ 
NÚMERO DE SUBGRUPOS (k) ____________ ENTRE (datas) _____________________ 
_________________
1k
MR
RM_________________
k
X
X 



 
GRÁFICO X GRÁFICO MR 
UCL = X + (2.66 * RM ) UCLMR = 3.27 * RM 
UCL = + (2.66 * ) UCLMR = 3.27 * 
UCL = + UCLMR = _________________ 
UCL = ___________________ 
 
LCL = X – (2.66 * RM ) Recalcular RM após remover os MRs 
maiores do que UCLMR 
LCL = – (2.66 * )   ?)(/MRRM k 
LCL = – ______/_______RM  
LCL = ___________________ ________________RM  
 
CÁLCULO DE LIMITES DE CONTROLE 
Os passos para se desenvolver um gráfico de controle para medições individuais são os 
seguintes: 
1. Calcule as k – 1 amplitudes e a média das amplitudes médias ( RM ). 
2. Calcule o limite superior de controle para as amplitudes médias usando: 
UCL + 3.27 * RM 
3. Remova quaisquer amplitudes maiores do que UCLMR e recalcule a média móvel ( RM ). 
4. Calcule a média das k medições ( X ). 
5. Calcule os limites de controle para o gráfico X usando: 
UCL = X + (2.66 * RM ) 
LCL = X – (2.66 * RM ) 
6. Calcule e trace uma escala tal que os limites de controle “englobem” os 50% internos da 
área de plotagem. 
7. Plote as k = 20 a 30 medições no gráfico X 
8. Trace a linha central ( X ) e os limites de controle no gráfico X. 
 27 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
A determinação da capacidade de processo para um gráfico X pode ser feita 
diretamente a partir dos limites de controle, quando o processo está em controle 
estatístico. Uma vez que as medições estejam plotadas, a capacidade é equivalente aos 
limites de controle para um processo estável. 
Exemplos de Gráficos de Controle para Medições 
Individuais 
O primeiro exemplo diz respeito a um produto químico que é embarcado a granel, 
com uma amostra tirada de cada veículo durante o carregamento. Testes de laboratório 
são feitos para a certificação do produto. Os veículos são carregados a partir de tanques 
de armazenamento, que por sua vez são carregados intermitentemente de uma unidade 
de processamento. Os resultados de laboratório para os últimos 25 veículos carregados, 
a respeito da densidade e da concentração de um certo aditivo, são usados para se 
desenvolver gráficos de controle para o produto embarcado. 
Um gráfico X é preparado para cada uma das características de qualidade. A 
Figura 25-11 mostra o gráfico e a folha de cálculo para os dados de densidade. Os 
valores de densidade são codificados subtraindo-se 0,92 e multiplicando por 10.000 a 
fim de fazer com que os números fiquem mais fáceis de se trabalhar. Cada uma das 24 
amplitudes móveis foi menor do que o limite superior de controle de 17,3, de modo que 
foi usado RM = 5,3 para se calcular os limites de controle do gráfico X. O gráfico X 
para a densidade indica um causa especial a partir do veículo número 9. Uma vez que o 
processo não é estável, a análise de capacidade não pode ser feita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-11: Gráfico de Controle Individual para Densidade 
NOME _____________________________________ DATA _________________________ 
PROCESSO _____________________ DESCRIÇÃO DA AMOSTRA __________________ 
NÚMERO DE SUBGRUPOS (k) ____________ ENTRE (datas) _____________________ 
3,5
24
126
1k
MR
RM40
25
1000
k
X
X 



 
GRÁFICO X GRÁFICO MR 
UCL = X + (2,66 * RM ) UCLMR = 3,27 * RM 
UCL = 40 + (2,66 * 5,3 ) UCLMR = 3,27 * 5,3 
UCL = 40 + 14,1 UCLMR = 17,3 
UCL = 54,1 
 
LCL = X – (2,66 * RM ) Recalcular RM após remover os MRs 
maiores do que UCLMR 
LCL = 40 – (2,66 * 5,3 )   ?)k(/MRRM 
LCL = 40 – 14,1 ______/_______RM  
LCL = 25,9 ________________RM  
 
A folha de cálculo para os dados do aditivo está mostrada na Figura 25-12 e o 
gráfico de controle na Figura 25-13. As amplitudes móveis para os veículos números 14 
Densidade ao Carregar Veículo 9/93 
 Alta Pressão 
Densidade 
 
25 
 
Carros 1 – 25 
 
Zero = 0,92
veículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
tempo
medida 42 36 41 44 38 50 51 48 40 32 32 33 28 24 30 21 26 40 51 50 47 53 51 48 44
MR – 6 5 3 6 12 1 3 8 8 0 1 5 4 6 9 5 14 11 1 3 6 2 3 4
Meta: 0,9240
Método de Medição: (densidade – 0,9200) X 10.000Responsável pelo Gráfico: Lab. #1 Característica: DensidadeGráfico: 132 Nome do Gráfico: Densidade ao Carregar Veículos
Processo: Alta Pressão Produto: Q100 a Q209 Data: 9/93
Objetivo: Estudar variação e identificar causas especiaisSugrupado por: Veículos Circulares
10
30
50
70
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Número do Veículo
D
e
n
s
id
a
d
e
 29 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
e 15 são maiores do que o limite superior de controle de 12,5. Esse dois valores foram 
removidos e a amplitude da média móvel recalculada. A média revista RM = 2,86 foi 
usada para calcular os limites de controle para o gráfico X. O gráfico de controle indica 
que existe uma causa especial para o veículo número 14. Observe que a concentração de 
236 ppm para o veículo 14 foi a causa das duas amplitudes médias que estavam acima 
do limite superior de controle. 
Figura 25-12: Cálculos do Gráfico de Controle para o Aditivo 
NOME _____________________________________ DATA _________________________ 
PROCESSO _____________________ DESCRIÇÃO DA AMOSTRA __________________ 
NÚMERO DE SUBGRUPOS (k) ____________ ENTRE (datas) _____________________ 
92,3
24
94
1k
MR
RM2,219
25
5481
k
X
X 



 
GRÁFICO X GRÁFICO MR 
UCL = X + (2.66 * RM ) UCLMR = 3,27 * RM 
UCL = 219,2 + (2.66 * 2,95 ) UCLMR = 3,27 * 3,92 
UCL = 219,2 + 7,8 UCLMR = _________________ 
UCL = ___________________ 
 
LCL = X – (2.66 * RM ) Recalcular RM após remover os MRs 
maiores do que UCLMR 
LCL = 219,2 – (2.66 * 2,95 )   ?)k(/MRRM 
LCL = 219,2 – 7,8 ______/_______RM  
LCL = ___________________ RM _______________ 
O segundo exemplo é uma aplicação do gráfico individual para dados financeiros 
a fim de estudar ferramentas de planejamento tais como budgets, previsões e 
cronogramas. Uma previsão de gastos é feita com dois meses de antecedência para cada 
departamento. Os budgets são usados para fins de planejamento e é desejável que eles 
sejam os mais precisos possíveis. A cada mês o budget e o atual são comparados para 
avaliar a precisão. Pode-se calcular tanto a diferença quanto a diferença percentual para 
mediar a precisão. Uma vez que os dados só estão disponíveis uma vez por mês, usa-se 
um gráfico individual para estudar a precisão. 
A Figura 25-14 mostra o gráfico de controle para um período de dois anos e a 
folha de cálculo. A cada mês o budget (calculado com três meses de antecedência) é 
subtraído do gasto atual. Essa diferença é dividida pelo budget previsto e multiplicado 
por 100 para calcular a diferença percentual. A diferença percentual é usada para 
desenvolver o gráfico de controle. É importante manter o sinal + (acima do budget) e 
– (abaixo do budget) junto com a diferença percentual. 
Aditivo 9/93 
Carregamento de Veículo Composta 
25 Veículos 1 – 25 
12,8 
227,0 
 65 22 
2,95 211,4 
 30 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-14: Gráfico de Controle Individual para Variância do Budget 
NOME _____________________________________ DATA _________________________ 
PROCESSO_______________ DESCRIÇÃO DA AMOSTRA ________________________ 
NÚMERO DE SUBGRUPOS (k) ____________ ENTRE (datas) _____________________ 
53,2
23
1,58
1k
MR
RM90,0
24
6,21
k
X
X 



 
GRÁFICO X GRÁFICO MR 
UCL = X + (2,66 * RM ) UCLMR = 3,27 * RM 
UCL = 0,90 + (2,66 * 8,27 ) UCLMR = 3,27 * 2,53 
UCL = 0,90 + 7,8 UCLMR = ____________ 
UCL = ______________ 
 
LCL = X – (2,66 * RM ) Recalcular RM após remover os MRs 
maiores do que UCLMR 
LCL = 0,90 – (2,66 * 8,27 )   ?)k(/MRRM 
LCL = 0,90 – 7,8 ______/_______RM  
LCL = ______________ RM ______________ 
% mens., 100(atual-budget)/budget 
 
24 (2 anos) 
 
Jan. 92 – Dez 93 
 
mês J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F
budget 458 458 458 470 475 470 450 420 420 460 465 460 470 470 480 500 510 500 480 480 450 450 470 486
atual 455 470 460 480 474 490 440 430 422 478 458 460 473 463 485 512 514 515 477 490 458 450 465 478
diferença -3 12 2 10 -1 20 -10 10 2 18 -7 0 3 -7 5 12 4 15 -3 10 8 0 -5 -8
% dif. -0.66 2.62 0.44 2.13 -0.21 4.26 -2.22 2.38 0.48 3.91 -1.51 0.00 0.64 -1.49 1.04 2.40 0.78 3.00 -0.63 2.08 1.78 0.00 -1.06 -1.65
MR – 3.28 2.18 1.69 2.34 4.47 6.48 4.60 1.90 3.44 5.42 1.51 0.64 2.13 2.53 1.36 1.62 2.22 3.63 2.71 0.31 1.78 1.06 0.58
J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F
Observações:
Responsável pelo Gráfico: Ger. Eng. Característica: Precisão Método de Medição: (Atual – Budget)/Budget
1992 1993
1992 1993
Gráfico: 24 Nome do Gráfico: Budget do Departamento de Engenharia
Processo: Budget de Departamento Data: 1/94
Objetivo: Estudar variação no processo de budget Sugrupado por: Mês
Meta: 0
-15
-10
-5
0
5
10
15
%
 D
if
e
re
n
ç
a
 d
o
 B
u
d
g
e
t
Variância do Budget 2/94 
Análise de Budget 
65 22 
2,95 -5,83 
7,63 
8,27 
 31 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
A linha central em +0,90% indica que na média os gastos atuais foram 0,9% acima 
do budget. O processo é estável (sem causas especiais) durante o período de dois anos. 
Uma vez que o processo está sob controle estatístico, pode-se fazer uma análise de 
capacidade. A capacidade de prever gastos para um dado mês qualquer é de mais ou 
menos 6,73% (-5,8% a 7,6%). Observe que essa amplitude de capacidade é a mesma 
dos limites de controle. 
Base para os Gráficos de Controle para Indivíduos 
Razões Fundamentais para se Usar as Amplitudes Móveis 
A razão para se usar amplitudes móveis para determinar a variação de processo 
para o gráfico X é que pares de medições consecutivas têm mais chances de serem 
afetados por causas similares do que resultados em outros pontos no tempo. O efeito de 
causas especiais no conjunto inicial de dados é minimizado. As amplitudes móveis 
individuais que são aumentadas pelas causas especiais são examinadas antes de se 
calcular os limites de controle para o gráfico X. Alternativamente, calcular o desvio 
padrão usando todos os dados permite que os limites de controle aumentem 
indevidamente com as causas especiais. 
Estimativa Alternativa de 
O desvio padrão  é calculado como 66.2/RM onde RM é a amplitude móvel 
média para o gráfico de controle individual. Os limites de controle para um gráfico 
individual é equivalente a 3X  . O uso inicial do gráfico individual para detectar 
causas especiais deve ser feito com limites de controles baseados em /d2RM . Limites 
de controle estendidos podem ser calculados usando 80./s se (1) o processo for 
estável e (2) os dados forem aproximadamente normais (conforme determinado pelo 
histograma). 
Observe que s é o desvio padrão usual da amostra,      1/
2
nxxs i , e 
0.80 é um fator de gráfico de controle (c4 para n = 2) o que faz com que esse  estimado 
seja não-viciado. 
Se as duas condições enunciadas acima são atendidas, a estimativa de  usando 
s/c4 fornece um equilíbrio econômico melhor entre super e sub reagir à variação. Ver 
Harding et al. (1992) e Cryer et al. (1990). 
Estratificação ou Ordenação Racional com Gráficos Individuais 
A principal desvantagem do gráfico de controle individual é que todas as fontes 
de variação no processo estão incluídos em um único gráfico. Não existe oportunidade 
 32 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
de se usar o conceito de subgrupamento racional associado com os gráficos X-barra e 
R, a fim de isolar e avaliar fontes diferentes de variação. 
Usualmente os dados para um gráfico X são analisados na ordem natural do tempo. 
Em algumas situações a ordem de tempo não é relevante. Por exemplo, se os dados 
consistem de pontuações de teste de 30 pessoas, um gráfico X pode ser usado para 
identificar causas especiais. Em casos como esse, a preferência é por se obter outra 
pontuação para cada indivíduo (i.e., fazer outro teste) e então usar um gráfico X-barra e 
R com subgrupos de n = 2. Se isso não for possível, pode-se usar um gráfico X. 
Estratificaçãoé a separação e classificação de dados de acordo com variáveis ou 
fatores selecionados. O objetivo é achar padrões que ajudem a entender os mecanismos 
causais em um processo. A estratificação em um gráfico de controle individual é feito 
de duas maneiras diferentes: 
1. Plotando-se um símbolo (em vez do * ou x usuais) para indicar uma 
classificação para a medição estatística sendo plotada. Por exemplo, plotar os 
símbolos A, B ou C para indicar de qual de três escritórios as medições 
vieram. 
2. Ordenando as medições, ou subgrupos de medições, por variáveis de 
estratificação tais como laboratório, sala de aula, tipo de material, fornecedor, 
turno, programador, posição da peça etc., para investigar a importância desses 
fatores. 
O conceito de estratificação está relacionado com subgrupamento (organizar um 
grupo de medições dentro de subgrupos significativos), o qual é discutido em uma seção 
posterior. A Figura 25-15 ilustra o conceito de estratificação com um gráfico de controle 
individual. 
A medida é o tempo (horas) para receber uma análise de laboratório em um 
hospital. O primeiro gráfico mostra o gráfico de controle individual usual na ordem de 
tempo em que as análises de laboratório foram solicitadas. O segundo gráfico mostra o 
mesmo gráfico de controle com o laboratório particular (A, B ou C) usado como 
símbolo de plotagem. O terceiro gráfico mostra um gráfico individual com os mesmos 
dados reordenados por laboratório. Os limites de controle são muito mais estreitos para 
esse gráfico uma vez que a amplitude móvel é calculada usando a variação dentro de 
um laboratório em vez de entre laboratórios. 
Distribuições das Medições 
Os limites para um gráfico X são mais sensíveis à distribuição das medições do 
que um gráfico X-barra. Na maior parte dos casos encontrados na prática, os limites 
ainda fornecem um bom equilíbrio econômico entre super e sub reagir à variação no 
processo. Exceções a isso ocorrem quando os dados variam sobre mais de uma ordem 
de magnitude (por exemplo, muitos tipos de dados ambientais) ou quando os dados 
 33 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
estão altamente distorcidos em uma direção (por exemplo, dados de tempo de falha). 
As medições podem ser transformadas antes de se desenvolver um gráfico de controle 
a fim de amenizar essas situações. Transformações comuns são o logaritmo para ordens 
múltiplas de magnitudes e a raiz quadrada para dados distorcidos. 
As alternativas para o gráfico de controle para indivíduos incluem gráficos de 
médias móveis e amplitudes, gráficos de soma cumulativa e gráficos de média móvel 
exponencialmente ponderados. Esses tópicos são apresentados no fim desse capítulo. 
A figura na página 36 é um exemplo de um gráfico de controle para uma medida 
ampla de um sistema. O gráfico é desenvolvido a partir de números do Departamento 
de Comércio dos Estados Unidos sobre a balança comercial (diferença entre 
importações e importações) que foram reportados cada mês. Uma vez que a balança é 
negativa, ela é chamada de déficit comercial. A linha central e os limites de controle 
para o gráfico foram calculados de 24 valores mensais em 1988 e 1989, e então 
estendidos para 1990. Os limites foram atualizados usando dados de 1991 e dos três 
primeiros meses de 1992. 
Os cálculos iniciais do gráfico de controle indicam que o déficit comercial foi 
estável durante o período 1988-1989. Isso significa que o sistema de causas (por exem-
plo a economia mundial) que produz o déficit não mudou de qualquer modo importante 
durante os dois anos. A estabilidade do sistema não significa que alguém esteja 
satisfeito com essa situação, mas apenas que a magnitude do déficit é previsível até que 
ocorra uma mudança fundamental no sistema. O gráfico de controle indica que a 
variação no déficit comercial a cada mês é devido a causas comuns. No entanto, quando 
um novo valor é liberado a cada mês, a mídia apresenta o número como se fosse 
indicação de uma mudança importante. 
Quando os limites são estendidos para 1990, é indicada a presença de uma causa 
especial. Parece que uma mudança fundamental ocorreu que reduziu o déficit. Para 
atualizar o gráfico de controle, os dados de 1991 e 1992 são usados para calcular novos 
limites. Esses novos limites indicam que o déficit comercial é novamente estável com 
novos limites de previsibilidade. Esses limites podem ser usados para o déficit 
comercial em 1993. 
 
 
 34 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Figura 25-15: Estratificação com um Gráfico de Controle 
 
 
 
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
H
o
ra
s
Número do teste
Tempo para receber testes do laboratório
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
H
o
ra
s
Número do teste
Tempo para receber testes do laboratório
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
H
o
ra
s
Número do teste
Tempo para receber testes do laboratório
A A A 
A 
A 
A 
A 
A 
B 
B B 
B 
B 
B B 
B 
C 
C 
C 
C 
C 
C 
C C 
A 
A A 
A 
A 
A 
B 
B B 
B 
B 
B 
B 
B 
C 
C 
UCL = 157 
CL = 81 
LCL = 6 
UCL = 157 
CL = 81 
LCL = 6 
A 
A 
C C 
C 
C 
C 
C 
UCL = 108 
CL = 81 
LCL = 54 
 35 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Gráfico de Controle Individual para uma Medida de Sistema 
(Déficit Comercial Americano) 
 
Gráfico Individual com Tendência Embutida 
Em cada um dos exemplos anteriores de gráficos de controle, supôs-se que a 
variação no resultado do processo seria centrado em torno de uma média constante ou 
linha central. Em algumas situações, no entanto, podemos esperar uma tendência no 
processo, isto é, pode-se esperar que as medições de um processo variem em torno de 
uma linha central, mas a própria linha central tenderá para cima ou para baixo a uma 
taxa constante. 
O desgaste de ferramentas é um exemplo no qual podemos esperar que isso 
aconteça. Considere uma ferramenta, tal como uma furadeira ou um torno. A dimensão 
de uma série de peças, tomada em um curto período de tempo em um processo estável, 
vai variar de modo previsível em torno de algum valor médio. Se outra série de 
medições for feita depois que as ferramentas tiverem se desgastado, seria esperado a 
mesma ou quase a mesma variação em torno de um valor médio. Entretanto, essa média 
será diferente de uma média anterior devido ao desgaste da ferramenta. Se o desgaste 
da ferramenta for linear, um gráfico de controle que leve em conta essa tendência pode 
ser construído para investigar melhor a variação no processo. Outras situações nas quais 
um gráfico de controle com tendência (ou gráfico de controle inclinado) pode ser 
apropriado incluem vendas, faturamento, degradação de catalisador ou produção vinda 
de recursos de petróleo ou de gás. 
Algumas aplicações com tendência não linear podem ser aproximadas como 
linear em uma região de interesse. Por exemplo, baseado na experiência, poderia se 
J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F M A M J
19921988 1989 1990 1991
0
2
4
6
8
10
12
14
Déficit Comercial por Mês e Ano
B
ilh
õ
e
s
 d
e
 D
ó
la
re
s
0
2
4
6
8
10
12
14
B
ilh
õ
e
s
 d
e
 D
ó
la
re
s
Déficit Comercial por 
Mês e Ano
Cálculo dos Limites Extensão 
dos Limites 
Novos Limites 
Preliminares 
 36 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
esperar que a produção de petróleo ou gás se reduziria como uma função não linear. 
Entretanto, durante um período de dois anos, a tendência de declínio pode ser 
aproximada para uma tendência linear para se construir um gráfico de controle e 
detectar causas especiais. 
Os passos para se construir um gráfico de controle com tendência estão resumidos 
abaixo, para medições individuais usando o método das medianas. A análise de 
regressão também pode ser usada para desenvolver a linha central. Observeque a 
amplitude média não pode ser usada diretamente como antes, mas teremos em vez disso 
que construir uma amplitude média de valores residuais (usar a amplitude média 
diretamente resultaria em uma estimativa exagerada de variação de causa comum 
devido à tendência). 
1. Plote os dados. 
2. Calcule a média dos dados X . 
3. Divida os k subgrupos ordenados em dois grupos iguais (não use o valor do 
meio se k for ímpar). Calcule o valor médio das ordenações de subgrupo, k . 
4. Calcule a média da característica de qualidade para cada um dos dois subgru-
pos ( 1X e 2X ). 
5. Determine o número de subgrupo mediano 1k , para a primeira metade dos 
subgrupos e o número de subgrupo mediano 2k , para a segunda metade dos 
subgrupos. 
6. Calcule a inclinação da tendência: 
12
12 XX
kk
M


 . 
7. Calcule o intercepto B, da linha BkM X , usando kMB  X . 
8. Com os valores conhecidos para M, B e k calcule os valores estimados (linha 
central) de Y, a característica de qualidade para cada subgrupo ( BMkY  ). 
9. Calcule o resíduo para cada subgrupo ( YX R ). 
10. Calcule as k–1 amplitudes móveis (MRR), usando os resíduos. 
Calcule    1/MRRM R   k . 
11. Use RRM com as constantes de gráfico de controle usuais para selecionar 
RRM e para calcular a posição dos limites no gráfico. 
 37 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
12. Desenhe a linha central para o gráfico usando os valores estimados no passo 
8. Use o primeiro e o último subgrupos no conjunto de dados e então ligue 
esses pontos com uma linha reta. 
13. Desenhe os limites de controle usando os valores calculados no passo 11 para 
determinar o quanto acima e abaixo da linha central os limites devem ser 
colocados. É mais fácil medir a partir dos valores de linha central do passo 12 
nos extremos do conjunto de dados e então ligar esses pontos para obter cada 
limite. 
Os exemplos seguintes demonstram essa técnica. No primeiro exemplo, uma 
empresa está interessada em entender a variação no crescimento de seu faturamento. O 
gráfico de controle inclinado foi escolhido porque a empresa sabe que o faturamento 
tem uma tendência de crescimento. O gráfico de controle é mostrado na Figura 25-16 e 
os cálculos são mostrados na Tabela 25-2. Não foram detectadas causas especiais. 
(Observação: Apenas os dados dos primeiros 14 trimestres foram usados para 
estabelecer os limites de controle nesse exemplo, e portanto esses limites devem ser 
vistos como limites preliminares. Os limites foram estendidos para o futuro para usar o 
gráfico). 
Figura 25-16: Gráfico de Controle com Tendência para Faturamento 
 
 
 
 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F
a
tu
ra
m
e
n
to
 (
$
 1
0
0
0
)
1988 1989 1990 1991 1992 
 38 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Tabela 25-2: Cálculos para Gráfico de Controle com Tendência para Faturamento 
Trim. (K) Faturamento (X) MR Y (Est.) X-Y Resíduos MR 
1 947.50 971.2 -23.7 
2 1092.00 144.5 1036.4 55.6 79.3 
3 1123.90 31.9 1101.6 22.3 33.3 
4 1275.30 151.4 1166.8 108.5 86.2 
5 1096.70 178.6 1232.0 -135.3 243.8 
6 1271.10 174.4 1297.2 -26.1 109.2 
7 1368.10 97.0 1362.4 5.7 31.8 
 1167.80 = média dos primeiros 7 subgrupos 
8 1525.30 157.2 1427.6 97.7 92.0 
9 1493.50 31.8 1492.8 0.7 97.0 
10 1588.40 94.9 1558.0 30.4 29.7 
11 1691.00 102.6 1623.2 67.8 37.4 
12 1752.60 61.6 1688.4 64.2 3.6 
13 1632.40 120.2 1753.6 -121.2 185.4 
14 1687.70 55.3 1818.8 -131.1 9.9 
 1624.41 = média dos últimos 7 subgrupos 
 
Média = X = 1396.11 Média MR = RM = 107.8* Média MRR = 79.9 
 UCL de MRR = 79.9 * 3.27 = 261.3 
 Limites de Controle = ± 211.7 da linha de centro 
Encontrando a inclinação M 
 M = (1624.4 - 1167.8)/(11 - 4) = 65.2 
Usando médias, 
 Bk  *2.65X 
 B 5.7*2.651.1396 
 B906 
 906*2.65(Estimado)Y  k 
 
 * Observação: Esse MR não é usado. Comparando esse MR com MRR pode-se notar que 
MRR fornece uma estimativa diferente da variação de causa comum. 
 
 
Um segundo exemplo trata de uma empresa que está interessada em investigar a 
variação na produção de seu campo de petróleo. O gráfico de controle inclinado foi 
escolhido porque sabe-se que a taxa de produção desse campo está em declínio. O 
gráfico de controle é mostrado na Figura 25-17 e os passos de cálculo são mostrados na 
Tabela 25-3. Observe que foi detectada uma causa especial no subgrupo 18. Ela foi 
associada a algumas atividades de manutenção fora do comum que foi efetuada naquele 
mês. 
Apesar de a interpretação do gráfico de controle ser essencialmente a mesma da 
dos gráficos de controle convencionais, recomenda-se que a regra de causa especial de 
 39 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
seis pontos de tendência para cima ou para baixo seja suspensa devido a dificuldades 
na interpretação. Deve-se observar que o gráfico de controle inclinado ainda pode dar 
falsos sinais se a tendência não for linear. Apesar disso, o gráfico de controle inclinado 
pode fornecer uma base sólida para a ação no processo e ainda é a melhor ferramenta 
para identificar causas especiais de variação em um processo com uma tendência 
esperada. 
Podem ser construídos gráficos de controle análogos com tendências para um 
gráfico X-barra e R. Grant e Leavenworth (1980) fornecem um exemplo para um 
processo com desgaste de ferramenta. 
Figura 25-17: Gráfico X Inclinado para Produção 
 
475,00
510,71
546,43
582,14
617,86
653,57
689,29
725,00
0 5 10 15 20 25 30
B
a
rr
is
/D
ia
Mês
Alta 
Atividade de 
Manutenção 
 40 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Tabela 25-3: Dados e Cálculos para Gráfico X Inclinado 
para Produção (Barris/dia) 
Trim. (K) Produção (X) Y (Est.) X-Y Resíduos MR 
1 675 662 13 
2 669 658 11 2 
3 615 654 -39 50 
4 645 650 -5 34 
5 655 646 9 14 
6 650 642 8 1 
7 631 638 -7 15 
8 642 634 8 15 
9 643 630 13 5 
10 610 626 -16 29 
11 625 622 3 19 
12 609 618 -9 12 
13 630 614 16 25 
14 610 610 0 16 
15 599 606 -7 7 
 633.9 = média dos primeiros 15 subgrupos 
16 603 602 1 8 
17 580 598 -18 19 
18 540 594 -54 36 
19 562 590 -28 26 
20 580 586 -6 22 
21 570 582 -12 6 
22 598 578 20 32 
23 571 574 -3 23 
24 569 570 -1 2 
25 570 566 4 5 
26 580 562 18 14 
27 573 558 15 3 
28 579 554 25 10 
29 571 550 21 4 
30 567 546 21 0 
 574.2 = média dos últimos 15 subgrupos 
Média = 
X = 
604.0 Média MR = RRM = 
15.7 
 UCL de MR = 3.27 * 15.7 = 51.2 
 Limites de Controle para Gráfico X = 2.66 * 15.7 = ± 41.8 
M = (574.2 - 633.9)/(23 - 8) = -4 
Ajuste da equação BkM X 
 604.0 = (-4.0)(15.5) + B 
 B = 666 (3.27 e 2.66 são constantes de gráficos de controle) 
 Y (estimado) = (-4.0)*k + 666 
 
 
 
 
 41 MAnual sobre Gráficos de Controle FM2S 
Preparação Alternativa para um Gráfico X 
Um método alternativo para se calcular os limites para um gráfico X faz uso da 
mediana. A mediana é o valor do meio após os dados serem ordenados do menor para 
o maior. Seja X a mediana dos pontos de dados individuais e seja MR a mediana das 
amplitudes médias. Então os limites de controle são calculados usando: 
RM
~
*3.14-X
~
LCL
RM
~
*14.3X
~
UCL


 
Os limites de controle não são necessários para as amplitudes móveis, uma vez que 
a mediana das amplitudes móveis não é afetada por resultados extremos. Esse método 
de cálculo é útil quando são grandes a chances de que os dados iniciais coletados para 
desenvolver o gráfico sejam afetados por causas especiais. 
Gráficos de Controle para Dados de Atributo 
Tradicionalmente em controle de qualidade as medições de características de 
qualidade de um processo eram classificadas em duas categorias: 
Dados contínuos: dados medidos em uma escala contínua tal como uma 
dimensão, tempo,