Derivada de uma Função: Definição e Aplicação

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Germana Coelho Luis 
Definição e aplicação da derivada de uma função
Licenciatura em Contabilidade 
Universidade Púnguè
 Extensão de Tete
2021
Germana Coelho Luis 
Licenciatura em Contabilidade 
O presente trabalho a ser apresentado no departamento dos recursos Humanos, no curso de Contabilidade, na cadeira de Matemática 1, como forma de avaliação parcial sob orientação do:
Docente: Jorge Alberto Camisola
	
Universidade Pungue
 Extensão de Tete
2021
Índice 
Introdução	III
Objectivos	III
Geral	III
Específicos	III
Breve historial da derivada	4
Interpretação Geométrica	4
Derivabilidade	5
Regras de derivadas de uma função	6
Derivada do produto de uma constante por uma função	7
Máximos e Mínimos	11
Monotonia	12
Concavidade e pontos de inflexão	13
Assíntotas horizontais e verticais	14
Esboço de gráficos	14
Aplicação da derivada nos problemas práticos	16
Conclusão	17
Bibliografia	18
	
				III
Introdução 
No presente trabalho abordou-se sobre derivadas, a partir da sua definição até sua aplicação nos problemas matemáticos e problemas práticos ou seja problemas quotidianos. Nos problemas matemáticos falou-se acerca de uso da derivada no estudo completo de uma função e quando que se pode afirmar que uma função é continua através da noção da derivada, no que tange a problemas práticos debruçou-se aplicação da derivada na área da economia naquilo que é calculo de custo marginal. Para melhor entendimento da aplicação da derivada nessas duas situações primeiro definiu-se o conceito da derivada, isto analiticamente tanto como a sua interpretação geométrica, feito isso deu-se as regras da derivação, derivada de uma função composta e derivada da segunda ordem. Depois explicou-se aplicação da derivar no cálculo de máximos e mínimos de uma função, monotonia e a concavidade de gráfico de uma determinada função. Dai por último abordou-se sobre aplicação da derivada no calculo de custo marginal. Para a materialização do trabalho em destaque recorreu-se a revisão bibliográfica e pesquisa telematizada (internet). 
Objectivos 
Geral 	
· Aplicar o conhecimento da derivada no estudo completo de uma função. 
Específicos 
· Definir o conceito da derivada no contexto analítico e geométrico
· Explicar procedimento de cálculo da derivada em diferentes tipos de funções
· Mencionar as regras de derivação de funções de uma variável real. 	
 
	 
				III
Breve historial da derivada 
A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto.
O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente.
Interpretação Geométrica
A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto . Vejamos:
Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por ), onde m é o coeficiente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P?
Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são ). A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva.
	
Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando ∆x cada vez menor. 
Tudo indica que quando P está próximo de Q, o coeficiente angular da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular m da reta r, ou seja, o coeficiente angular tem um limite m quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta tangente r.
Indicando-se a abscissa do ponto Q por e sabendo-se que a Abscissa de P é expressa por a, então, se P temos que , o que é equivalente a Assim:
 (se este limite existe), é o coeficiente angular da reta tangente r. Porém,
 Logo, ou seja, a derivada de uma função em um ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, neste ponto.
Exemplo:
Se , determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto 
Solução 
se ∆)
Portanto, coeficiente angular m da reta tangente, quando x0 = 2, é dado por Logo, a equação reduzida para a reta tangente no ponto ) é dada por: 
Derivabilidade
No estudo de derivada a noção de continuidade estará sempre presente. Na realidade, o fato de uma função ter derivada num ponto implicará na continuidade dela nesse ponto. Em outras palavras, o conceito de derivada de uma função num ponto requer mais do que continuidade
Definição 
Uma função é derivável em um ponto se existir o seguinte limite: 
Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
Esse limite é chamado de derivada de no ponto e é denotado por ), que deve ser lida assim: f linha de .
Teorema 
Se uma função é derivável num ponto então essa função é contínua em .
Demonstração
Uma função é derivável em se existir o 
Por outro lado, para demonstrar que a função dada é contínua em , deveremos mostrar que ou, equivalentemente, que 
É claro que Portanto, 
Como a função é derivável em o limite do primeiro fator do segundo membro acima é igual a e o limite do segundo fator é, obviamente, igual a zero segue-se que:
Assim a função ) é contínua em o que conclui a demonstração.
Regras de derivadas de uma função 
 Derivada da função constante:
Se então .
	Demonstração
Se x é um ponto qualquer de R temos:
Exemplos
1) 
2) 
Derivada da função identidade:
Se então 
Demonstração
Se x é um ponto qualquer de R, temos:
Derivada do produto de uma constante por uma função
Se então 
Demonstração
Se x é um ponto qualquer de R, temos:
Exemplos
1) 
2) 
3) 
Derivada da função potência 
Se então para n inteiro positivo.
Exemplos
1) 
2) 
 
	
Derivada da função 
Esta fórmula só pode ser aplicada quando o radicando é a variável x (função identidade).
Exemplos
Derivada da soma de funções
A derivada da soma é igual à soma das derivadas
Se 
 Exemplos
1) 
Derivada da diferença
A derivada da diferença é igual à diferença das derivadas
Se .
Exemplos
Derivada do produto
Seja 
Se existem as derivadas 
Exemplos
Derivada do quociente de duas funções
Exemplos
Máximos e Mínimos
Vamos localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada. Para isso, começamos com a seguinte definição
Seja f uma função de domínio A, dizemos que f tem um valor de máximo global em A, em um certo ponto se, para todo em A. e f tem um valor de mínimo global em A em um ponto se, , para todo x em A.
Uma função f tem um valor de máximo local em um ponto interior de seu domínio se para qualquer em um intervalo aberto que contenha o ponto Por outro lado, uma função f tem um valor de mínimo local em um ponto interior de seu domínio se, para qualquer em um intervalo aberto que contenha o ponto .
Teorema 1
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume tanto um valor de máximo M como um valor de mínimo m em [a, b]. Isto é, existem em [a, b], tais que 
Teorema 2
Se uma função f possui um valor de máximo ou mínimo local em um ponto interior de seu domínio e se é definida em , então: 
Definição
Um ponto interior do domínio de uma dada função f é dito um ponto crítico, se zero ou não existe no ponto . 
Nota: Um ponto crítico é um candidato a extremo local, isto é, ser um ponto de máximo ou mínimo local, falamos em candidato, pois nem todo ponto crítico conduz a um extremo local.
Exemplo 
Considere Determine os pontos críticos de e os valores de máximo e mínimo de f, no intervalo [−3, 6].
Solução. Para determinarmos os pontos críticos de vamos analisar a sua derivada, assim:
Como a função derivada existe para todo , os pontos críticos são aqueles em que a derivada é zero, isto é, −2 e 2. Notamos que, como f é contínua em [−3, 3], segue pelo resultado acima que os valoresde máximo e mínimo estão entre os valores de assim, calculando esses valores temos:
Logo, o valor de mínimo é e o valor de máximo é 
Monotonia 
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em ).
i. Se para todo , então e crescente em 
ii. Se para todo então f e decrescente em .
Exemplo: 
Determine os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes e 
Basta derivar a função e analisar os pontos tais que e os pontos onde 
Temos. Como , para todo , concluímos que a função é sempre crescente.
Temos Então, para , ou seja, para a função é crescente.
Concavidade e pontos de inflexão
Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda derivada) em um intervalo 
Se para todo em então a função primeira derivada é crescente em e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima.
Analogamente, se para todo então a função primeira derivada é decrescente em e a concavidade do seu gráfico é voltada para baixo.
Definição 
Um ponto do gráfico de uma função contínua é chamado ponto de inflexão se a concavidade do gráfico muda neste ponto.
Exemplos:
Estude a concavidade da função Para estudar a concavidade, tomamos a segunda derivada, , e observarmos que se se 
Logo, a concavidade do gráfico é voltada para baixo para todos os reais negativos e para cima, para os reais positivos. é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de .
Para 
Para 
Logo, para e portanto f é côncava para cima neste intervalo. No intervalo . Portanto, neste intervalo é côncava para baixo. Assim, no ponto , a concavidade muda, o que significa que este é um ponto de inflexão.
Assíntotas horizontais e verticais
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de uma reta à medida que cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas.
A reta é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
 
 
Exemplo:
A reta é uma assíntota vertical do gráfico de 
De fato, e 
Definição 
A reta é uma assíntota horizontal do gráfico se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
 e 
Exemplo:
As retas são assíntotas horizontais do gráfico de pois 
 
Esboço de gráficos
Utilizando todos os itens citados na análise de uma função, podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos. 
	Etapas 
	Procedimento
	1ª 
	Encontrar 
	2ª 
	Calcular os pontos de intersecção com os eixos.(Quando não requer muito cálculo)
	3ª 
	Determinar os pontos críticos
	4ª
	Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
	5ª
	Encontrar os máximos e mínimos relativos
	6ª
	Determinar a concavidade e os pontos de inflexão
	7ª
	Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem
	8ª
	Esboçar o gráfico
Exemplo: Esboçar o gráfico das funções abaixo:
	
Seguindo as etapas propostas temos:
1ª etapa: 
2ª Etapa: intersecção com o eixo 
Intersecção com o eixo 
3ª etapa: 
 Resolvendo , encontramos , que é o ponto crítico
4ª Etapa: fazendo obtemos que quando . Portanto, é crescente para todo Fazendo , obtemos que quando . Portanto é decrescente para 
5ª Etapa: Logo, a concavidade do gráfico está sempre voltada para cima e assim, é ponto de mínimo de 
7ª Etapa: não existem assíntotas 
8ª Etapa: esboço do gráfico.
Aplicação da derivada nos problemas práticos 
Se é o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando , é dada por caso exista. A função é chamada Função Custo Marginal e frequentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional.
Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (1) quando que tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite é a derivada de C em 1
Aqui, percebe-se que tanto na 1ª definição quanto na 2ª aborda a aplicação de derivadas para se determinar a o custo marginal a partir de uma função dada para o mesmo custo.
Exemplo 
Uma mineradora determina que sua função de custo total para a extração de certo tipo de ferro é dada por em US$, onde é dada em toneladas de ferro. Determine o custo adicional quando a produção aumenta de 10 para 11 toneladas de ferro. Ache o custo marginal para 10 toneladas.
Primeiramente calculamos , logo: 
Derivando a função de custo, temos: 
 . Isto significa que se a extração de ferro é incrementada em 1 tonelada, de 10 para 11 toneladas a mudança do custo é, aproximadamente, de US$ 54.32. Em outras palavras, extrair uma tonelada adicional de ferro custa US$ 54.32
Conclusão 
Tendo em conto tudo que se viu durante o trabalho é correcto afirmar que As derivadas determinam a inclinação da reta tangente a uma função f (x). A inclinação, que é a taxa de variação, serve para resolver os mais variados tipos de problemas matemáticos. Já a regra do quociente, ajuda a calcular a derivada de uma divisão de funções, ou seja, o quociente de funções diferenciáveis. A derivada tem um importante papel na determinação do custo marginal dentro das organizações empresariais. É nesse contexto que surge o custo marginal, importante ferramenta da economia que ajuda economistas e administradores a calcular o custo de se produzir uma unidade a mais além da produção total.
Bibliografia 	
LEITHOLD, Louis. O Cálculo, com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1977.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson Learning, 2006.
FARIA, Sebastião Pereira de. Cálculo I. 8ª edição. Mogi das Cruzes-SP: Cop-Set Reproduções Gráficas, 1991.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1996.
COITO, Cristiana. A Noção de Segunda Derivada e suas aplicações: um estudo no 12º ano, Lisboa, 2016. Disponível em https://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/28184/1/ulfpie051304_tm.pdf aceso em 16/06/2021.