Espaços Vetoriais

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Introdução 
 Vamos relembrar alguns conceitos  
visto em cálculo vetorial e entendê-los  
de forma natural para um ambiente com  
dimensões maiores.   
sabemos que o conjunto :  
  
R 2 = { (x,y) ; x,y ∈ R }  
 
 É interpretado Geometricamente  
como sendo o plano cartesiano ? Um par  
(x,y) pode ser visto como um ponto.  
Essa mesma ideia, em relação ao plano,  
estendemos para o espaço  
tridimensional que é a interpretação  
geométrica do conjunto :  
  
 R 3 = { (x,y,z) ; x,y,z ∈ R }  
  
Embora se perca a visão geométrica de  
espaços com dimensão acima de 3, é  
possível estender essa ideia a espaços  
com R 4 , R 5 , .... , R n . Assim, o espaço de  
dimensão n (ou espaço n-dimensional)  
será construído pelo conjunto de todas  
as n-uplas ordenadas e representadas  
por R n , isto é,  
  
R n = { x 1 , x 2 , …, x n ); x i ∈ R, i=1,2,3,...,n}  
 
Trabalhamos nesses espaços de maneira  
idêntica àquele visto em R 2 e R 3 . Por  
exemplo, se, u=(x 1 ,x 2 , …, x n ) e  
v=(y 1 ,y 2 ,...,y n ) são vetores n R n e α um  
escalar, definimos:  
a) u=v se, e somente, se  
x=y,i=1,2,...,n.  
b) u+v = (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,...,x n +y n )  
c) αu = (αx 1 ,αx 2 ,...αx n )  
d) u.v = (x 1 y 1 + x 2 y 2 +...+ x n y n ) Produto  
interno usual do R n  
e) |u| = = norma √u.u √x ..21 + x22 + . + x2n  
de um vetor.  
 
 Consideremos agora o conjunto R n e o  
conjunto das matrizes reais de ordem  
m x n, representado por M (m,n) . Com  
relação a estes conjuntos estão definidas  
as operações de adição e multiplicação  
por escalar, que tem em comum as  
seguintes propriedades:  
  
 Se u,v,w ∈ R n , α , β ∈ R (escalares)  
 
e   
A, B, C ∈ M (m,n)  
  
Podemos verificar que :  
  
 EM RELAÇÃO À ADIÇÃO TEMOS  
AS PROPRIEDADES:  
1) (u+v)+w =u+(v+w) e   
(A+B)+C = A+(B+C)  
  
2) u+v = v+u e A+B = B+A  
 
3) Existe um único elemento (neutro)  
em R n e em M (m,n) , representado por  
0 tal que :  
u+0 = u, onde 0 = (0,0,...,0) e  
A+0 = A, onde   
 
0= ∈ M (m,n)  
 
 
4) Para cada vetor u ∊ R n e para cada  
matriz A ∊ M (m,n) existe um único  
vetor e uma única matriz,  
representados por -u e -A, tais  
que:  
u+(-u) = 0 e A+(-A) = 0  
onde -u = (-x 1 ,-x 2 , …, -x n ), se  
u=(x 1 ,x 2 , …, x n ) e  
  
-A = , quando   
 
 
 
 
A =  
 
 
 
 
Nesse caso, -u e -A são chamados  
de elementos simétricos aditivos   
 
 
 
 
  
 EM RELAÇÃO À  
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR  
VALEM AS SEGUINTES  
PROPRIEDADES:  
1) (αβ)u= α(βu) e (αβ)A= α(βA)  
2) (α+β)u = αu+uβ e (α+β)A= αA+βA   
3) α(u+v) = αu+αv e α(A+B)= αA+αB  
4) 1u =u e 1A=A  
 
 De acordo com o exposto, os conjuntos  
R n e M (m,n) , munidos desse par de  
operações apresentam uma “estrutura”  
comum em relação a essas operações.  
Tal fato vale também para outros  
conjuntos munidos com duas operações,  
como veremos mais tarde, os quais são  
chamados de espaço vetoriais.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO :  
Consideremos V um conjunto não vazio,  
no qual introduziremos as operações  
adição e multiplicação por escalar, ou  
seja,   
vxv → v ; Rxv → v  
u,v → u+u α,u → v  
 
1. ∀u,v ∊ V, temos (u+v) ∊ V   
2. ∀α ∊ R, ∀ u ∊V, então αu ∊ V.  
 
O conjunto V, munido destas duas  
operações, é denominado espaço vetorial  
real ,ou espaço vetorial sobre R, SE  
FOREM satisfeitas as seguintes  
propriedades :  
 SOMA  
1) (u+v)+w = u+(v+w),∀ u,v,w ∊ V  
2) u+v = v+u, ∀ u,v ∊ V  
3) Existe 0 ∊ V, tal que u+0=u, ∀ u ∊ V  
4) Existe (-u) ∊ V, tal que u+(-u)=0, ∀  
u ∊ V  
 Multiplicação   
5) (αβ)u = α(βu)  
6) (α+β)u = αu +βu  
7) α(u+v) = αu+ αv  
8) 1u=u, ∀ u,v ∊ V e ∀ α, β ∊ R  
   
   
  
 
 
 
 
EXEMPLOS:  
1) O conjuntos R 2 ={(x,y); x,y ∊ R} é  
um espaço vetorial com as operações de  
adição e multiplicação por um escalar,  
assim definidas:  
 dados u=(x 1 ,y 1 ), v=(x 2 ,y 2 ), w=(x 3 ,y 3 ) ∊ R 2  
e α,β ∊ R  
 
u+v = (x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ) e  
αu= α(x 1 ,y 1 )=(αx 1 ,αy 1 )  
 
 Estas são as operações usuais de adição  
e multiplicação por escalar, definidas na  
introdução. verificaremos que R 2 munido  
destas operações satisfazem as oitos  
propriedades do espaço vetorial:  
 1.1 (u+v)++ w = u + ( v + w )  
(u+v)+w =((x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 ))+(x 3 ,y 3 )=(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 )+(x 3 ,y 3 )  
(u+v)+w =((x 1 +x 2 )+x 3 , (y 1 +y 2 )+y 3 ) = (x 1 +(x 2 +x 3 ), y 1 +(y 2 +y 3 ))  
(u+v)+w = (x 1 ,y 1 )+(x 2 +x 3 ,y 2 +y 3 ) = (x 1 ,y 1 )+((x 2 ,y 2 )+(x 3 ,y 3 ))    
 =u+(v+w)  
  
1.2 u +v = v+u   
u+v=(x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 )=(x 2 +x 1 ,y 2 +y 1 )  
u+v= (x 2 ,y 2 )+(x 1 ,y 1 ) = v+u,  
  
1.3 dado (0,0) ∊ R 2 , ∀ u ∊ R 2 , temos que   
u+(0,0)= (x 1 ,y 1 )+(0,0) = (x 1 +0,y 1 +0) = (x 1 ,y 1 ) = u,  
  
1.4 ∀ u ∊ R 2 , existe (-u)= (-x 1 ,-y 1 ) ∊ R 2 , tal  
que   
u+(-u)=(x 1 ,y 1 )+(-x 1 ,-y 1 )=(x 1 -x 1 ,y 1 -y 1 )=(0,0),  
  
1.5 (αβ) u = α(β u )   
(αβ)u=(αβ)(x,1,y 1 )=(αβ(x 1 ),(αβ)y 1 )=(α(βx 1 ),α(βy 1 ))= α(βx 1 ,βy 1 )  
(αβ)u=α(β(x 1 ,y 1 ))=α(βu),  
 
1.6 (α + β)u = αu + βu  
(α+β)u=(α+β)(x 1 ,y 1 )=((α+β)x 1 ,(α+β)y 1 )=(αx 1 +βx 1 ,αy 1 +βy 1 )  
(α+β)u=(αx 1 ,αy 1 )+(βx 1 ,βy 1 )=α(x,1,y 1 )+β(x 1 ,y 1 )=αu+βu,  
1.8 1u = 1 (x 1 ,y 1 ) = (1x 1 ,1y 1 ) = (x 1 ,y 1 )=u, ∀  
u∈ R 2  
2) O conjunto ℝ , em relação às  
operações operações usuais de  
adição e multiplicação por escalar,  
é também um espaço vetorial. Os  
vetores, neste caso, são números  
reais.  
  
3) O conjunto V de todas as funções  
f: X → ℝ, munido das operações :  
 (f+g)(x)=f(x)+g(x) e α(f(x))=(αf)(x)),  
 é um espaço vetorial, pois tais              
operações satisfa z em as oito        
propriedades da definição 3.1.2.  
 
4) O conjunto de todos os          
polinômios,   
V ={f(t)= a n t n +⋯+a 1 t+a 0 ; a i ∈ R },  
 é um espaço vetorial sobre R em                
relação às operações usuais de          
adição de polinômios e        
multiplicação por escalar.  
 
Observação:  
 Um conjunto pode ser um espaço              
vetorial com relação a um par de              
operações e não ser com relação a outro                
par de operações.   
De fato. Podemos considerar o conjunto            
R 2 ={(x,y); x,y ∊R}, agora munido das              
seguintesoperações:  
(x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 )=(x,1+x 2 ,y 1 +y 2 ) e  
α(x 1 ,y 1 )= (αx 1 ,y 1 ).  
    
 Observemos que a operação adição é a                
usual, portanto do e x emplo 1 as quatro              
primeiras propriedades da definição        
são satisfeitas. Entretanto, com relação          
multiplicação por um escalar temos:  
(α+β)u=(α+β)(x 1 ,y 1 )=((α+β)x 1 ,y 1 )=(αx 1 +βx 1 ,y 1 ), 
porém   
αu+βu = α(x 1 ,y 1 )+β(x 1 ,y 1 ) = (αx 1 ,y 1 )+(βx 1 ,y 1 )          
= (αx 1 +βx 1 ,2y 1 ), isto é , (α+β)u ≠ αu+βu.  
Ou seja, a propriedade 6, da definição de  
espaço vetorial não é satisfeita, portanto,  
ℝ 2 munido das operações definidas, não é  
um espaço vetorial.    
 Assim, para ser espaço vetorial as  
operações são fundamentais, pois as  
propriedades são das operações não do  
conjunto V.