Números Complexos e Equações Algébricas 3

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=1+iz1=2+3iz2=1+i
Com base nos dados fornecidos e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1z2z1z2.
Nota: 10.0
	
	A
	1+2i1+2i
	
	B
	55
	
	C
	5+i25+i2
Você acertou!
2+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i22+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i2
(livro-base, p. 103-104).
	
	D
	5i25i2
	
	E
	−1+i2−1+i2
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia a informação a seguir:
Mário gosta muito de matemática e lançou um desafio para seus colegas. Ele propôs que os colegas adivinhassem a palavra misteriosa e para isso indicou as seguintes etapas:
- Considere z=2+iz=2+i e w=3+2iw=3+2i;
- Descubra o conjugado de ww.
- Some zz com o conjugado de ww.
- Chame o número complexo encontrado com a adição acima de vv (v=a+bi)(v=a+bi). Identifique aa e bb de vv. 
- Descubra as sílabas da palavra misteriosa a partir de vv. 
Considerando as informações acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, resolva o desafio proposto por Mário e identifique a palavra misteriosa, unindo as sílabas correspondentes à aa e bb, nessa ordem:
Nota: 10.0
	
	A
	SOLA
	
	B
	SOMA
Você acertou!
Seguindo os passos do desafio teremos ~w=3−2iw~=3−2i e z+~w=2+i+3−2i=5−iz+w~=2+i+3−2i=5−i. Logo, v=5−iv=5−i.
Desse modo, a=5a=5 e b=−1b=−1.
Verificamos na tabela as sílabas SO e MA.
(livro-base, p. 96-97 e 101-103).
	
	C
	CAMA
	
	D
	CANAL
	
	E
	LEGAL
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi,  com z≠0,z≠0, tal que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária
(Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π.  
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo de número complexos, responda:
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√22 e √2222 e 22
	
	B
	3√2 e 3√232 e 32
	
	C
	−3√2 e −3√2−32 e −32
	
	D
	−3√22 e −3√22−322 e −322
Você acertou!
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√22+i.−√22)=z=−3√22−3√22iRe(z)=−3√22 e Im(z)=−3√22z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322
Livro-base pp. 85-89.
	
	E
	−3√22 e 3√22−322 e 322
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 10.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Você acertou!
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva a qual nos leva a uma simples equação.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que
z1=10(cos2π3+i sen2π3)z1=10(cos2π3+i sen2π3)
e
z2=4(cos5π3+i sen5π3)z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Calcule z1.z2z1.z2 e indique a resposta correta:
Nota: 10.0
	
	A
	z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Você acertou!
Para encontrar o valor de z1.z2z1.z2, após utilizarmos a propriedade distributiva, realizamos os cálculos abaixo:
z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Livro-base, p. 112.
	
	B
	z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)
	
	C
	z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)
	
	D
	z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)
	
	E
	z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Os números complexos podem ser representados de diversas formas. As mais usuais são as formas algébrica e polar.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, escreva na forma algébrica o número complexo abaixo:
z=6(cosπ6+i senπ6)z=6(cosπ6+i senπ6)
Nota: 10.0
	
	A
	z=6√6+6iz=66+6i
	
	B
	z=√3+3iz=3+3i
	
	C
	z=6√3+6iz=63+6i
	
	D
	z=3√32+32iz=332+32i
	
	E
	z=3√3+3iz=33+3i
Você acertou!
Temos que  cosπ6=√32cosπ6=32 e  senπ6=12senπ6=12 , logo,
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(√32+i12)z=6√32+i62z=3√3+3iz=6(cosπ6+isenπ6)z=6(32+i12)z=632+i62z=33+3i
Livro-base, p. 81-126.
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O teorema de DeMoivre afirma que zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e aplicando o teorema acima, calcule (1+i)6(1+i)6.
Nota: 10.0
	
	A
	z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ)
	
	B
	z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π)
	
	D
	z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira:
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos:
Cálculo do r:
r=√a2+b2r=√12+12r=√1+1r=√2r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2
Cálculo do θθ
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo
z=√2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
(livro-base, p.114)
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto abaixo:
"[...] a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COSTA, N. M.L. A História da Trigonometria. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri2014/modulo5/mod3_pdf/historia_triogono.pdf>. Acesso em 06 Fev 2018.
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre números complexos do Livro-base Números complexos e equações algébricas determine z1z2z1z2.
Considere
 z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)
z2=5.(cosπ3+i.senπ3)z2=5.(cosπ3+i.senπ3)
Nota: 10.0
	
	A
	z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)
	
	B
	z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)
Você acertou!
De acordo com o Livro-base, a divisão na forma trigonométrica é realizada através da fórmula:
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]
Substituindo os valores na formula, teremos:
z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)
Livro-base p.113
	
	C
	z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	D
	z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	E
	z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)z1z2=512.(cosπ+i.senπ)
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “A forma algébrica de um número complexo é z = a +bi, com a e b quaisquer números reais. Quando a parte imaginária de um complexo é nula, ele é considerado um número real. Um número complexo também pode ser denominado número imaginário puro, quando se apresenta no formato z=bi, com b diferente de zero”.
 Fonte: Texto elaborado pelo autor dessa questão.
Considerando o trecho anterior e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale aquela que apresenta, de forma correta, o(s) valor(es) que x deve assumir para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i seja um número imaginário puro:
 
Nota: 10.0
	
	A
	x=2x=2 ou x=−2x=−2
	
	B
	x=2x=2
	
	C
	x=−2x=−2
Você acertou!
Para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i possa ser um número imaginário puro a=0a=0 e b≠0b≠0. Assim:
x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2
 
Logo, x=−2x=−2 (livro-base, p. 86-89).
	
	D
	x=4x=4 ou x=−4x=−4
	
	E
	x=4x=4
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 10.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
Você acertou!
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i