Números Complexos e Equações Algébricas 5

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o seguinte número complexo:
z=2−2iz=2−2i
Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de zz.
Nota: 0.0
	
	A
	z=2.(cosπ6+i.senπ6)z=2.(cosπ6+i.senπ6)
	
	B
	z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4)
Calculamos o módulo de z e seu argumento:
ρ=√22+(−2)2=√8=2√2ρ=22+(−2)2=8=22
sen θ=bρ=−22√2=−√22cos θ=aρ=22√2=√22sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22
θ=7π4θ=7π4
Logo, z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111).
	
	C
	z=2√2.(cosπ4+i.senπ4)z=22.(cosπ4+i.senπ4)
	
	D
	z=√2.(cosπ3+i.senπ3)z=2.(cosπ3+i.senπ3)
	
	E
	z=√2.(cosπ4+i.senπ4)z=2.(cosπ4+i.senπ4)
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva a qual nos leva a uma simples equação.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que
z1=10(cos2π3+i sen2π3)z1=10(cos2π3+i sen2π3)
e
z2=4(cos5π3+i sen5π3)z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Calcule z1.z2z1.z2 e indique a resposta correta:
Nota: 0.0
	
	A
	z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Para encontrar o valor de z1.z2z1.z2, após utilizarmos a propriedade distributiva, realizamos os cálculos abaixo:
z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Livro-base, p. 112.
	
	B
	z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)
	
	C
	z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)
	
	D
	z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)
	
	E
	z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O teorema de DeMoivre afirma que zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e aplicando o teorema acima, calcule (1+i)6(1+i)6.
Nota: 0.0
	
	A
	z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ)
	
	B
	z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π)
	
	D
	z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira:
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos:
Cálculo do r:
r=√a2+b2r=√12+12r=√1+1r=√2r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2
Cálculo do θθ
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo
z=√2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
(livro-base, p.114)
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o trecho acima e os conteúdos abordados na videoaula 1 e no livro-base Números complexos e equações algébricas sobre as operações com números complexos, analise as seguintes asserções:
I. Considerando z1=2−3iz1=2−3i e z2=5+4iz2=5+4i, então z1+z2=7+i.z1+z2=7+i.
II. A subtração de 5+4i5+4i por −2−2i−2−2i resulta em 3+2i3+2i.
III. O produto de 2+i2+i por 2+i2+i resulta em 3+4i3+4i.
IV. Se z1=3+2iz1=3+2i e z2=1+iz2=1+i, a divisão de z1z1 por z2z2 é 5−i25−i2.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	III e IV.
	
	C
	I, II e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
I. 2−3i+5+4i=7+i2−3i+5+4i=7+i
II. 5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i
III. (2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i(2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i\
IV. 3+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i23+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i2
(videoaula 1 e livro-base, p. 96-104).
	
	E
	II e IV.
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
Um número complexo tem a forma algébrica z=a+biz=a+bi, sendo aa e bb números reais. Dependendo dos valores de aa e bb, o complexo pode ser um número imaginário puro. 
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a forma algébrica de um número complexo, escolha os valores apropriados para xx de modo que o número complexo z=x+(x−3)iz=x+(x−3)i seja um número imaginário puro.
Nota: 0.0
	
	A
	00
Para que o número complexo seja um imaginário puro, ele deve ter a=0a=0 e b≠0b≠0. 
Nesse caso, x=0x+3≠0→ x≠−3x=0x+3≠0→ x≠−3
Como 0≠−30≠−3, x=0x=0. 
(livro-base, p. 88-89).
	
	B
	−3−3
	
	C
	33
	
	D
	ii
	
	E
	−i−i
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 0.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi,  com z≠0,z≠0, tal que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária
(Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π.  
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo de número complexos, responda:
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, respectivamente:
Nota: 0.0
	
	A
	√22 e √2222 e 22
	
	B
	3√2 e 3√232 e 32
	
	C
	−3√2 e −3√2−32 e −32
	
	D
	−3√22 e −3√22−322 e −322
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√22+i.−√22)=z=−3√22−3√22iRe(z)=−3√22 e Im(z)=−3√22z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322
Livro-base pp. 85-89.
	
	E
	−3√22 e 3√22−322 e 322
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia a informação a seguir:
Mário gosta muito de matemática e lançou um desafio para seus colegas. Ele propôs que os colegas adivinhassem a palavra misteriosa e para isso indicou as seguintes etapas:
- Considere z=2+iz=2+i e w=3+2iw=3+2i;
- Descubra o conjugado de ww.
- Some zz com o conjugado de ww.
- Chame o número complexo encontrado com a adição acima de vv (v=a+bi)(v=a+bi). Identifique aa e bb de vv. 
- Descubra as sílabas da palavra misteriosa a partir de vv. 
Considerando as informações acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, resolva o desafio proposto por Mário e identifique a palavra misteriosa, unindo as sílabas correspondentes àaa e bb, nessa ordem:
Nota: 10.0
	
	A
	SOLA
	
	B
	SOMA
Você acertou!
Seguindo os passos do desafio teremos ~w=3−2iw~=3−2i e z+~w=2+i+3−2i=5−iz+w~=2+i+3−2i=5−i. Logo, v=5−iv=5−i.
Desse modo, a=5a=5 e b=−1b=−1.
Verificamos na tabela as sílabas SO e MA.
(livro-base, p. 96-97 e 101-103).
	
	C
	CAMA
	
	D
	CANAL
	
	E
	LEGAL
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as alternativas que seguem. Na sequência, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4:
Nota: 0.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “A forma algébrica de um número complexo é z = a +bi, com a e b quaisquer números reais. Quando a parte imaginária de um complexo é nula, ele é considerado um número real. Um número complexo também pode ser denominado número imaginário puro, quando se apresenta no formato z=bi, com b diferente de zero”.
 Fonte: Texto elaborado pelo autor dessa questão.
Considerando o trecho anterior e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale aquela que apresenta, de forma correta, o(s) valor(es) que x deve assumir para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i seja um número imaginário puro:
 
Nota: 0.0
	
	A
	x=2x=2 ou x=−2x=−2
	
	B
	x=2x=2
	
	C
	x=−2x=−2
Para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i possa ser um número imaginário puro a=0a=0 e b≠0b≠0. Assim:
x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2
 
Logo, x=−2x=−2 (livro-base, p. 86-89).
	
	D
	x=4x=4 ou x=−4x=−4
	
	E
	x=4