Números Complexos e Equações Algébricas 10

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para o fragmento de texto abaixo:
"As equações, do ponto de vista prático, constituem uma parte muito importante da Matemática. Qualquer problema que possa ser solucionado através de números certamente será tratado, direta ou indiretamente, por meio de equações".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: KOERICH, A. C. Um estudo sobre polinômios e sua abordagem no ensino. <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/94973/Aline_Casagrande_Koerch.PDF?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em 26 set. 2019.   
Com base no excerto de texto acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações de terceiro grau, determine o conjunto solução da equação x3+5x2−2x=0x3+5x2−2x=0.
Nota: 0.0
	
	A
	S={0}S={0}
	
	B
	S={0,1,2}S={0,1,2}
	
	C
	S={0,−5−√332,−5+√332}S={0,−5−332,−5+332}
Resolvemos a equação colocando o x em evidência:
x(x2+5x−2)=0x=0 ou x2+5x−2=0Δ=25+8=33S={0,−5−√332,−5+√332}x(x2+5x−2)=0x=0 ou x2+5x−2=0Δ=25+8=33S={0,−5−332,−5+332}
(livro-base, p. 148-156).
	
	D
	S={0,−2,−5}S={0,−2,−5}
	
	E
	S={0,√33}S={0,33}
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o excerto de texto dado:
As pesquisas feitas na Escola de Administração de Harvard defendem a tese da "cadeia serviço-lucro", que relaciona o serviço interno e a satisfação do funcionário ao valor para o cliente e, em última análise, ao lucro.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ZEITHAML, Valarie A.; BITNER, Mary Jo; GREMLER, Dwayne D. Marketing de Serviços-: A Empresa com Foco no Cliente. AMGH Editora, 2014.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema: Uma indústria de móveis fabrica estantes. A relação entre o preço de venda de cada estante e o lucro referente à venda desses produtos é dado pela função L(X)=−10x2+13000x−5000L(X)=−10x2+13000x−5000. Determine o preço de cada estante de modo que o lucro seja o maior possível.
Nota: 0.0
	
	A
	550550
	
	B
	600600
	
	C
	650650
Para calcular o preço de cada estante que transforma o lucro o maior possível, devemos calcular o xx vértice da equação dada L(x)=−10x2+13000x−5000L(x)=−10x2+13000x−5000.
Nesta equação a=−10a=−10
                      b=13000b=13000
                     c=−5000c=−5000
Tendo x vértice dado pela equação xv=−b2axv=−b2a:
Substituímos os valores de aa e bb e fazemos os cálculos:
xv=−b2axv=−130002(−10)xv=−13000−20xv=650xv=−b2axv=−130002(−10)xv=−13000−20xv=650
Livro-base p. 15-33, p. 160-161.
	
	D
	700700
	
	E
	750750
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A relação entre o preço de venda xx e o lucro mensal LL de um certo produto é dado pela função L(x)=−2x2+800xL(x)=−2x2+800x.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, determine o preço desse produto tal que o lucro seja máximo.
Nota: 0.0
	
	A
	100100
	
	B
	200200
xv=−b2axv=−8002(−2)xv=−800−4xv=200xv=−b2axv=−8002(−2)xv=−800−4xv=200
Livro-base, 146-168.
	
	C
	300300
	
	D
	400400
	
	E
	500500
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para a multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva.
Além disso, a multiplicação de polinômios respeita a regra de multiplicação de potências de mesma base. Obedecendo essa regra, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
A partir da leitura do trecho acima e os conteúdos do livro Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, considere os polinômios abaixo e em seguida julgue os itens I, II e III.
p(x)=3x2+2p(x)=3x2+2 e q(x)=7x+2q(x)=7x+2
I. p(x).q(x)=21x3+4p(x).q(x)=21x3+4
II. p(x).p(x)=9x4+4p(x).p(x)=9x4+4
III. q(x).q(x)=49x2+28x+4q(x).q(x)=49x2+28x+4
Pode-se afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	Todas as alternativas são verdadeiras.
	
	B
	Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.
	
	C
	Apenas a alternativa III é verdadeira.
I.p(x).q(x)=(3x2+2).(7x+2)=21x3+6x2+14x+4, item I, incorretoII.p(x).p(x)=(3x2+2)2=9x4+12x2+4, item II, incorretoIII.q(x).q(x)=(7x+2)2=49x2+28x+4, item III, correto.I.p(x).q(x)=(3x2+2).(7x+2)=21x3+6x2+14x+4, item I, incorretoII.p(x).p(x)=(3x2+2)2=9x4+12x2+4, item II, incorretoIII.q(x).q(x)=(7x+2)2=49x2+28x+4, item III, correto.
(Livro-base pp. 131-136)
	
	D
	Apenas as alternativas I e III são verdadeiras.
	
	E
	Todas as alternativas são falsas.
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que p(x)=q(x)p(x)=q(x) onde p(x)=22x3+7x2−6 e q(x)=(3m−15)x3+7x2−6p(x)=22x3+7x2−6 e q(x)=(3m−15)x3+7x2−6, calcule o valor de mm.
Nota: 0.0
	
	A
	m=73m=73
	
	B
	m=223m=223
	
	C
	m=373m=373
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá calcular da seguinte forma:
3m−15=223m=22+153m=37m=3733m−15=223m=22+153m=37m=373
(livro-base, p. 131)
	
	D
	m=133m=133
	
	E
	m=2215m=2215
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes polinômios:
p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12
Com base nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com polinômios e considerando os dados apresentados acima, analise as seguintes afirmativas:
I. p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7
II. p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7
III. p(x)+p(x)=6x4−6x2+10p(x)+p(x)=6x4−6x2+10
IV. p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I e III.
	
	D
	I, III e IV.
A afirmativa I é verdadeira, pois somando as partes semelhantes dos polinômios, obtemos 15x4+5x3−5x2−715x4+5x3−5x2−7.
A afirmativa II é falsa, porque efetuando a subtração temos:
3x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+173x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+17
A afirmativa III é verdadeira, pois: 3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.
A afirmativa IV é verdadeira, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação:
(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
(livro-base, p. 135-136).
	
	E
	II, III e IV.
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Normalmente no estudo de polinômios tem-se interesse por suas raízes. A raiz de um polinômio P(n) é um número complexo r tal que Pn(r) = 0. Quando uma raiz se repete por m vezes, diz-se que ela é raiz de multiplicidade m. Se m = 1, diz-se, simplesmente, que ela é raiz simples."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto completo, ele está disponível em: CAMARGO JÚNIOR, I.; BERGAMASCHI, P.R. Uma investigação sobre as raízes de polinômios e aplicação em robôs manipuladores ortogonais 3R. <https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Bergamaschi/publication/268290512_UMA_INVESTIGACAO_SOBRE_AS_RAIZES_DE_POLINOMIOS_E_APLICACAO_EM_ROBOS_MANIPULADORES_ORTOGONAIS_3R/links/560e90d108aec422d1117ec6.pdf>. Acesso em 01 fev 2018. 
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). Considere n (grau do polinômio) um número natural.
I. (  ) Dado um polinômio p(x)p(x), se aa é raiz de p(x)p(x), então p(a)=0.p(a)=0.
II. (   ) Se p(x)p(x) tem grau nn, o polinômio terá no máximo n−1n−1 raízes.
III. (   ) Se uma das raízes de um polinômio com coeficientes reais é um número complexo, o conjugado desse número complexo também será raiz do polinômio. 
IV. (   ) Raízes múltiplas são as raízes distintas de um determinado polinômio.A sequência de V ou F que preenche corretamente as lacunas acima é:
Nota: 0.0
	
	A
	V - F - V - F
As afirmativas I e III são verdadeiras, pois "se αα é uma raiz, ela satisfaz a equação, ou seja p(α)=0"p(α)=0" e "se um polinômio tiver como raiz um número imaginário, então ele também terá como raiz o conjugado desse número imaginário".
As afirmativas II e IV são falsas, pois "o número de raízes de uma equação polinomial é igual ao número de seu maior grau" e  "raízes que são iguais" são chamadas de raízes múltiplas (livro-base, p. 148-150). 
	
	B
	F - V - F - V
	
	C
	V - V - V - F
	
	D
	F - F - V - V
	
	E
	V - F - F - F
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
"Uma equação de terceiro grau do tipo ax3+bx2+cx=0ax3+bx2+cx=0 pode ser resolvida a partir da fatoração. Quando a equação possui um termo independente, sendo do tipo ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0, uma outra forma de resolução envolve a suposição de raízes a partir dos múltiplos desse termo independente dd. Quando uma raiz αα encontrada, pode-se determinar as demais dividindo-se ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d por x−αx−α".
Texto elaborado pelo autor desta questão.
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, sabendo que 2 é uma raiz do polinômio x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 determine o conjunto solução da equação x3+2x2−x−14=0x3+2x2−x−14=0.
Nota: 0.0
	
	A
	S={2}S={2}
	
	B
	S={−2−2√3i,−2+2√3i,2}S={−2−23i,−2+23i,2}
	
	C
	S={−4−√122,−4+√122,2}S={−4−122,−4+122,2}
	
	D
	S={−2,0,2}S={−2,0,2}
	
	E
	S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
Se 2 é raiz do polinômio, dividimos a expressão x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 por x−2x−2. O quociente será x2+4x+7x2+4x+7.
Resolvendo a equação x2+4x+7=0x2+4x+7=0, obtemos como raízes −2−√3i e −2+√3i−2−3i e −2+3i.
Logo S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
(
livro-base, p. 147-162).
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Uma Equação do 2º Grau incompleta, com c=0, pode ser resolvida através da fatoração. Desse modo, ax2+bxax2+bx pode ser escrita na forma x(ax+b)x(ax+b).
Com base na informação acima, e nos conteúdos sobre Equações de 2º Grau do Livro-base Números complexos e equações algébricas, analise a situação a seguir e em seguida responda o que se pede:
A equação p(x)=−0,02x2+0,6xp(x)=−0,02x2+0,6x  relaciona o número de assinantes de um jornal impresso com os meses xx contados a partir do seu lançamento. 
Depois de quantos meses, contados a partir do lançamento, o jornal zerou o número de assinantes?
Nota: 0.0
	
	A
	20 meses.
	
	B
	30 meses.
p(x)=−0,02x2+0,6x−0,02x2+0,6x=0x(−0,02x+0,6)=0x=0  ou  −0,02x+0,6=0p(x)=−0,02x2+0,6x−0,02x2+0,6x=0x(−0,02x+0,6)=0x=0  ou  −0,02x+0,6=0
Como deseja-se a quantidade de anos contados após o lançamento, descarta-se x=0. Então:
−0,02x+0,6=0−0,02x=−0,6x=0,60,02x=30.−0,02x+0,6=0−0,02x=−0,6x=0,60,02x=30.
Logo, o tempo será 30 meses.
(Livro-base p. 57)
	
	C
	40 meses.
	
	D
	50 meses.
	
	E
	60 meses.
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas responda a situação problema.
Se um comerciante cobra R$ 10,00 por um produto, o lucro associado a esse produto é de R$ 300,00. Se o preço desse produto é R$ 25,00, o respectivo lucro é de R$ 375,00. Se o preço é igual a zero, o lucro referente a esse produto também é zero. a função lucro é da forma L(x)=ax2+bx+cL(x)=ax2+bx+c, onde x é o preço e l é o lucro. Com base nessas informações, qual é o preço de venda desse produto que maximiza o lucro?
Nota: 0.0
	
	A
	R$ 10,00
	
	B
	R$ 12,00
	
	C
	R$ 15,00
	
	D
	R$ 17,00
	
	E
	R$ 20,00
O preço de venda que maximiza o lucro é dado pelo cálculo do xvxv da equação quadrática que representa o lucro com o preço de venda nesta situação, portanto, vamos verificar primeiramente qual é esta equação quadrática.
Denominando xx os preços e denominando yy os respectivos lucros, temos os seguintes pares ordenados:
P1(0,0)P1(0,0)
P2(10,300)P2(10,300)
P3(25,375)P3(25,375)
Sabemos que a função y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c representa a fórmula geral da equação quadrática, com isto podemos substituir os pares ordenados nesta equação para encontrar os valores dos coeficientes aa, bb e cc para cada par ordenado:
Para P1(0,0)P1(0,0) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
0=a(0)2+b(0)+c0=a(0)2+b(0)+c
0=0+0+c0=0+0+c
c=0c=0
Como já encontramos c=0c=0, para P2(10,300)P2(10,300) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
300=a(10)2+b(10)+0300=a(10)2+b(10)+0
300=100a+10b300=100a+10b
100a+10b=300100a+10b=300
Para P3(25,375)P3(25,375) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
375=a(25)2+b(25)+c375=a(25)2+b(25)+c
625a+25b=375625a+25b=375
Como não encontramos ainda os valores para aa e bb, montamos um sistema com as duas equações às quais chegamos:
{100a+10b=300625a+25b=375{100a+10b=300625a+25b=375
Para resolver este sistema podemos multiplicar a primeira equação por -2,5 e em seguida somarmos com a segunda:
{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.
Agora podemos calcular o xvxv para saber qual o valor que maximiza o lucro.
Tendo xv=−baxv=−ba e tendo b=40b=40 e a=−1a=−1,
xv=−402(−1)xv=−402(−1)
xv=−40−2xv=−40−2
xv=20xv=20
Livro-base, p.13-80.