APOSTILA_DE_CALCULO_III

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APOSTILA DE CÁLCULO III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Edgar Manuel Chipana Huamani 
 
Nilópolis – RJ – Brasil 
2010 
 
Sumário 
 
Capítulo I : Seqüências, Séries Infinitas e Séries de Potências 
1.1 Sequências.......................................................................................... 1 
1.2 Séries Infintas...................................................................................... 4 
1.3 Série de Potências............................................................................... 7 
 1.3.1 Série de Taylor 8 
1.4 Exercícios Propostos........................................................................... 10 
 
Capítulo II : Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
2.1 Modelos Matemáticos.......................................................................... 14 
2.2 Definições Importantes........................................................................ 16 
2.3 Equações Diferenciais de Primeira Ordem.......................................... 17 
 2.3.1 Equação Linear de Primeira Ordem Homogênea 17 
 2.3.2 Equação Linear de Primeira Ordem Não Homogênea 18 
2.4 Equação de Bernoulli........................................................................... 19 
2.5 Equação de Riccati.............................................................................. 20 
2.6 Equações Separáveis.......................................................................... 21 
2.7 Equações de Coeficientes Homegêneos............................................ 23 
2.8 Equações Exatas e Fatores de Integração......................................... 26 
2.9 Exercícios Propostos........................................................................... 30 
 
Capítulo III : Equações Diferenciais de Ordem Superior 
3.1 Introdução............................................................................................ 34 
3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas.................................... 35 
3.3 Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes......................... 37 
3.4 Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas........................... 41 
 3.4.1 Método dos Coeficientes a Determinar 41 
 3.4.2 Método da Variação dos Parâmetros 43 
3.5 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem................. 45 
3.6 Transformada de Laplace.................................................................... 47 
3.7 Método da Transformada de Laplace.................................................. 53 
3.8 Exercícios Propostos........................................................................... 54 
 
 
 
 
 
 
 
1
Sequências, Séries In�nitas
e Séries de Potências
1.1 Sequências
De�nição 1.1 Uma sequência de números reais é uma função f : N! R , que associa a cada
número natural n um número real f(n): Os números na imagem desta função são chamados de
elementos da sequência.
Observação 1.1 Consideraremos o conjunto dos números naturais N como sendo
N = f1; 2; 3; 4; :::g :
Observação 1.2 Denominaremos como n-ésimo termo a imagem f(n):
Notação:
Considerando f(i) = ai; podemos escrever os termos de uma sequência, como sendo
a1; a2; a3; a4; :::
Esta sequência poderá ser representada pela sua lei de formação, usando uma das seguinte
notações
(an)
1
n=1 ou (an)n2N ou simplimente (an) :
Exemplo 1.1 Escreva a lei de formação das seguintes sequências:
(1) 0; 2; 4; 6; 8; :::
(2) 1; 3; 5; 7; :::
(3)
1
2
;
2
3
;
3
4
;
4
5
; :::
(4)
1
2
; �1
2
;
3
8
; �1
4
;
5
32
; � 3
32
; :::
Exemplo 1.2 Diga, caso seja possível, o valor para o qual se aproxima o termo n-ésimo quando
n tende para o in�nito:
(1)
�
1
2n
�
n2N
(2)
�
5n� 1
n
�
n2N
(3) ((�1)n)n2N
(4)
�
(�1)n
n
�
n2N
Observação 1.3 Chamaremos de valor de convergência de uma sequência (an)n2N ao valor de
seu limite quando o termo n-ésimo tende para o in�nito.
1
De�nição 1.2 Diremos que L é o limite de uma sequência (an)n2N se para todo número real
� > 0; existe um n0 2 N tal que
n > n0 ) jan � Lj < �:
Neste caso diremos que a sequência (an)n2N é convergente e escrevemos
lim
n!1
(an) = L ou an ! L; quando n!1:
Uma sequência que não é convergente é chamada de divergente.
1.1.1 Propriedades dos Limites de Sequências
Teorema 1.1 (Convergência de Sequências e Funções) Seja a função f : [1;+1) ! R e
(an)n2N uma sequência de�nida por an = f(n): Então, se
lim
x!1
f(x) = L) lim
n!1
(an) = L:
Teorema 1.2 Se (an)n2N e (bn)n2N forem sequências convergentes e c for uma constante, então
(i) lim
n!1
(c) = c;
(ii) lim
n!1
(can) = c lim
n!1
(an) ;
(iii) lim
n!1
(an � bn) = lim
n!1
(an)� lim
n!1
(bn)
(iv) lim
n!1
(an:bn) =
�
lim
n!1
(an)
��
lim
n!1
(bn)
�
;
v) lim
n!1
�
an
bn
�
=
lim
n!1
(an)
lim
n!1
(bn)
se lim
n!1
(bn) 6= 0:
Exemplo 1.3 Determine o valor de convergência das seguintes sequências:
(1)
�
3n2 � 2n+ 5
2n2 + 1
�
n2N
(2)
�
3n
5n+1
�
n2N
(3)
�
ln(n)
n
�
n2N
(4)
�
n:Sen(
1
n
)
�
n2N
Teorema 1.3 (Teorema do Sanduíche) Sejam (an)n2N , (bn)n2N e (cn)n2N sequências tais que
lim
n!1
(an) = lim
n!1
(cn) = L e an � bn � cn para todo n � n0; então lim
n!1
(bn) = L:
Exemplo 1.4 Determine a convergência das sequências
(i)
�
Sen(n)
n
�
n2N
:
(ii)
�
2n
n!
�
n2N
(iii)
�
n!
nn
�
n2N
2
1.1.2 Sequências Monótonas e Limitadas
De�nição 1.3 Uma sequência (an)n2N é chamada de monôtona não-decrescente se an � an+1
para todo n 2 N e de monôtona não-crescente se an � an+1 para todo n 2 N:
De�nição 1.4 Uma sequência (an)n2N é chamada de monôtona crescente se an < an+1 para
todo n 2 N e de monôtona decrescente se an > an+1 para todo n 2 N:
De�nição 1.5 Uma sequência (an)n2N é dita limitada superiormente se, somente se, existe
M 2 R tal que
an �M 8n 2 N:
De�nição 1.6 Uma sequência (an)n2N é dita limitada inferiormente se, somente se, existe
m 2 R tal que
m � an 8n 2 N:
De�nição 1.7 Uma sequência (an)n2N é dita limitada se, somente se, ela for simultaneamente
limitada superiormente e inferiormente, isto é,
se existem M;m 2 R tal que m � an �M 8n 2 N:
Observação 1.4 Considerando K = max fjmj ; jM jg ; podemos rede�nir a sequência limitada,
como sendo
(an)n2N é limitada, 9K > 0; tal que janj � K; 8n 2 N:
Exemplo 1.5 Veri�que se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(1)
�
n+ 2
n
�
n2N
(ii)
�
3n� 2
2n� 1
�
n2N
(iii)
�
2n
n!
�
n2N
Teorema 1.4 Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Exemplo 1.6 Use o teorema (1.4) para provar se as sequências são convergentes:
(i)
�
2n
n!
�
n2N
(ii)
� n
en
�
n2N
3
1.2 Séries In�nitas
De�nição 1.8 Se (an)n2N for uma sequência e
Sn = a1 + a2 + a3 + :::+ an;
então a sequência (Sn)n2N será chamada de série in�nita, a qual será denotada por
1X
n=1
an = a1 + a2 + a3 + :::+ an + :::
Os termos a1; a2; a3; :::; an; :::são chamados de termos da série in�nita e os termos
S1; S2; S3; :::; Sn; :::
as somas parciais da série.
De�nição 1.9 Diremos que a série é convergente, se a sequência de�nida pelas somas parciais
é convergente. Diremos que a série é divergente, se a sequência de�nida pelas somas parciais é
divergente.
Exemplo 1.7 (Série telescópica) Determine o valor de convergência da série
1P
n=1
1
n(n+ 1)
:
Exemplo 1.8 (Série geométrica) Calcule o valor de convergência da série
1P
n=1
1
3n
:
Exemplo 1.9 (Série harmônica) Mostre que a série
1P
n=1
1
n
é divergente.
Teorema 1.5 (Condição Necessária) Se a série in�nita
1P
n=1
an for convergente, então lim
n!1
(an) =
0:
Exemplo 1.10 Veri�que a convergência ou divergênciadas séries:
(i)
1P
n=1
n2
n(n+ 1)
(ii)
1P
n=2
n
n(n� 1)
Teorema 1.6 A série geométrica
1P
n=0
arn converge para a soma
a
1� r se jrj < 1 e diverge se
jrj � 1:
Teorema 1.7 Se
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn são séries que convergem para S e R, respectivamente, então
1X
n=1
(an � bn) converge para S �R:
Teorema 1.8 Se a série
1P
n=1
an converge e a série
1P
n=1
bn diverge, então
1P
n=1
(�an � bn) é diver-
gente.
Exemplo 1.11 Veri�que a convergência ou divergência da série
1P
n=1(2n � n)
n:2n
:
4
1.2.1 Testes de Convergência
Teorema 1.9 (Teste da Integral) Seja f uma função contínua, decrescente e não-negativa em
[1; 1) :
(i) Se a integral imprópria
Z 1
1
f(x)dx converge, então a série in�nita
1P
n=1
f(n) converge.
(ii) Se a integral imprópria
Z 1
1
f(x)dx diverge, então a série in�nita
1P
n=1
f(n) diverge.
Exemplo 1.12 Use o teste da integral para veri�car a convergência ou divergência das séries
(1)
1P
n=1
1
n
(2)
1P
n=1
1
n2
(3)
1P
n=1
1p
n
Teorema 1.10 (Série p) A série
1P
n=1
1
np
é convergente se p > 1 e divergente se p � 1:
Teorema 1.11 (Teste de Comparação) Sejam
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn duas séries de termos não-negativos
e an � bn 8n 2 N.
(i) Se
1P
n=1
bn é convergente então
1P
n=1
an é convergente.
(ii) Se
1P
n=1
an é divergente então
1P
n=1
bn é divergente.
Exemplo 1.13 Veri�que a convergência ou divergência das séries.
(1)
1P
n=2
1
n� 1
(2)
1P
n=1
1
n(n+ 1)
(3)
1P
n=1
1
ln(n)
:
Teorema 1.12 (Teste de Comparação com Limite) Sejam
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn duas séries positivas.
(i) Se lim
n!1
�
an
bn
�
= c > 0; então ambas séries convergem ou ambas divergem.
(ii) Se lim
n!1
�
an
bn
�
= 0 e
1P
n=1
bn converge, então
1P
n=1
an converge.
(iii) Se lim
n!1
�
an
bn
�
=1 e
1P
n=1
bn diverge, então
1P
n=1
an diverge.
Exemplo 1.14 Veri�que a convergência ou divergência das séries.
(1)
1P
n=2
1
n+ 1
5
(2)
1P
n=1
1
n2(n� 1)
(3)
1P
n=1
ln(n)
n
:
1.2.2 Séries Alternadas.
De�nição 1.10 Se an > 0 8n 2 N; então as séries
1X
n=1
(�1)nan = �a1 + a2 � a3 + a4 � a5 + ::: e
1X
n=1
(�1)n+1an = a1 � a2 + a3 � a4 + a5 � :::;
são chamadas de séries alternadas.
Teorema 1.13 (Testes de Séries Alternadas) Dada uma série alternada
1P
n=1
(�1)n+1an ( ou
1P
n=1
(�1)nan ); onde an > 0 e an+1 < an 8n 2 N: Se lim
n!1
(an) = 0; então a série alternada é
convergente.
Exemplo 1.15 Prove que a série alternada
1P
n=1
(�1)n+1 1
n
é convergente.
De�nição 1.11 A série in�nita
1P
n=1
an será denominada absolutamente convergente se a série
1P
n=1
janj é convergente.
Teorema 1.14 Se uma série in�nita for absolutamente convergente, então ela será conver-
gente.
Exemplo 1.16 Veri�que a convergência ou divergência da série
1P
n=1
(�1)n 3
5n
.
Teorema 1.15 (Teste da Razão) Seja
1P
n=1
an uma série in�nita de termos não-nulos.
(i) Se lim
n!1
����an+1an
���� < 1; então a série é absolutamente convergente.
(ii) Se lim
n!1
����an+1an
���� > 1 ou limn!1
����an+1an
���� =1; então a série é divergente.
(iii) Se lim
n!1
����an+1an
���� = 1; então o teste nada conclui.
6
Exemplo 1.17 Use o teste da razão para determinar a convergência ou divergência da série
dada.
(1)
1P
n=2
2n
3n(n+ 1)
(2)
1P
n=1
(�1)n+13
n
n!
(3)
1P
n=1
1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1)
n!
:
Teorema 1.16 (Teste da Raiz) Seja
1P
n=1
an uma série dada in�nita de termos não-nulos.
(i) Se lim
n!1
n
p
janj < 1; então a série é absolutamente convergente.
(ii) Se lim
n!1
n
p
janj > 1 ou lim
n!1
n
p
janj =1; então a série é divergente.
(iii) Se lim
n!1
n
p
janj = 1; então o teste nada conclui.
Exemplo 1.18 Use o teste da raiz para indagar a convergência ou divergência da série
1X
n=1
(�1)n 1
[ln(n+ 1)]n
:
1.3 Séries de Potências
De�nição 1.12 Uma série de potências em (x� a) é uma série da forma
1X
n=0
cn(x� a)n = c0 + c1(x� a) + c2(x� a)2 + :::+ cn(x� a)n + :::
Exemplo 1.19 Ache os valores de x para os quais a série de potências é convergente.
(i)
1P
n=0
(�1)n+1nx
n
3n
(i)
1P
n=0
(�1)n+1x
n
n!
(iii)
1P
n=0
(n!)(x+ 2)n
Observação 1.5 O "intervalo I" de convergência de uma série de potências centrada em a� 1P
n=0
cn(x� a)n
�
, sempre terá uma das seguintes formas:
(i) Um intervalo limitado de centro em a e extremos a�R e a+R; onde R 2 R�+;
(ii) I = (�1;+1);
(iii) I = fag :
Teorema 1.17 (Raio de Convergência) Seja
1P
n=0
cn(x � a)n uma série de potência de raio R.
Se lim
n!1
����cn+1cn
���� = L � 0 ou L = +1; então
7
(i) Se L > 0; então R =
1
L
;
(ii) Se L = 0; então R = +1;
(iii) Se L = +1; então R = 0:
Exemplo 1.20 Determine o intervalo de convergência da série de potências
1X
n=0
(x+ 3)n
3n
:
Teorema 1.18 Se
1P
n=0
cn(x� a)n for uma série de potências com raio de convergência R > 0;
então a série
1P
n=0
n:cn(x� a)n�1 também terá R como raio de convergência.
1.3.1 Série de Taylor
Se f for uma função de�nida por
f(x) =
1X
n=0
cn(x� a)n = c0 + c1(x� a) + c2(x� a)2 + :::;
cujo raio de convergência e R > 0: Pelo Teorema (1.18), as derivadas sucesivas desta função
terá também o mesmo raio de convergência.
Sendo assim, derivemos sucessivamente a função f .
f(x) = c0+ c1(x� a)+ c2(x� a)2+ c3(x� a)3+ c4(x� a)4+ c5(x� a)5+ :::+ cn(x� a)n+ :::)
f 0(x) = c1 + 2c2(x� a) + 3c3(x� a)2 + 4c4(x� a)3 + 5c5(x� a)4 + :::+ ncn(x� a)n�1 + :::)
f�(x) = 2c2+3 �2 � c3(x�a)+4 �3 � c4(x�a)2+5 �4c5(x�a)3+ :::+n(n�1)cn(x�a)n�2+ :::)
f��(x) = 3 �2 �1 �c3+4 �3 �2 �c4(x�a)+5 �4 �3c5(x�a)2+ :::+n(n�1)(n�2)cn(x�a)n�3+ :::)
f (4)(x) = 4 � 3 � 2 � 1 � c4 + 5 � 4 � 3 � 2c5(x� a) + :::+ n(n� 1)(n� 2)(n� 3)cn(x� a)n�4 + :::
...
Substituindo x = a; segue
f(a) = c0 ) c0 =
f(a)
1
) c0 =
f(a)
0!
f 0(a) = 1 � c1 ) c1 =
f 0(a)
1
) c1 =
f 0(a)
1!
f�(a) = 2 � 1 � c2 ) c2 =
f�(a)
2!
f��(a) = 3 � 2 � 1 � c3:::) c3 =
f��(a)
3!
8
f (4)(x) = 4 � 3 � 2 � 1 � c4 ) c4 =
f (4)(a)
4!
...
f (n)(x) = n(n� 1)(n� 2) � ::: � 3 � 2 � 1 � cn ) cn =
f (n)(a)
n!
:
Assim
f(x) =
f(a)
0!
+
f 0(a)
1!
(x� a) + f�(a)
2!
(x� a)2 + :::+ f
(n)(a)
n!
(x� a)n + :::)
f(x) =
1X
n=0
f (n)(a)
n!
(x� a)n:
Esta série é chamada de Série de Taylor de f em a:
Observação 1.6 É importante destacar que, a construção de "forma direta" de uma série
de potências para uma função f na vizinhança de um ponto a; se tornará possível se ela é
in�nitamente derivável no ponto de x = a:
De�nição 1.13 (Série de Taylor) De�niremos como Série de Taylor de uma função f em a
(ou f centrada em a) a seguinte série de potências
f(x) =
f(a)
0!
+
f 0(a)
1!
(x� a) + f�(a)
2!
(x� a)2 + :::+ f
(n)(a)
n!
(x� a)n + ::: =
1X
n=0
f (n)(a)
n!
(x� a)n:
Observação 1.7 A Série de Taylor centrada em a = 0 pode também ser chamada de Série de
Maclaurin
f(x) =
f(0)
0!
+
f 0(0)
1!
(x) +
f�(0)
2!
(x)2 + :::+
f (n)(0)
n!
(x)n + ::: =
1X
n=0
f (n)(0)
n!
(x)n:
Exemplo 1.21 Determine a série de Taylor centrada em a = 0; das seguintes funções:
(i) f(x) = ex
(ii) f(x) = Sen(x)
(iii) f(x) = Cos(x)
(iv) f(x) = Sen(
p
x)
(v) f(x) = xCos(
x
2
):
De�nição 1.14 (Polinômio de Taylor) De�niremos como Polinômio de Taylor de grau n; de
uma função f no ponto a; ao seguinte polinômio
Pn(x) =
f(a)
0!
+
f 0(a)
1!
(x� a) + f�(a)
2!
(x� a)2 + :::+ f
(n)(a)
n!
(x� a)n =
nX
i=0
f (i)(a)
i!
(x� a)i:
9
Observação 1.8 Dada uma função f derivável pelo menos até a ordem (n + 1); podemos
tomar uma aproximação desta função através de um polinômio de Taylor de grau n:(Pn(x))
Esta aproximação acarretará obviamente em um erro de aproximação, que de�niremos de Resto
Rn(x): Sendo assim podemos escrever
f(x) = Pn(x) +Rn(x):
Usando o resto de�nido por Lagrange
Rn(x) =
f (n+1)(")
(n+ 1)!
(x� a)n+1 onde " se encontra entre x e a:
Teremos a função como sendo
f(x) = Pn(x) +Rn(x) =
nX
i=0
f (i)(a)
i!
(x� a)i + f
(n+1)(")
(n+ 1)!
(x� a)n+1:
O próximo Teorema nos garante quando uma função pode ser escrita como uma série de
potências.
Teorema 1.19 Seja f uma função tal que f e todas as suas derivadas existam em algum
intervalo (a�R; a+R): Então, a função é representada por sua série de Taylor
1X
n=0
f (n)(0)
n!
(x)n
para todo x; tal que jx� aj < R se, somente se
lim
n!1
Rn(x) = lim
n!1
f (n+1)(")
(n+ 1)!
(x� a)n+1 = 0
onde " se encontra entre x e a:
Exemplo 1.22 Use o Teorema (1.19) para mostrar que a série de Maclaurin para f(x) = ex;
do exemplo (1.21), representa a função para todos os valores de x:
Exemplo 1.23 Determine uma série de potências para a integral
Z
e�x
2
dx:
1.4 Exercícios Propostos:
1. Determine se cada sequência converge ou diverge, se a sequência convergir,encontre seu
limite.
a)
�
n(n+ 1)
3n2 + 7n
�
n2N
b)
� p
n+ 1p
3n+ 1
�
n2N
10
c)
0@Cos
�n�
2
�
p
n
1A
n2N
d)
�
n2
ln(n)
�
n2N
e)
0@n2Sen
��
n
�
2n+ 1
1A
n2N
2. Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monôtona.
a)
�
3n� 1)
4n+ 5
�
n2N
b)
�
1� 2n2)
n2
�
n2N
c)
�
1
n+ Sen(n2)
�
n2N
d)
�
5n
1 + 52n
�
n2N
e)
�
n!
3n
�
n2N
3. Use o teste da comparação direta ou com uma série-p ou com uma série geométrica para
determinar se cada série converge ou diverge.
a)
1P
n=1
n2
n4 + 2n+ 1
b)
1P
n=1
1
n5n
c)
1P
n=1
n+ 1
(n+ 2):7n
d)
1P
n=1
3n
3
p
2n� 1
e)
1P
n=1
1p
n+ 2
4. Use o teste de comparação no limite para determinar se a série converge ou diverge
a)
1P
n=1
4
3n + 1
b)
1P
n=1
1
4
p
n3 + 1
11
c)
1P
n=1
7n+ 3
(5n+ 1):3n
d)
1P
n=1
ln(n)
n4
e)
1P
n=1
1p
2n+ 1
5. Use o teste da integral para veri�car se aa série converge ou diverge.
a)
1P
n=1
n
en
b)
1P
n=1
1
n
p
ln(n)
6. Use o teste da razão ou o teste da raiz para veri�car se aa série converge ou diverge.
a)
1P
n=0
(�1)n (4n)!
(n!)2
b)
1P
n=1
(�1)n3
2n+1
nn
7. Encontre o intervalo de convergência da série de potências
a)
1P
n=1
xn
n
b)
1P
n=0
(�1)n (x� 17)
n
n!
8. Determine a série de Taylor centrada em a = 0 e o intervalo de convergência.
a) f(x) =
1
1 + x
b) f(x) =
1
1� x
c) f(x) = ln(1 + x)
d) f(x) = ln(1� x)
e) f(x) = arcTg(x)
9. Mostre usando série de potências, a relação de Euler
ei� = Cos(�) + Sen(�)i; onde i =
p
�1:
12
Respostas:
1)
a) Converge; limite
1
3
:
b) Converge; limite
p
3
3
:
c) Converge; limite 0:
d) Diverge:
e) Converge; limite
�
2
:
2)
a) Crescente
b) Decrescente
c) Não monôtona
d) Decrescente
e) Crescente depois dos dois primeiros termos.
3)
a), b) e c) Convergente
d) e e) Diverge
4)
a) Converge
b) Diverge
c) Converge
d) Converge
e) Diverge
5)
a) Converge
b) Diverge
6)
a) Diverge
b) Convergente
7)
a) I = [�1; 1)
b) I = (�1; +1)
8)
a)
1P
n=0
(�1)nxn para jxj < 1
b)
1P
n=0
xn para jxj < 1
c)
1P
n=0
(�1)n x
n+1
n+ 1
para x em (�1; 1]
d)
1P
n=0
� x
n+1
n+ 1
para x em [�1; 1)
e)
1P
n=0
(�1)n x
2n+1
2n+ 1
para jxj � 1:
13
2
Equações Diferenciais de 1ra Ordem
2.1 Modelos Matemáticos
O estudo das equações diferenciais constitui uma das partes mais importantes na Matemática
Aplicada. Diversos fenômenos da natureza, em diferentes áreas, como a física, a química,
a engenharia, a medicina, a demogra�a, a biologia,....; utilizam modelos matemáticos para
descrever tais fenômenos, obtendo da sua representação, propriedades importantes para o estudo
do seu comportamento no tempo. A seguir, vejamos alguns modelos clássicos.
2.1.1 Queda Livre de Corpos
Sabemos da Segunda Lei de Newton, que a soma total das forças atuantes sobre um corpo é
igual ao produto da massa do corpo, pela aceleração com ele se movimenta.
Em decorrencia disso, considerando que a unica força que atua sobre o corpo em queda livre
seja apenas o peso, teremos o seguinte modelo
m
d2y
dt2
= mg ) d
2y
dt2
= g (2.1)
Onde y = y(t) representa a posição do corpo em cada instante de tempo, no referencial de
"cima para baixo", m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.
Pelos conhecimentos básicos, de Cálculo, podemos resolver esta equação diferencial de se-
gunda ordem, integrando sucessivamente, até encontrar y: Vejamos
d2y
dt2
= g ) dy
dt
= gt+ c1 ) y =
gt2
2
+ c1t+ c2:
Considerando a seguinte condição inicial
y(0) = h e v(0) =
dy
dt
(0) = v0:
Teremos a seguinte equação do movimento
y(t) =
gt2
2
+ v0t+ h: (2.2)
2.1.2 Movimento Vertical com Resistência do Ar
Para este caso, tomemos o mesmo problema anterior, onde agora será levado em consideração
a resistência do ar. Inicialmente tomemos a força de resistência do ar como sendo proporcional
à velocidade do corpo. Então, o nosso modelo para o movimento desse objeto, �cará sendo
de�nido por
m
d2y
dt2
= mg � �v ) md
2y
dt2
� �dy
dt
�mg = 0)
14
d2y
dt2
� �dy
dt
� g = 0; onde � = �
m
ou (2.3)
dv
dt
� �v � g = 0 (2.4)
Agora, no caso de grandes superfícies em contato, como por exemplo, a de um paraquedas
no movimento vertical A resistência do ar, pode ser considerada proporcional ao quadrado da
velocidade. Sendo assim, teremos um novo modelo para esse movimento.
m
d2y
dt2
= mg � �v2 ) mdv
dt
� �v2 �mg = 0)
dv
dt
� �v2 � g = 0: (2.5)
As equações diferenciaisde primeira ordem em (2:4) e (2:5), com relação a velocidade, e a
de segunda ordem em (2; 3), com relação ao movimento, serão resolvidas futuramente.
2.1.3 Crescimento Populacional
O crescimento ou decrescimento populacional é um outro exemplo muito importante, no estudo
da demogra�a, na bactereologia e na medicina, como no estudo de epidemologias.
Consideremos inicialmente de forma intuitivamente que, a "taxa de nascimento" a "taxa
de mortalidade", sejam linearmente proporcionais a população existente p: Com esta suposição
podemos ter o seguinte modelo
dp
dt
= Taxa de Nascimento� Taxa de Mortalidade = N:p�M:p = (N �M)p)
dp
dt
= �p, onde � = N �M é o coe�ciente de crescimento. (2.6)
Se N > M , diremos que haverá um crescimento populacional, e um decrescimento no caso
de N < M .
Este modelo é bem aceito quando a população é pequena e em intervalos curtos de tempo.
Agora, para grandes populações deve ser considerado um otro fator, que é luta pela sobrevivên-
cia, com isto o coe�cente �; não é mais constantes, pois a taxa de mortalidade passará a ser
proporcional a população existente, isto é, teremos
� = N �Mp:
Que implica, no novo modelo
dp
dt
= (N �Mp) p)
dp
dt
= Np�Mp2 (2.7)
15
2.1.4 Problemas de Temperatura
Segundo a Lei de esfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de uma superfície
de um objeto é proporcional a diferença da temperatura do objeto com a temperatura do meio
ambiente. Sendo assim, considerando � = �(t) a temperatura do corpo e T a temperatura do
meio ambiente, então teremos o seguinte modelo
d�
dt
= �k (� � T ) : (2.8)
Onde k > 0 é a constante de proporcionalidade.
2.2 De�nições Importantes
De�nição 2.1 De�niremos como equações diferenciais ordinárias, as equações que envolvem
derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a apenas uma variável indepen-
dente.
Como por exemplo, as equações
d2y
dt2
� �dy
dt
� g = 0
dp
dt
= Np�Mp2
d3y
dx3
+ y
dy
dx
� xy2 = 0
De�nição 2.2 De�niremos como equações diferenciais parciais, as equações que envolvem
derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a mais de uma variável inde-
pendente.
Como por exemplo, as equações
@2u
@t2
� �@
2u
@x2
= 0
@u
@t
� �r2u = 0; onde r2 = @
2
@x2
+
@2
@y2
utt + �uxxxx = 0:
De�nição 2.3 Se a derivada de maior ordem, em uma equação diferencial for n; então de�nire-
mos essa equação diferencial como sendo de ordem n:
Exemplos:
d2y
dx2
� xdy
dx
� xy2 = 0 (Equação diferencial 2da ordem),�
dy
dx
�2
� y dy
dx
= 0 (Equação diferencial de 1ra ordem).
16
De�nição 2.4 Uma equação diferencial é dita linear se todas a operação envolvendo a variável
dependente "y", for de natureza linear.
Exemplos:
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (Equação linear de 1ra ordem)
dy
dx
+ p(x)y = q(x):y4 (Equação não linear de 1ra ordem)�
dy
dx
�2
� y dy
dx
= 0 (Equação diferencial não linear de 2da ordem).
De�nição 2.5 Diremos que uma equação F (X) é homogênea de ordem k; se somente se
F (tX) = tkF (X):
Exemplos:
F (x; y) = x2 � xy + y2 é homogênea de ordem 2,
F (x; y) = x+ y2 não é homogênea.
2.3 Equações Lineares de Primeira Ordem
2.3.1 Equação Linear de Primeira Ordem Homogênea
De�nição 2.6 Sejam I � R e p : I ! R; uma função contínua. Toda equação diferencial que
pode ser escrita da forma
dy
dx
+ p(x)y = 0; (2.9)
é chamada de equação linear homogênea de 1ra ordem.
Solução Geral da Equação Linear de 1ra Ordem Homogêneas Considerando y =
y(x) 6= 0; 8x 2 I, teremos
dy
dx
+ p(x)y = 0) dy
dx
= �p(x)y )
dy
dx
y
= �p(x)) d (ln y)
dx
= �p(x))
ln [y(x)] = �
Z
p(x)dx)
y(x) = e(�
R
p(x)dx): (2.10)
Esta equação é dita equação geral da equação (2:9):
17Solução Particular da Equação Linear Homogênea de 1ra Ordem Considerando a
equação (2:9); com a condição inicial y(x0) = y0; a solução particular será dada por
y(x) = y0:e
0@�
Z x
x0
p(t)dt
1A
: (2.11)
Exemplo 2.1 Encontre a solução geral de cada uma das equações
(i)
dy
dx
=
�y
x
�
; x > 0:
(ii)
dy
dt
+ yCos(t) = 0:
Exemplo 2.2 Encontre a solução geral da equação de crescimento populacional (2.6).
Exemplo 2.3 Resolva o problema de valor inicial(
dy
dx
+ 3xy = 0
y(0) = 5
:
2.3.2 Equação Linear de Primeira Ordem Não Homogênea
De�nição 2.7 Sejam I � R, p; q : I ! R; funções contínuas. Toda equação diferencial que
pode ser escrita da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x); (2.9)
é chamada de equação linear não homogênea de 1ra ordem.
Solução Geral da Equação Linear Não Homogênea de 1ra Ordem Utilizaremos o
Método do Fator Integrante.
Multipliquemos (2:9); pela função u(x); que denominaremos de fator integrante.
u(x)
dy
dx
+ u(x)p(x)y = u(x)q(x): (2.10)
Suponhamos que
du(x)
dx
= u(x)p(x) (2.11)
Então, substituindo (2:11) em (2:10); teremos
u(x)
dy
dx
+
du(x)
dx
y = u(x)q(x))
d
dx
[u(x)y] = u(x)q(x)) u(x)y =
Z
u(x)q(x)dx+ C )
y =
1
u(x)
�Z
u(x)q(x)dx+ C
�
(2.12)
18
Agora, de (2:11) segue
du(x)
dx
� p(x)u(x) = 0:
Que é uma equação diferencial linear de 1ra ordem, então
u(x) = e(
R
p(x)dx) (2.13)
Substituindo (2:13) em (2:12); teremos
y =
1
e(
R
p(x)dx)
�Z
e(
R
p(x)dx)q(x)dx+ C
�
)
y = e(�
R
p(x)dx):
�Z
e(
R
p(x)dx)q(x)dx+ C
�
(2.14)
Exemplo 2.4 Calcule a equação geral de cada uma das seguintes equações:
(i)
dy
dx
+ yx2 = x2;
(ii) (1 + t2)
dy
dt
+ 2ty = 1:
Exemplo 2.5 Encontre a solução para as equações (2:4) e (2:8):
Exemplo 2.6 Resolva o problema de valor inicial(
y0 +
1
x
y =
1
x2
y(1) = 1
:
2.4 Equação de Bernoulli
De�nição 2.8 Chama-se Equação de Bernoulli a toda equação diferencial de primeira ordem
que pode ser posta da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn; (2.15)
onde p(x) e q(x) são funções contínuas de�nidas num intervalo I � R e n um número real não
nulo, diferente de zero e de um.
2.4.1 Solução da Equação de Bernoulli
A solução consiste em transformar a equação de Bernoulli a uma equação linear de primeira
ordem não homegênea, através de uma mudança de variáveis. Vejamos:
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn ) 1
yn
dy
dx
+ p(x)y1�n = q(x): (2.16)
Considerando
dz
dx
=
1
yn
dy
dx
= y�n
dy
dx
:
19
Temos
z =
y�n+1
�n+1 ) y
1�n = (1� n) z: (2.17)
Substituindo (2:17) em (2:18); teremos
dz
dx
+ (1� n)p(x):z = q(x):
Que é uma equação linear não homogênea de primeira ordem.
Exemplo 2.7 Determine a solução da equação
dy
dx
� 2y
x
= 3xy2; x > 0:
Exemplo 2.8 Resolva a equação do crescimento populacional (2:7):
2.5 Equação de Riccati
De�nição 2.9 Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
dy
dx
= a2(x)y
2 + a1(x)y + a0(x); (2.18)
em que a2(x); a1(x) e a0(x) são funções contínuas de�nidas num intervalo I � R e a2(x) 6= 0
em I; é chamada de equação de Ricaccti.
Teorema 2.1 Se duas funções y1 = y1(x) e y2 = y2(x); são soluções da equação (2:18); então
z = y1 � y2 é solução da equação de Bernoulli
dz
dx
� [a1(x) + 2y1:a2(x)] z = a2(x)z2: (2.19)
Prova: De fato, sendo y1 = y1(x) e y2 = y2(x); soluções da equação (2:18); teremos
dy2
dx
= a2(x)y
2
2 + a1(x)y2 + a0(x)
dy1
dx
= a2(x)y
2
1 + a1(x)y1 + a0(x)
Subtraindo ambas equações, teremos
d [y2 � y1]
dx
= a2(x)
�
y22 � y21
�
+ a1(x) [y2 � y1]
Tomando y2 � y1 = z e y22 � y21 = (y2 � y1)(y2 + y1) = z:(z + 2y1) = z2 + 2y1z; segue
dz
dx
= a2(x)
�
z2 + 2y1z
�
+ a1(x)z )
dz
dx
� [a1(x) + 2y1:a2(x)] z = a2(x)z2:
20
Observação 2.1 Para resolver a equação de Riccati é necessário conhecer uma solução partic-
ular. Se não conhecermos pelo menos uma solução, não teremos nenhuma chance de resolver
a equação.
Observação 2.2 Se yp é uma solução particular, pelo Teorema acima, para qualquer solução
y da equação
dy
dx
= a2(x)y
2 + a1(x)y + a0(x);
tem-se que z = y � yp é solução da equação de Bernoulli
dz
dx
� [a1(x) + 2yp:a2(x)] z = a2(x)z2:
Exemplo 2.9 Encontre a solução geral para a equação
y0 � xy2 + (2x� 1)y = x� 1:
Sabendo-se que y(x) = 1 é uma solução particular.
2.6 Equações Separáveis
De�nição 2.10 Sejam I e J intervalos abertos, F : I ! R e G : J ! R, funções contínuas,
onde G(y) 6= 0; para todo y 2 J: Uma equação diferencial que pode ser escrito da forma
dy
dx
=
F (x)
G(y)
(2.20)
é chamada de equaão de variáveis separáveis.
Observação 2.3 Toda equação linear homogênea de primeira ordem
dy
dx
+ p(x)y = 0;
pode ser escrita como uma equação separável
dy
dx
= �p(x)
1
y
; onde y 6= 0:
2.6.1 Solução da Equação
Para resolver a equação
dy
dx
=
F (x)
G(y)
onde G(y) 6= 0:
Basta multiplicar ambos os membros por G(y) e integrar ambos os membros em x: Vejamos
G(y)
dy
dx
= F (x)) d
dx
[G(y)] = F (x)
21
Z
G(y)
dy
dx
dx =
Z
F (x)dx:
Considerando, pelo Teorema Fundamental, que
G(y)
dy
dx
=
d
dx
Z
G(y)dy:
Que implica em Z
G(y)
dy
dx
dx =
Z �
d
dx
Z
G(y)dy
�
dx =
Z
G(y)dy:
Substituindo, �nalmente teremosZ
G(y)dy =
Z
F (x)dx:
Observação 2.4 (Método Simpli�cado) Do método acima, podemos usar a sua forma
mais simpli�cada, sem uso do rigor matemático, que consiste em
dy
dx
=
F (x)
G(y)
) "G(y)dy = F (x)dx")
Z
G(y)dy =
Z
F (x)dx: (2.21)
Neste caso, basta resolver as duas integrais e colocar apenas uma constante, normalmente do
lado direito.
Exemplo 2.10 Calcule soluções da equação
y0 = �x
y
; x 2 R e y > 0:
Exemplo 2.11 Resolva a equação
y0 � (1 + x)y = 1 + x; com x 2 R e
y0 =
1 + x
1
(1 + y)
; onde y > �1:
Compare as soluções.
Exemplo 2.12 Resolva a equação do crescimento populacional (também chamada de equação
logística)
dp
dt
= Np�Mp2:
22
2.7 Equações de Coe�cientes Homegêneos
De�nição 2.11 (Funções Homogêneas)
F : U � R2 ! R
é homogênea de grau k; se 8(x; y) 2 U; 8t 2 R; tal que (tx; ty) 2 U , temos
F (tx; ty) = tkF (x; y):
De�nição 2.12 Uma equação diferencial
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0; com M;N � R2 ! R; (2.22)
é de coe�cientes homogêneos quando M(x; y) e N(x; y); são equações homogêneas de mesmo
grau.
2.7.1 Solução da Equação
Considerando que N(x; y) 6= 0 e que M e N; sejam homogêneas de grau k: Teremos
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0) N(x; y)dy
dx
= �M(x; y))
dy
dx
= �M(x; y)
N(x; y)
:
Logo, dividindo por xk; chegaremos em uma equação do tipo
dy
dx
= F
�y
x
�
:
Substituindo
y
x
= v ) y = xv ) y0 = v + xv0: (2.23)
A equação se transforma em
v + x
dv
dx
= F (v):
Que é uma equação de variáveis separáveis
dv
F (v)� v =
dx
x
: (2.24)
Exemplo 2.13 Determine as soluções de
(x2 + y2) + (2x+ y)y
dy
dx
= 0:
23
Observação 2.5 Para resolver uma equação do tipo
dy
dx
= F
�
a1x+ b1y
a2x+ b2y
�
: (2.25)
Devemos recorrer a mudança de variáveis
y
x
= v onde
dy
dx
= v + x
dv
dx
: (2.26)
Assim, teremos
dy
dx
= F
�
a1x+ b1y
a2x+ b2y
�
= F
0@a1 + b1
�y
x
�
a2 + b2
�y
x
�
1A para x 6= 0:
De onde segue
v + x
dv
dx
= F
�
a1 + b1v
a2 + b2v
�
;
que é pode ser transformada em uma equação de separável
dv
F
�
a1 + b1v
a2 + b2v
�
� v
=
dx
x
: (2.27)
Exemplo 2.14 Resolver a equação
(x� y)� (x+ y)dy
dx
= 0:
2.7.2 As Equações do tipo
dy
dx
= F
�
a1x+ b1y + c1
a2x+ b2y + c2
�
Para resolver este tipo de equações devemos de fazer uma mudança de variáveis, de tal forma
a para transformar a equação
dy
dx
= F
�
a1x+ b1y + c1
a2x+ b2y + c2
�
; (2.28)
em uma equação do tipo
dY
dX
= F
�
a1X + b1Y
a2X + b2Y
�
: (2.29)
Isto, pode ser feito trabalhando com uma translação de coordenadas, para um ponto (x0; y0);
de tal forma a termos �
x = X + x0
y = Y + y0
: (2.30)
Onde, pela regra da cadeia, temos
dY
dX
=
dY
dy
:
dy
dx
:
dx
dX
=
dy
dx
:
24
Sendo assim, teremos
a1x+ b1y + c1 = a1(X + x0) + b1(Y + y0) + c1 = a1X + b1Y + (a1x0 + b1y0 + c1) e
a2x+ b2y + c2 = a2(X + x0) + b2(Y + y0) + c2 = a2X + b2Y + (a2x0 + b2y0 + c2).
Logo, devemos então analisar e encontrar os valores de x0 e y0; que satisfazem o seguinte
sistema �
a1x0 + b1y0 + c1 = 0
a2x0 + b2y0 + c2 = 0
)�
a1x0 + b1y0 = �c1
a2x0 + b2y0 = �c2
: (2.31)
Duas possibilidades decorrem dessa análise do sistema (2:31):
i) Se
det
�
a1 b1
a2 b2
�
6= 0:
Então existe uma úica solução, assim a equação (2:28) se transforma na equação (2:29);
com amudança proposta em (2:30) e a sua solução segue como na comentado naObservaç~ao
(2:5):
ii) Se
det
�
a1 b1
a2 b2
�
= 0; onde
a1
a2
=
b1
b2
= m 6= c1
c2
:
Podemos concluir que
a1 = ma2 e b1 = mb2:
Assim, teremos
dy
dx
= F
�
a1x+ b1y + c1
a2x+ b2y + c2
�
= F
�
ma2x+mb2y + c1
a2x+ b2y + c2
�
= F
�
m(a2x+ b2y) + c1
a2x+ b2y + c2
�
: (2.32)
Neste caso, tomaremos
w = a2x+ b2y )
dw
dx
= a2 + b2
dy
dx
) dy
dx
=
1
b2
dw
dx
� a2
b2
=
1
b2
dw
dx
�m:
Logo, substituindo em (2:32); segue
dy
dx
= F
�
m(a2x+ b2y) + c1
a2x+ b2y + c2
�
)
1
b2
dw
dx
�m = F
�
mw + c1
w + c2
�
:
Que é uma equação separável.
Exemplo 2.15 Resolva
dy
dx
=
2x+ 3y � 1
4x+ 6y + 4
:
Exemplo 2.16 Resolva
dy
dx
=
2x� 3y � 1
3x+ y � 2 :
25
2.8 Equações Exatas e Fatores de Integração
2.8.1 Introdução
Consideremos uma equação
'(x; y) = c; onde c é uma constante qualquer.
Derivando a expressão em x, considerando que y = y(x) e usando a regra da cadeia , teremos
@'
@x
@x
@x
+
@'
@y
@y
@x
= 0) @'
@x
+
@'
@y
@y
@x
= 0) 'x + 'y
dy
dx
= 0:
Podemos então observar, que uma equação diferencial do tipo
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0: (2.33)
Terá como solução geral, a equação
'(x; y) = c
se
'x =M(x; y) e 'y = N(x; y):
Agora, podemos citar uma condição importante para que isso aconteça, fazendo uso de
nossos conhecimentos de cálculo diferencial a duas variáveis.
Lembremos que
'xy = 'yx, se ' 2 C2:
Sendo assim teremos como condição
@M
@y
=
@N
@x
;
para obter uma função ' de classe C2; que satisfaz a equação (2:33):
Agora, passaremos a formalizar os conceitos, para aplicar este método em equações do tipo
(2:33):
De�nição 2.13 A equação
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0; onde M;N : U � R2 ! R;
é denominada exata em U; se existe uma função '(x; y) em U; tal que
'x(x; y) =M(x; y) e 'y(x; y) = N(x; y); 8(x; y) 2 U:
Esta função é denominada de funç~ao potencial da equação.
26
De�nição 2.14 A equação
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0; onde M;N : U � R2 ! R;
é denominada fechada em U; se
My(x; y) = Nx(x; y); 8(x; y) 2 U:
Teorema 2.2 Dada a equação
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0; onde M;N : U � R2 ! R
são continuamente deriváveis e a equação é exata em U; então ela será fechada em U:
Teorema 2.3 Dada a equação
M(x; y) +N(x; y)
dy
dx
= 0; onde M;N : U � R2 ! R:
Se esta equação é fechada em U; então ela será localemente exata em U:
Observação 2.6 A recíproca é válida apenas para regiões contidas em U; caso ela não for
convexa. Agora se U = R2; podemos garantir a recíproca em todo U:
Exemplo 2.17 Resolva
dy
dx
=
x� y
x� y2 :
Exemplo 2.18 Resolva
[2xSen(y) + exCos(y)] +
�
x2Cos(y)� exSen(y)
� dy
dx
= 0:
2.8.2 Fatores de Integraçao
Dada uma equação não exata
P (x; y) +Q(x; y)
dy
dx
= 0; onde Py(x; y) 6= Qx(x; y):
Queremos encontrar uma função u = u(x; y); que denominaremos de fator de integração, de
tal forma a obter
u(x; y)P (x; y)| {z }
M(x;y)
+ u(x; y)P (x; y)| {z }
N(x;y)
dy
dx
= 0; onde My(x; y) = Nx(x; y):
Sendo assim, teremos
M(x; y) = u(x; y)P (x; y)) @M
@y
=
@
@y
[u(x; y)P (x; y)])
27
@M
@y
=
@u
@y
P + u
@P
@y
(2.34)
Assim, como
N(x; y) = u(x; y)Q(x; y)) @N
@x
=
@
@x
[u(x; y)Q(x; y)])
@N
@x
=
@u
@x
Q+ u
@Q
@x
(2.35)
Comparando (2:34) e (2:35); segue
My = Nx )
@u
@y
P + u
@P
@y
=
@u
@x
Q+ u
@Q
@x
)
u
@P
@y
� u@Q
@x
=
@u
@x
Q� @u
@y
P )
u
�
@P
@y
� @Q
@x
�
=
@u
@x
Q� @u
@y
P: (2.36)
O problema então, consistirá em encontrar uma função u = u(x; y); que satisfaz (2:36); isto
pode talvez não ser muito fácil, pois se trata de uma EDP que não é foco da nossa disciplina.
Nos limitaremos então, a estudar os casos mais simples, onde u = u(x) e u = u(y); ou quando
u = u(x; y) for dado.
Observação 2.7 Se u = u(x); então a equação (2:36) �cará
u
�
@P
@y
� @Q
@x
�
=
du
dx
Q)
h
@P
@y
� @Q
@x
i
Q
=
1
u
du
dx
: (2.37)
Caso
[ @P@y �
@Q
@x ]
Q
�que em função de x; a solução de (2:37); �cará
Z h@P
@y
� @Q
@x
i
Q
dx =
Z �
1
u
du
dx
�
dx = lnu)
u(x) = e
R [ @P@y � @Q@x ]
Q
dx (2.38)
Observação 2.8 Se u = u(y); a equação (2:36) �cará
u
�
@P
@y
� @Q
@x
�
= �@u
@y
P: (2.39)
Caso
[ @P@y �
@Q
@x ]
P
�que em função de y; a solução de (2:39); �cará
�
Z h@P
@y
� @Q
@x
i
P
dy =
Z �
1
u
du
dy
�
dy = lnu)
u(y) = e�
R [ @P@y � @Q@x ]
P
dy (2.40)
28
Observação 2.9 Se usarmos o mesmo argumento, para resolver a equação diferencial de 1ra
ordem não homegênea, teriamos
dy
dx
+ p(x)y = q(x)) p(x)y � q(x)| {z }
P
+ 1|{z}
Q
dy
dx
= 0:
De onde, segue
@P
@y
� @Q
@x
=
@ [p(x)y � q(x)]
@y
� @ [1]
@x
= p(x):
Considernado o pelo fator integrante u = u(x); pela equação (2:38); segue
u(x) = e
R [ @P@y � @Q@x ]
Q
dx = e
R
p(x)dx:
Que é o fator de integração que já conhecemos. Agora, resolvendo a equação exata
e
R
p(x)dx [p(x)y � q(x)]| {z }
M
+ e
R
p(x)dx| {z }
N
dy
dx
= 0:
Teremos
'x = e
R
p(x)dx [p(x)y � q(x)] = e
R
p(x)dxp(x)y � e
R
p(x)dxq(x))
' =
Z h
e
R
p(x)dxp(x)y � e
R
p(x)dxq(x)
i
dx+ g(y))
' = y
Z h
e
R
p(x)dxp(x)
i
dx�
Z h
e
R
p(x)dxq(x)
i
dx+ g(y))
' = y
h
e
R
p(x)dx
i
�
Z h
e
R
p(x)dxq(x)
i
dx+ g(y) (2.41)
Além disso
'y = e
R
p(x)dx ) ' =
Z h
e
R
p(x)dx
i
dy + f(x))
' = y
h
e
R
p(x)dx
i
+ f(x) (2.42)
Comparando (2:41) e (2:42); teremos
' = y
h
e
R
p(x)dx
i
�
Z h
e
R
p(x)dxq(x)
i
dx = c)
y
h
e
R
p(x)dx
i
=
Z
e
R
p(x)dxq(x)dx+ c)
y(x) = e�
R
p(x)dx
�Z
e
R
p(x)dxq(x)dx+ c
�
Que é o resultado esperado.
29
Exemplo 2.19 Dada a equação
y + (x2y � x)dy
dx
= 0:
(i) Veri�que se a equação é exata.
(ii) Determine o fator integrante u = u(x):
(iii) Determine a solução da equação.
Exemplo 2.20 Resolva a equação
y2 + (xy + 1)
dy
dx
= 0:
2.9 Exercícios Propostos:
1. Determine as soluções gerais de:
a)
dy
dx
= Sen(x):Cos(x)
b)
dy
dx
=
1
x2(1 + x)
c)
dy
dx
=
lnx
x
d)
dy
dt
= tet
2. Calcule a solução geral de cada uma das seguintes equações:
a) (1 + x2)
dy
dx
+ y = arcTg(x)
b)
dy
dx
� y:tg(x) = Sen(x)
c)
dz
dt
+ zt2 � t2 = 0
d)
dy
dt
+ y = tet
3. Resolva os problemas de valor inicial:
a)
8><>:
dy
dt
+ (Sent)y = 0
y(0) =
3
2
b)
(
x
dy
dt
� y = x2
y(2) = 6
30
4. Resolva:
a) x
dy
dx
� y = x3y3
b)
(
dy
dt
=
4
t
y + t
p
y
y(1) = 1
5. Mostre que a equação de Riccati com coe�cientes constantes
dy
dx
+ ay2 + by + c = 0;
tem uma solução da forma y = m; onde m é uma constante e
am2 + bm+ c = 0:
6. Resolva as seguintes equações::
a) 2
dy
dx
�
�y
x
�2
� 1 = 0; onde yp = x:
b) y0 + y2 � (1 + 2ex) y + e2x = 0; onde yp = ex:
c)
dy
dt
+ y2 + 3y + 2 = 0:
7. Resolva as seguintes equações separáves::
a) (x� 1)dy
dx
� y = 0
b) y0 + yCos(x) = 0
c) (1 + x2)y3 � x3y2 dy
dx
= 0
d)
1
x
� tg(y):y0 = 0
e) (x2 + 4)
dy
dx
� e�2y = 0:
8. Determine as soluções gerais de:
a) (x2 � y2)� 2xy dy
dx
= 0
b)
dy
dx
=
x� y
x+ y
c)
dy
dx
= e
 y
x
!
+
y
x
9. Resolva:
31
a)
dy
dx
=
2x� 3y � 1
3x+ y � 2
b)
dy
dx
=
2x� y + 1
6x� 3y � 1
10. Determine a solução geral de:
a) (3x2 + 6xy2) + (6x2y + 4y3)
dy
dx
= 0
b)
dy
dx
=
1 + ySen(x)
Cos(x)� 1
11. Determine os fatores integrantes das seguintes equações:
a) (x3y � x2) + xy0 = 0
b) [yCos(x)� Tg(x)]� Sen(x)dy
dx
= 0
12. Veri�que se u(x; y) =
1
xy3
é um fator de integração da equação
xy3 + x(1 + y2)
dy
dx
= 0
e determine a sua solução, sabendo-se que y(1) = 1.
Respostas:
1)
a) y(x) =
Sen2x
2
+ c
b) y(x) = ln
�
1 + x
x
�
� 1
x
+ c
c) y(x) =
ln2 x
2
+ c
d) y(t) = tet � et + c:
2)
a) y(x) = arcTg(x) + ce�arcTg(x)
b) y(x) = Secx:
�
Sen2x
2
+ c
�
c) z(t) = ce
�
� t
3
3
�
+ 1
d) y(t) = ce�t + e2t
�
t
2
� 1
4
�
:
3)
a) y(t) =
3
2
e(Cost�1)
b) y(x) = x+ x2
32
4)
a) 5x2 + 2x5y2 + 10cy2 = 0
b) y(t) = t4
�
1
2
ln(t) + 1
�
5) Basta substituir y = m na equação e veri�car que ela será solução, se am2+ bm+ c = 0:
6)
a) y(x) =x+
2x
c� ln jxj
b) y(x) =
(1 + c)ex + e2x
ex + c
c) y(x) =
c
et � c
7)
a) y(x) = c(x� 1)
b) y(x) =
c
eSen(x)
c) ln
�y
x
�
� 1
2
�
1
x2
+
1
y2
�
= c
d) xCos(y) = c
e) e2y = arcTg
�x
2
�
+ c:
8)
a) cy3 � 3xy2 = c
b) x3 + 3xy2 + y3 = c
c) y = �x ln
h
ln
� c
x
�i
9)
a) 2y2 � 6xy � y2 � 2x+ 4y = c
b) 5x� 15y + 4 ln(10x� 5y � 3) = c
10)
a) x3 + 3x2y2 + y4 = c
b) x� yCos(x) + y = c
11)
a) u(x) =
e
0@x3
3
1A
x
b) u(x) = Cosc2x
12) x2 � 1
y2
+ ln(y2) = 0:
33
3
Equações Diferenciais de Ordem Superior
3.1 Introdução
Neste último capítulo estudaremos algumas técnicas para resolver equações diferenciais or-
dinárias de ordem superior, dando maior enfâse nas equações de segunda ordem, dada a sua
considerável importância, nas aplicações em modelos físicos. Neste primeiro momento citare-
mos algumas de�nições importantes e enunciaremos o Teorema da Existência e Unicidade, para
equações diferenciais com condições iniciais.
De�nição 3.1 Uma equação diferencial linear ordinária de ordem n é uma equação do tipo
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x); (3.1)
onde an(x) não é identicamente nulo. Se h(x) � 0; a equação é chamada de homogênea.
De�nição 3.2 De�niremos a equação (3.1) como normal no intervalo I, se 8x 2 I temos
a(x) 6= 0:
De�nição 3.3 O problema de�nido pela equação diferencial (3.1) é denominado de problema
de valor inicial, se existem constantes arbitrárias
y0; y
0
0; y
00
0 ; :::; y
(n�1)
0 ;
tais que
y(x0) = y0; y
0(x0); y
00(x0) = y
00
0 ; :::; y
(n�1)(x0) = y
(n�1)
0 :
Estes valores são denominados de condicões iniciais da equação.
Teorema 3.1 (Existência e Unicidade de Soluções de Equações Lineares)
Seja a equação diferencial linear normal
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x);
onde an(x); an�1(x); ::; a1(x); :::; a0 e h(x); são contínuas no intervalo I: Se x0 2 I e
y(x0) = y0; y
0(x0); y
00(x0) = y
00
0 ; :::; y
(n�1)(x0) = y
(n�1)
0 ;
então existe uma única solução para este problema de valor inicial.
Observação 3.1 Em intervalo I podemos encontrar in�nitas soluções que satisfazem uma
mesma equação diferencial, mas apenas uma, que passa por (x0; y0); satisfaz uma as condições
inicias impostas. Veja a interpretação geométrica deste resultado
34
Exemplo 3.1 Veri�que se as funções y1(x) = �2 e y2(x) = x � 2 são soluções da equação
diferencial linear
x
dy
dx
� y = 2;
que é normal no intervalo I = (0;+1): Comente o resultado.
3.2 Equações Diferenciais Lineares Homogêneas
De�nição 3.4 (Combinação Linear)
Dadas as funções f1; f2; f3; :::; fn; a expressão f , tal que
f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + c3 f3(x) + :::cnfn(x)
onde c1; c2; c3; :::; cn são constantes, é denominada de combinação linear de f1; f2; f3; :::; fn:
De�nição 3.5 (Dependência Linear)
Dizemos que um conjunto de funções f1; f2; f3; :::; fn é linearmente dependente em um
intervalo I; se existem constantes c1; c2; c3; :::; cn não todas nulas, tais que
c1f1(x) + c2f2(x) + c3 f3(x) + :::cnfn(x) = 0;
para todo x 2 I:
De�nição 3.6 (Independência Linear)
Dizemos que um conjunto de funções f1; f2; f3; :::; fn é linearmente independente em
um intervalo I; se
c1f1(x) + c2f2(x) + c3 f3(x) + :::cnfn(x) = 0) c1 = c2 = c3 = ::: = cn = 0; 8x 2 I:
Exemplo 3.2 Veri�que a dependência ou independência linear das funções
(a) f1(x) = Sen(x) e f2(x) = Cos(x) em R
(b) f1(x) = Sen(x) e f2(x) = Sen(x)Cos(x) em R
(c) f1(x) = x e f2(x) = j2xj em (0;+1).
35
De�nição 3.7 Dadas as funções f1; f2; f3; :::; fn; onde cada uma possui derivadas pelo menos
até a ordem (n� 1); o determinante
W (f1; f2; f3; :::; fn) =
���������
f1 f2 � � � fn
f 01 f
0
2 � � � f 0n
...
...
. . .
...
f
(n�1)
1 f
(n�1)
2 � � � f
(n�1)
n
���������
é denominado Wronskiano dessas funções.
Teorema 3.2 (Critério da Independência Linear de Funções)
Dadas as funções f1; f2; f3; :::; fn; onde cada uma possui derivadas pelo menos até a ordem
(n� 1): Se
W (f1; f2; f3; :::; fn) 6= 0;
em pelo menos um ponto no intervalo I; então f1; f2; f3; :::; fn; são linearmente independentes
no intervalo.
Corolário 3.1 Se f1; f2; f3; :::; fn; possuem pelo menos (n � 1) derivadas e são linearmente
dependentes em I, então
W (f1; f2; f3; :::; fn) = 0; 8x 2 I:
Exemplo 3.3 Veri�que se as funções são linearmente independentes
(a) f1(x) = Sen(x) e f2(x) = Cos(x)
(b) f1(x) = ex e f2(x) = xex
(c) f1(x) = emx e f2(x) = enx
(d) y1(x) = e3xCos(4x) e y2(x) = e3xSen(4x):
Exemplo 3.4 Veri�que que W (ex; xex; x2ex) = 2e3x:
Exemplo 3.5 Seja f uma função de classe C1 [a; b] : Se f não é uma função identicamente
nula, mostre que f e xf são linearmente independentes.
Exemplo 3.6 Veri�que se as funções
y1(x) = e
axCos(bx) e y2(x) = eaxSen(bx);
são linearmente independentes, para todo a 2 R e b 2 R�:
Teorema 3.3 (Principio da Superposição de Soluções)
Sejam f1; f2; f3; :::; fm soluções da equação diferencial linear homogênea ordinaria de ordem
n
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = 0; (3.2)
em um intervalo I: Então, a combinação linear
f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + c3 f3(x) + :::cmfm(x);
em que os coe�cientes ci; com i = 1; 2; ::;m; são constantes arbitrárias, é também uma solução
da equação (3.2) em I:
36
Teorema 3.4 A equação diferencial linear homogênea ordinaria de ordem n (3.2), sempre
possui n soluções linearmente independentes e sua solução linear é uma combinação linear
dessas n soluções na forma
f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + c3 f3(x) + :::cnfn(x):
Teorema 3.5 (Critério para Independência Linear de Soluções)
Sejam f1; f2; f3; :::; fn soluções da equação diferencial linear homogênea ordinaria de ordem
n (3.2), em um intervalo I: Então o conjunto de soluções é linearmente independente em I se,
somente se,
W (f1; f2; f3; :::; fn) 6= 0; 8x 2 I:
Observação 3.2 Podemos ter f1; f2; f3; :::; fn linearmente independentes eW (f1; f2; f3; :::; fn) =
0; 8x 2 I: Neste caso f1; f2; f3; ::: e fn não são soluções da mesma equação diferencial linear
de ordem n:
3.3 Equações Diferenciais com Coe�cientes Constantes
As equações diferenciais lineares de ordem n, com coe�cientes constantes, são equações da
forma
an
dny
dxn
+ an�1
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a1
dy
dx
+ a0y = h(x);
onde os coe�cientes ai; com i = 0; 1; 2; ::; n; são todos constantes. Se h(x) = 0 a equação é
denominada de homogênea.
3.3.1 Equações Diferenciais Homogêneas com Coe�cientes Constantes
Dada a equação
an
dny
dxn
+ an�1
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = 0: (3.3)
Considerando y(x) = erx uma solução desta equação, temos
an
dn(erx)
dxn
+ an�1
dn�1(erx)
dxn�1
+ :::+ a2
d2(erx)
dx2
+ a1
d(erx)
dx
+ a0(e
rx) = 0)
anr
nerx + an�1r
n�1erx + :::+ a2r
2erx + a1re
rx + a0(e
rx) = 0)
erx
�
anr
n + an�1r
n�1 + :::+ a2r
2 + a1r + a0
�
= 0)
anr
n + an�1r
n�1 + :::+ a2r
2 + a1r + a0 = 0: (3.4)
Esta equação é denominada de equação característica da equação diferencial. O
método que usaremos para resolver este tipo de equações diferenciais segue o mesmo principio,
onde devemos encontrar as raízes da sua equação característica correspondente.
37
Raízes Reais e Distintas Se a equação (3.4) possui n raízes reais e distintas, então um
conjunto de soluções linearmente independentes (L.I.) para a equação (3.3), será dado por
fer1x; er2x; er3x; :::; ernxg :
Com isto, a solução geral desta equação será dada por
y(x) = c1e
r1x + c2 e
r2x + c3e
r3x + :::cne
r3x:
Exemplo 3.7 Resolva a equação diferencial
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 0:
Raízes Reais e Repetidas Se alguma das raízes da equação característica apresenta
multiplicidade maior do que um, como por exemplo m1 para a raiz r1, então o conjunto de
soluções L.I., relacionado a esta raiz deverá ser dado por�
er1x; xer1x; x2er1x; :::; xm1�1er1x
	
:
Estes conjunto se juntará as outras soluções de multiplicidade um, totalizando no máximo o
número de n soluções L.I.
Observação 3.3 Como já foi comentado er1x; xer1x; x2er1x; :::; xm1�2er1x e xm1�1er1x são lin-
earmente independentes e são soluções daequação diferencial, caso a raiz r1 tenha multiplici-
dade m1: Vejamos isto num exemplo mais simples, que é a de uma equação de ordem dois:
Consideremos que a equação
a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = 0;
de equação característica
a2r
2 + a1r + a0 = 0:
Se as duas raízes são reais diferentes (r1 6= r2); tomando uma das raízes, como por exemplo r1;
teremos as funções
y1 = e
r1x e y2 = xer1x;
que sabemos, são linearmente independentes.
Agora, supondo que y2 seja também uma solução, temos
a2
d2y2
dx2
+ a1
dy2
dx
+ a0y2 = 0) a2
d2 (xer1x)
dx2
+ a1
d (xer1x)
dx
+ a0 (xe
r1x) = 0)
a2
d [er1x + xr1e
r1x]
dx
+ a1 [e
r1x + xr1e
r1x] + a0 (xe
r1x) = 0)
a2
�
r1e
r1x + r1e
r1x + xr21e
r1x
�
+ a1 [e
r1x + xr1e
r1x] + a0 (xe
r1x) = 0:
Colocando er1x em evidência e agrupando adequadamente, segue
2a2r1 + a1 + a2xr
2
1 + a1xr1 + a0x = 0) 2a2r1 + a1 + x
�
a2r
2
1 + a1r1 + a0
�| {z }
= 0
= 0)
38
2a2r1 + a1 ) r1 =
�a1
2a2
:
Como as raízes da equação característica é dada pela expressão
r =
�a1 �
p
�
2a2
:
Concluímos que � = 0; o que contraria a suposição inicial de r1 6= r2: Sendo assim, não
podemos considerar xer1x como sendo outra solução, se r1 tiver apenas multiplicidade um.
Este resultado é análogo para qualquer equação diferencial linear homegênea de ordem n;
onde existem raízes repetidas. Devemos sempre lembrar que só podemos ter n soluções linear-
mente independentes.
Exemplo 3.8 Resolva a equação diferencial
d2x
dt2
� 4dx
dt
+ 4x = 0:
Exemplo 3.9 Resolva
d3y
dt3
+ 3
d2y
dt2
� 4y = 0:
Raízes Complexas Embora a equação característica apresente raízes complexas, o pro-
cedimento para encontrar soluções linearmente independentes, continuará sendo o mesmo.
Neste caso encontraremos primeiro a soluçao geral complexa e depois de usar a relação de
Euler
ei� = Cos� + iSen�;
devemos chegar na solução geral real.
É importante lembrar que, se um polinômio possui uma raiz complexa do tipo r1 = a+ ib;
uma outra raiz, deverá ser necessariamente o seu conjugado, isto é, r2 = r1 = a� ib:
Exemplo 3.10 Determine a solução geral complexa da equação
d2y
dx2
� 6dy
dx
+ 25y = 0:
Exemplo 3.11 Veri�que, usando a relação de Euler, que a solução geral complexa do exemplo
anterior, pode ser dada por
y(x) = e3x [k1Cos(4x) + k2Sen(4x)i] = k1e
3xCos(4x) + k2e
3xSen(4x)i:
Exemplo 3.12 Veri�que, usando a relação de Euler, que a solução geral real do exemplo
(3.10), é dada por
y(x) = e3x [c1Cos(4x) + c2Sen(4x)] = c1e
3xCos(4x) + c2e
3xSen(4x):
39
Observação 3.4 Se a equação diferencial linear
a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = 0;
tiver solução complexa dada por y(x) = k1y1(x) + k2y2(x)i; então teremos
a2
d2 [k1y1 + k2y2i]
dx2
+ a1
d [k1y1 + k2y2i]
dx
+ a0 [k1y1 + k2y2i] = 0)
k1a2
d2y1
dx2
+ k2a2
d2y2
dx2
i+ k1a1
dy1
dx
+ k2a1
dy2
dx
i+ k1a0y1 + k2a0y2i = 0 + 0i:
De onde, agrupando e comparando
k1
�
a2
d2y1
dx2
+ a2
dy1
dx
+ a0y1
�
| {z }
= 0
+ k2
�
a2
dy2
dx2
+ a1
dy2
dx
+ a0y2
�
| {z }
= 0
i = 0 + 0i:
Concluímos que y1(x) e y2(x) são soluções reais da equação.
Observação 3.5 Se a equação característica da equação diferencial linear homogênea de se-
gunda ordem, tiver raízes complexas
r1 = a+ bi e r2 = a� bi,
a solução geral complexa e real, serão respectivamente
yc(x) = c1e
axCos(bx) + c2e
axSen(bx)i
e
y(x) = c1e
axCos(bx) + c2e
axSen(bx):
Exemplo 3.13 Determine a solução da equação8<:
y"� 2y0 + 2y = 0
y(0) = �2
y0(0) = 3
:
Exemplo 3.14 Determine a solução geral da equação
d4y
dx4
� 4d
3y
dx3
+ 14
d2y
dx2
� 20dy
dx
+ 25y = 0:
Sugestão: Lembre que r4 � 4r3 + 14r2 � 20r + 25 = [r2 � 2r + 5]2 :
40
3.4 Equações Diferenciais Lineares Não-Homogêneas.
Inicialmente citaremos um importante Teorema, sobre a solução de equações lineares não-
homogêneas de forma geral.
Teorema 3.6 A solução geral da equação diferencial diferencial não-homogênea
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x) (3.5)
é dada por
y = yh + yp;
onde yh é a solução da equação diferencial homogênea correspondente
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = 0
e yp é uma solução particular, sem constantes arbitrárias, da equação diferencial linear não-
homogênea (3.5).
Prova: Consideremos y e yp soluções da equação (3.5), então
an(x)
dny
dxn
+ an�1(x)
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x) (3.6)
an(x)
dnyp
dxn
+ an�1(x)
dn�1yp
dxn�1
+ :::+ a2(x)
d2yp
dx2
+ a1(x)
dyp
dx
+ a0(x)yp = h(x): (3.7)
Tomando (3.6) menos (3.7) e aproveitando a linearidade, temos
an(x)
dn [y � yp]
dxn
+an�1(x)
dn�1 [y � yp]
dxn�1
+:::+a2(x)
d2 [y � yp]
dx2
+a1(x)
d [y � yp]
dx
+a0(x) [y � yp] = 0:
Logo, considerando yh = y � yp o resultado segue.
3.4.1 Método dos Coe�cientes a Determinar
Este método é usado para encontrar soluções particulares de uma equação diferencial linear
homogênea de coe�cientes constantes
an
dny
dxn
+ an�1
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = h(x);
onde h(x) apresenta sempre uma determinada forma especí�ca. Embora este método seja usado
apenas para casos especí�cos de h(x); ele resolve uma grande variedade de equações lineares
não-homogêneas que derivam de modelos físicos, como por exemplo os relacionados a vibrações
amortecidas.
41
A seguir citaremos uma tabela com sugestões para a solução particular, segundo o formato
da equação h(x):
Formato de h(x) Sugestão para yp
anx
n + an�1x
n�1 + :::+ a1x+ a0 cnx
n + cn�1x
n�1 + :::+ c1x+ c0
aebx cebx
Sen(ax+ b) ou Cos(ax+ b) c1Sen(ax+ b) + c2Cos(ax+ b)
(anx
n + :::+ a1x+ a0) ae
bx (cnx
n + :::+ c1x+ c0) e
bx
(anx
n + :::+ a1x+ a0)Sen(ax)
(bnx
n + ::::+ b1x+ b0)Sen(ax)
+ (cnx
n + ::::+ c1x+ c0)Cos(ax)
(anx
n + :::+ a1x+ a0)Cos(ax)
(bnx
n + ::::+ b1x+ b0)Sen(ax)
+ (cnx
n + ::::+ c1x+ c0)Cos(ax)
(anx
n + :::+ a1x+ a0) e
bxSen(ax)
(bnx
n + ::::+ b1x+ b0) e
bxSen(ax)
+ (cnx
n + ::::+ c1x+ c0) e
bxCos(ax)
...
...
Exemplo 3.15 Determine uma solução geral da equação diferencial
d2y
dx2
� 3dy
dx
+ 2y = 2x+ 1:
Exemplo 3.16 Encontre a solução geral de
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = e�2x:
Exemplo 3.17 Calcule a solução geral da equação
d2y
dx2
� dy
dx
+ y = 2Sen(3x):
Observação 3.6 Caso algum termo na expressão de yp for uma solução homogênea associada,
tomaremos xyp como suposta solução particular. Caso algum termo de xyp; também seja também
uma solução da equação homogênea, tomaremos x2yp e assim sucessivamente.
Exemplo 3.18 Encontre a solução geral de
d2y
dx2
� 2dy
dx
� 3y = 2e3x:
Observação 3.7 Caso o termo h(x) = h1(x)+h2(x); pela superposição de soluções na equação
linear, podemos tomar yp = yp1 + yp2 ; onde yp1 e yp2 são as soluções particulares propostas para
h1(x) e h2(x); respectivamente.
42
Exemplo 3.19 Determine a solução geral
d2y
dx2
� 2dy
dx
� 3y = 4x� 5 + 6xe2x:
3.4.2 Método da Variação dos Parâmetros
Embora este método seja aplicável para qualquer equação diferencial linear, por questões
de ilustração, tomaremos como modelo a equação diferencial linear de segunda ordem, de onde
os resultados para ordens maiores, seguem de forma análoga.
Sendo assim, consideremos a equação diferencial
a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = h(x);
onde, a2 = a2(x); a1 = a1(x) e a0 = a0(x):
Supondo que y = y1(x) e y = y2(x) sejam soluções linearmente independentes da equação
homogênea associada, tentaremos encontrar soluções particulares do tipo
yp = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x); (3.8)
onde os coe�cientes são variáveis.
Assumindo que isto seja possível, teremos
a2
d2 [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)]
dx2
+a1
d [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)]
dx
+a0 [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)] = h(x):
(3.10)
De onde, calculando separadamente
d [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)]
dx
= C 01(x)y1(x) + C1(x)y
0
1(x) + C
0
2(x)y2(x) + C2(x)y
0
2(x);
e impondo a condição
C 01(x)y1(x) + C
0
2(x)y2(x) = 0; (3.11)
temos
d [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)]
dx
= C1(x)y
0
1(x) + C2(x)y
0
2(x): (3.12)
Assim, como
d2 [C1(x)y1(x) + C2y2(x)]
dx2
=
d
dx
[C1(x)y
0
1(x) + C2(x)y
0
2(x)])
d2 [C1(x)y1(x)+ C2y2(x)]
dx2
= C 01(x)y
0
1(x) + C1(x)y
"
1(x) + C
0
2y
0
2(x) + C2y
"
2(x): (3.13)
Logo, substituindo (3.13), (3,12) em (3.10), segue
a2
�
C 01(x)y
0
1(x) + C1(x)y
"
1(x) + C
0
2y
0
2(x) + C2y
"
2(x)
�
+a1 [C1(x)y
0
1(x) + C2(x)y
0
2(x)] + a0 [C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)] = h(x):
43
De onde, agrupando, temos
a2C
0
1(x)y
0
1(x) + a2C
0
2y
0
2(x) + a2C1(x)y
"
1 + a1C1(x)y
0
1(x) + a0C1(x)y1(x)| {z }
+ a2C2(x)y
"
2(x) + a1C2(x)y
0
2(x) + a0C2(x)y2(x)| {z } = h(x))
a2C
0
1(x)y
0
1(x) + a2C
0
2y
0
2(x) + C1(x)
�
a2y
"
1(x) + a1y
0
1(x) + a0y1(x)
�| {z }
= 0
+C2(x)
�
a2y
"
2(x) + a1y
0
2(x) + a0y2(x)
�| {z }
= 0
= h(x))
a2C
0
1(x)y
0
1(x) + a2C
0
2y
0
2(x) = h(x))
C 01(x)y
0
1(x) + C
0
2y
0
2(x) =
h(x)
a2
: (3.14)
Sendo assim, tomando (3.14) e (3.11), obtemos o sistema8<: C
0
1(x)y1(x) + C
0
2(x)y2(x) = 0
C 01(x)y
0
1(x) + C
0
2y
0
2(x) =
h(x)
a2
)
�
y1(x) y2(x)
y01(x) y
0
2(x)
� �
C 01(x)
C 02(x)
�
=
24 0h(x)
a2
35 :
Cuja solução, pela regra de Cramer, será
C 01(x) =
������
0 y2(x)
h(x)
a2
y02(x)
���������� y1(x) y2(x)y01(x) y02(x)
���� =
�h(x)
a2
y2(x)
W (y1(x); y2(x))
= � h(x)y2(x)
a2W (y1(x); y2(x))
)
C1(x) = �
Z
h(x)y2(x)
a2W (y1(x); y2(x))
dx (3.15)
C 02(x) =
������
y1(x) 0
y01(x)
h(x)
a2
���������� y1(x) y2(x)y01(x) y02(x)
���� =
h(x)
a2
y1(x)
W (y1(x); y2(x))
=
h(x)y1(x)
a2W (y1(x); y2(x))
)
C1(x) =
Z
h(x)y1(x)
a2W (y1(x); y2(x))
dx (3.16)
Exemplo 3.20 Encontre a solução geral de
d2y
dx2
� 5dy
dx
+ 6y = ex:
Exemplo 3.21 Utilize este método para resolver os exemplos anteriores.
44
3.5 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem
3.5.1 Movimento Harmônico
Consideremos uma mola �exível suspensa por um suporte rígido, em três instantes difer-
entes, como mostra a �gura abaixo.
No primeiro, a mola se encontra no estado de relaxamento total sem agentes externos,
no segundo instante, a mola se encontra em estado de equilíbrio após ter sido colocado um
corpo de massa m; �nalmente um terceiro instante, onde foi aplicado uma força externa
�!
Fe
e é considerada a existência de uma força de resistência do meio, denominada de força de
amorteciemento
�!
Fa; proporcional a velocidade
�!v do corpo.
Sendo assim, pela Segunda Lei de Newton e considerando que a mola tenha apenas movi-
mento unidimensional, modelando este problema escalarmente, segue
FR = ma = mg + Fe � Fr � Fa )
m
d2x
dt2
= mg + Fe � Fr � 
v )
m
d2x
dt2
= mg + Fe � Fr � 
dx
dt
:
Agora, usando a Lei de Hooke, sabemos que a mola exerce uma força restauradora oposta
à direção do alongamento e proporcional à distensão, logo
Fr = �k(x+ s);
onde k é a constante de elasticidade da mola. De onde substituindo, segue
m
d2x
dt2
= mg + Fe � [�k(x+ s)]� 
dx
dt
)
m
d2x
dt2
= mg + Fe + kx+ ks� 
dx
dt
:
45
Considerando o equilíbrio do problema visto no segundo instante, isto é, sabendo-se que a
força restauradora seja igual a força peso do corpo, então
mg = �ks) mg + ks = 0:
Logo, substituindo novamente, segue
m
d2x
dt2
= Fe + kx� 
dx
dt
)
m
d2x
dt2
� 
 dx
dt
+ kx = Fe:
Esta equação é denominada de equação fundamental do movimento harmônico unidimen-
sional.
Quando o coe�ciente de amortecimento do meio 
 = 0 e Fe = 0;, isto é, quando o sistema
é considerado no vácuo e não existe força externa, diremos que o sistema é do tipo harmônico
simples, onde o corpo e a mola oscilam inde�nidamente. Agora, quando 
 6= 0 e Fe = 0; diremos
que o sistema é do tipo harmônico amortecido, neste caso o corpo deve atingir o seu estado de
equibrio em algum instante próximo. Finalmente se 
 6= 0 e a força externa não for nula, como
do tipo Fe = Fe(t), diremos que o sistema é harmônico forçado.
3.5.2 Circuitos Elétricos
Consideremos um circuito do tipo RLC, como mostra a �gura abaixo
Agora, das relações existentes entre o �uxo de corrente elétrica e variação de tensão, dos
componentes do circuito, dadas por:
VR = iR para a resistência,
VL = L
di
dt
na indutância,
i = C
dVC
dt
) VC =
1
C
Z
idt para a capacitância,
e usando Lei de Kirchho¤, temos
VR + VL + VC = V (t))
46
iR + L
di
dt
+
1
C
Z
idt = V (t):
Logo, derivando e ordenando, segue
L
d2i
dt2
+R
di
dt
+
1
C
i =
dV (t)
dt
:
Esta equação diferencial linear determinará a corrente i = i(t) deste circuito.
3.6 Transformada de Laplace
De�nição 3.8 A transformada de Laplace de uma função f(t), com t � 0; é uma função F (s)
de�nida por
F (s) = $ ff(t)g =
Z +1
0
e�stf(t)dt (3.17)
se essa integral existir e for �nita.
De�nição 3.9 (Ordem Exponencial)
A função f(t) é dita de ordem exponencial se existem constantes c; M > 0 e T > 0 tais que
jf(t)j �Mect para todo t > T:
Teorema 3.7 (Condição Su�ciente de Existência)
Se f(t) uma função contínua por partes no intervalo [0;+1) e de ordem exponencial para
t > T; então a sua transformada existe para todo s > c:
Exemplo 3.22 Determine as seguintes transformadas
(a) $ f1g
(b) $ ftg
(c) $ fetg
(d) $ ft+ etg
(e) $ fCos(t)g :
Teorema 3.8 (Transformada de Algumas Funções Elementares)
(a) $ fcg = c
s
; onde c é uma constante qualquer
(b) $ ftng = n!
sn+1
; onde n 2 N
(c) $ featg = 1
s� a
(d) $ fSen(at)g = a
s2 + a2
(e) $ fCos(at)g = s
s2 + a2
(f) $ fSenh(at)g = a
s2 � a2
(g) $ fCosh(at)g = s
s2 � a2 :
47
Observação 3.8 O Seno-hiperbólico e o Cosseno-hiperbólico são de�nidos como sendo
Senh(x) =
ex � e�x
2
e Cosh(x) =
ex + e�x
2
.
De onde segue
Senh0(x) = Cosh(x) e Cosh0(x) = Senh(x).
3.6.1 Propriedades Linear
Se as funções f1 e f2 possuem transformada de Laplace e c1 e c2 são constantes, então
$ fc1f1 + c2f2g = c1$ ff1g+ c2$ ff2g : (3.18)
Prova:
Este resultado segue direto da de�nição. Vejamos
$ fc1f1 + c2f2g =
Z +1
0
e�st fc1f1(t) + c2f2(t)g dt)
$ fc1f1 + c2f2g = c1
Z +1
0
e�stf1(t)dt+ c2
Z +1
0
e�stf2(t)dt)
$ fc1f1 + c2f2g = c1$ ff1g+ c2$ ff2g :
3.6.2 1ra Propriedade da Derivada
Se f possui uma transformada de Laplace e f 0 é contínua (pelo menos por partes), então
$ ff 0(t)g = s$ ff(t)g � f(0): (3.19)
Prova:
Aplicando a de�nição para a transformada de f 0, temos
$ ff 0(t)g =
Z +1
0
e�stf 0(t)dt:
Usando integração por partes, segue
$ ff 0(t)g = e�stf(t)
��+1
0
�
Z +1
0
(�s)e�stf 0(t)dt)
$ ff 0(t)g = �f(0) + s
Z +1
0
e�stf 0(t)dt)
$ ff 0(t)g = s$ ff(t)g � f(0):
$ ff 0(t)g = s$ ff(t)g � f(0):
48
3.6.3 2da Propriedade da Derivada
Se f possui uma transformada de Laplace e as suas f (m) são contínuas (pelo menos por
partes), até a ordem (n� 1; então
$
�
f (n)(t)
	
= sn$ ff(t)g�sn�1f(0)�sn�2f 0(0)�sn�3f"(0):::�sf (n�2)(0)�f (n�1)(0): (3.20)
Prova:
O resultado segue da aplicação sucessiva da 1ra propriedade da derivada
$
�
f (n)(t)
	
= s$
�
f (n�1)(t)
	
� f (n�1)(0))
$
�
f (n)(t)
	
= s
�
s$
�
f (n�2)(t)
	
� f (n�2)(0)
�
� f (n�1)(0))
$
�
f (n)(t)
	
= s2$
�
f (n�2)(t)
	
� sf (n�2)(0)� f (n�2)(0)� f (n�1)(0))
$
�
f (n)(t)
	
= s2
�
s$
�
f (n�3)(t)
	
� f (n�3)(0)
�
� sf (n�2)(0)� f (n�2)(0)� f (n�1)(0))
$
�
f (n)(t)
	
= s3$
�
f (n�3)(t)
	
� s2f (n�3)(0)� sf (n�2)(0)� f (n�2)(0)� f (n�1)(0)) :::
$
�
f (n)(t)
	
= sn$ ff(t)g � sn�1f(0)� sn�2f 0(0)� sn�3f"(0):::� sf (n�2)(0)� f (n�1)(0):
3.6.4 Propriedade da Translação
Supondo que
$ ff(t)g =
Z +1
0
e�stf(t)dt = F (s);
então
$
�
eatf(t)
	
= F (s� a): (3.21)
Prova:
Basta apenas fazer mudança de variáveis. Vejamos
$
�
eatf(t)
	
=
Z +1
0
e�steatf(t)dt =
Z +1
0
e�(s�a)tf(t)dt:
Logo, tomando r = s� a; temos
$
�
eatf(t)
	
=
Z +1
0
e�rtf(t)dt = F (r) = F (s� a):
Exemplo 3.23 Encontre
$
�
e3tt4
	
:
49
3.6.5 3ra Propriedade da Derivada
Supondo que
$ ff(t)g =
Z +1
0
e�stf(t)dt = F (s); (3.22)
então
$ ftnf(t)g = (�1)n d
n
dsn
F (s): (3.23)
Prova:
O resultado segue por indução, derivando (3:22) sucessivamente em relação a s:
De fato,
F (s) =
Z +1
0
e�stf(t)dt)
d
ds
F (s) =
d
ds
Z +1
0
e�stf(t)dt =
Z +1
0
d
ds
�
e�st
�
f(t)dt = �
Z +1
0
e�sttf(t))
d
ds
F (s) = �$ ftf(t)g :
Derivando novamente, temos
d2
ds2
F (s) =
d
ds
�
d
ds
F (s)
�
=
d
ds
[�$ ftf(t)g] = d
ds
�
�
Z +1
0e�sttf(t)
�
)
d2
ds2
F (s) = �
Z +1
0
d
ds
�
e�st
�
tf(t) =
Z +1
0
e�stt2f(t))
d2
ds2
F (s) = $
�
t2f(t)
	
:
Logo, repetindo este processo sucessivamente, o resultado segue.
Observação 3.9 A prova formal por indução matemática, embora seja simples, �cará por
conta do aluno.
3.6.6 Transformada Inversa de Laplace
De�nição 3.10 Seja f(t) uma função, tal que
F (s) = $ ff(t)g =
Z +1
0
e�stf(t)dt: (3.24)
De�niremos como antitransformada ou transformada inversa de Laplace de F (s); a expressão
$�1 fF (s)(t)g = f(t): (3.25)
Teorema 3.9 Se f e g forem duas funções contínuas que possuem a mesma transformada de
Laplace F (s); então necessariamente
f(t) = g(t); 8t � 0:
50
Teorema 3.10 (Algumas Transformada Inversas)
(a) $�1
nc
s
o
= c; onde c é uma constante qualquer
(b) $�1
�
n!
sn+1
�
= tn; onde n 2 N
(c) $�1
�
1
s� a
�
= eat
(d) $�1
�
a
s2 + a2
�
= Sen(at)
(e) $�1
�
s
s2 + a2
�
= Cos(at)
(f) $�1
�
a
s2 � a2
�
= Senh(at)
(g) $�1
�
s
s2 � a2
�
= Cosh(at):
3.6.7 Propriedades Linear da Transformada Inversa
A transformada de Laplace inversa é uma transformação linear, isto é, para quaisquer
constantes c1 e c2; temos
$�1 fc1F (s) + c2G(s)g = c1$�1 fF (s)g+ c2$�1 fG(s)g : (3.26)
Prova:
Este resultado segue da de�nição.
De fato, conideremos que
F (s) = $ ff(t)g =
Z +1
0
e�stf(t)dt
e
G(s) = $ fg(t)g =
Z +1
0
e�stg(t)dt:
Logo, temos
c1F (s) + c2G(s) = c1
Z +1
0
e�stf(t)dt+ c2
Z +1
0
e�stg(t)dt =
Z +1
0
e�st [c1f(t) + c2g(t)] dt)
$�1 fc1F (s) + c2G(s)g = c1f(t) + c2g(t) = c1$�1 fF (s)g+ c2$�1 fG(s)g :
Exemplo 3.24 Determine
(a) $�1
�
1
s3
�
(b) $�1
�
1
s2 + 9
�
(c) $�1
�
1
s
� 2
s� 2 +
1
s+ 2
�
51
(d) $�1
�
s� 5
(s+ 1) (s� 2)
�
(e) $�1
�
5s+ 1
s2 (s+ 1)
�
:
3.6.8 Convolução
De�nição 3.11 Dadas duas funções f e g contínuas (pelo menos em partes), a função
f(t) � g(t) =
Z t
0
f(z)g(t� z)dz; (3.27)
é chamada de convolução de f e g:
Observação 3.10 Tomando u = t� z; temos
z = t� u e dz
dt
= �du
dt
:
Substituindo (3.27), segue
f(t) � g(t) = �
Z 0
t
f(t� u)g(u)du =
Z t
0
f(t� u)g(u)du)
f(t) � g(t) = g(t) � f(t):
Teorema 3.11 (Teorema da Convolução)
Sejam f(t) e g(t) funções contínuas por partes em [0;+1) e de ordem exponencial, onde
F (s) = $ ff(t)g e G(s) = $ fg(t)g :
Então
$�1 ff � gg = F (s)G(s): (3.28)
Exemplo 3.25 Calcule
$�1
�
1
(s� 1) (s+ 2)
�
:
Usando separação em frações parciais e usando convolução.
Exemplo 3.26 Verifque que
$�1
�
1
[(s2 + k2)]2
�
=
Sen(kt)� ktCos(kt)
2k3
:
Sugestão: Use a relação Sen(A)Sen(B) =
1
2
[Cos(A�B)� Cos(A+B)] :
52
3.7 Método da Transformada de Laplace
Este método é usado para encontrar a solução de uma equação diferencial linear de coe�-
cientes constantes do tipo
an
dny
dxn
+ an�1
dn�1y
dxn�1
+ :::+ a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = h(x);
com condições iniciais 8>>>>><>>>>>:
y(0) = c0
y0(0) = c1
y"(0) = c2
...
y(n�1)(0) = cn�1:
Resolveremos por questões de ilustração, a solução para uma equação de segunda ordem.
Sendo assim, consideremos a equação diferencial linear
a2
d2y
dx2
+ a1
dy
dx
+ a0y = h(x);
com condições iniciais �
y(0) = c0
y0(0) = c1:
Aplicando transformada de Laplace em ambos os membros, teremos
a2$
�
d2y
dx2
�
+ a1$
�
dy
dx
�
+ a0$ fyg = $ fh(x)g : (3.29)
Considerando que
Y (s) = $ fy(x)g e H(s) = $ fh(x)g (3.30)
e aplicando as propriedades, temos
a2$
�
d2y
dx2
�
= a2
�
s2$ fy(t)g � sy(0)� y0(0)
�
)
a2$
�
d2y
dx2
�
= a2s
2$ fy(t)g � a2sc0 � a2c1 )
a2$
�
d2y
dx2
�
= a2s
2Y (s)� a2c0s� a2c1 (3.31)
a1$
�
dy
dx
�
= a1 [s$ fy(t)g � y(0)])
a1$
�
dy
dx
�
= a1sY (s)� a1c0 (3.32)
Substituindo (3.32), (3.31) e (3.30) em (3.29), teremos�
a2s
2Y (s)� a2c0s� a2c1
�
+ [a1sY (s)� c0] + a0Y (s) = H(s))
53
�
a2s
2 + a1s+ a0
�
Y (s)� a2c0s� a2c1 � a1c0 = H(s))
Y (s) =
H(s) + a2c0s+ a2c1 + a1c0
[a2s2 + a1s+ a0]
:
De onde, segue
y(x) = $�1
�
H(s) + a2c0s+ a2c1 + a1c0
[a2s2 + a1s+ a0]
�
:
Exemplo 3.27 Resolva
dy
dx
� 3y = e2x; onde y(0) = 1:
Exemplo 3.28 Resolva
d2y
dt2
+ 4
dy
dt
+ 3y = 0; onde y(0) = 3 e y0(0) = 1:
Exemplo 3.29 Resolva
d2y
dt2
� 6dy
dt
+ 9y = t2e3t; onde y(0) = 1 e y0(0) = 6:
3.8 Exercícios Propostos
1. Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais
a) y"� y0 � 6y = 0
b) 8y" + 14y � 15y = 0
c) y000 + 2y"� 5y0 � 6y = 0
d) y000 � 9y" + 24y0 � 16y = 0
e) y" + 2y = 0
f) y" + 2y0 + 4y = 0
g) y000 � 2y" + y0 � 2y = 0
2. Determine a solução geral das equações diferenciais
a) y" + y0 = 3ex
b) y" + 2y = 2x+ 3ex
c) y"� y0 = Sen(x)
d) y" + y = 3Cos(x)
e) y" + 4y0 + 2y = xe�2x
f) y" + y0 � 6y = 6(x+ 1)
54
3. Resolva o problema de valor inicial
d2y
dx2
+
dy
dx
= 4x+ 10Sen(x);
com condição inicial y(�) = 0 e y0(�) = 2:
4. Resolva
d2y
dx2
� 6dy
dx
+ 9y = 6x2 + 2� 12e3x:
5. Dada a equação
d2y
dx2
� 4dy
dx
+ 4y = (x+ 1) e2x:
a) Determine uma solução particular usando o método da variação de parâmetros.
b) Encontre a solução geral.
6. Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, a seguinte equação8><>:
d2y
dx2
� 5dy
dx
+ 6y = ex
y(0) = 1
y0(0) = 0
7. Usando transformadas de Laplace, resolva
d2y
dx2
+ 16y = Cos(4x); onde y(0) = 0 e y0(0) = 1:
8. Resolva
d2y
dt2
+ 4
dy
dt
+ 6y = 1 + e�t; onde y(0) = 0 e y0(0) = 0;
usando todos os métodos possíveis, vistos no capítulo 3.
Respostas:
1)
a) y(x) = c1e
3x + c2e
�2x
b) y(x) = c1e
(� 52)x + c2e
( 34)x
c) y(x) = c1e
�x + c2e
2x + c3e
�3x
d) y(x) = c1e
4x + c2xe
4x + c3e
x
e) y(x) = c1Sen(
p
2x) + c2Cos(
p
2x)
f) y(x) = c1e
�xSen(
p
3x) + c2e
�xCos(
p
3x)
g) y(x) = c1e
2x + c2Cos(x) + c3Sen(x)
55
2)
a) y(x) = c1 + c2e
�x +
3
2
ex
b) y(x) = c1 + c2e
�2x +
1
2
(x2 � x)
c) y(x) = c1 + c2e
x � 1
2
Sen(x) +
1
2
Cos(x)
d) y(x) = c1Cos(x) + c2Sen(x) +
3
2
Sen(x) +
3
2
xSen(x)
e) y(x) = c1e
�(2+
p
2)x + c2e
(�2+
p
2)x � 1
2
e�2x
f) y(x) = c1e
2x + c2e
�3x � x� 7
6
3) y(x) = 9�Cos(x) + 7Sen(x) + 4x� 5xCos(x)
4) y(x) = c1e
3x + c2xe
3x +
2
3
x2 +
8
9
x+
2
3
� 6x2e3x
5) y(x) = c1e
2x + c2xe
2x +
�
x3
6
+
x2
2
�
e2x
6) y(x) =
1
2
e2x � 1
2
e3x +
1
2
ex
7) y(x) =
1
4
Sen(4x) +
1
8
xSen(4x)
8) y(t) =
1
6
+
1
3
e�t � 1
2
e�2tCos
�p
2t
�
�
p
2
3
e�2tSen
�p
2t
�
:
56