Questões Enem Concursos - Números Complexos - Lista 5

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Números Complexos 
 
 
QUESTÃO 1 
==================================================== 
 
 
O número complexo z, tal que 5z z 12 16i,+ = + é igual a: 
 
a) 2 2i− + 
b) 2 3i− 
c) 3 i+ 
d) 2 4i+ 
e) 1 2i+ 
 
 
QUESTÃO 2 
==================================================== 
 
 
O polinômio 3 2P(x) x 3x 7x 5= − + − possui uma raiz complexa ξ cuja parte imaginária é 
positiva. A parte real de 3ξ é igual a 
 
a) 11− 
b) 7− 
c) 9 
d) 10 
e) 12 
 
 
QUESTÃO 3 
==================================================== 
 
 
A parte real do número complexo 
21 (3i)
z
1 i
+
=
−
 é 
 
a) 1 
b) 1− 
c) 2 
d) 2− 
e) 4− 
 
 
 
 
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QUESTÃO 4 
==================================================== 
 
 
Seja a igualdade 
4
a b
i cos isen ,
3 5 6 6
π π 
− = + 
 
 onde i é a unidade imaginária. Se a e b são 
números reais, então o quociente 
a
b
 é igual a 
 
a) 
3
.
5
 
b) 
3 3
.
5
 
c) 
3 3
.
5
− 
d) 
3
.
5
− 
e) 
15 3
.
4
 
 
 
QUESTÃO 5 
==================================================== 
 
 
Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do 
número complexo 1 + i, determine z3: 
 
a) 1 – i 
b) – 1 + i 
c) – 2i 
d) – 1 – 2i 
e) 2 + 2i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito Comentado 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Suponha que z a bi,= + então z a bi.= − 
 
Logo, ( ) ( )
a 2
5 a bi a bi 12 16i 6a 4bi 12 16i
b 4
=
+ + − = +  + = +  
=
 
 
Portanto, 
z 2 4i.= + 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
O polinômio em questão possui três raízes. Se a bi+ é raiz, a bi− também será. O 
polinômio também admite raiz 1, pois P(1) 1 3 7 5 0.= − + − = Assim, aplicando-se Briot-
Ruffini, pode-se escrever: 
 
 
 
( )
3 2
2
33 3
P(x) x 3x 7x 5
P(1) 0
x ' 1 2i
Briot Ruffini x 2x 5 0
x '' 1 2i
1 2i 1 2i 1 6i 12 8i 11 2iξ ξ ξ
= − + −
=
= −
− → − + = → 
= +
= + → = + = + − − → == − −
 
 
Assim, a parte real de 3ξ é igual a 11.− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
2
2
2 2
1 (3i)
z
1 i
1 9i
z
1 i
1 9
z
1 i
8
z
1 i
8 1 i
z
1 i 1 i
8 8i
z
1 i
8 8i
z
2
z 4 4i
Re(z) 4
+
=
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
− +
= 
− +
− −
=
−
− −
=
= − −
= −
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
4a b 4 4i 1 cos isen
3 5 6 6
a b 2 2
i cos isen
3 5 3 3
a b 1 3
i i
3 5 2 2
a 1 3
a
3 2 2
b 3 5 3
b
5 2 2
π π
π π
 
− =  + 
 
− = +
− = − +
= −  = −
− =  = −
 
 
Então, 
a 3 2
b 2 5 3
a 3
b 5 3
a 3 3
b 5 3 3
a 3
b 5
 
= −  − 
 
=
= 
=
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
 
 
O complexo obtido com a rotação de 90° de 1 + i é z = –1 + i 
 
Fazendo: (–1 + i)3, temos: 
 
z3 = (i – 1)3 = i3 –3.i2.1 + 3.i.12 –13 = –i + 3 + 3i – 1 = 2 + 2i