Aula 13_Independencia

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Teoria das Probabilidades
Independência
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Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se,
P (A | B) = P (A) ou P (B | A) = P (B).
Equivalentemente, dizemos que dois eventos A e B são independentes
se, e somente se,
P (A ∩B) = P (A)P (B).
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Exemplo 1
A probabilidade de que A resolva um problema é de 5/8, e a probabilidade
de que B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual
a probabilidade de:
(a) ambos resolverem o problema?
(b) o problema ser resolvido?
(c) apenas B conseguir resolver o problema?
(d) nenhum deles conseguir resolver o problema?
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Exemplo 1: Solução.
Sejam A e B os seguintes eventos:
A: o aluno A conseguir resolver o problema.
B: o aluno B conseguir resolver o problema.
Temos que A e B são eventos independentes. Além disso, P (A) = 5/8 e P (B) = 3/4.
(a) Qual a probabilidade de ambos resolverem o problema?
P (A ∩B) = P (A)P (B), pois A e B são eventos independentes.
= (5/8)(3/4)
= 15/32 ' 0, 47.
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Exemplo 1: Solução.
Sejam A e B os seguintes eventos:
A: o aluno A conseguir resolver o problema.
B: o aluno B conseguir resolver o problema.
Temos que A e B são eventos independentes. Além disso, P (A) = 5/8 e P (B) = 3/4.
(b) Qual a probabilidade do problema ser resolvido?
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
= (5/8) + (3/4)− (15/32)
= 29/32 ' 0, 91.
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Exemplo 1: Solução.
Sejam A e B os seguintes eventos:
A: o aluno A conseguir resolver o problema.
B: o aluno B conseguir resolver o problema.
Temos que A e B são eventos independentes. Além disso, P (A) = 5/8 e P (B) = 3/4.
(c) Qual a probabilidade de apenas B conseguir resolver o problema?
P (B ∩ Ac) = P (B)− P (A ∩B) = P (B)− P (A)P (B)
= P (B)[1− P (A)] = P (B)P (Ac)
= (3/4)(3/8) = 9/32 ' 0, 28.
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Exemplo 1: Solução.
Sejam A e B os seguintes eventos:
A: o aluno A conseguir resolver o problema.
B: o aluno B conseguir resolver o problema.
Temos que A e B são eventos independentes. Além disso, P (A) = 5/8 e P (B) = 3/4.
(d) Qual a probabilidade de nenhum deles conseguir resolver o problema?
P (Ac ∩Bc) = P [(A ∪B)c], por uma das leis de De Morgan.
= 1− P (A ∪B)
= 1− 29/32 = 3/32 ' 0, 09.
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Independência Coletiva
Vejamos agora o conceito de independência para três eventos.
Dizemos que os eventos A, B e C são (coletivamente) independentes
se, e somente se,
P (A ∩B) = P (A)P (B),
P (A ∩ C) = P (A)P (C),
P (B ∩ C) = P (B)P (C),
P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Observação: Se apenas as três primeiras relações acima estiverem satisfeitas, dizemos
que os eventos são independentes aos pares. A definição pode ser estendida facilmente
para um número finito qualquer de eventos.
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Aplicação: Confiabilidade
A teoria da confiabilidade estuda sistemas e seus componentes, como
por exemplo sistemas mecânicos e eletrônicos (um automóvel ou um
computador) e sistemas biológicos, como o corpo humano.
O objetivo da teoria é estudar as relações entre o funcionamento dos
componentes e o funcionamento do sistema.
Vamos utilizar as seguintes notações:
Ai: o componente i funciona, i = 1, 2, . . . , n.
F : o sistema funciona.
pi = P (Ai) será chamada de confiabilidade do componente i,
i = 1, 2, . . . , n.
P (F ) será chamada de confiabilidade do sistema.
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Aplicação: Confiabilidade
A figura abaixo ilustra um sistema composto por dois componentes
em série (a) e em paralelo (b).
O sistema em série funcionará se os componentes 1 e 2 funcio-
narem simultaneamente; já o sistema em paralelo funcionará se o
componente 1 ou o componente 2 funcionar.
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Aplicação: Confiabilidade
Suponha que os componentes funcionem independentemente.
Se os componentes 1 e 2 estiverem em série, então o sistema fun-
cionará se ambos componentes funcionarem. Ou seja,
P (F ) = P (A1 ∩ A2) = P (A1)P (A2) = p1p2.
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Aplicação: Confiabilidade
Suponha que os componentes funcionem independentemente.
Se os componentes 1 e 2 estiverem em paralelo, então o sistema
funcionará se pelo menos um dos componentes funcionar. Ou seja,
P (F ) = P (A1∪A2) = P (A1)+P (A2)−P (A1∩A2) = p1+p2−p1p2.
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Aplicação: Confiabilidade
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Exemplo 2
Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilida-
de 0,9, 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao
funcionamento do sistema; se 2 ou 3 não funcionam, o sistema funciona,
mas com um rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica o
não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem
independentemente, calcule a confiabilidade do sistema.
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Exemplo 2: Solução.
Considere os seguintes eventos:
Ai: o componente i funcionar, i = 1, 2, 3.
F : o sistema funcionar.
Temos que A1, A2 e A3 são eventos independentes. Além disso, p1 = P (A1) = 0, 9,
p2 = P (A2) = 0, 8 e p3 = P (A3) = 0, 7. Nosso interesse é calcular P (F ).
P (F ) = P [(A1 ∩ (A2 ∪ A3)] = P [(A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3)]
= P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A3)− P (A1 ∩ A2 ∩ A3)
= p1p2 + p1p3 − p1p2p3
= (0, 9)(0, 8) + (0, 9)(0, 7)− (0, 9)(0, 8)(0, 7) = 0, 846.
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Bibliografia
Estat́ıstica Básica (7ª edição). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin (2011).
Editora Saraiva. (livro texto)
Probabilidade: Aplicações à Estat́ıstica (2ª edição). Paul L. Meyer (2009). LTC.
Noções de Probabilidade e Estat́ıstica. Marcos N. Magalhães e Antonio C. P. de
Lima (2002). Edusp.
Friedrich Hayek
É raro encontrar independência de esṕırito ou força de caráter entre aque-
les que não confiam na sua capacidade de abrir caminho pelo próprio
esforço.
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