slides AULA 5 Aula Teórica e Prática 05

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Profª Aline Purcote Quinsler
Probabilidade e Estatística
Aula 5
Conversa Inicial
O que é Distribuição de Probabilidade? 
Qual a diferença entre Binomial, Poisson e 
Normal?
Onde aplicamos cada distribuição?
Probabilidade e estatística
Nesta aula
Distribuições Teóricas de Probabilidade
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Normal
Aplicações das Distribuições de 
Probabilidade
Distribuições teóricas
de probabilidade
Expressão matemática aplicável a múltiplas 
situações desde que determinadas premissas 
sejam respeitadas
Não estamos interessados propriamente no 
resultado de um experimento aleatório, mas 
em características numéricas chamadas de 
Variáveis Aleatórias
1 2
3 4
5 6
2
Variáveis 
Aleatórias
Discreta Contínua
Valores inteiros e 
finitos
Intervalo de números 
reais, escala contínua
Binomial e 
Poisson
Distribuição 
Normal 
Distribuição Binomial
É a probabilidade de um evento ocorrer X 
vezes em N tentativas
N = tentativas
X = vezes
p = probabilidade do sucesso
q=1- p
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
Determinar a probabilidade de ocorrer 3 vezes 
o número 2 em 5 jogadas de um dado 
N = 5
X = 3
p = 𝟏
𝟔
𝟎,𝟏𝟔𝟔𝟕
q=1- p
q=1-0,1667=0,833
𝑷 𝒙
𝟓!
𝟑! 𝟓 𝟑 !
𝟎,𝟏𝟔𝟔𝟕𝟑𝟎,𝟖𝟑𝟑𝟑𝟓 𝟑
𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟔 𝟐 !
𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟔.𝟎,𝟔𝟗𝟒𝟒 𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟔.𝟐
𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟐
𝑷 𝒙
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐
𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟐
𝑷 𝒙 𝟏𝟎.𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟐 𝟎,𝟎𝟑𝟐.𝟏𝟎𝟎 𝟑,𝟐%
Considere que uma válvula eletrônica instalada 
em determinado circuito tenha probabilidade de 
0,3 de funcionar mais de 600 h
Selecionando 10 válvulas, qual será a 
probabilidade de que, entre elas, 
exatamente 3 funcionem 
mais de 600 h?
N=10
X=3
p=0,3
q=1- 0,30 = 0,7
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟑! 𝟏𝟎 𝟑 !
𝟎,𝟑𝟎𝟑𝟎,𝟕𝟏𝟎 𝟑
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟔 𝟕 !
𝟎,𝟎𝟐𝟕.𝟎,𝟎𝟖𝟐𝟑𝟓
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟔.𝟓𝟎𝟒𝟎
𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟑𝟎.𝟐𝟒𝟎
𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐
𝑷 𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐 𝟎,𝟐𝟔𝟔𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟔,𝟔𝟖𝟏%
Em um concurso, 10% dos candidatos foram 
aprovados
Se escolhermos aleatoriamente 10 candidatos, 
qual a probabilidade de que exatamente dois 
deles tenham sido aprovados?
𝑵 𝟏𝟎
𝑿 𝟐
𝒑 𝟏𝟎% 𝟎,𝟏𝟎
𝒒 𝟏 𝒑 𝟏 𝟎, 𝟏𝟎 𝟎,𝟗𝟎
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟐! 𝟏𝟎 𝟐 !
𝟎,𝟏𝟎𝟐𝟎,𝟗𝟎𝟏𝟎 𝟐
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎.𝟑𝟐𝟎
𝟎,𝟎𝟏 𝟎,𝟒𝟑𝟎𝟓
 𝑷 𝒙 𝟒𝟓 𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟑𝟎𝟓
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟖 !
𝟎,𝟎𝟏.𝟎,𝟗𝟎𝟖
𝑷 𝒙
𝟑.𝟔𝟐𝟖.𝟖𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎.𝟑𝟐𝟎
𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟑𝟎𝟓
 𝑷 𝒙 𝟎,𝟏𝟗𝟑𝟕 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟗,𝟑𝟕%
7 8
9 10
11 12
3
Distribuição de Poisson
Probabilidade de um número designado de 
sucessos por unidade de tempo
Exemplos
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
e = 2,71828
𝒆 𝟓 𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟓 𝟏
𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟓
𝟏
𝟏𝟒𝟖,𝟒𝟏𝟐𝟔𝟔
𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒
𝝀 𝒆 𝝀 𝝀 𝒆 𝝀
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
1,00000
0,90484
0,81873
0,74082
0,67032
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,08208
0,07427
0,06721
0,06081
0,05502
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,60653
0,54881
0,49639
0,44933
0,40657
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
0,04979
0,04076
0,03337
0,02732
0,02237
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,36788
0,33287
0,30119
0,27253
0,24660
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
0,01832
0,01500
0,01228
0,01005
0,00823
1,5 0,22313 5,0 0,00674
Um departamento recebe em média 5 
solicitações por hora
Qual a probabilidade de receber 2 solicitações 
numa hora selecionada aleatoriamente?
𝝀 =5
X=2 𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟓𝟐𝒆 𝟓
𝟐!
𝟐𝟓.𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟕𝟒
𝟐
𝑷 𝒙
𝟎,𝟏𝟔𝟖𝟒𝟓
𝟐
𝟎,𝟎𝟖𝟒𝟐𝟐 𝟖,𝟒𝟐𝟐%
Clientes chegam a um banco com uma taxa 
média igual a 3 clientes por minuto, qual a 
probabilidade de ocorrerem exatamente 3 
chegadas no período de um minuto?
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟑𝟑𝒆 𝟑
𝟑!
𝟐𝟕 𝟎,𝟎𝟒𝟗𝟖
𝟔
𝟎,𝟐𝟐𝟒𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐,𝟒𝟏%
Distribuição Normal
13 14
15 16
17 18
4
Distribuição contínua 
Probabilidade de uma variável assumir um 
valor em determinado intervalo 
Dois parâmetros: média e desvio padrão
𝒁
𝑿 𝝀
𝑺
Tabela valores Z
Z = 1,00 = 34,13%
-3 -2 -1 0 1 2 3
Desvio padrão
0,13% 0,13%
2,14% 13,60% 34,13% 2,14%13,60%34,13%
Um estudo indicou que o salário semanal dos 
operários de uma empresa está em torno de uma 
média de R$ 80 com desvio padrão de R$ 5
Calcule a probabilidade de um operário ter um 
salário
Entre R$ 80 e R$ 85
𝝀 = 80
S = 5
X=85
Z = (85 – 80) / 5 = 1
Z = 1,00 = 34,13%
Um estudo indicou que o salário semanal dos 
operários de uma empresa está em torno de uma 
média de R$ 80 com desvio padrão de R$ 5. 
Calcule a probabilidade de um operário ter um 
salário
Acima de R$ 85,00 
𝝀 = 80
S = 5
X=85
Z = (85 – 80) / 5 = 1
Z = 1,00 = 34,13%
0,5 – 0,3413 = 0,1587 x 100 = 15,87%
As idades de um grupo apresentaram média igual 
a 20 anos e desvio padrão igual a 2 anos
Determine o percentual desse grupo que tem 
idade entre 17 e 22 anos
Tabela = 0,4332 / 
Tabela = 0,3413
0,4332 +0,3413 = 
0,7745 = 77,45%
𝒛
𝟏𝟕 𝟐𝟎
𝟐
𝟏,𝟓 𝒛
𝟐𝟐 𝟐𝟎
𝟐
𝟏
Tabela valores Z
19 20
21 22
23 24
5
Aplicações de distribuições
de probabilidade
Binomial
N Tentativas
X Vezes
p = probabilidade 
de sucesso
q = 1-p probabilidade 
do insucesso
𝑷 𝒙
𝑵!
𝑿! 𝑵 𝑿 !
𝒑𝒙𝒒𝑵 𝑿
Poisson
𝝀 = média
Unidade de tempo
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
Normal
𝝀 = média
S = desvio padrão
𝒁
𝑿 𝝀
𝑺
Considerando que 5% dos parafusos fabricados 
por certa máquina são defeituosos, em um lote 
de 10 parafusos, qual a probabilidade de menos 
de 2 serem defeituosos?
N = 10
X < 2 = 0 e 1
p = 5% = 0,05
q = 1 – 0,05 = 0,95
P(X<2) = 0,59874 + 0,31512 = 0,91386 = 
91,386%
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟎! 𝟏𝟎 𝟎 !
𝟎,𝟎𝟓𝟎.𝟎,𝟗𝟓𝟏𝟎 𝟎
𝑷 𝒙 𝟏.𝟏.𝟎,𝟓𝟗𝟖𝟕𝟒 𝟎,𝟓𝟗𝟖𝟕𝟒
𝑷 𝒙
𝟏𝟎!
𝟏! 𝟏𝟎 𝟏 !
𝟎,𝟎𝟓𝟏.𝟎,𝟗𝟓𝟏𝟎 𝟏
𝑷 𝒙 𝟏𝟎.𝟎,𝟎𝟓.𝟎,𝟔𝟑𝟎𝟐𝟓 𝟎,𝟑𝟏𝟓𝟏𝟐
A probabilidade de falha de um transistor em 
um instrumento eletrônico, durante uma hora 
de operação, é igual a 0,005. Calcular a 
probabilidade de não haver falhas em 80 
horas de operação
N = 80 horas
p = 0,005
λ = N · p
λ = 80 · 0,005 = 0,4
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟎,𝟒𝟎𝒆 𝟎,𝟒
𝟎!
𝟏.𝟎,𝟔𝟕𝟎𝟑𝟐
𝟏
𝑷 𝒙 𝟎,𝟔𝟕𝟎𝟑𝟐 𝟔𝟕,𝟎𝟑𝟐%
A probabilidade de falha de um transistor 
em um instrumento eletrônico, durante uma 
hora de operação, é igual a 0,005. Calcular a 
probabilidade de haver menos de 2 falhas em 
80 horas de operação
P(X<2) = P(X =0) + P(X=1)
P(X<2) = 0,67032 + 0,268128 = 0,938448
𝑷 𝒙
𝝀𝒙𝒆 𝝀
𝑿!
𝑷 𝒙
𝟎,𝟒𝟏𝒆 𝟎,𝟒
𝟏!
𝟎,𝟒.𝟎,𝟔𝟕𝟎𝟑𝟐
𝟏
𝑷 𝒙 𝟎,𝟐𝟔𝟖𝟏𝟐𝟖
Analisando as notas obtidas de 2.000 alunos 
na disciplina de Estatística, verificou-se que 
as notas têm distribuição aproximadamente 
normal com média igual a 6 e desvio padrão 
igual a 1. Quantos alunos podemos esperar 
que tenham tirado nota entre 6,5 e 8,5?
X = 6,5 
X = 8,5
0,4938 - 0,1915 = 0,3023 = 30,23%
2.000 x 0,3023 = 604,6 alunos
𝒛
𝟔,𝟓 𝟔
𝟏
𝟎,𝟓
𝒛
𝟖,𝟓 𝟔
𝟏
𝟐,𝟓
25 26
27 28
29 30
6
Tabela valores Z
31