CriteriosResistencia

lim
σ
lim-σ
lim
-σ
lim
( ) ( ) ( )[ ]2322312210 .61 σσσσσσν −+−+−+= EU
2
10 2..6
1
σ
ν
E
U
+
=
Versão preliminar – serão feitas correções em sala de aula 8
Conforme podemos observar, este critério leva em conta a influência das 3 tensões 
principais.
No caso particular do estado plano, teremos,
σeq2 = σ12 + σ32 - σ1.σ3  σlim2
cuja representação gráfica é a elipse da figura
7.6. CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB
Suponhamos que tenhamos uma máquina de ensaios que nos permita aplicar 
qualquer estado tensional ao corpo de prova e variar proporcionalmente todas as suas 
componentes.
Escolhemos um determinado estado tensional a aumentamos simultaneamente todas 
as suas componentes. Mais cedo ou mais tarde o corpo de prova irá romper, seja por 
deformação excessiva ou rotura propriamente dita.
Podemos traçar o maior dos 3 círculos de Mohr. Consideraremos que o estado 
tensional limite não depende de σ2.
Realizamos outro ensaio em outro corpo de prova de mesmo material partindo de 
um outro estado tensional inicial e aumentando novamente as componentes de tensão até a 
rotura. Traçamos outro círculo de Mohr, e assim por diante.
Os círculos traçados definirão uma envoltória, que é única para cada material 
(independendo de σ2).
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
σ
1
σ
3
σ
lim
σ
lim-σ
lim
-σ
lim
Versão preliminar – serão feitas correções em sala de aula 9
Podemos observar que qualquer círculo de Mohr que, desenhado, esteja dentro da 
região limitada pela envoltória, caracteriza um estado tensional seguro (isto é, não rompe).
Este critério não se preocupa em explicar o fenômeno da rotura, mas simplesmente 
faz uma análise quantitativa dos resultados de ensaios.
O problema agora é construir esta envoltória quando se dispõe de um número 
limitado de ensaios, por exemplo, ensaios de tração simples e de compressão simples.
Para isto admite-se que a envoltória é uma reta que será tangente aos círculos limites 
conhecidos. Note-se que, na realidade, o ponto de intersecção da envoltória com o eixo σ é 
mais próximo da origem do que quando se considera a envoltória como sendo uma reta.
Um outro círculo que é possível se determinar é o de cisalhamento puro (ensaio de torção), 
porém ele não é de muito auxílio na determinação da envoltória.
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
σ
τ
Versão preliminar – serão feitas correções em sala de aula 10
As tensões σt, σc, τ e σu correspondem a um determinado estado limite último, isto é, são 
tensões limites. Segundo Mohr, deve existir um envoltória dos círculos representados, 
tal que todo estado de tensão que tiver o seu círculo de Mohr sob esta envoltória será 
seguro. Isto é, a condição de resistência enunciada por Mohr é: O corpo solicitado 
atingirá o estado limite se o Círculo de Mohr tangenciar a Envoltória.
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
σtσc
τ
σ
Versão preliminar – serão feitas correções em sala de aula 11
Simplificação de Coulomb: “A Envoltória de Mohr é uma reta.”
 
 
Segundo a Hipótese de Mohr, o estado de tensão representado pelo Círculo cujas tensões 
principais máxima e mínima são, respectivamente, σ1 e σ3 é seguro, isto é, não submete 
o corpo solicitado ao estado limite último considerado. Suponhamos que para atingirmos 
o estado limite tenhamos que multiplicar todas as componentes deste estado de tensão 
por um número n. Assim, teríamos o estado de tensão limite representado pelo Círculo 
cujas tensões principais máxima e mínima são, respectivamente, σ1* e σ3*. Isto é, σ1* = 
n.σ1 e σ3* = n.σ3. Este Círculo tangencia a Envoltória.
Os triângulos ACE e BDE são retângulos e semelhantes. Logo,
AC
BD
CE
DE
= .
O Círculo de Mohr do estado de tensão limite tem o raio igual a (σ1*-σ3*)/2 e a abcissa do 
centro igual a (σ1*+σ3*)/2. Assim,
AC nc c= −
−
= −
−σ σ σ σ σ σ
2 2 2 2
1 3 1 3
* *
. , 
BD nt t= −
−
= −
−σ σ σ σ σ σ
2 2 2 2
1 3 1 3
* *
. , 
CE nc c=
+
+ =
+
+
σ σ σ σ σ σ1 3 1 3
2 2 2 2
* *
. e DE nt t=
+
− =
+
−
σ σ σ σ σ σ1 3 1 3
2 2 2 2
* *
. .
Substituindo estes valores na relação acima, temos:
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
A τ
B
EC
D
σσ
c
σc/2 σt/2
σ
t
( ) /* *σ σ1 3 2−
( ) /* *σ σ1 3 2−
σ
3
σ
1
σ3
*
σ1
*
Versão preliminar – serão feitas correções em sala de aula 12
t
c
tn σσ
σ
σ
σ =



− 31 .. .
Como n é o fator pelo qual devemos multiplicar as componentes de tensão para 
atingirmos o estado limite, podemos dizer que n é o nosso “coeficiente de segurança” e 
que a condição de resistência por este Critério é:
t
c
tn σσ
σ
σ
σ ≤



− 31 .. .
Escrevendo n = γ φ , temos:
t
c
t σφσ
σ
σ
σγ ... 31 ≤



− e
σ σ σeq k= −1 3.
onde 
c
tk
σ
σ
= , já que σ σt = lim .
Comparação entre os Critérios
Para o estado simples de tensão todos os critérios se eqüivalem pois em todos a tensão 
equivalente é a mesma:
σ σ σeq = =1 .
Se o material possui as tensões limites na tração iguais às tensões limites na compressão 
(σt = σc), o Critério de Mohr-Coulumb eqüivale ao Critério de Tresca (Máxima Tensão 
de Cisalhamento). De fato, se σt = σc, então k = σc/σt = 1 e, no Critério de Mohr-
Coulomb, σ σ σeq = −1 3 , que é a tensão equivalente do Critério de Tresca. Os materiais 
dúcteis, em geral, possuem σt = σc.
Como dito, nenhum desses critérios é universal. As Normas Técnicas, em geral, 
estabelecem o critério a ser usado em cada caso de solicitação em determinado tipo de 
material No entanto, via de regra, os critérios mais apropriados para materiais dúcteis 
são o Critério de Tresca (Máxima Tensão de Cisalhamento) e o Critério de von Mises 
(Máxima Energia de Distorção) e para materiais frágeis são o Critério de Mohr-Coulumb 
e o Critério de Rankine (Máxima Tensão Normal).
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA