Flambagem
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0 em z = 0
 z 
L y\u2019 = 0 em z = L
f) y y = y\u2019 = 0 em z = 0
 z 
L y\u2019 = 0 em z = L
g) y y = 0 em z = 0
 z 
L y = y\u2019 = 0 em z = L
h) y y = y\u2019 = 0 em z = 0
 z 
L y = y\u2019 = 0 em z = L
Resolvendo para cada conjunto, temos:
N cr=
\ue0c6 ² . E . A
\ue0c12
,
onde \ue0c1=
L fl
r min
,
L fl=K . L é o comprimento de flambagem da barra e 
 K é o parâmetro de flambagem da barra.
Valores de K:
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Versão 2011
Condições de Apoio - Caso Valor de K
a 1,0
b 2,0
c 0,7
d 0,5
e 2,0
f 1,0
g 0,7
h 0,5
Notar que para as barras deslocáveis (casos b, e, f), K \u2265 1 e para as barras indeslocá-
veis (casos a, c, d, g, h), K \u2264 1.
O valor de K é, na verdade, o percentual do comprimento L da barra, correspondente a 
uma senóide.
Ex.: 
K = 1,0
L
K = 2,0
L L
K = 0,7
0,7L
L
Observação:Concluímos, no estudo da barra birrotulada que a flexão se dará no plano 
de menor inércia. Porém, se as condições de apoio nos planos principais 
forem diferentes, isto pode não ocorrer.
y x
 z z
 Lx Ly
Lflx = Kx.Lx e Lfly = Ky.Ly
Como Kx \u2260 Ky, então Lflx \u2260 Lfly.
Os índices de esbeltez para flexão em torno de cada eixo serão
\ue0c1 x=
L flx
r x
e \ue0c1 y=
L fly
r y
 onde
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Versão 2011
r x=\ue08d I xA e r y=\ue08d I yA
A tensão crítica de flambagem elástica será
\ue0c8cr= f ex=
\ue0c62. E
\ue0c1 x
2 ou \ue0c8cr= f ey=
\ue0c6 ² . E
\ue0c1 y ²
 .
A tensão crítica será a menor entre fex e fey, isto é, será a tensão 
correspondente ao maior índice de esbeltez, que não necessariamente 
corresponde ao plano de menor inércia se Lflx \u2260 Lfly.
Observações Complementares:
a) Em vigas contínuas, a deformada, na flambagem, tem o seguinte aspecto:
b) Se a inércia da barra varia, temos:
y
E.I1 E.I2
N N z
 L1 L2
y ' '\ue083k 1 ² . y1=0 em 0 \u2264 z \u2264 L1 onde k 1
2= N
E . I 1
y ' '\ue083k 2 ². y2=0 em L1 \u2264 z \u2264 L1 + L2 onde k 2 ²=
N
E . I 2
e, além das condições de contorno já vistas, teremos:
y1 = y2 e y1\u2019 = y2\u2019 em z = L1
Se, ao invés da inércia, for o esforço normal que varia, temos solução análoga:
 N2
 N1 N3 = N1 + N2
L1 L2
k 1 ²=
N 1
E. I
e k 2 ²=
N 3
E. I
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Versão 2011
Método de energia para determinar a carga crítica
Seja a barra bi-rotulada abaixo, submetida à carga crítica Pcr.. 
Ao ocorrer a flambagem, o apoio A sofrerá um deslocamento \u3b4 e a barra sofrerá 
flexão. A energia cedida pela carga crítica ao sistema será Pcr.\u3b4 será absorvida pela 
barra em forma de energia potencial de deformação.
\u2013 cálculo do deslocamento \u3b4
\ue0ba=\u222b
0
L
du
du=dx .\ue09e1\u2212cos\ue0d4\ue09f
cos\ue0d4\u22481\u22121
2
\u22c5\ue0d4 ²
du=1
2
\u22c5dx\u22c5\ue09edydx \ue09f
²
\ue0ba=\u222b
0
L 1
2
\u22c5\ue09e y ' \ue09f ²\u22c5dx
Energia de deformação (flexão da barra):
U 1=\u222b
0
L M²
2. E. I
\u22c5dx
quando o ponto A se desloca para o ponto A', a força Pcr realiza o trabalho U 2=Pcr \ue0ba\u2d9
se U2 < U1 o equilíbrio é estável
se U2 > U1 o equilíbrio é instável
a flambagem ocorre quando em que U1 = U2 
assim, 
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\u3b4
P
cr
A A' B
dx
dx
du=dx - dx.cos\u3c6
\u3c6=dy/dx
\u3b4
P
cr
A A' B
dx
Versão 2011
P cr \ue0ba\u2d9=\u222b
0
L M²
2. E . I
\u22c5dx
P cr=
\u222b
0
L M²
2 . E . I
\u22c5dx
\u222b
0
L 1
2
\u22c5\ue09e y ' \ue09f²\u22c5dx
ou, fazendo y ' '= ME . I
P cr=
\u222b
0
L M²
2. E . I
\u22c5E . I
E. I
\u22c5dx
\u222b
0
L 1
2
\u22c5\ue09e y ' \ue09f ²\u22c5dx
, assim Pcr=
\u222b
0
L
E . I . \ue09e y ' ' \ue09f ² .dx
\u222b
0
L
\ue09e y ' \ue09f ² . dx
Desta forma, a carga crítica é calculada a partir do conhecimento da equação da linha 
elástica da barra em questão. Se esta equação não é conhecida o problema pode ser 
resolvido de forma aproximada a partir de uma equação da linha elástica que se 
aproxime da teoricamente exata. Obviamente, tal equação deverá atender, no mínimo, 
às condições do contorno (condições de extremidade da barra) do problema.
Exemplos
1 - Calcular a carga crítica para uma barra bi-rotulada de seção constante
equação da linha elástica (calculada anteriormente \u2013 problema de Euler)
y=A. sen \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f , então y '=A\u22c5\ue0c6L cos \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f e y ' '=\u2212A\u22c5\ue09e\ue0c6L \ue09f
²
sen \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f
Pcr=
\u222b
0
L
E . I . \ue09e y ' ' \ue09f ² .dx
\u222b
0
L
\ue09e y ' \ue09f ² . dx
= Pcr=
E\u22c5I\u22c5\u222b
0
L
A²\u22c5\ue09e\ue0c6 ²L² \ue09f\u22c5sin² \ue09e\ue0c6 xL \ue09f\u22c5dx
\u222b
0
L
A² \ue09e\ue0c6L \ue09f
2
\u22c5cos² \ue09e\ue0c6 xL \ue09f\u22c5dx
P cr=
E. I .\ue0c6 ²
L²
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Versão 2011
se a função y não é conhecida, então deve-se partir para uma solução aproximada 
admitindo-se uma função y=f(x) que atenda às condições de extremidade.
exemplo 2: calcular a carga crítica da barra bi-rotulada admitindo a função 
y=A . x .\ue09eL\u2212 x\ue09f como equação da linha elástica (observar que y = 0 para x=0 e para 
x=L).
y=A . x .\ue09eL\u2212 x\ue09f=A . \ue09ex . L\u2212 x² \ue09f
y '=A .\ue09e L\u22122 . x\ue09f
y ' '=A .\ue09e\u22122\ue09f
, substituindo na expressão para cálculo de Pcr , vem
Pcr=
E . I\u222b
0
L
4 . A² . dx
\u222b
0
L
A² .\ue09el\u22122 . x\ue09f ² .dx
= E . I . 4 . L
\u222b
0
L
\ue09e L²\u22124 . L . x\ue0834 . x² \ue09f . dx
= E . I . 4 . L
L³\u2212 4. L³
2
\ue0834 . L³
3
= E. I
L²
\u22c5 4
1\u22122\ue0834
3
P cr=12 .
E . I
L²
Exemplo 3: No exemplo anterior, observamos que, a função escolhida para a 
deformada resultou em uma curvatura constante implicando em um resultado pouco 
aproximado). Experimentemos, agora, a função y para a curvatura e não para a 
deformada.
y ' '=A . x .(L\u2212x)=A .(x . L\u2212 x²)
y '=A .(x² . L2 \u2212x³3 +C1)
y=A . (x³ . L6 \u2212x
4
12
+C1. x+C 2)
y \ue09e0\ue09f=0\ue08cC 2=0
y \ue09eL\ue09f=0\ue08c L6 \u2212
L
12 \ue083C1 . L=0\ue08cC1=\u2212
L³
12
desta forma, a função da deformada fica:
y \ue09ex \ue09f=A
12
\u22c5\ue09e2 . x³ . L\u2212 x4\u2212L³12\u22c5x \ue09f
y ' \ue09ex \ue09f=A
12
\u22c5\ue09e6 . x² . L\u22124 . x³\u2212L³ \ue09f
y ' ' \ue09e x\ue09f=A .\ue09ex . L\u2212 x² \ue09f
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Versão 2011
P cr=
E. I .\u222b
0
L
A² .\ue09ex . L\u2212 x² \ue09f ² . dx
1
12² \u222b0
L
A² . \ue09e6. x² . L\u22124 . x³\u2212L³ \ue09f ² . dx
P cr=E\u22c5I\u22c5
12².\u222b
0
L
\ue09e x² . L²\ue083x 4\u22122 . x . L. x² \ue09f . dx
\u222b
0
L
\ue09e36 . x4 . L2\ue08316 . x6\ue083L6\u221248. x5 . L\u221212 . x² . L4\ue0838 . x³ . L³ \ue09f. dx
integrando, desenvolvendo e simplificando, vem
P cr=
168
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\u22c5E . I
L²
=9,88. E . I
L²
Observa-se um resultado muito próximo do encontrado analiticamente (problema de 
Euler)
P cr=\ue0c6 ²\u22c5
E . I
L²
=9,87\u22c5E . I
L²
Processo aproximado \u2013 Vianello (barras de seção variável)
d2 y
dx2
\ue083
P
E . I \ue09ex \ue09f\u22c5y=0 
1
I
\ue09ex\ue09f= 1
I c
\u22c5f \ue09ex\ue09f
k2= Pe . Ic
d2 y
dx2
\ue083k2. f \ue09ex\ue09f. y=0
O problema é determinar o menor valor de k que satisfaça a equação anterior. A 
solução é encontrada por aproximações sucessivas
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P P
I(x)
x
P P
y(x)
Versão 2011
Procedimento:
1- adotar uma 1ª aproximação para y
y1(x) atende às condições de contorno
2- Integrar a equação diferencial
y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k
2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y1\ue09ex\ue09f\u22c5dx2
y2 é uma segunda aproximação
3- verificar a proporcionalidade entre y1 e y2 como será explicado mais adiante
4- integrar a equação diferencial novamente
y3 \ue09ex \ue09f=\u2212k
2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y2\ue09ex\ue09f\u22c5dx2
5- verificar a proporcionalidade entre y2 e y3
6- repetir os procedimento 4 e 5 sucessivamente até que seja encontrada uma boa 
aproximação (proporcionalidade entre as funções)
\u2013 verificação da proporcionalidade entre as funções:
se k2=
y i\ue09ex\ue09f
\u222c f \ue09ex \ue09f\u22c5y i\ue09ex\ue09f\u22c5dx2
= constante em todos os pontos da barra, então o 
problema estará resolvido e
Pcr=k
2 .E. I c
É possível demonstrar que o processo é convergente e conduz ao menor valor não nulo 
de k
Exemplo:
Calcular a carga crítica para a barra bi-rotulada com inércia variando linearmente de Ic 
a Ic/2
solução:
I \ue09ex \ue09f=
I c
1\ue083 x
L
, 1I \ue09ex\ue09f
= 1
Ic
\u22c5\ue09e1\ue083 xL \ue09f
assim, f \ue09ex\ue09f=1\ue083 xL
= 1
L
\u22c5\ue09eL\ue083x \ue09f
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P P
I(x)
x
P P
y(x)
Versão 2011
adotando como deformada a função y1 \ue09ex \ue09f=a . x .\ue09eL\u2212x\ue09f , que atende às condições de 
extremidade y(0) = y(L) = 0.
y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k
2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y1\ue09ex\ue09f\u22c5dx2
y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k
2\u22c5\u222c [ 1L\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09f]\u22c5[a\u22c5x\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09f]\u22c5dx2
y2 \ue09ex \ue09f=
\u2212k2\u22c5a
L \u22c5\u222cx\u22c5\ue09eL\ue083x \ue09f\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09fdx
2=
\u2212k2.a
L \u22c5\u222c x .\ue09eL
2\u2212x2\ue09fdx2
y2 \ue09ex \ue09f=
\u2212k2 .a
L \u22c5\u222c\ue09eL
2. x\u2212x3\ue09fdx2=\u2212k
2 .a
L \u22c5\u222b\ue09e L
2 .x2
2 \u2212
x4
4 \ue083C1\ue09fdx
y2=
\u2212k2 .a
L \u22c5\ue09e L
2 .x3
6 \u2212
x5
20\ue083C1 .x\ue083C2\ue09f
condições de extremidade:
y2\ue09e0\ue09f=0\ue08cc2=0
y2 \ue09eL\ue09f=0\ue08c
L5
6
\u2212 L
5
20
\ue083C1 .L=0\ue08cC1=
\u22127.L4
60
assim, 
y2 \ue09ex \ue09f=
\u2212k2 .a
L \u22c5\ue09eL
2 .x3
6 \u2212
x5
20\u2212
7. l4
60 \u22c5x \ue09f ou
y2 \ue09ex \ue09f=\u2212
k2 .a
60.L\u22c5\ue09e10.L
2 .x3\u22123. x5\u22127. l4 .x \ue09f
verificação da proporcionalidade entre y2(x) e y1(x)
k2=\u2212 a .x.\ue09eL\u2212x \ue09fa
60 .L\u22c5\ue09e10.L
2. x3\u22123.x5\u22127.L4 . x\ue09f
= \u2212
60.L. \ue09eL\u2212x \ue09f
10.L2. x2\u22123.x4\u22127.L4
FLAMBAGEM
16
Versão 2011
x=0\ue08ck2=8,57
L2
x=0,25L\ue08ck2=7,05