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0 em z = 0 z L y\u2019 = 0 em z = L f) y y = y\u2019 = 0 em z = 0 z L y\u2019 = 0 em z = L g) y y = 0 em z = 0 z L y = y\u2019 = 0 em z = L h) y y = y\u2019 = 0 em z = 0 z L y = y\u2019 = 0 em z = L Resolvendo para cada conjunto, temos: N cr= \ue0c6 ² . E . A \ue0c12 , onde \ue0c1= L fl r min , L fl=K . L é o comprimento de flambagem da barra e K é o parâmetro de flambagem da barra. Valores de K: FLAMBAGEM 8 Versão 2011 Condições de Apoio - Caso Valor de K a 1,0 b 2,0 c 0,7 d 0,5 e 2,0 f 1,0 g 0,7 h 0,5 Notar que para as barras deslocáveis (casos b, e, f), K \u2265 1 e para as barras indeslocá- veis (casos a, c, d, g, h), K \u2264 1. O valor de K é, na verdade, o percentual do comprimento L da barra, correspondente a uma senóide. Ex.: K = 1,0 L K = 2,0 L L K = 0,7 0,7L L Observação:Concluímos, no estudo da barra birrotulada que a flexão se dará no plano de menor inércia. Porém, se as condições de apoio nos planos principais forem diferentes, isto pode não ocorrer. y x z z Lx Ly Lflx = Kx.Lx e Lfly = Ky.Ly Como Kx \u2260 Ky, então Lflx \u2260 Lfly. Os índices de esbeltez para flexão em torno de cada eixo serão \ue0c1 x= L flx r x e \ue0c1 y= L fly r y onde FLAMBAGEM 9 Versão 2011 r x=\ue08d I xA e r y=\ue08d I yA A tensão crítica de flambagem elástica será \ue0c8cr= f ex= \ue0c62. E \ue0c1 x 2 ou \ue0c8cr= f ey= \ue0c6 ² . E \ue0c1 y ² . A tensão crítica será a menor entre fex e fey, isto é, será a tensão correspondente ao maior índice de esbeltez, que não necessariamente corresponde ao plano de menor inércia se Lflx \u2260 Lfly. Observações Complementares: a) Em vigas contínuas, a deformada, na flambagem, tem o seguinte aspecto: b) Se a inércia da barra varia, temos: y E.I1 E.I2 N N z L1 L2 y ' '\ue083k 1 ² . y1=0 em 0 \u2264 z \u2264 L1 onde k 1 2= N E . I 1 y ' '\ue083k 2 ². y2=0 em L1 \u2264 z \u2264 L1 + L2 onde k 2 ²= N E . I 2 e, além das condições de contorno já vistas, teremos: y1 = y2 e y1\u2019 = y2\u2019 em z = L1 Se, ao invés da inércia, for o esforço normal que varia, temos solução análoga: N2 N1 N3 = N1 + N2 L1 L2 k 1 ²= N 1 E. I e k 2 ²= N 3 E. I FLAMBAGEM 10 Versão 2011 Método de energia para determinar a carga crítica Seja a barra bi-rotulada abaixo, submetida à carga crítica Pcr.. Ao ocorrer a flambagem, o apoio A sofrerá um deslocamento \u3b4 e a barra sofrerá flexão. A energia cedida pela carga crítica ao sistema será Pcr.\u3b4 será absorvida pela barra em forma de energia potencial de deformação. \u2013 cálculo do deslocamento \u3b4 \ue0ba=\u222b 0 L du du=dx .\ue09e1\u2212cos\ue0d4\ue09f cos\ue0d4\u22481\u22121 2 \u22c5\ue0d4 ² du=1 2 \u22c5dx\u22c5\ue09edydx \ue09f ² \ue0ba=\u222b 0 L 1 2 \u22c5\ue09e y ' \ue09f ²\u22c5dx Energia de deformação (flexão da barra): U 1=\u222b 0 L M² 2. E. I \u22c5dx quando o ponto A se desloca para o ponto A', a força Pcr realiza o trabalho U 2=Pcr \ue0ba\u2d9 se U2 < U1 o equilíbrio é estável se U2 > U1 o equilíbrio é instável a flambagem ocorre quando em que U1 = U2 assim, FLAMBAGEM 11 \u3b4 P cr A A' B dx dx du=dx - dx.cos\u3c6 \u3c6=dy/dx \u3b4 P cr A A' B dx Versão 2011 P cr \ue0ba\u2d9=\u222b 0 L M² 2. E . I \u22c5dx P cr= \u222b 0 L M² 2 . E . I \u22c5dx \u222b 0 L 1 2 \u22c5\ue09e y ' \ue09f²\u22c5dx ou, fazendo y ' '= ME . I P cr= \u222b 0 L M² 2. E . I \u22c5E . I E. I \u22c5dx \u222b 0 L 1 2 \u22c5\ue09e y ' \ue09f ²\u22c5dx , assim Pcr= \u222b 0 L E . I . \ue09e y ' ' \ue09f ² .dx \u222b 0 L \ue09e y ' \ue09f ² . dx Desta forma, a carga crítica é calculada a partir do conhecimento da equação da linha elástica da barra em questão. Se esta equação não é conhecida o problema pode ser resolvido de forma aproximada a partir de uma equação da linha elástica que se aproxime da teoricamente exata. Obviamente, tal equação deverá atender, no mínimo, às condições do contorno (condições de extremidade da barra) do problema. Exemplos 1 - Calcular a carga crítica para uma barra bi-rotulada de seção constante equação da linha elástica (calculada anteriormente \u2013 problema de Euler) y=A. sen \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f , então y '=A\u22c5\ue0c6L cos \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f e y ' '=\u2212A\u22c5\ue09e\ue0c6L \ue09f ² sen \ue09e\ue0c6 . xL \ue09f Pcr= \u222b 0 L E . I . \ue09e y ' ' \ue09f ² .dx \u222b 0 L \ue09e y ' \ue09f ² . dx = Pcr= E\u22c5I\u22c5\u222b 0 L A²\u22c5\ue09e\ue0c6 ²L² \ue09f\u22c5sin² \ue09e\ue0c6 xL \ue09f\u22c5dx \u222b 0 L A² \ue09e\ue0c6L \ue09f 2 \u22c5cos² \ue09e\ue0c6 xL \ue09f\u22c5dx P cr= E. I .\ue0c6 ² L² FLAMBAGEM 12 Versão 2011 se a função y não é conhecida, então deve-se partir para uma solução aproximada admitindo-se uma função y=f(x) que atenda às condições de extremidade. exemplo 2: calcular a carga crítica da barra bi-rotulada admitindo a função y=A . x .\ue09eL\u2212 x\ue09f como equação da linha elástica (observar que y = 0 para x=0 e para x=L). y=A . x .\ue09eL\u2212 x\ue09f=A . \ue09ex . L\u2212 x² \ue09f y '=A .\ue09e L\u22122 . x\ue09f y ' '=A .\ue09e\u22122\ue09f , substituindo na expressão para cálculo de Pcr , vem Pcr= E . I\u222b 0 L 4 . A² . dx \u222b 0 L A² .\ue09el\u22122 . x\ue09f ² .dx = E . I . 4 . L \u222b 0 L \ue09e L²\u22124 . L . x\ue0834 . x² \ue09f . dx = E . I . 4 . L L³\u2212 4. L³ 2 \ue0834 . L³ 3 = E. I L² \u22c5 4 1\u22122\ue0834 3 P cr=12 . E . I L² Exemplo 3: No exemplo anterior, observamos que, a função escolhida para a deformada resultou em uma curvatura constante implicando em um resultado pouco aproximado). Experimentemos, agora, a função y para a curvatura e não para a deformada. y ' '=A . x .(L\u2212x)=A .(x . L\u2212 x²) y '=A .(x² . L2 \u2212x³3 +C1) y=A . (x³ . L6 \u2212x 4 12 +C1. x+C 2) y \ue09e0\ue09f=0\ue08cC 2=0 y \ue09eL\ue09f=0\ue08c L6 \u2212 L 12 \ue083C1 . L=0\ue08cC1=\u2212 L³ 12 desta forma, a função da deformada fica: y \ue09ex \ue09f=A 12 \u22c5\ue09e2 . x³ . L\u2212 x4\u2212L³12\u22c5x \ue09f y ' \ue09ex \ue09f=A 12 \u22c5\ue09e6 . x² . L\u22124 . x³\u2212L³ \ue09f y ' ' \ue09e x\ue09f=A .\ue09ex . L\u2212 x² \ue09f FLAMBAGEM 13 Versão 2011 P cr= E. I .\u222b 0 L A² .\ue09ex . L\u2212 x² \ue09f ² . dx 1 12² \u222b0 L A² . \ue09e6. x² . L\u22124 . x³\u2212L³ \ue09f ² . dx P cr=E\u22c5I\u22c5 12².\u222b 0 L \ue09e x² . L²\ue083x 4\u22122 . x . L. x² \ue09f . dx \u222b 0 L \ue09e36 . x4 . L2\ue08316 . x6\ue083L6\u221248. x5 . L\u221212 . x² . L4\ue0838 . x³ . L³ \ue09f. dx integrando, desenvolvendo e simplificando, vem P cr= 168 17 \u22c5E . I L² =9,88. E . I L² Observa-se um resultado muito próximo do encontrado analiticamente (problema de Euler) P cr=\ue0c6 ²\u22c5 E . I L² =9,87\u22c5E . I L² Processo aproximado \u2013 Vianello (barras de seção variável) d2 y dx2 \ue083 P E . I \ue09ex \ue09f\u22c5y=0 1 I \ue09ex\ue09f= 1 I c \u22c5f \ue09ex\ue09f k2= Pe . Ic d2 y dx2 \ue083k2. f \ue09ex\ue09f. y=0 O problema é determinar o menor valor de k que satisfaça a equação anterior. A solução é encontrada por aproximações sucessivas FLAMBAGEM 14 P P I(x) x P P y(x) Versão 2011 Procedimento: 1- adotar uma 1ª aproximação para y y1(x) atende às condições de contorno 2- Integrar a equação diferencial y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k 2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y1\ue09ex\ue09f\u22c5dx2 y2 é uma segunda aproximação 3- verificar a proporcionalidade entre y1 e y2 como será explicado mais adiante 4- integrar a equação diferencial novamente y3 \ue09ex \ue09f=\u2212k 2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y2\ue09ex\ue09f\u22c5dx2 5- verificar a proporcionalidade entre y2 e y3 6- repetir os procedimento 4 e 5 sucessivamente até que seja encontrada uma boa aproximação (proporcionalidade entre as funções) \u2013 verificação da proporcionalidade entre as funções: se k2= y i\ue09ex\ue09f \u222c f \ue09ex \ue09f\u22c5y i\ue09ex\ue09f\u22c5dx2 = constante em todos os pontos da barra, então o problema estará resolvido e Pcr=k 2 .E. I c É possível demonstrar que o processo é convergente e conduz ao menor valor não nulo de k Exemplo: Calcular a carga crítica para a barra bi-rotulada com inércia variando linearmente de Ic a Ic/2 solução: I \ue09ex \ue09f= I c 1\ue083 x L , 1I \ue09ex\ue09f = 1 Ic \u22c5\ue09e1\ue083 xL \ue09f assim, f \ue09ex\ue09f=1\ue083 xL = 1 L \u22c5\ue09eL\ue083x \ue09f FLAMBAGEM 15 P P I(x) x P P y(x) Versão 2011 adotando como deformada a função y1 \ue09ex \ue09f=a . x .\ue09eL\u2212x\ue09f , que atende às condições de extremidade y(0) = y(L) = 0. y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k 2\u22c5\u222c f \ue09ex\ue09f\u22c5y1\ue09ex\ue09f\u22c5dx2 y2 \ue09ex \ue09f=\u2212k 2\u22c5\u222c [ 1L\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09f]\u22c5[a\u22c5x\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09f]\u22c5dx2 y2 \ue09ex \ue09f= \u2212k2\u22c5a L \u22c5\u222cx\u22c5\ue09eL\ue083x \ue09f\u22c5\ue09eL\u2212x\ue09fdx 2= \u2212k2.a L \u22c5\u222c x .\ue09eL 2\u2212x2\ue09fdx2 y2 \ue09ex \ue09f= \u2212k2 .a L \u22c5\u222c\ue09eL 2. x\u2212x3\ue09fdx2=\u2212k 2 .a L \u22c5\u222b\ue09e L 2 .x2 2 \u2212 x4 4 \ue083C1\ue09fdx y2= \u2212k2 .a L \u22c5\ue09e L 2 .x3 6 \u2212 x5 20\ue083C1 .x\ue083C2\ue09f condições de extremidade: y2\ue09e0\ue09f=0\ue08cc2=0 y2 \ue09eL\ue09f=0\ue08c L5 6 \u2212 L 5 20 \ue083C1 .L=0\ue08cC1= \u22127.L4 60 assim, y2 \ue09ex \ue09f= \u2212k2 .a L \u22c5\ue09eL 2 .x3 6 \u2212 x5 20\u2212 7. l4 60 \u22c5x \ue09f ou y2 \ue09ex \ue09f=\u2212 k2 .a 60.L\u22c5\ue09e10.L 2 .x3\u22123. x5\u22127. l4 .x \ue09f verificação da proporcionalidade entre y2(x) e y1(x) k2=\u2212 a .x.\ue09eL\u2212x \ue09fa 60 .L\u22c5\ue09e10.L 2. x3\u22123.x5\u22127.L4 . x\ue09f = \u2212 60.L. \ue09eL\u2212x \ue09f 10.L2. x2\u22123.x4\u22127.L4 FLAMBAGEM 16 Versão 2011 x=0\ue08ck2=8,57 L2 x=0,25L\ue08ck2=7,05