Flambagem
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Flambagem

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e da torção, temos:

E. I y . x ' '=M y1 e G . I t .\ue0be '=T ou

E . I y . x ' '=\u2212M x .\ue0be e G . I t .\ue0be '=M 0\ue083M x. x ' , \ue0be '=
1

G . I t
\u22c5\ue09eM 0\ue083M x . x ' \ue09f

E. I y . x ' ' '=\u2212M x .\ue0be '

Eliminando \u3b8 nas equações acima, temos:

x ' ' '\ue083
M x

E . I y .G . I t
\u22c5\ue09eM 0\ue083M x . x ' \ue09f=0 , fazendo k

2=
M x ²

G . I t .E . I y

x ' ' '\ue083k 2 . x '=\u2212k 2\u22c5
M 0
M x

A solução desta equação é:

x=C1\ue083C2 . sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 cos\ue09ekz \ue09f\u2212
M 0
M x

\u22c5z

x '=k . C2 .cos \ue09ekz \ue09f\u2212k . C3 . sen\ue09ekz \ue09f\u2212
M 0
M x

x ' '=\u2212k 2 .C 2 . sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 . cos\ue09ekz \ue09f

Como \ue0be=\u2212
E . I y
M x

\u22c5x ' ' :

\ue0be=
E . I y . k

2

M x
\u22c5[C 2 sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 . cos \ue09ekz \ue09f]

As condições de contorno da barra birrotulada são:

x=0 em z=0 \u21d2 C1\ue083C 3=0
\ue0be=0 em z=0 \u21d2 C 3=0 \u21d2 C 1=0

x=0 em z=L \u21d2 C 2 . sen \ue09ekL\ue09f\u2212
M 0
M x

\u22c5L=0

\ue0be=0 em z=L \u21d2 C 2 . sen \ue09ekL\ue09f=0 \u21d2 M 0=0

Conclusão: C1=C3=M 0=0 e C2 .sen \ue09ekL\ue09f=0 .

FLAMBAGEM

25

Versão 2011

A solução C2 = 0 não interessa pois se C2 = 0, então x = 0 e a barra não flete
lateralmente nem torce, isto é, não há flambagem.

Da solução sen \ue09ekL\ue09f=0 , temos:

k=n\u22c5\ue0c6
L

onde n é um inteiro.

De k 2= M x
2

G . I t . E . I y
 e k=n . L , concluímos que

M x=
n .\ue0c6

L
\u22c5\ue08dE . I y .G . I t

são os momentos fletores que provocam a flambagem por flexão lateral com torção
numa barra birrotulada submetida a flexão pura.

O momento crítico de flambagem elástica será o valor mínimo de Mx (para n = 1), isto
é:

M cr=
\ue0c6
L
\u22c5\ue08dE . I y . G . I t .

No caso geral (quaisquer condições de apoio), o momento crítico será:

M cr=
\ue0c6
L fl
\u22c5\ue08dE . I y .G . I t .

Este momento pode ainda ser escrito em função do índice de esbeltez para flambagem
por flexão em torno do eixo de menor inércia \u3bby.

M cr=\ue0c6\u22c5\ue08d E . I yL fl2 \u22c5G .\u22c5I t=\ue0c6\u22c5\ue08d E . A . r y ²L fl2 \u22c5G\u22c5I t=\ue0c6\u22c5\ue08dE . A\ue0c1 y2\u22c5G . I t ,
M cr=

\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08dE . A . G . I t

A expressão acima é válida desde que:
a) O momento fletor não varie ao longo da viga (flexão pura);
b) A seção seja duplamente simétrica (a equação da linha elástica foi escrita para

flexão em torno de x e de y);
c) O empenamento da seção seja desprezível (C\u3c9 = 0).

Esta expressão pode, ainda, ser escrita de outras formas.

FLAMBAGEM

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Versão 2011

M cr=\ue08d\ue0c62. E . A\ue0c1 y ² \u22c5G\u22c5I t\u22c5 A2 . r02A2 . r 0 ² = \ue08d\ue0c6
2 . E
\ue0c1 y ²

\u22c5
G\u22c5I t
A . r0 ²

A2 . r0
2

ou

M cr=A. r0 .\ue08d f ey . f ez , M cr=
\ue0c6 . A . r0
\ue0c1 y

\u22c5\ue08dE . f ez .

Esta expressão é válida também para seções com empenamento não nulo (C\u3c9 \u2260 0), se

considerarmos
f ez=

\ue0c62 . E . Cw
L fl

2 \ue083G . I t

A . r 0 ²
. Assim,

M cr=
\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08d E . A2 . r 02A . r02 \u22c5\ue09e\ue0c62 . E .C wL fl2 \ue083G . I t\ue09f=\ue0c6\ue0c1 y\u22c5\ue08dE . A.\ue09e\ue0c62 . E .Cwr y2 .\ue0c1 y ² \ue083G . I t\ue09f ou

M cr=
\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08dE . A . G . I t . \ue09e1\ue083\ue0c62 . E . Cwr y2 . G . I t \u22c5 1\ue0c1 y2 \ue09f .

Obs.: Notar que se C\u3c9 = 0, a expressão do momento crítico passa a ser a anteriormente
deduzida.

No caso de seção com simetria apenas em relação ao eixo normal ao de flexão (eixo y)
e C\u3c9 \u2260 0,

M cr= f ey . A . [\u2212 y12 ±\ue08d\ue09e y12 \ue09f2\ue083 f ezf ey\u22c5r02] ou
M cr=

\ue0c62 . E . A
\ue0c1 y

2 \u22c5[\u2212 y12 ±\ue08d\ue09e y12 \ue09f2\ue083CwI y \ue083 G . I t\ue0c62 . E . A\u22c5\ue0c1 y2 ] ,
onde y1=

1
I x
\u22c5\u222b

A
y\u22c5\ue09e x2\ue083 y2\ue09f. dA\u22122\u22c5y0 ;

yo é a ordenada do CC, relativa aos eixos centrais principais
da seção;

O valor positivo da raiz quadrada é válido quando o
momento fletor solicitante é positivo.

Para flexão simples (momento variando ao longo da viga), Mcr é sempre igual ou
superior ao valor acima e sua determinação muito complexa. Se, para fins práticos,
considerarmos o momento sempre constante, estaremos a favor da segurança.

FLAMBAGEM

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Versão 2011

Flambagem Inelástica:

A expressão do momento crítico vista no sub-ítem anterior somente é válida para
tensões máximas de compressão inferiores ao limite de proporcionalidade do material,
isto é, para momentos inferiores ao momento limite de flambagem elástica

Mr = \u3c3pWxc,

onde W xc=
I x
yc

 é o módulo resistente elástico à flexão da barra,

Ix é o momento de inércia relativo ao eixo de flexão da barra e
yc é a distancia da Linha Neutra da seção transversal ao seu ponto mais
comprimido.

Da condição Mcr = Mp, determinamos \u3bb = \u3bbr, isto é,

\ue0c1r=
\ue0c10 .\ue08d 2

2
\u22c5\ue08d1\ue083\ue08d1\ue083\ue0b8 .

onde \ue0c10=
\ue0c6 .\ue08dE . A . K0

M r
, \ue0b8=

4 .C w . M r
2

I y . K 0
2 e K0=G . I t\u2212 y1 . M r ,

Este é o índice de esbeltez limite de flambagem elástica - valor de \u3bb além do qual a
flambagem é elástica.

A determinação da expressão do momento crítico de flambagem inelástica e do índice
de esbeltez \u3bbp (abaixo do qual a seção mais solicitada da barra plastifica totalmente
antes de flambar) é feita, em geral, de forma semi-empírica, como no caso das barras
comprimidas.

Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas

A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por

\ue0c8cr=k .\ue0c8 e ,

onde k é um parâmetro que depende de propriedades geométricas da chapa, das suas
condições de apoio e do tipo de solicitação a que está submetida e

FLAMBAGEM

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Versão 2011

\u3c3e é a tensão crítica de flambagem elástica de uma chapa de comprimento
infinito, comprimida conforme a figura abaixo.

\u3c3

 dz b

 t
\u3c3

Esta tensão vale

\ue0c8e=
\ue0c62 . E

\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f.\ue0c1 z
2 ,

onde \ue0c1 z=
L fl
r z
= b

r z
 é o índice de esbeltez do elemento de comprimento b e seção

transversal retangular de dimensões t x dz,

r z=\ue08d dI zdA é o raio de giração desta seção em relação ao eixo z,
dA=t . dz é a área desta seção,
dI z=

t 3 . dz
12

 é o momento de inércia desta seção relativo ao eixo z e

\u3c5 é o Coeficiente de Poisson do material.

Assim, \ue0c1 z=
b
t
\u22c5\ue08d12=\ue0c1 .\ue08d12 e \ue0c8e=

\ue0c62 . E
12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f .\ue0c1 2

, onde \ue0c1=bt é considerado o

índice de esbeltez da chapa. Assim,

\ue0c8cr=
k .\ue0c62 . E

12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f .\ue0c1
=

k .\ue0c62 . D
t . b2

,

onde D= E . t
3

12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f
 é a rigidez à flexão da chapa.

Valores de k

A tensão crítica de flambagem inelástica é também obtida por processo semi-empírico.

FLAMBAGEM

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	Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
	A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por