Flambagem
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Flambagem

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e da torção, temos:

E. I y . x ' '=M y1 e G . I t . '=T ou

E . I y . x ' '=−M x . e G . I t . '=M 0M x. x ' ,  '=
1

G . I t
⋅M 0M x . x ' 

E. I y . x ' ' '=−M x . '

Eliminando θ nas equações acima, temos:

x ' ' '
M x

E . I y .G . I t
⋅M 0M x . x ' =0 , fazendo k

2=
M x ²

G . I t .E . I y

x ' ' 'k 2 . x '=−k 2⋅
M 0
M x

A solução desta equação é:

x=C1C2 . sen kz C3 coskz −
M 0
M x

⋅z

x '=k . C2 .cos kz −k . C3 . senkz −
M 0
M x

x ' '=−k 2 .C 2 . sen kz C3 . coskz 

Como =−
E . I y
M x

⋅x ' ' :

=
E . I y . k

2

M x
⋅[C 2 sen kz C3 . cos kz ]

As condições de contorno da barra birrotulada são:

x=0 em z=0 ⇒ C1C 3=0
=0 em z=0 ⇒ C 3=0 ⇒ C 1=0

x=0 em z=L ⇒ C 2 . sen kL−
M 0
M x

⋅L=0

=0 em z=L ⇒ C 2 . sen kL=0 ⇒ M 0=0

Conclusão: C1=C3=M 0=0 e C2 .sen kL=0 .

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Versão 2011

A solução C2 = 0 não interessa pois se C2 = 0, então x = 0 e a barra não flete
lateralmente nem torce, isto é, não há flambagem.

Da solução sen kL=0 , temos:

k=n⋅
L

onde n é um inteiro.

De k 2= M x
2

G . I t . E . I y
 e k=n . L , concluímos que

M x=
n .

L
⋅E . I y .G . I t

são os momentos fletores que provocam a flambagem por flexão lateral com torção
numa barra birrotulada submetida a flexão pura.

O momento crítico de flambagem elástica será o valor mínimo de Mx (para n = 1), isto
é:

M cr=

L
⋅E . I y . G . I t .

No caso geral (quaisquer condições de apoio), o momento crítico será:

M cr=

L fl
⋅E . I y .G . I t .

Este momento pode ainda ser escrito em função do índice de esbeltez para flambagem
por flexão em torno do eixo de menor inércia λy.

M cr=⋅ E . I yL fl2 ⋅G .⋅I t=⋅ E . A . r y ²L fl2 ⋅G⋅I t=⋅E . A y2⋅G . I t ,
M cr=


 y
⋅E . A . G . I t

A expressão acima é válida desde que:
a) O momento fletor não varie ao longo da viga (flexão pura);
b) A seção seja duplamente simétrica (a equação da linha elástica foi escrita para

flexão em torno de x e de y);
c) O empenamento da seção seja desprezível (Cω = 0).

Esta expressão pode, ainda, ser escrita de outras formas.

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Versão 2011

M cr=2. E . A y ² ⋅G⋅I t⋅ A2 . r02A2 . r 0 ² = 
2 . E
 y ²

⋅
G⋅I t
A . r0 ²

A2 . r0
2

ou

M cr=A. r0 . f ey . f ez , M cr=
 . A . r0
 y

⋅E . f ez .

Esta expressão é válida também para seções com empenamento não nulo (Cω ≠ 0), se

considerarmos
f ez=

2 . E . Cw
L fl

2 G . I t

A . r 0 ²
. Assim,

M cr=

 y
⋅ E . A2 . r 02A . r02 ⋅2 . E .C wL fl2 G . I t= y⋅E . A.2 . E .Cwr y2 . y ² G . I t ou

M cr=

 y
⋅E . A . G . I t . 12 . E . Cwr y2 . G . I t ⋅ 1 y2  .

Obs.: Notar que se Cω = 0, a expressão do momento crítico passa a ser a anteriormente
deduzida.

No caso de seção com simetria apenas em relação ao eixo normal ao de flexão (eixo y)
e Cω ≠ 0,

M cr= f ey . A . [− y12 ± y12 2 f ezf ey⋅r02] ou
M cr=

2 . E . A
 y

2 ⋅[− y12 ± y12 2CwI y  G . I t2 . E . A⋅ y2 ] ,
onde y1=

1
I x
⋅∫

A
y⋅ x2 y2. dA−2⋅y0 ;

yo é a ordenada do CC, relativa aos eixos centrais principais
da seção;

O valor positivo da raiz quadrada é válido quando o
momento fletor solicitante é positivo.

Para flexão simples (momento variando ao longo da viga), Mcr é sempre igual ou
superior ao valor acima e sua determinação muito complexa. Se, para fins práticos,
considerarmos o momento sempre constante, estaremos a favor da segurança.

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Versão 2011

Flambagem Inelástica:

A expressão do momento crítico vista no sub-ítem anterior somente é válida para
tensões máximas de compressão inferiores ao limite de proporcionalidade do material,
isto é, para momentos inferiores ao momento limite de flambagem elástica

Mr = σpWxc,

onde W xc=
I x
yc

 é o módulo resistente elástico à flexão da barra,

Ix é o momento de inércia relativo ao eixo de flexão da barra e
yc é a distancia da Linha Neutra da seção transversal ao seu ponto mais
comprimido.

Da condição Mcr = Mp, determinamos λ = λr, isto é,

r=
0 . 2

2
⋅11 .

onde 0=
 .E . A . K0

M r
, =

4 .C w . M r
2

I y . K 0
2 e K0=G . I t− y1 . M r ,

Este é o índice de esbeltez limite de flambagem elástica - valor de λ além do qual a
flambagem é elástica.

A determinação da expressão do momento crítico de flambagem inelástica e do índice
de esbeltez λp (abaixo do qual a seção mais solicitada da barra plastifica totalmente
antes de flambar) é feita, em geral, de forma semi-empírica, como no caso das barras
comprimidas.

Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas

A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por

cr=k . e ,

onde k é um parâmetro que depende de propriedades geométricas da chapa, das suas
condições de apoio e do tipo de solicitação a que está submetida e

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Versão 2011

σe é a tensão crítica de flambagem elástica de uma chapa de comprimento
infinito, comprimida conforme a figura abaixo.

σ

 dz b

 t
σ

Esta tensão vale

e=
2 . E

1− 2. z
2 ,

onde  z=
L fl
r z
= b

r z
 é o índice de esbeltez do elemento de comprimento b e seção

transversal retangular de dimensões t x dz,

r z= dI zdA é o raio de giração desta seção em relação ao eixo z,
dA=t . dz é a área desta seção,
dI z=

t 3 . dz
12

 é o momento de inércia desta seção relativo ao eixo z e

υ é o Coeficiente de Poisson do material.

Assim,  z=
b
t
⋅12= .12 e e=

2 . E
12 .1− 2 . 2

, onde =bt é considerado o

índice de esbeltez da chapa. Assim,

cr=
k .2 . E

12 .1− 2 .
=

k .2 . D
t . b2

,

onde D= E . t
3

12 .1− 2
 é a rigidez à flexão da chapa.

Valores de k

A tensão crítica de flambagem inelástica é também obtida por processo semi-empírico.

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	Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
	A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por