Flambagem

e da torção, temos:
E. I y . x ' '=M y1 e G . I t . '=T ou
E . I y . x ' '=−M x . e G . I t . '=M 0M x. x ' ,  '=
1
G . I t
⋅M 0M x . x ' 
E. I y . x ' ' '=−M x . ' 
Eliminando θ nas equações acima, temos:
x ' ' '
M x
E . I y .G . I t
⋅M 0M x . x ' =0 , fazendo k
2=
M x ²
G . I t .E . I y
x ' ' 'k 2 . x '=−k 2⋅
M 0
M x
A solução desta equação é:
x=C1C2 . sen kz C3 coskz −
M 0
M x
⋅z
x '=k . C2 .cos kz −k . C3 . senkz −
M 0
M x
x ' '=−k 2 .C 2 . sen kz C3 . coskz 
Como =−
E . I y
M x
⋅x ' ' :
=
E . I y . k
2
M x
⋅[C 2 sen kz C3 . cos kz ]
As condições de contorno da barra birrotulada são:
x=0 em z=0 ⇒ C1C 3=0
=0 em z=0 ⇒ C 3=0 ⇒ C 1=0
x=0 em z=L ⇒ C 2 . sen kL−
M 0
M x
⋅L=0
=0 em z=L ⇒ C 2 . sen kL=0 ⇒ M 0=0
Conclusão: C1=C3=M 0=0 e C2 .sen kL=0 .
FLAMBAGEM
25
Versão 2011
A solução C2 = 0 não interessa pois se C2 = 0, então x = 0 e a barra não flete 
lateralmente nem torce, isto é, não há flambagem.
Da solução sen kL=0 , temos:
k=n⋅
L
onde n é um inteiro.
De k 2= M x
2
G . I t . E . I y
 e k=n . L , concluímos que
M x=
n .
L
⋅E . I y .G . I t
são os momentos fletores que provocam a flambagem por flexão lateral com torção 
numa barra birrotulada submetida a flexão pura.
O momento crítico de flambagem elástica será o valor mínimo de Mx (para n = 1), isto 
é:
M cr=

L
⋅E . I y . G . I t .
No caso geral (quaisquer condições de apoio), o momento crítico será:
M cr=

L fl
⋅E . I y .G . I t .
Este momento pode ainda ser escrito em função do índice de esbeltez para flambagem 
por flexão em torno do eixo de menor inércia λy.
M cr=⋅ E . I yL fl2 ⋅G .⋅I t=⋅ E . A . r y ²L fl2 ⋅G⋅I t=⋅E . A y2⋅G . I t ,
M cr=

 y
⋅E . A . G . I t
A expressão acima é válida desde que:
a) O momento fletor não varie ao longo da viga (flexão pura);
b) A seção seja duplamente simétrica (a equação da linha elástica foi escrita para 
flexão em torno de x e de y);
c) O empenamento da seção seja desprezível (Cω = 0).
Esta expressão pode, ainda, ser escrita de outras formas.
FLAMBAGEM
26
Versão 2011
M cr=2. E . A y ² ⋅G⋅I t⋅ A2 . r02A2 . r 0 ² = 
2 . E
 y ²
⋅
G⋅I t
A . r0 ²
A2 . r0
2
ou
M cr=A. r0 . f ey . f ez , M cr=
 . A . r0
 y
⋅E . f ez .
Esta expressão é válida também para seções com empenamento não nulo (Cω ≠ 0), se 
considerarmos 
f ez=
2 . E . Cw
L fl
2 G . I t
A . r 0 ²
. Assim,
M cr=

 y
⋅ E . A2 . r 02A . r02 ⋅2 . E .C wL fl2 G . I t= y⋅E . A.2 . E .Cwr y2 . y ² G . I t ou
M cr=

 y
⋅E . A . G . I t . 12 . E . Cwr y2 . G . I t ⋅ 1 y2  .
Obs.: Notar que se Cω = 0, a expressão do momento crítico passa a ser a anteriormente 
deduzida.
No caso de seção com simetria apenas em relação ao eixo normal ao de flexão (eixo y) 
e Cω ≠ 0,
M cr= f ey . A . [− y12 ± y12 2 f ezf ey⋅r02] ou
M cr=
2 . E . A
 y
2 ⋅[− y12 ± y12 2CwI y  G . I t2 . E . A⋅ y2 ] ,
onde y1=
1
I x
⋅∫
A
y⋅ x2 y2. dA−2⋅y0 ;
yo é a ordenada do CC, relativa aos eixos centrais principais 
da seção;
O valor positivo da raiz quadrada é válido quando o 
momento fletor solicitante é positivo.
Para flexão simples (momento variando ao longo da viga), Mcr é sempre igual ou 
superior ao valor acima e sua determinação muito complexa. Se, para fins práticos, 
considerarmos o momento sempre constante, estaremos a favor da segurança.
FLAMBAGEM
27
Versão 2011
Flambagem Inelástica:
A expressão do momento crítico vista no sub-ítem anterior somente é válida para 
tensões máximas de compressão inferiores ao limite de proporcionalidade do material, 
isto é, para momentos inferiores ao momento limite de flambagem elástica 
Mr = σpWxc,
onde W xc=
I x
yc
 é o módulo resistente elástico à flexão da barra,
Ix é o momento de inércia relativo ao eixo de flexão da barra e
yc é a distancia da Linha Neutra da seção transversal ao seu ponto mais 
comprimido.
Da condição Mcr = Mp, determinamos λ = λr, isto é,
r=
0 . 2
2
⋅11 .
onde 0=
 .E . A . K0
M r
, =
4 .C w . M r
2
I y . K 0
2 e K0=G . I t− y1 . M r ,
Este é o índice de esbeltez limite de flambagem elástica - valor de λ além do qual a 
flambagem é elástica.
A determinação da expressão do momento crítico de flambagem inelástica e do índice 
de esbeltez λp (abaixo do qual a seção mais solicitada da barra plastifica totalmente 
antes de flambar) é feita, em geral, de forma semi-empírica, como no caso das barras 
comprimidas.
Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por 
cr=k . e ,
onde k é um parâmetro que depende de propriedades geométricas da chapa, das suas 
condições de apoio e do tipo de solicitação a que está submetida e
FLAMBAGEM
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Versão 2011
σe é a tensão crítica de flambagem elástica de uma chapa de comprimento 
infinito, comprimida conforme a figura abaixo. 
σ
 dz b
 t
σ
Esta tensão vale
e=
2 . E
1− 2. z
2 ,
onde  z=
L fl
r z
= b
r z
 é o índice de esbeltez do elemento de comprimento b e seção 
transversal retangular de dimensões t x dz,
r z= dI zdA é o raio de giração desta seção em relação ao eixo z,
dA=t . dz é a área desta seção,
dI z=
t 3 . dz
12
 é o momento de inércia desta seção relativo ao eixo z e
υ é o Coeficiente de Poisson do material.
Assim,  z=
b
t
⋅12= .12 e e=
2 . E
12 .1− 2 . 2
, onde =bt é considerado o 
índice de esbeltez da chapa. Assim,
cr=
k .2 . E
12 .1− 2 .
=
k .2 . D
t . b2
,
onde D= E . t
3
12 .1− 2
 é a rigidez à flexão da chapa.
Valores de k
A tensão crítica de flambagem inelástica é também obtida por processo semi-empírico.
FLAMBAGEM
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	Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
	A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por