Flambagem
29 pág.

Flambagem


DisciplinaMecânica dos Sólidos I4.020 materiais36.314 seguidores
Pré-visualização4 páginas
e da torção, temos:
E. I y . x ' '=M y1 e G . I t .\ue0be '=T ou
E . I y . x ' '=\u2212M x .\ue0be e G . I t .\ue0be '=M 0\ue083M x. x ' , \ue0be '=
1
G . I t
\u22c5\ue09eM 0\ue083M x . x ' \ue09f
E. I y . x ' ' '=\u2212M x .\ue0be ' 
Eliminando \u3b8 nas equações acima, temos:
x ' ' '\ue083
M x
E . I y .G . I t
\u22c5\ue09eM 0\ue083M x . x ' \ue09f=0 , fazendo k
2=
M x ²
G . I t .E . I y
x ' ' '\ue083k 2 . x '=\u2212k 2\u22c5
M 0
M x
A solução desta equação é:
x=C1\ue083C2 . sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 cos\ue09ekz \ue09f\u2212
M 0
M x
\u22c5z
x '=k . C2 .cos \ue09ekz \ue09f\u2212k . C3 . sen\ue09ekz \ue09f\u2212
M 0
M x
x ' '=\u2212k 2 .C 2 . sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 . cos\ue09ekz \ue09f
Como \ue0be=\u2212
E . I y
M x
\u22c5x ' ' :
\ue0be=
E . I y . k
2
M x
\u22c5[C 2 sen \ue09ekz \ue09f\ue083C3 . cos \ue09ekz \ue09f]
As condições de contorno da barra birrotulada são:
x=0 em z=0 \u21d2 C1\ue083C 3=0
\ue0be=0 em z=0 \u21d2 C 3=0 \u21d2 C 1=0
x=0 em z=L \u21d2 C 2 . sen \ue09ekL\ue09f\u2212
M 0
M x
\u22c5L=0
\ue0be=0 em z=L \u21d2 C 2 . sen \ue09ekL\ue09f=0 \u21d2 M 0=0
Conclusão: C1=C3=M 0=0 e C2 .sen \ue09ekL\ue09f=0 .
FLAMBAGEM
25
Versão 2011
A solução C2 = 0 não interessa pois se C2 = 0, então x = 0 e a barra não flete 
lateralmente nem torce, isto é, não há flambagem.
Da solução sen \ue09ekL\ue09f=0 , temos:
k=n\u22c5\ue0c6
L
onde n é um inteiro.
De k 2= M x
2
G . I t . E . I y
 e k=n . L , concluímos que
M x=
n .\ue0c6
L
\u22c5\ue08dE . I y .G . I t
são os momentos fletores que provocam a flambagem por flexão lateral com torção 
numa barra birrotulada submetida a flexão pura.
O momento crítico de flambagem elástica será o valor mínimo de Mx (para n = 1), isto 
é:
M cr=
\ue0c6
L
\u22c5\ue08dE . I y . G . I t .
No caso geral (quaisquer condições de apoio), o momento crítico será:
M cr=
\ue0c6
L fl
\u22c5\ue08dE . I y .G . I t .
Este momento pode ainda ser escrito em função do índice de esbeltez para flambagem 
por flexão em torno do eixo de menor inércia \u3bby.
M cr=\ue0c6\u22c5\ue08d E . I yL fl2 \u22c5G .\u22c5I t=\ue0c6\u22c5\ue08d E . A . r y ²L fl2 \u22c5G\u22c5I t=\ue0c6\u22c5\ue08dE . A\ue0c1 y2\u22c5G . I t ,
M cr=
\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08dE . A . G . I t
A expressão acima é válida desde que:
a) O momento fletor não varie ao longo da viga (flexão pura);
b) A seção seja duplamente simétrica (a equação da linha elástica foi escrita para 
flexão em torno de x e de y);
c) O empenamento da seção seja desprezível (C\u3c9 = 0).
Esta expressão pode, ainda, ser escrita de outras formas.
FLAMBAGEM
26
Versão 2011
M cr=\ue08d\ue0c62. E . A\ue0c1 y ² \u22c5G\u22c5I t\u22c5 A2 . r02A2 . r 0 ² = \ue08d\ue0c6
2 . E
\ue0c1 y ²
\u22c5
G\u22c5I t
A . r0 ²
A2 . r0
2
ou
M cr=A. r0 .\ue08d f ey . f ez , M cr=
\ue0c6 . A . r0
\ue0c1 y
\u22c5\ue08dE . f ez .
Esta expressão é válida também para seções com empenamento não nulo (C\u3c9 \u2260 0), se 
considerarmos 
f ez=
\ue0c62 . E . Cw
L fl
2 \ue083G . I t
A . r 0 ²
. Assim,
M cr=
\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08d E . A2 . r 02A . r02 \u22c5\ue09e\ue0c62 . E .C wL fl2 \ue083G . I t\ue09f=\ue0c6\ue0c1 y\u22c5\ue08dE . A.\ue09e\ue0c62 . E .Cwr y2 .\ue0c1 y ² \ue083G . I t\ue09f ou
M cr=
\ue0c6
\ue0c1 y
\u22c5\ue08dE . A . G . I t . \ue09e1\ue083\ue0c62 . E . Cwr y2 . G . I t \u22c5 1\ue0c1 y2 \ue09f .
Obs.: Notar que se C\u3c9 = 0, a expressão do momento crítico passa a ser a anteriormente 
deduzida.
No caso de seção com simetria apenas em relação ao eixo normal ao de flexão (eixo y) 
e C\u3c9 \u2260 0,
M cr= f ey . A . [\u2212 y12 ±\ue08d\ue09e y12 \ue09f2\ue083 f ezf ey\u22c5r02] ou
M cr=
\ue0c62 . E . A
\ue0c1 y
2 \u22c5[\u2212 y12 ±\ue08d\ue09e y12 \ue09f2\ue083CwI y \ue083 G . I t\ue0c62 . E . A\u22c5\ue0c1 y2 ] ,
onde y1=
1
I x
\u22c5\u222b
A
y\u22c5\ue09e x2\ue083 y2\ue09f. dA\u22122\u22c5y0 ;
yo é a ordenada do CC, relativa aos eixos centrais principais 
da seção;
O valor positivo da raiz quadrada é válido quando o 
momento fletor solicitante é positivo.
Para flexão simples (momento variando ao longo da viga), Mcr é sempre igual ou 
superior ao valor acima e sua determinação muito complexa. Se, para fins práticos, 
considerarmos o momento sempre constante, estaremos a favor da segurança.
FLAMBAGEM
27
Versão 2011
Flambagem Inelástica:
A expressão do momento crítico vista no sub-ítem anterior somente é válida para 
tensões máximas de compressão inferiores ao limite de proporcionalidade do material, 
isto é, para momentos inferiores ao momento limite de flambagem elástica 
Mr = \u3c3pWxc,
onde W xc=
I x
yc
 é o módulo resistente elástico à flexão da barra,
Ix é o momento de inércia relativo ao eixo de flexão da barra e
yc é a distancia da Linha Neutra da seção transversal ao seu ponto mais 
comprimido.
Da condição Mcr = Mp, determinamos \u3bb = \u3bbr, isto é,
\ue0c1r=
\ue0c10 .\ue08d 2
2
\u22c5\ue08d1\ue083\ue08d1\ue083\ue0b8 .
onde \ue0c10=
\ue0c6 .\ue08dE . A . K0
M r
, \ue0b8=
4 .C w . M r
2
I y . K 0
2 e K0=G . I t\u2212 y1 . M r ,
Este é o índice de esbeltez limite de flambagem elástica - valor de \u3bb além do qual a 
flambagem é elástica.
A determinação da expressão do momento crítico de flambagem inelástica e do índice 
de esbeltez \u3bbp (abaixo do qual a seção mais solicitada da barra plastifica totalmente 
antes de flambar) é feita, em geral, de forma semi-empírica, como no caso das barras 
comprimidas.
Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por 
\ue0c8cr=k .\ue0c8 e ,
onde k é um parâmetro que depende de propriedades geométricas da chapa, das suas 
condições de apoio e do tipo de solicitação a que está submetida e
FLAMBAGEM
28
Versão 2011
\u3c3e é a tensão crítica de flambagem elástica de uma chapa de comprimento 
infinito, comprimida conforme a figura abaixo. 
\u3c3
 dz b
 t
\u3c3
Esta tensão vale
\ue0c8e=
\ue0c62 . E
\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f.\ue0c1 z
2 ,
onde \ue0c1 z=
L fl
r z
= b
r z
 é o índice de esbeltez do elemento de comprimento b e seção 
transversal retangular de dimensões t x dz,
r z=\ue08d dI zdA é o raio de giração desta seção em relação ao eixo z,
dA=t . dz é a área desta seção,
dI z=
t 3 . dz
12
 é o momento de inércia desta seção relativo ao eixo z e
\u3c5 é o Coeficiente de Poisson do material.
Assim, \ue0c1 z=
b
t
\u22c5\ue08d12=\ue0c1 .\ue08d12 e \ue0c8e=
\ue0c62 . E
12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f .\ue0c1 2
, onde \ue0c1=bt é considerado o 
índice de esbeltez da chapa. Assim,
\ue0c8cr=
k .\ue0c62 . E
12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f .\ue0c1
=
k .\ue0c62 . D
t . b2
,
onde D= E . t
3
12 .\ue09e1\u2212\ue0c3 2\ue09f
 é a rigidez à flexão da chapa.
Valores de k
A tensão crítica de flambagem inelástica é também obtida por processo semi-empírico.
FLAMBAGEM
29
	Flambagem de Chapas Comprimidas e Fletidas
	A tensão crítica de flambagem elástica de chapas comprimidas ou fletidas é dada por