Lista9_IntegralDuplaI

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Prof. Dr. Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
ALUNO:....................................................................................
................................................ 
................................................................................ 
R.A.: ................... 
 (EM LETRA DE FORMA) 
ASSINATURA DO ALUNO: .............................................................................. 
 
 LISTA Nº: 09 
 
1) Calcular as integrais duplas: 
 
a) I = ∫ ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
0
𝜋
0
 Resposta: I = 2 + (𝜋2/2) 
 
b) I = ∫ ∫ 3𝑦3
𝑦2
0
1
0
 𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Resposta: I = e – 2 
 
c) I = ∫ ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋/2
0
 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Resposta: I = e – 1 
 
d) I = ∫ ∫ 𝑒−𝑡
2𝑎
0
𝜋
0
 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜑 Resposta: I = 𝜋
2
(1 − 𝑒−𝑎
2
) 
 
e) I = 2 ∫ ∫ 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝛼
3 √𝑐𝑜𝑠(2𝛼)
0
𝜋/4
0
 Resposta: I = 9/2 
 
f) I = ∫ ∫ (𝑐𝑜𝑠2𝛽)
𝑏
𝑎
2𝜋
0
 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝛽 Resposta: I = 𝜋
2
 (𝑏2 − 𝑎2) 
 
2) Colocar os limites (extremos) de integração, em uma ou outra ordem, na integral dupla 
I = ∬ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
 , para os campos indicados: 
 
a) D é a região triangular de vértices: O(0 , 0) ; A(1 , 1) e B(2 , 0). 
 
 Resposta: I = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑥
2−𝑦
𝑦
1
0
2−𝑥
0
2
1
𝑥
0
1
0
 
 
b) D é a região do 1º quadrante limitada pelas retas: y = x; y = 2x; x = 1 e x = 2. 
 
 Resposta: I = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦)𝑑𝑥
2
𝑦/2
4
2
𝑦
1
2
1
2𝑥
𝑥
2
1