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FLUIDODINÂMICA EM SISTEMAS PARTICULADOS Giulio Massarani Programa de Engenharia Química COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro 2º Edição 2001 Ao amigo José Teixeira Freire SUMÁRIO Prefácio 7 Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 9 1. Equação do Movimento da Partícula 9 2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 14 Efeito da presença de fronteiras rígidas 20 Influência da concentração de partículas 23 3. O Movimento Acelerado da Partícula 29 4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não-Newtoniano 31 Problemas 34 Bibliografia 39 Capítulo 2 A Decantação 41 1. A Trajetória da Partícula 41 2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 45 3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 47 4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 48 Problemas 56 Bibliografia 63 Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos 65 1. Equações da Continuidade e de Movimento para o Fluido 65 A força resistiva m 67 A tensão extra τ 68 A equação de Darcy 68 2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa 69 A determinação experimental de parâmetros estruturais 69 O modelo capilar 70 3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas 76 A perda de carga no meio poroso 76 O escoamento compressível 78 O escoamento transiente 78 4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos 78 Equação de Darcy-Buckingham 79 Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer 80 Problemas 83 Bibliografia 98 Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas particulados Expandidos 101 1. Equações da Continuidade e do Movimento 101 2. Caracterização dos Meios Expandidos 105 3. O Elo entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas 107 4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas 109 Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" 110 Transporte hidráulico homogêneo 112 Problemas 113 Bibliografia 121 Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 123 1. Equações da Continuidade e do Movimento 123 2. Teoria da Filtração com Formação de Torta 127 Equacionamento da filtração plana com formação de torta 128 A teoria simplificada da filtração 131 3. A Sedimentação Contínua 133 Problemas 136 Bibliografia 150 Índice Onomástico 151 PREFÁCIO Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997) Entre as múltiplas facetas que os Fenômenos de Transporte em Sistemas Particulados oferecem, tanto do ponto de vista científico como numa larga gama de aplicações tecnológicas, este livro trata apenas dos aspectos fluidodinâmicos da questão. Inicialmente, nos primeiros capítulos, os sistemas em que a fase dispersa é diluída são analisados a partir da fluidodinâmica da partícula isolada; efeitos como aqueles causados pela interação entre partículas são levados em conta através de modificações do problema inicial. Para contornar a dificuldade aparentemente intransponível na descrição geométrica do conjunto de partículas que compõe o sistema denso, os capítulos seguintes utilizam uma Teoria de Misturas com base na Mecânica do Contínuo. A formulação é estabelecida a partir das leis de conservação aplicadas às fases fluida e particulada, e mais um conjunto de informações que caracterizam o sistema, as denominadas equações constitutivas. A poderosa formulação via Teoria de Misturas, com os seus teoremas, acarreta, no primeiro impacto, o desconforto causado pela perda do referencial “partícula” na “estrutura amorfa do contínuo”. No cálculo da queda de pressão no escoamento em duto, problema clássico na Mecânica dos Fluidos, leva-se em conta, por acaso, a estrutura molecular da matéria? Da mesma forma, na Teoria de Misturas os detalhes da estrutura do Sistema Particulado escapam pela luneta usada ao revés; as propriedades do sistema são medidas em experiências simples e os resultados expressos de modo generalizado através das equações constitutivas, tal como na Mecânica dos Fuidos o escoamento laminar em tubo capilar fornece informações sobre a reologia do fluido. Não há como negar, o desafio em ministrar por uma centena de vezes a disciplina de Sistemas Particulados, quer na forma de Operações Unitárias para os estudantes da graduação ou no enfoque de Fenômenos de Transporte para os pós-graduados, foi sempre a busca de uma teoria que procura amalgamar e correlacionar os diferentes temas. Assim, por exemplo, o escoamento em meios porosos, a filtração com formação de torta e o espessamento, guardadas algumas poucas peculiaridades, podem e devem ser tratados dentro de um mesmo arcabouço; os resultados alcançados na fluidização homogênea levam à reologia da suspensão e ao projeto das linhas de tranporte hidráulico; a dinâmica da partícula no campo centrífugo permite analisar o desempenho de ciclcones e de centrífugas. A cena repete-se anualmente desde 1973, sempre em outubro, na atmosfera acolhedora do anfiteatro universitário. Entre os veteranos circulam os debutantes tensos. O evento nasceu Encontro sobre o Escoamento em Meios Porosos (ENEMP) e só recentemente, a partir da 23ª versão, passou a ser Congresso Brasileiro em Sistemas Particulados. Pois é sobretudo neste foro que os últimos resultados são disseminados entre os grupos participantes; esta Fluidodinâmica procura respeitosamente preservar e ordenar um pouco da memória dos Encontros. Rio de Janeiro, Outubro de 1996 Giulio Massarani Versão da Segunda Edição A realização desta Versão foi concretizada graças ao incentivo e ao apoio desta generosa população que trabalha no Laboratório de Sistemas Particulados: Christine Lamenha Luna, Cláudia Miriam Scheid, Flavia Pereira Puget, João Francisco A. Vitor, Marcel Vasconcelos Melo, Marcelo Guilherme G. Mazza, Marcos Roberto T. Halasz e Sílvia Cristina A. França. Rio de Janeiro, Julho de 2001 Giulio Massarani 7 Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 1. Equação do Movimento da Partícula A fluidodinâmica em sistemas particulados pode ser estudada tomando como ponto de partida a fluidodinâmica da partícula isolada. A determinação das propriedades do todo pela extrapolação do comportamento de um elemento da estrutura complexa é intuitiva e didática, embora, na maioria das situações, esta estratégia exija um grande esforço de imaginação combinando a um procedimento matemático complicado e duvidoso. O capítulo 1 procura reunir o conhecimento comum que diz respeito à fluidodinâmica da partícula, consolidado na literatura a partir do trabalho pioneiro de Stokes sobre a interação fluido newtoniano-partícula esférica rígida no movimento relativo lento. C.R. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9,8 (1850). A fluidodinâmica da partícula pode ser descrita através de um conjunto de equações que inclui a equação do movimento da partícula, as equações da continuidade e movimento para o fluido, a condição de aderência na interface fluido-partícula e mais as equações constitutivas para o fluido e as condições limites pertinentes ao problema específico. A análise limita-se à fluidodinâmica da partícula rígida, incluindo-se nesta categoria não apenas as partículas sólidas como também gotas e bolhas de dimensões diminutas. A partícula tem massa , densidade uniforme , volume V e a superfície em contato com o fluido é S . As equações que seguem são estabelecidas em base a um referencial inercial. mP ρSP P Equação do movimento da partícula . (1) m dSP S C FS S PP ( )a T n= +∫ ρ V b Equações da continuidade e movimento para o fluido ∂ρ∂ ρ F F Ft + div( )v 0= (2) ρ ∂∂ ρF F F F Ft v v v T b+ = +( )grad div . F (3) Condição de aderência sobre a superfície da partícula . (4) ( ) ( )v vF Q s C QC= + ×ω r 9 Nestas equações, em relação à partícula, ( e ( são respectivamente a velocidade e a aceleração de seu centro de massa, ω a velocidade angular e r o vetor posição do ponto Q sobre a superfície da partícula em relação ao centro de massa. Quanto ao fluido, ρ são respectivamente a densidade, o campo de velocidades e o tensor tensão que atua sobre esta fase. b é a intensidade do campo exterior. )vs C )as C QC F F F,v T e A força de interação fluido-partícula pode ser decomposta na força resistiva l e no empuxo, l - ρ (5) =∫ dSPS FnT bPFV sendo nula a força resistiva quando a velocidade relativa entre as fases for nula. A equação do movimento da partícula toma a forma l + (6) =CsP )(m a bPFS V)( ρ−ρ A análise limita-se, deste ponto em diante, ao movimento de translação da partícula, para atender às necessidades do próximo capítulo sobre a separação sólido-fluido em sistemas diluidos. Mesmo neste caso relativamente simples, as expressões analíticas conhecidas para representar a força resistiva restringem-se a algumas configurações caracterizadas pela forma regular da partícula e pelo movimento relativo partícula-fluido suficientemente lento, o regime de Stokes, quando a equação do movimento para o fluido, equação (3), pode ser linearizada. Os resultados reunidos na tabela (1), alcançados através das equações (1) a (5), são em maioria exatos ou encerram alguma sorte de aproximação, preservando, no entanto, a forma analítica do resultado (Berker, 1963). Trata-se de um repertório clássico de soluções que forma a base para o estudo da fluidodinâmica da partícula. Os resultados mostram que: a) A força resistiva exercida pelo fluido sobre a partícula depende das dimensões e forma da partícula; b) A força resistiva depende do campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença da partícula; c) A força resistiva é influenciada pela presença de contornos rígidos e pela presença de outras partículas; d) No movimento acelerado da partícula a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. 10 Tabela 1 - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963). Descrição uF vS l Esfera fixa com diâmetro D, escoamento permanente. ( ) ( ) ( ) u U u u F x F y F z = = = ∞ 0 =vS 0 πµl x ∞= DU3 Translação retilínea e uniforme de esfera com diâmetro D, fluido inicialmente em repouso uF = 0 ( )v vS x = = =( ) ( )v vS y S z 0 3l x Dvπµ−= Elipsóide fixo, semi-eixos a, b, c, escoamento permanente. x a y b z c 2 2 2 2 2 2 1+ + = ( ) ( ) ( ) u U u u F x F y F z = = = ∞ 0 =vS 0 l x ∞πµ= U'D3 D abc ao o '= + 32 3 2 π ψ α ψ π α πo o o oabc du u abc du a u = = + ∞ ∞∫ ∫2 2 2∆ ∆, ( ) u [ ]∆u a u b u c u= + + +( )( )( ) /2 2 2 1 2 Esfera fixa com diâmetro D, escoamento permanente do fluido não pertubado pela presença da partícula resultante do campo de pressões piezométricas P. uF =vS 0 l C 3 CF )P grad(8 D)(D3 π+πµ= u , onde C denota a posição do centro de massa da partícula Tabela 1 (cont.) - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963). F Descrição uF vs l Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D em presença de duas paredes planas paralelas. O fluido está inicialmente em repouso. uF = 0 v 0)v()v( )v( zSyS xS == = l x ++πµ−= 21 h 1 h 1D 32 91Dv3 Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D ao longo do eixo do tubo com diâmetro Dt. O fluido está inicialmente em repouso. uF = 0 v 0)v()v( )v( zSyS xS == = l x +πµ−= tD D1,21Dv3 h1 h2x v fluido Dt v Tabela 1 (cont.) - Força resitiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e v é a velocidade de translação da partícula (Berken, 1963). F S Descrição uF vs l Translação retilínea e uniforme das esferas 1 e 2 com diâmetro D1 e D2. O fluido está inicialmente em repouso. f v 2 q2 h v f1 q1 φ uF = 0 v v( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v S x S x S y S y S z S z 1 2 1 2 1 2 0 0 = = = = = = f D v D h f D v D h q q D D v h 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 3 8 3 1 3 8 9 8 = − = − = = πµ πµ πµ φcos Esfera em translação retilínea não uniforme e com velocidade inicial nula. O fluido está inicialmente em repouso. uF = 0 (( ) ), ( ) ( ) ( ) v v t v v v S x S y S z = = = = 0 0 0 ∫ ττ−τπµρ πµ+ρπ t o 2/12 F 3 d t d dv )(D 2 3+ Dv3 dt dvD 12 1 =-lx = Na situação em que a partícula apresenta forma irregular e fora do regime de Stokes, não parece haver outra alternativa senão a de tratar a força resistiva de modo empiríco, procurando generalizar os resultados clássicos (Bird et al., 1960, p.193): l vu vuvu − −⋅⋅−ρ⋅ D2F c2 1A= , (7) onde A é uma área característica, o coeficiente de arraste cujo valor numérico depende da definição de A, é a velocidade do fluido não perturbado pela presença da partícula na posição do centro de massa desta partícula, e v a velocidade de translação da partícula. Considera-se na equação (7) que a força resistiva e a velocidade relativa cD u (8) U u v= − tenham a mesma direção, o que implica em admitir que a forma da partícula apresenta um certo grau de regularidade. Nestas condições, a equação do movimento da partícula toma a forma m A cP S F D S F Pa U U= + + −12 ρ ρ ρ( )V b . (9) 2. A Força Resistiva Fluido-Partícula O estudo da fluidodinâmica da partícula requer o conhecimento da reologia do fluido e das propriedades físicas da partícula expressas pela densidade, dimensão e forma. Entre as múltiplas possibilidades conhecidas na caracterização da partícula e para melhor usufruir um grande número de dados experimentais disponíveis na literatura, adotam-se neste texto o diâmetro volumétrico como dimensão característica e a esfericidade φ na caracterização da forma da partícula (Allen, 1981). DP O diâmetro volumétrico é definido como sendo o diâmetro da esfera com o mesmo volume que a partícula, D VP P= 6 1 3 π /. (10) O valor desta propriedade para partículas de forma irregular pode ser determinado com o auxílio da picnometria clássica ou, na situação em que as partículas são diminutas, através da análise granulométrica realizada no Coulter Counter (Allen, 1981). A esfericidade é definida como sendo o cociente entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície , SP . (11) φ π= D SP2 / P 14 A esfericidade é um fator de forma empírico que pode ser determinado por permeametria, técnica que será apresentada em detalhes no capítulo 3. É a partícula esférica que apresenta o maior valor da esfericidade, φ=1; as partículas que ocorrem usualmente, como aquelas resultantes dos processos de moagem, apresentam a esfericidade na faixa de 0,5 a 0,7. O coeficiente de arraste c , presente na equação que define a força resistiva fluido- partícula, equação (7), pode ser calculado através da medida da velocidade terminal da partícula , isto é, a velocidade constante atingida pela partícula quando lançada no fluido inicialmente em repouso. Definindo a área característica desta equação como sendo a área da seção transversal da esfera de diâmetro , D vt DP (12) A DP= π 2 4/ resulta no campo gravitacional, a partir das equações (8) e (9). U vz t= − = −0 vt (13) c D g vD S F P F t = −4 3 2 ( )ρ ρ ρ . (14) vt Um grande número de experiências conduzidas com partículas isométricas, isto é, partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro), parecem indicar que o valor do coeficiente de arraste depende apenas do número de Reynolds, Re = D vP t Fρµ (15) e da esfericidade (Pettyjohn e Christiansen, 1948). Generalizande este resultado, c D b U fD S F P F = − =4 3 2 1 ( ) ( ,ρ ρρ φRe ) (16) Re = D UP Fρµ (17) b = = =b U u, U − v ) , ) . (18) A partir da equação (16): (19) Re Re= f cD2 2( ,φ (20) Re / Re= f cD3( φ 15 onde os grupos adimensionais são assim calculados cDRe / Re 2 cDe c bDD F S F PRe 2 3 2 4 3 = −ρ ρ ρµ ( ) (21) c b UD S F F / ( )Re = −4 3 2 3 ρ ρ µ ρ . (22) Cabe ressaltar que a correlação expressa pela equação (16) é o ponto de partida para o estabelecimento das equações (19) e (20) e que pode ser utilizada com vantagem no estudo da dinâmica da partícula em fluido não newtoniano pelo fato da viscosidade estar presente apenas no número de Reynolds. A equação (19) presta-se para o cálculo de U , pois não inclui esta variável; analogamente, a equação (20) deve ser utilizada no cálculo de já que não inclui esta variável. Nestas duas últimas situações, U e são calculados a partir do número de Reynolds. cDRe 2 DP /ReDc DP As correlações apresentadas nas tabelas (2) a (4) referem-se à fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em fluido newtoniano. Embora a tabela (3) inclua a partícula esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela (2). A tabela (4) fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes ou o de Newton , isto é, quando ou . As correlações das tabelas (2) e (3) foram estabelecidas através do Método das Duas Assíntotas de Churchill (1983). Re < 0 5, 10 2 103 < < ×Re 5 n , (23) y x y x y xo n n( ) [ ( ) ( )] /= + ∞ 1 onde referem-se, respectivamente, aos regimes de Stokes e Newton, e o “valor ótimo” de n é determinado a partir de dados experimentais, dentro de algum critério estatístico. y x xo ( ) ( ) ye ∞ Entre outras correlações apresentadas na literatura para a fluidodinâmica da partícula isométrica, cabe mencionar as de Concha e Barrientos (1986) e Haider e Levenspiel (1989). Estas correlações, baseadas essencialmente nos dados experimentais de Pettyjohn e Christiansen (1948), são de complexidade e precisão equivalentes àquelas apresentadas na tabela (3). Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da partícula não-isométrica através da esfericidade. 16 Tabela 2 - Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). Re < ×5 104 Correlação n Valor Médio e Desvio Padrão n/1 n n D 43,0 24c + = Re 0,63 ( ) ( ) , ,exp c c D D cor = ±1 00 0 09 Re Re Re 2 2 = + − − − c cD n D n n 24 0 43 2 1 , / / 0,95 ( ) ( ) , ,exp Re Re cor = ±1 00 0 06 Re Re Re = + 24 0 43 2 1 c cD n D n n / , / / / 0,88 ( ) ( ) , ,exp Re Re cor = ±1 00 0 09 Re Re Re2= = − = −D U bD b U P F D F S F P D S F F ρ µ ρ ρ ρ µ ρ ρ µ ρ2 3, ( ) , / ( ) c c4 3 4 3 3 2 17 Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948). 0 65 1 5 104, < ≤ < ×φ e Re Correlação n Valor Médio e Desvio Padrão c K KD n n n = + 24 1 2 1 Re / 0,85 ( ) ( ) , ,exp c c D D cor = ±1 00 0 13 Re Re Re 2 2 = + − − − K c c K D n D n n 1 2 2 1 24 / / 1,2 ( ) ( ) , ,exp R R e e cor = ±1 00 0 10 Re Re Re = + 24 1 2 2 1 K c K cD n D n n ( / ) / / / 1,3 (Re) (Re) , ,exp cor = ±100 014 Re = = − = −D U bD b U P F D F S F P D S F F ρ µ ρ ρ ρ µ ρ ρ µ ρ2 3, Re ( ) , / Re ( ) c c2 3 2 4 3 4 3 K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ − 18 Tabela 4 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, (1948). 0 65 1, < ≤φ Variável a Ser Estimada Regime de Stokes Re < 0 5, Regime de Newton 10 5 103 4< < ×Re cD 24 1K Re K2 U ( )ρ ρ µ S F− bK D1 2 18 p 4 3 2 1 2( ) /ρ ρ ρ S F p F bD K − Dp 18 1 1 2µ ρ ρ U bKS F( ) / − 3 4 2 2ρ ρ ρ F S F K U b( )− K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ − 19 Exemplo Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da elutriação com corrente ascendente de água. Propriedades do minério A: ρ φ SA A= =2 2 0 703, / ,g cm e SB B= =3 2 0 853, / ,g cm e 0149 0 595, ,< <D mmP mm s m s mm m Água A+B A+B A Propriedades do minério B: ρ φ Faixa granulométrica da mistura A+B: , correspondendo às peneiras 28/100 # Tyler. A velocidadede elutriação de água (20ºC) que permite recuperar a maior quantidade possível do produto A puro é igual à velocidade terminal da menor partícula de B, isto é, . Resulta da tabela 3, utilizando as propriedades de B: , e, deste último, . DPB = 0149, Re ,= 2 93 cD Re , 2 95 2= u v cmF tB= = 197, / Conhecida a velocidade de elutriação, é possível calcular o diâmetro da maior partícula de A presente no produto arrastado. A tabela (3) leva aos seguintes resultados utilizando as propriedades de A: c , e, deste último, . D / ,Re = 2 05 Re ,= 3 97 D mPA = 0 202, Em conclusão, a velocidade de elutriação leva a um produto de topo constituido de A puro na faixa granulométrica ; o produto de fundo é constituido de uma mistura de A e de B . Cabe salientar que esta análise trata apenas das condições de separabilidade dos componentes A e B na elutriação e nada informa sobre a cinética de separação. Pode-se esperar que as partículas maiores de A sejam arrastadas muito lentamente e que as partículas menores de B sedimentem também muito lentamente. u cm= 197, / 149 0 202, < <DP 595, mm 0 , )0< <D 0(0 202, P ( )149 0 595, ,< <D mP Efeito da presença de fronteiras rígidas Resultados analíticos reunidos na tabela (1) evidenciam que a fluidodinâmica da partícula é influenciado pela presença de fronteiras rígidas, resultando uma redução na velocidade terminal em relação à velocidade terminal da partícula isolada, v . ∞ 20 Almeida (1995) estudou experimentalmente o movimento da partícula isométrica ao longo do eixo principal de um tubo cilíndrico com diâmetro , resultando a figura (1) e as correlações empíricas apresentadas na tabela (5). Cabe ressaltar que as correlações clássicas de Francis (1933), regime de Stokes, e de Munroe (1888), regime de Newton, válidas para esferas, podem ser utilizadas também para partículas isométricas. Dt vt Dt Francis (1933) Almeida (1995) Munroe (1888) 10310 2 10110-110-2 10-2 0,2 = 0,5 Re =∞ 0,3 D p D t 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,05 0,1 0,3 0,2 β= 0,4 vt v∞ µ D vp ∞ρF Figura 1 - Efeito de parede na velocidade terminal da partícula isométrica (Almeida, 1995). 21 Tabela 5 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano (Almeida, 1995): . 5,0D/D0 e 165,0 tP ≤<≤φ< Re∞ ∞= D vP Fρµ k v v D DP t P t= = ∞ , / β < 0,1 (Francis, 1933) kP = −− 1 1 0 475 4β β, 0 1 103, − k AP B = + ∞ 10 1 Re A e= = × −−8 91 117 10 0 2812 79 3, , , ,, β β B > 103 (Munroe, 1888) kP = −1 3 2β / Re = − = 24 0 85 1 3 54 2 1K e c KD n n n , /( ) , β n , para 35<Re 2 tF PFS D v gD)( 3 4c ρ ρ−ρ= K1 10 20 843 0 065 5 31 4 88= =, log , , , ,φ φ K − 22 Exemplo Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da velocidade terminal limitando, com a escolha adequada do diâmetro do cilindro de testes, o efeito de parede a 5%, isto é, k v vP t= > ∞ 0 95, . A partícula tem diâmetro . Utilizando as correlações de Francis e Munroe, tabela (5), D mP = 5 m Regime de Stokes : ; D D mmt P t/ ,> >41 205 D Regime de Newton: . D D mmt P t/ ,> >8 40 D Os resultados evidenciam que o efeito da parede e bem mais agudo no regime de Stokes que no regime de Newton. Influência da concentração de partículas V , ) Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de Einstein (Govier e Aziz, 1972, p. 98). , (24) v v ct / / ,∞ = +1 1 2 5( ) onde v é a velocidade terminal da partícula isolada e a fração volumétrica da fase sólida na suspensão. ∞ cV O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954). , (25) U v f/ Re∞ ε= ∞( onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, U = −v u , Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada, Re∞ ∞= D vP Fρµ , ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão, . ε = −1 cV 23 As correlações referentes à equação (25) podem ser determinadas através da experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no primeiro caso U v , onde v é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso , sendo a vazão de fluido e a A área da seção transversal de fluidização (Barnea e Mizrahi, 1973). A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluido- suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas. = / ε ) QU Q AF= / (ε F A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com partículas "arredondadas", em faixa granulométrica "estreita" representada por um diâmetro médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem diferir substancialmente entre si. São apresentadas na tabela (6) as correlações de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas, a de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares e outras resultantes dos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978). Na figura (2) é feita a comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979) para partículas arredondadas: as maiores discrepâncias ocorrem quando a porosidade é elevada e na região intermediária entre os regimes de Stokes e Newton. 24 Tabela 6 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões. A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas: U v nn/ (∞ ∞= =ε , R n )e Re∞ < 0,2 0,2-1 1-500 > 500 n 3,65 4 35 10 03, Re ,∞− − 4 45 10 1, Re ,∞− − 1,39 B. Correlação de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares (areia, hematita, itabirito, dolomita e quartzo, 0,47<φ<0,80). U v/ , Re, Re , ∞ ∞= <∞ −ε5 93 0 14 700 9,5 < . O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994) Re , , , , , , , , , , Re , Re , , , , , , , Re , , , , , ∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − ∞ ∞ < = − < ≤ < < < < = + < < = = − > × = 0 2 0 83 4 8 3 8 0 5 0 9 0 9 1 1 500 1 1 0 5 0 95 0 28 0 35 0 33 2 10 0 095 2 29 3 94 5 96 3 U v U v A A B U v B ε ε ε ε ε ε ε ε εexp( ), 0,5 < < 0,95. 25 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ε = 0,95 0,95 0,90 0,90 0,80 0,80 0,70 0,70 0,60 0,60 1 U/v∞ 103 Richardson e Zaki Almendra Re∞ 10410210110-110 -2 Figura 2 - Influênciada concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões: comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979). 26 Outra estratégia que pode ser adotada na análise de fluidodinâmica de suspensões consiste em considerar o comportamento isolado de uma partícula no seio da mistura sólido- fluido, mistura esta caracterizada pela densidade e viscosidade ρSusp e µSusp(Govier e Aziz, 1972, p.98; Massarani e Santana, 1994). Assim, no regime de Stokes, tabela (4), U 18 DgK)( v Susp 2 P1SuspS ε=µ ρ−ρ= . (26) Sendo v gK DS F∞ = −( )ρ ρ µ 1 2 18 P (27) e , (28) ρ ρ ε ρ ρS Susp S F− = −( ) resulta, combinando as equações (25) a (28), µ µ µSusp (= = ∞ ∞U v f / / Re ,ε) . (29) Finalmente, cabe indagar em que medida podem estar relacionados entre si os resultados clássicos da fluidodinâmica nos meios de densos, estabelecidos no contexto da Teoria de Misturas, e os da fluidodinâmica de suspensões estabelecidos a partir do comportamento da partícula isolada. O assunto será abordado nos capítulos 3 e 4. Demonstra- se, por exemplo, que no regime de Stokes U D gP S F= ⋅ ⋅ − ⋅ − 1 36 1 2 2 µ φ β ε ε ρ ρ ( ) ( ) (30) ou, de modo equivalente, cD = ⋅ ⋅ − ⋅43 36 1 1 2 2 β φ ε ε Re , (31) sendo β ε ε= − <3 82 1 0 977 21, / ( ) ,, e . 27 Exemplo Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em duto com diâmetro , de partículas sólidas com as seguintes propriedades: diâmetro , densidade ρ e esfericidade D ct = 51, mm m DP = 1 S g cm= 3 3/ φ = 0 75, . a) O fluido é água e as vazões de fluido e sólido são respectivamente Q . ( /ρ µF g cm= 1 3 e = 0,9cP) h Q m hF S= = 33 3/ /e m15 b) O fluido é ar a 20ºC e 1 atm e as vazões de fluido e sólido são respectivamente . ( , /ρ µF g cm= × ×−1 2 10 3 3 e = 1,8 10 cP)-2 Q m h Q m hF S= =39 9 1 323 3, / , /e A porosidade no transporte vertical pode ser calculada resolvendo a equação (25), U Q A Q A v fF S= − − = ∞ ∞ε ε ε( ) ( ,1 Re ) m , onde é a área da seção transversal do duto. Uma estimativa do valor da porosidade pode ser alcançada a partir do conhecimento das vazões de cada fase, A c= 20 4 2, α εε ε ε ε ε = + = + − = + − Q Q Q u A u A v A v u F F S ( ) ( )1 1 . (32) Quando v u tende a 1, ε tende a α. Na solução deste exemplo admite-se que as correlações de Richardson e Zaki (1954), tabela (6), sejam válidas apesar das partículas não serem arredondadas. 2Re∞Dc (eq. 21) Re∞ (tab. 3) n (tab. 6) v∞ (cm/s) α (eq. 32) ε (eq. 25) u (cm/s) v (cm/s) u v Trans. Hidráulico 3,23x104 134 1,73 12,1 0,833 0,829 246 239 1,03 Trans. Pneumático 1,45x105 295 1,52 443 0,968 0,921 592 228 2,60 28 O fato da densidade e viscosidade da água serem muito maiores do que estas propriedades para o ar explica os resultados esperados de que a velocidade de deslizamento é muito menor no primeiro caso do que no segundo. u v− 3. O Movimento Acelerado da Partícula O movimento retilínio acelerado de uma esfera no seio de um fluido newtoniano, regime de Stokes, foi estudado no final do século passado por Basset (Berker, 1963, p.241). No caso da queda livre da partícula partindo do repouso em fluido inicialmente estagnado a força resistiva toma a forma indicada na tabela (1): l ττ− τπµρ+µπ+ρ= ∫ dtd dv )(D 2 3)t(vD3 dt dvV 2 t 0 2/1 F 2 P F . (33) O primeiro termo do segundo membro da equação fornece o valor da força resistiva que o fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo exprime o resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em fluido viscoso; o terceiro termo evidencia a ação “hereditária” do fluido sobre a partícula, pois explicita o fato de que a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. Substituindo a equação (33) na equação do movimento da partícula, equação (6), resulta a equação integro-diferencial ρ ρ ρ ρ π µ πµρ τ τ τS F P S F P FV dv dt V g D v t D dv d t d+ = − − − −∫2 3 32 2 1 2 0( ) ( ) ( ) / t , (34) que pode ser resolvida analiticamente por diferentes técnicas (Clift et al., 1979, p. 285; Hackenberg, 1991). O resultado expresso pela equação (34) mostra que a aceleração inicial da partícula a S F S F ( ) (0 2 2 = −+ ρ ρ ρ ρ g ) , (35) tende ao valor da intensidade do campo gravitacional g quando ρS >> ρF e que esta aceleração é nula no caso limite em que as densidades do fluido e da partícula forem iguais entre si. Desprezando o efeito da história da aceleração da partícula, a integração da equação (34) fornece v v v D tt t S F− = + exp ( ) 36 2 2 µ ρ ρ , (36) onde v é a velocidade terminal da partícula t 29 v gDt S F= −( )ρ ρ µ 2 18 . Exemplo O diâmetro da esfera sólida de densidade em queda livre no ar e na água ( , no limite de validade do regime de Stokes, ρS g cm= 3 3/ /ρF g cm= 1( , / ,ρ µS g cm P= × = ×− −1 2 10 18 103 3 4 e ) 0 2, )µ P= −13 Re∞ = =Dvt Fρµ 0 5, , é de respectivamente 43µm e 77µm. Para os sistemas assim definidos, a integração da equação (34) e a equação (36) conduzem à figura (3) (Hackenberg, 1991). Pode-se observar que o regime permanente é atingido em fração de segundo, sendo que a água leva a uma resposta mais rápida inicialmente e mais retardada ao final. O efeito da história da aceleração da partícula é importante no caso da água e desprezível no caso do ar. 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 água ar Eq. (34) Eq. (36) ar água 1 v/vt t (s)0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 Figura 3 - Movimento acelerado das esferas com densidade e diâmetro em ar e em água . 3 3g cm/ D m= 43µ D = 77µm (Re , )∞ = 0 5 Face às evidentes dificuldades tanto na abordagem teórica quanto experimental, a literatura evidencia uma grande carência de informações relativas ao movimento acelerado da 30 partícula fora do regime de Stokes e quando estas não são esféricas (Marchildon e Gauvin, 1979; Renganathan et al., 1989). Na situação em que ρS >> ρF, Renganathan et al. (1989), em abordagem empírica, consideram a queda livre da partícula como descrita pela equação do movimento m dv dt V g D c vP P S D F= −ρ π ρ 2 2 4 2 (37) em que o coeficiente de arraste c f preserva a forma funcional das correlações alcançadas no movimento estabelecido, . D = (Re c fD = ) λ* ∞ ∞( )Re 4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano Os estudos teóricos relativos ao escoamento de fluidos não newtonianos nas vizinhanças de esferas rígidas restringem-se aos casos em que prevalece o regime de Stokes. Neste sentido, cabe mencionar os trabalhos de Caswell (1962, 1970). A estratégia usada neste capítulo e nos seguintes consiste em estender a formulação clássica sobre a dinâmica da partícula sólida em fluidos newtonianos para contemplar também uma classe ampla de fluidos não newtonianos: o elo de ligação é a viscosidade efetiva µef que pode ser calculada através da tensão cisalhante S, uma propriedade material do fluido, e da taxa de deformação característica λ∗ , uma propriedade cinemática de escoamento (Massarani e Silva Telles, 1978), (38) µ λef S= ( ) /*A taxa de distensão característica λ∗ pode ser determinada empiricamente através da medida experimental da velocidade da partícula com o auxílio, por exemplo, das relações apresentadas nas tabelas (3), (5) e (6) na seguinte seqüência: cD × Re v c D b v D v S t D S F P F t ef P t F→ = − → → = → = 4 3 2 ( ) ( ) / * * * ρ ρ ρ µ ρ λ µ λ Re Re ef a partir de λ . A propriedade cinemática λ pode ser representada do modo, * D v* α=λ (39) onde v* e D* são respectivamente uma velocidade e dimensão características e α um fator de configuração adimensional. Estão reunidos na tabela (7) os resultados obtidos para a dinâmica da partícula isolada e nos casos em que são levados em conta os efeitos de parede e de concentração. 31 Tabela 7 - Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano Descrição Taxa de Distensão λ∗ Referência Partículas esféricas e não esféricas isoladas P 2 D v)62,346,1385,8(39,0 −φ+φ− Laruccia (1990) Deslocamento da partícula esférica ao longo do eixo principal do tubo )5,0D/D( D ve39,0 t 81,6 <=β ⋅β Almeida (1995) Efeito de concentração na fluidodinâmica de partículas )9,0( D U19 P <ε ⋅φε ε− Silva Telles e Massarani (1979) Exemplo Reômetro de Stokes para fluidos não newtonianos Deseja-se determinar a relação para um fluido não newtoniano através da medida da velocidade de deslocamento de esferas neste fluido. Diâmetro do tubo, . Densidade do fluido, ρ . Dados: S S= ( )λ D mt = 20 m 3F cm/g15,1= Dt v Exp. nº ρS (g/cm³) D (cm) β v (cm/s) 1 2,55 0,20 0,10 0,72 2 2,55 0,50 0,25 3,61 3 3,98 0,30 0,15 3,78 4 3,98 0,50 0,25 8,87 5 7,60 0,30 0,15 9,85 6 7,60 0,50 0,25 22,3 32 Resulta: Exp. nº λ*( )s−1 (tab. 7) cD (eq. 14) Re (tab.5) )P( vD FP ef Re ρ=µ )cm/dyn( )(S 2 * ef * λµ=λ 1 2,77 614 0,056 2,96 8,20 2 15,1 61,1 0,957 2,17 32,8 3 13,6 67,6 0,606 2,15 29,2 4 38,0 20,5 2,94 1,73 65,7 5 35,6 22,7 1,86 1,83 65,2 6 95,5 7,38 8,75 1,47 140 O resultado pode ser expresso de modo conveniente através de , válido para . 280,0 cm/dyn 65,3S λ= 1s1002 −<λ< 33 Problemas: Fluidodinâmica da Partícula Sólida 1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com água a 30°C, numa vazão de 37 cm3/min: Elutriador Diâmetro do tubo (cm) Massa recolhida (g) 1 3,0 4,62 2 4,0 6,75 3 6,0 7,75 4 12,0 4,42 Determinar a distribuição granulométrica da amostra em termos do diâmetro de Stokes, sabendo-se que a densidade do sólido é 1,8 g/cm3. Resposta: Elutriador Diâmetro (cm) Velocidade do fluido (cm/s) DP (µm) X 1 3,0 8,72×10-2 44,9 0,815 2 4,0 4,91×10-2 33,7 0,545 3 6,0 2,18×10-2 22,4 0,235 4 12,0 5,45×10-3 11,2 0,058 34 2. Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene. Propriedades do fluido: densidade 0,9 g/cm3 e viscosidade 2,3 cP. Propriedades das partículas: densidade 2,3 g/cm3, diâmetro médio 0,8 mm, esfericidade 0,8. Concentração de sólidos na suspensão: 260 g/l de suspensão. Resposta: Porosidade da suspensão: 0,887. Velocidade terminal da partícula isolada: 7,71 cm/s Velocidade de sedimentação da suspensão: 5,25 cm/s. 3. Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em água, a 25°C: c gAl O cm( /2 3 3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435 v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 A densidade das partículas é 4,0 g/cm3 e a esfericidade é estimada em 0,7. a) Determinar, pela extrapolação dos dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular Dp (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula); b) Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica de Richardson & Zaki. Resposta: Dados experimentais: v min R= − + =223 267 0 9962ε cm / ( , ) . Velocidade terminal calculada por extrapolação dos dados experimentais: 43,3 cm/min. Diâmetro volumétrico das partículas: 72 µm. ε 0,990 0,978 0,964 0,931 0,891 v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 v v cm min= ∞ε4 43, ( / ) 41,4 39,2 36,8 31,5 25,9 4. Michael e Bolger (IEC Fundam., 1, 24, 1962) desenvolveram um método que permite a caracterização de partículas floculadas (diâmetro e densidade médios, grau de floculação e velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetros desejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações: (Correlação de Richardson e Zaki) v v kco= −∞ ( ) ,1 4 65 35 v D gfl fl F ∞ = −2 18 ( )ρ ρ µ (Equação de Stokes) ρ ρ ρ ρρfl F S Sk − = − F (Balanço de massa), onde v - velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em batelada; v∞ - velocidade terminal do floco à diluição infinita; k - volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de floculação); co - concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de supensão; Dfl - diâmetro médio dos flocos; ρ fl - densidade média dos flocos; ρF - densidade do fluido; ρS - densidade do sólido seco; g - aceleração da gravidade; µ - viscosidade do fluido. Calcular as propriedades caracaterísticas ( dos flocos de hidróxido de cálcio de uma suspensão aquosa (agente de floculação: alúmen) sabendo-se que a 25ºC: , , )v D k fl fl∞ e ρ c g cmo ( / ) 3 6×10-3 8×10-3 10×10-3 12,5×10-3 15×10-3 20×10-3 25×10-3 30×10-3 v cm min( / ) 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30. A densidade do sólido seco é 2,20 g/cm3. Resposta: v∞ = 7,89 cm/min e k = 14,7 cm3/g (1ª equação). ρ fl = 1,037 g/cm3 (3ª equação). Dfl = 256 µm (2ª equação). 5. Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas 0-1 µm, 1-2 µm, 2-3 µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade 36 do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é água a 20ºC. (P.Grodzinski, “Diamond Technology”, NAG Press Ltd., Londres, 2ª edição, p. 349, 1953). Resposta: Faixa granulométrica (µm) 0-1 1-2 2-3 Velocidade de elutriação (cm/h) 0,427 1,71 3,84. 6. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água com velocidade de 0,5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma: Dp (µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 43 54 64 72 78 88. Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Galena: densidade 7,5 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,8. Calcário: densidade 2,7 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,7. Temperatura da água: 20ºC. Resposta: Análise granulométrica da alimentação 27,2 pD 6,441 1X + = , Dp em µm. Material c g uD S F F / ( )Re = −4 3 2 3 ρ ρ µ ρ Re Diâmetro Crítico, µm % Massa Arrastada Calcário 178 0,395 73,8 0,76 Galena 680 0,196 39,2 0,43% galena na alimentação : 20,0 % galena no produto de fundo: 37,3 % galena no produto de topo : 12,4. 7. O separador de poeira opera em 3 compartimentos, como mostra o esquema abaixo representado. Estimar a faixa granulométrica das partículas retidas em cada compartimento sabendo-se que a vazão de gás (ar a 20ºC e 1 atm) é 140 m3/min, a densidade das partículas é 3 g/cm3 e sua esfericidade 0,75. 37 Resposta: Compartimento L m( ) v H u m s t = / ( / ) L c g vD S F F t / ( )Re = −4 3 2 3 ρ ρ µ ρ Re DP m( )µ Faixa Granulométrica ( )µm 1 1,5 0,390 8,27 1,84 72,2 >72,2 2 3 0,195 66,2 0,640 49,2 49,2-72,2 3 4,5 0,130 223 0,347 40,0 40,0-49,2 8. Dimensionar um rotâmetro tronco de cone-esfera para medir a vazão de água (20ºC) na faixa de 1 a 3 m3/h. O flutuador é uma esfera de aço com 1 cm de diâmetro e densidade 7,7 g/cm3. Que faixa de vazões este mesmo rotâmetro mediria se o fluido fosse ar a 20ºC e 1 atm? Resposta: A altura h não influencia o desempenho do rotâmetro. Pode ser da ordem de 20 cm por questão de comodidade e precisão na leitura da escala do aparelho. Faixa de vazão de ar: 30,4 a 97,8 m3/h. 38 Bibliografia Allen, T., “Particle Size Measurement”, Chapman & Hall, Londres, 3¦ edição, 454 p. (1981). Almendra, E.R., “Velocidade de Sedimentação de Sistemas Particulados”, Tese de M.Sc., Programa de Eng. Metalúrgica e de Materiais, COPPE/UFRJ, 88 p. (1979). Almeida, O.P., “Estudo do Efeito de Fronteiras Rígidas Sobre a Velocidade Terminal de Partículas Isométricas”, Tese de M.Sc., Programa de Eng.Química, COPPE/UFRJ, 86p.(1995). Barnea, E. e Mizrahi, J., “A Generalized Approach to the Fluid Dynamics of Particulate Systems. Part I. General Correlation for Fluidization and Sedimentation in Solid Multiparticle Systems”, Chem. Engineering J., vol. 5, 171-189 (1973). Berker, R., “Intégration des Équations du Mouvement d'un Fluid Visqueux Incompressible”, Handbuch der Physik (Flügge, S., Ed.), vol. VIII/2, Spring-Verlag, Berlin, 384 p. (1963). Bird, R.B., Stewart, W.E. e Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena”, J. Wiley, N.Iorque, 780 p.(1960). 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Considera-se nesta análise que: a) As partículas sejam caracterizadas individualmente através do diâmetro volumétrico e da esferacidade φ ; DP b) A distribuição de tamanhos das partículas, isto é, a análise granulométrica, seja expressa por , sendo X a fração em massa das partículas com diâmetro menor que ; X X DP= ( ) DP c) O campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença das partículas seja ; u u x= ( ) d) Os efeitos da aceleração e concentração de partículas sejam desprezíveis no comportamento dinâmico destas partículas. Como visto no capítulo anterior, a equação do movimento de translação da partícula é expressa por 0 = l (+ (1) bPF V)ρ−ρS l vuUU −=ρ= ,c 2 A DF U (2) c f D UD P F= =( , ), ,Re φ ρµ Re U U= . (3) Nestas equações ρ e µ são respectivamente a densidade e a viscosidade do fluido, ρ a densidade das partículas, l a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula, A e V a área projetada ( e V o volume ( da partícula, b a intensidade do campo exterior, o coeficiente de arraste, u, v e U respectivamente a velocidade do fluido, a velocidade da partícula e a velocidade relativa fluido-partícula. F DP 2 S P / )π 4 P / )πDP3 6 cD Seja a situação simples em que se deseja determinar o diâmetro da partícula que percorre a trajetória assinalada na figura (1) representando uma fenda retangular com 41 dimensões B, H e L. Na situação de maior interesse tecnológico H<<B, o que equivale a considerar o escoamento como ocorrendo entre placas paralelas. O efeito da aceleração da partícula não é levado em conta. B L H u v x yh (cortetransversal) (corte longitudinal) Figura 1 - Fluidodinâmica da partícula na fenda de seção retangular Equação do movimento da partícula: Componente na direção x A c U u vF D x x, ( 0 2 0= −ρ ) + ; Componente na direção y A c U v V gF D y S F P, ( ) ( 0 2 0= + − −ρ ρ )ρ x y Resulta da primeira equação que e , portanto, v ux = [ ]U u v v vx x y= − + + =( ) ( ) /2 2 1 20 . Substituindo este resultado na segunda equação, vem v V gA c y S F P F D = − ( ) / ρ ρ ρ 2 1 2 que representa, segundo a equação (14) do primeiro capítulo, a velocidade terminal da partícula isolada, v . Portanto, desprezando o efeito da aceleração da partícula: t Na direção do escoamento do fluido, ; v ux x= Na direção normal ao escoamento do fluido, v v . y t= Voltando à figura da fenda de seção retangular, pela composição do movimento da partícula 42 h v L ut h = , (4) onde u h é a velocidade média do fluido em 0 . Portanto, ≤ ≤y h v h u Lt h= e c g vD S F F t / ( )Re = −4 3 2 3 ρ ρ µ ρ que permite calcular Re (tabela 2 do capítulo 1) e dele o valor do diâmetro da partícula desejado. A situação mais desfavorável para a captura da partícula corresponde à posição h=H, a espessura de separação da câmara. O diâmetro crítico especifica as condições limites de separabilidade no equipamento em análise: partículas com diâmetros maior que são coletadas com eficiência de 100% independentemente da posição em que ingressam na câmara de separação. A equação (4) toma a forma Dpc Dpc H v L ut = , (5) a equação de projeto para a separação de partículas na fenda de seção retangular. Exemplo O sedimentador lamelado é constituido por um conjunto de fendas com seção retangular em que a espessura de separação em cada fenda H/n é muito menor que o comprimento L. A inclinação das lamelas, da ordem de 40º , permite a retirada contínua por gravidade das partículas depositadas nestas lamelas. L HH/n θ Suspensão 43 A velocidade terminal da partícula com diâmetro crítico é, analogamente à equação (5), Dpc v H u L H H u Lt = + ≅cos sen cos θ θ θ . Sendo Q BH u= a vazão de suspensão que alimenta o sedimentador lamelado, resulta a equação de projeto , v Q At = / * onde é a área projetada das n lamelas ativas no plano horizontal. A nBL cos * = θ r/ e Exemplo Deseja-se determinar o tempo consumido para que uma partícula se desloque, num campo centrífugo, da posição radial r até a parede do equipamento de separação. Fluido Ω vθ vr r v Na situação representada na figura, os componentes da velocidade do fluido são e (Bird et al., 1960, p.96) e do campo centrífugo b , sendo ê a velocidade angular da carcaça cilíndrica. Desprezando a aceleração da partícula, resulta da equação do movimento: ur = 0 u rθ = Ω b vr = θ2 θ = 0 v dr dt v V bA c r t S F P r F D = = = − ( ) / ρ ρ ρ 2 1 2 (6) , (7) v u rθ θ= = Ω 44 onde v é a velocidade terminal da partícula no campo centrífugo. A integração da equação (6) para a partícula esférica e regime de Stokes leva ao valor do tempo desejado, t 2 FS D)( 18t Ωρ−ρ µ= .ln(R/r) (8) 2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular O projeto e a análise do desempenho do equipamento de separação sólido-fluido podem ser realizados em base aos seguintes resultados: a) Equação que relaciona o diâmetro de corte D∗ às propriedades físicas do sistema particulado, às dimensões do equipamento e às condições operacionais; b) Função eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D, (9) η η= ( / *D D ) que depende da configuração do equipamento, do regime de escoamento do fluido e da dinâmica da partícula; c) Função eficiência global de coleta que depende da distribuição granulométrica do conjunto de partículas, , X X D= ( ) η η= ∫01 ( / )*D D dX ; (10) d) Equação que relaciona queda de pressão e vazão de fluido no equipamento de separação. O diâmetro de corte pode ser especificado de diferentes formas; neste texto é definido como sendo o diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50% no equipamento de separação. Na análise da separação sólido-fluido em camada delgada ( conduzida no equipamento representado na figura (1) serão consideradas as seguintes hipóteses: )H B<< a) As partículas estão igualmente distribuidas na alimentação, x , independentemente do valor do diâmetro. Portanto, a eficiência de coleta da partícula com diâmetro D que percorre a trajetória assinalada na figura é = 0 , (11) η( ) /D h= H estando o diâmetro de corte associado a h H . = / 2 45 b) O escoamento de fluido na fenda é laminar, resultando (Bird et al., 1960, p.62) u u y H y H = − 6 2 (12) H2/H h 0 h uu u H h H h 3 1 2 1u6udy h 1u == −== ∫ (13) Q HB u BH p L = = − 1 12 3 µ ∆ , (14) onde Q é a vazão de fluido e a queda de pressão no equipamento. ∆p c) Prevalece o regime de Stokes para as partículas sólidas (capítulo 1, tabela 4) v K gDt S F= −1 2 18 ( )ρ ρ µ (15) . K1 100 843 0 065= , log ( / , )φ Combinando as equações (4), (11), (13) e (15) resulta η( ) ( / ) ( ) ( ) * * D h H h H L v u L v u h H h H D D t D h t D = = = = − −1 2 2 1 2 1 12 1 2 1 3 1 2 . (16) Portanto, a função eficiência individual de coleta η η para o equipamento em questão, dentro das hipóteses consideradas, é = ( / *D D ) ( ) , / , / * * * 3 2 1 2 2 1 2 2 2 − = ≤ = ≥ η η η D D D D D D . (17) A relação entre o diâmetro de corte D*, as propriedades físicas do sistema particulado, as dimensões do equipamento e as condições operacionais pode ser estabelecida combinando as equações (4) e (15) D Q BLK g S F * / ( ) = − 9 1 1 2µ ρ ρ . (18) 46 Cabe ainda mencionar que quando o escoamento de fluido é turbulento, u Q Bh ≅ / ,H resultando da equação (16) a denominada “eficiência teórica” do equipamento de separação (Perry e Green, 1984, p.20-86): η η = ≤ = ≥ 1 2 2 1 2 2D D D D * * * , / , / D D . (19) 3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas A trajetória da partícula assinalada no esquema da centrífuga tubular, figura (2), permite especificar o valor D do diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 100%. Para facilitar a análise, considera-se que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes. R fluido u v fluido u L z Q R0 Figura 2 - Esquema da centrífuga tubular 47 Resulta da composição do movimento da partícula com diâmetro crítico, utilizando a equação (8), D)( 18 )RR( Q L u Lt FS 2 0 2 Ωρ−ρ µ= −π == ln ( )R/R 0 ou, explicitando a vazão de líquido, )R/R(nlg L)RR( 18 gD)(Q 0 22 0 22 FS ⋅ Ω−π⋅µ ρ−ρ= . (20) Este último resultado mostra que a capacidade da centrífuga pode ser expressa pelo produtode dois termos, um que caracteriza o sistema particulado (a velocidade terminal da partícula no campo gravitacional) e o outro que caracteriza a configuração, as dimensões e rotação da centrífuga, o fator sigma: . (21) Q vt= Σ A equação (21) constitui a base para a especificação da centrífuga para uma dada tarefa, conhecendo o desempenho de uma centrífuga de laboratório, ambas do mesmo tipo, operando com a mesma suspensão (Svarovsky, 1981): Q QΣ Σ = 1 2 . (22) 4. Ciclones a Gás e Hidrociclones A separação de particulas no interior do ciclone é efetuada pela ação do campo centrífugo resultante da configuração do equipamento e do modo com que a suspensão o alimenta. O estudo da fluidodinâmica da partícula no ciclone vem recebendo contribuições teóricas significativas, o que faz prever que em futuro próximo o projeto e a análise do desempenho deste equipamento deixem de ser fundamentalmente empíricos: Leith e Licht (1972), Bloor et al. (1980), Mothes e Löffler (1985), Barrientos e Concha (1992). Tal como foi abordado no item 2 deste capítulo, procura-se estabelecer para ciclones com diferentes configurações as equações que fornecem a relação entre diâmetro de corte, propriedades físicas do sistema, dimensões do equipamento e condições operacionais, a função eficiência de coleta relativa à partícula de diâmetro D, a expressão para a eficiência global de coleta e a equação que relaciona vazão e queda de pressão no ciclone. Cabe ressaltar que a configuração do ciclone caracteriza-se por uma relação específica entre suas dimensões, expressa usualmente em termos do diâmetro da parte cilíndrica do equipamento, . Dc 48 Serão estudados neste item os ciclones a gás nas configurações Lapple e Stairmand e os hidrociclones nas configurações Rietema e Bradley. Enquanto que os ciclones Lapple e Stairmand são amplamente utilizados na indústria, os hidrociclones Rietema e Bradley recebem o rótulo de equipamento de pesquisa e são distintos daqueles disponíveis comercialmente (Pereira e Massarani, 1995). As configurações Estão especificadas na figura (3) as configurações dos ciclones a gás Lapple e Stairmand, e na figura (4) as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley. Diâmetro de corte na separação centrífuga D D K D Q f R g c c c S F L * / ( ) ( ) (= − ⋅ ⋅µρ ρ 1 2 v ) L v 0 5 , (23) onde é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o ciclone, f é um fator de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada no "underflow" sem a ação do campo centrífugo (efeito "T") e g um fator que leva em conta a concentração volumétrica de sólidos na alimentação, c (Massarani, 1991). Dc v O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no "underflow"e na alimentação, , RL (24) f R ARL( ) = +1 , (25) R B D DL u c C= ( / ) e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, e D respectivamente os diâmetros do "underflow" e da parte cilíndrica do equipamento. Du c Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação empírica: . (26) g c c cv v( ) / [ , ( ) , ( )] ,= − − −1 4 8 1 3 8 12 Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluidas do que os hidrociclones e freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado ao "underflow" do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e g não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (23), ou seja, . f g= = 1 Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela (1), cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela. 49 Bc Hc Do Du Dc c Lc Zc S Ciclone Lapple Stairmand B Dc c/ 0,25 0,20 D Do c/ 0,50 0,50 H Dc c/ 0,50 0,50 L Dc c/ 2 1,50 S Dc c/ 0,62 0,50 Z Dc c/ 2 2,50 D Du c/ 0,25 0,37 50 Figura 3 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand Di Do Du θ Dc L1 L Hidrociclone Rietema Bradley D Di c/ 0,28 1/7 D Do c/ 0,34 1/5 L Dc/ 5 - L Dc1 / - 1/2 / Dc 0,40 1/3 θ 10º-20º 9º Figura 4 - Configuração dos hidrociclones Rietema e Bradley 51 l l Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas. Configuração K (eq. 23) A (eq. 24) B (eq. 25) C (eq. 25) β (eq. 32) u Re* *ou * D / Du c Lapple 0,095 - - - 315 5 20< <u m / s 0,25 Stairmand 0,041 - - - 400 10 30< <u m / s 0,37 Rietema 0,039 1,73 145 4,75 1200 5 103 5 104× < < ×Re 0,10-0,30 Bradley 0,016 1,73 55,3 2,63 7500 3 103 2 104× < < ×Re 0,07-0,15 *u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone, u Q B Hc c = **Re , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do ciclone, = D uc c Fρµ u . Q Dc c = π / 4 Função eficiência individual de coleta no campo centrífugo A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser expressa pelas correlações empíricas: Ciclones Lapple e Stairmand η( / ) ( / ) ( / ) * * *D D D D D D = + 2 21 ; (27) Hidrociclones Rietema e Bradley η( / ) exp( / ) exp( / ) * * *D D D D D D = −+ 5 5 146 .1 (28) Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, , é possível estabelecer o valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo, X X D= ( ) (29) ∫ η= 10 dXI e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito "T", η = − +( )1 R I RL L , (30) sendo R o quociente entre as vazões de fluido no "underflow" e na alimentação. L A integração da equação (29) para a situação bastante comum em que a distribuição granulométrica pode ser representada pelo modelo de Rosin-Rammler-Bennet, 52 , (31) X D e D D n ( ) '( / )= − −1 toma a forma (Massarani, 1991): Ciclones Lapple e Stairmand I n n n D D D D = +− + ⋅ 111 0 118 181 0 322 , , , , ( ' / ) ' * * ; (32) Hidrociclones Rietema e Bradley I n n n D D D D = +− + ⋅ 113 0 138 1 44 0 279 , , , , ( ' / ) ' * * . (33) Cabe ressaltar que na equação (31) X é a fração em massa das partículas com diâmetro menor que D e que D' e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o diâmetro da partícula que corresponde a e a dispersão. X = 0 632, A relação vazão - queda de pressão A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na Mecânica dos Fluidos, regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones, β ρ= −∆p uF c 2 2/ (34) u Q Dc c = π 2 4/ , (35) sendo a queda de pressão medida entre o "overflow" e a alimentação. O valor de β depende da configuração do ciclone, como mostra a tabela (1). Exemplo O diâmetro de corte na operação do ciclone A separação sólido-fluido no ciclone pode ser considerada, numa análise grosseira, como acorrendo em camada delgada, num campo centrífugo com intensidade constante. O diâmetro de corte está associado à metade da espessura de separação, isto é, a B . D* c / 2 53 Dc Do trajetória da partículaVista superior do ciclone B c Admitindo que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes, resulta que o tempo de residência do fluido e da partícula com diâmetro D* é dado por V Q B D b a c S F = − / ( ) * 2 18 2ρ ρ µ r (36) b r ur = =Ω2 Ω (37) Ω = 2πN V Q e a / . (38) Nestes resultados, V é o volume que o fluido ocupa no ciclone (pode se formar no hidrociclone um nucleo de ar no interior do equipamento), u e Q respectivamente a velocidade média na seção de entrada e a vazão de fluido, e Ne o número de espiras de fluido que se formam no interior do ciclone. Combinando as equações (36) a (38): a D B N u c e S F * / ( ) = − 9 2 1 2µ π ρ ρ . (39) No caso particular do ciclone Lapple, verifica-se por simples visualização que . Lembrando que para esta configuração Ne ≅ 5 u Q B H Q Dc c c = = 8 2 , vem para a equação (37), D D K D Qc c S F * / ( ) = − µ ρ ρ 1 2 54 K = 0 095, . resultados que confirmam a equação (23) e o valor do parâmetro de configuração K, tabela (1). Exemplo Deseja-se especificar uma bateria de ciclones Lapple para operar com 100 de gás carregado com cinzas de carvão. Densidade das partículas de carvão, ρ . São as seguintes as propriedades do gás: ρ µ A bateria deve funcionar com descarga de sólida intermitente e deseja-se uma eficiência global de coleta superior a 85%. Distribuição granulométrica das partículas 3m min/ S g c= 2 3, / , cPe . m3 035F g cm= × =−4 43 10 03 3, / X e D= − −1 37 7 1 5( / , ) , , . D em µm m s n m s Cálculo do diâmetro de corte Resulta da equação (32), fazendo . I D m = ′ = = =0 85 37 7 1 5 6 0, , , , ,µ µe : n D* Estimativa de e do número de ciclones em paralelo Dc Fazendo na equação (39) u , como recomendado na tabela (1), e lembrando que , vem que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é dado por . Portanto, sendo , resulta que o número de ciclones na bateria é m= 15 0, / Q uDc1 2 8= / 8/DHB 2ccc =⋅ D cm49 6,c = . N Q Q= =/ ,1 3 6 Novo cálculo de considerando 4 ciclones em paralelo Dc A vazão em cada ciclone é . Vem da equação (23) que , o que leva a uma velocidade u , valor este dentro da faixa recomendada para a operação do ciclone Lapple. Q Q m mi1 34 25= =/ / m= 14 5, /D cc = 48 Cálculo da potência do soprador Considerando apenas a perda de carga nos ciclones, a potência requerida para a separação é dada pela equação P Q p E = ∆ 1 75 (40) 55 com P em cv, a vazão total Q em m³/s e a queda de pressão num ciclone em mm de coluna de água. E é a eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa potência. Resulta das equações (34) e (40) e da tabela (1): P c ∆p1 v , ) 3 = 2 . Conclusões A unidade: bateria com 4 ciclones Lapple em paralelo, diâmetro da parte cilíndrica Dc= 48 cm. Capacidade da unidade: 100 de ar carregado com cinzas de carvão . 3m min/ ( , ,′ = =D m n37 7 15µ Eficiência global de coleta de partículas: 85%. Potência do soprador, considerando apenas as perdas nos ciclones: 2 cv. Problemas: Decantação 1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara de poeira abaixo esquematizada. Propriedades físicas do fluido: densidade 1 e viscosidade 1 . 2 10 3, /× − g cm 8 10 2, × − cP Propriedades físicas das partículas: densidade e esfericidade 0,7. 2 5 3, /g cm Dimensões da câmara: , sendo a distância entre as lamelas de 10 (a espessura das lamelas é desprezível). m1622 ×× cm Vazão de suspensão na alimentação: 4 m3/s. Considerar as seguintes situações diferentes: a) A suspensão tem concentração volumétrica em sólido inferior a 0,2%; b) Esta concentração é de 5%. ---- "Trajetória crítica"da menor partícula coletada com eficiência de 100%. 56 Resposta: Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: . 0 625, /cm s Diâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita: . 9 74, µm Idem, 5% em volume de sólido: 11,0 µm. 2. Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável. Determinar, na operação a 25ºC: a) A vazão de alimentação para a separação completa da areia no tanque com dimensões 0 ; 3 3 4, × × m b) O percentual de cal perdida na separação da areia. Faixa granulométrica de areia: 70 . 250< <D mp µ Distribuição granulométrica das partículas de cal: D mp (µ ) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 48 54 64 72 78 88. Densidade da cal e da areia, respectivamente, . 2 2 2 6 3, , / e g cm Esfericidade das partículas de cal e de areia, respectivamente, 0,6 e 0,8. Resposta: Capacidade do sistema para a separação completa de areia: 175 m3/h. Diâmetro da maior partícula de cal no produto: 83,5 µm. % de cal perdida na separação da areia: 18,8. 3. Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (densidade 2,64g/cm3) de uma suspensão aquosa em centrífuga tubular. Propriedades do fluido: densidade 1g/cm3, viscosidade 1cP. Dimensões da centrífuga de laboratório: Ro = 1,1cm; R = 2,2cm e L = 20 cm. 57 Número de rotações da centrífuga de laboratório: 20000 rpm. Vazão de suspensão da centrífuga de laboratório que permite obter um classificado satisfatório: 28,8 L/h. Determinar a capacidade de uma centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 15000 rpm. Suas dimensões são: Ro = 5,21cm; R = 8,16cm e L = 73,4cm. (Svarovski, L., “Solid-Liquid Separation”, Butterworths, Londres, 2ª edição, p. 196, 1981). Resposta: Fator Σ para a unidade de laboratório: 1,42×103 cm2. Fator Σ para a unidade industrial: 4,22×104 cm2. Capacidade da unidade industrial: 856 L/h. 4. A Companhia Chalboud do Brasil adquiriu uma bateria de ciclones com as dimensões especificadas na figura para coletar partículas de um fluxo de ar a 70ºC e 1 atm. A densidade das partículas é 1,05 g/cm3. Verificar a validade da seguinte especificação fornecida pelo fabricante do equipamento: partículas com diâmetro maior que 20 µm são coletadas com eficiência superior a 95% quando a velocidade do ar na seção de alimentação do ciclone é 15 m/s. 58 Resposta: Os ciclones fornecidos estão praticamente na configuração Lapple, podendo-se esperar uma eficiência de coleta para as partículas de 20 µm de apenas 90%. 5. O ferro-velho "Dois Irmãos" da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones em paralelo na configuração Lapple, estado de conservação razoável. O diâmetro dos ciclones é 20 in. Estimar: a) A capacidade do conjunto para u = 15 m/s; b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95%; c) A potência do soprador a ser usado na operação. Considerar que o gás tenha as propriedades físicas do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas sólidas tenham densidade 3 g/cm3. Resposta: Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min. Diâmetro da partícula coletada com eficiência de 95%: 20 µm. Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5). 6. Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série com respectivamente 63,6 cm e 45 cm de diâmetro no tratamento de 27,7 m3/min de gás contendo 3% em volume de sólido. Propriedades do gás: densidade 1,1x10-3 g/cm3 e viscosidade 1,7x10-2 cP. 59 Propriedades das partículas sólidas: densidade 2,5 g/cm3 e distribuição granulométrica dada por
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