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�PAGE � �PAGE �8� Estudo das Medidas de tendência central ou de posição Medidas de variabilidade ou de dispersão ou de variação de formato Medidas de Tendência Central ou de Posição Definição: Medidas de tendência central, como o próprio nome já diz, são aquelas cujo resultado tende localizar-se no centro da série. De modo geral, se houver a necessidade ou interesse em apresentar informações de um conjunto de dados na forma resumida devemos apresentá-los em forma de medidas de tendência central. As medidas mais utilizadas em estatística são: a média, a moda e a mediana. Medidas para Dados não Agrupados Média ( ) Aritmética - Simples - Ponderada Geométrica Harmônica 1.1 Média Aritmética Simples Para se obter a média aritmética simples de um conjunto de dados, devemos dividir a soma dos valores de todos os dados do conjunto pela quantidade deles. Exemplo: Supondo que um aluno obteve as seguintes notas nas provas bimestrais durante o ano de 99. 10 bimestre 4 20 bimestre 5 30 bimestre 4 40 bimestre 7 para obter a média aritmética simples das notas e saber se o aluno ficará na final, faremos o seguinte cálculo: x1 = 4, x2 = 5, x3 = 4, x4 = 7 e n = 4. Logo: indica que a nota média obtida pelo aluno durante o ano foi 5 portanto fará a prova final. Comparar a posição do aluno cuja média obtida no exemplo anterior com um outro aluno que obteve as notas, 3, 7, 8 e 4 respectivamente nos 4 bimestres. Solução: Ao comparar a média 5 do primeiro aluno com a média 5,5 do segundo aluno, concluímos que o desempenho do segundo aluno foi melhor do que o do primeiro. O desvio em relação à média (di) é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Então, Propriedades da média a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. a soma algébrica dos quadrados dos desvios (em realçào à média) é mínima. onde somando ou subtraindo uma constante a todos valores de uma variável, a média ficará acrescida ou subtraída dessa constante. multiplicando (ou dividindo) todos os valores de uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por essa constante. 1.2 Média Aritmética Ponderada Média ponderada é uma média aritmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série. Exemplos: a) Um professor de Estatística I adotou para 1998 os seguintes pesos para as notas bimestrais: 10 bimestre peso 1 30 bimestre peso 3 20 bimestre peso 2 40 bimestre peso 4 Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de Estatística I: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres ? Solução: b) Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusão do Curso de Engenharia Mecânica. Foram compradas as seguintes carnes aos respectivos preços: 10 Kg de filé mignon R$ 12,00 o Kg 20 Kg de lingüiça R$ 7,00 o Kg 10 Kg de picanha R$ 16,00 o Kg Qual o valor médio do Kg de carne adquirida ? Solução: portanto o custo médio da carne comprada é R$10,50. 1.3 Média Geométrica ( ) É a raiz que tem para índice o nº de elementos da série e para radicando o produto desses elementos. Exemplo: 2, 4 e 5 1.4 Média Harmônica ( ) É o quociente entre o número de elementos da série (n) e a soma dos seus inversos, admitindo-se todos os elementos da série diferentes de zero. Exemplo: 2,4 e 5 Moda (Mo ) Moda de uma série é o dado que mais se repete ou que possui a maior freqüência. Exemplo: - Determinar a moda de idade de uma classe de alunos em que a pesquisa tenha revelado as seguintes idades: 18, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 26. Como a moda é o valor que mais ocorre na pesquisa, então a moda da série de idades é 23 anos. Mediana (Me) É o elemento que está exatamente no centro das informações ordenadas. Para se obter o elemento mediana de uma série deveremos seguir os seguintes passos: a) Se N for ímpar a mediana é o termo de ordem . b) Se N for par é a média aritmética dos termos de ordem : e Exemplos: a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos seguintes elementos: 56, 58 , 62, 65 e 90. Solução: N = 5 (ímpar), . Então Me = 62. b) Pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por digitadores, revelou as seguintes quantidades: 12, 12, 13, 13, 15, 16, 18,20. Determinar a quantidade mediana de falhas. Solução: N = 8(par), então Logo a mediana será: Medidas para Dados Agrupados Média Aritmética ( ) a) Sem intervalos de classe Exemplo: TABELA I Após ter sido realizada a prova bimestral, numa turma de Estatística I, o professor efetuou levantamento das notas obtidas pelos alunos, e observou a seguinte distribuição: NOTAS Fi xi.Fi 1 3 3 2 5 10 3 12 36 4 20 80 5 32 160 6 26 156 7 18 126 8 8 64 9 3 27 127 662 nota média obtida pelos alunos. b) Com intervalos de classe b.1) Processo Longo , onde PM é o ponto médio de cada intervalo de classe. b.2) Processo Abreviado , onde PMMe é o ponto médio da mediana e di é o desvio, ou seja, a diferença entre o ponto médio de cada intervalo de classe e o ponto médio da mediana. Então, di = . TABELA II Nº tel. Fi Fiac PM PM. Fi di di.Fi 7 |-- 12 3 3 9,5 28,5 -2 -6 12 |-- 17 10 13 14,5 145,0 -1 -10 17 |-- 22 8 21 19,5 156,0 0 0 22 |-- 27 5 26 24,5 122,5 1 5 27 |-- 32 2 28 29,5 59,0 2 4 32 |-- 37 2 30 34,5 69,0 3 6 30 580,0 -1 Aplicando o processo longo, temos: Aplicando o processo abreviado, obtemos: Mediana ( Me ) a) Sem intervalos de classe Mediana é o valor da variável correspondente a freqüência acumulada que é imediatamente superior à . Do exemplo da TABELA I, temos que a mediana é o valor da variável de freqüência acumulada imediatamente superior à Portanto, a Me = 5. NOTA: No caso de existir uma freqüência acumulada, isto é, Fiac = P. Neste caso, a mediana será dada por: b) Com intervalos de classe Me = LiMe + onde: LiMe - Limite inferior da classe mediana; - freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana; P - é a posição da mediana; Fi - é a freqüência simples da classe mediana; h - é a amplitude do intervalo da classe mediana. Do exemplo da TABELA II, temos que: Me = 17 + Moda (Mo) a) Sem intervalos de classe Basta fixar o valor da variável de maior freqüência. Portanto, do exemplo da TABELA I , a moda será igual a 5. b) Com intervalos de classe Mo = LiMo + Do exemplo da TABELA II, podemos obter o valor da moda da seguinte maneira: Mo = 12 + Medidas Separatrizes São valores que dividem uma série ordenada de dados ou uma distribuição de freqüência em partes quaisquer. Principais separatrizes: QUARTIL (Qi) : divide a série ou a distribuição em quatro partes iguais. DECIL (Di) : divide a série ou a distribuição em dez partes iguais. PERCENTIL (Pi) ou CENTIL (Ci) : divide a série ou a distribuição em cem partes iguais. 1º Caso : PARA DADOS BRUTOS Cálculo da posição da separatriz: POSQi= POSDi= POSPi = Uma separatriz genérica é determinável pela seguinte fórmula: Sp = X Sp = X + frac �� EMBED Equation.3 onde :