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�PAGE � �PAGE �8� Estudo das Medidas de tendência central ou de posição Medidas de variabilidade ou de dispersão ou de variação de formato Medidas de Tendência Central ou de Posição Definição: Medidas de tendência central, como o próprio nome já diz, são aquelas cujo resultado tende localizar-se no centro da série. De modo geral, se houver a necessidade ou interesse em apresentar informações de um conjunto de dados na forma resumida devemos apresentá-los em forma de medidas de tendência central. As medidas mais utilizadas em estatística são: a média, a moda e a mediana. Medidas para Dados não Agrupados Média ( ) Aritmética - Simples - Ponderada Geométrica Harmônica 1.1 Média Aritmética Simples Para se obter a média aritmética simples de um conjunto de dados, devemos dividir a soma dos valores de todos os dados do conjunto pela quantidade deles. Exemplo: Supondo que um aluno obteve as seguintes notas nas provas bimestrais durante o ano de 99. 10 bimestre 4 20 bimestre 5 30 bimestre 4 40 bimestre 7 para obter a média aritmética simples das notas e saber se o aluno ficará na final, faremos o seguinte cálculo: x1 = 4, x2 = 5, x3 = 4, x4 = 7 e n = 4. Logo: indica que a nota média obtida pelo aluno durante o ano foi 5 portanto fará a prova final. Comparar a posição do aluno cuja média obtida no exemplo anterior com um outro aluno que obteve as notas, 3, 7, 8 e 4 respectivamente nos 4 bimestres. Solução: Ao comparar a média 5 do primeiro aluno com a média 5,5 do segundo aluno, concluímos que o desempenho do segundo aluno foi melhor do que o do primeiro. O desvio em relação à média (di) é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Então, Propriedades da média a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. a soma algébrica dos quadrados dos desvios (em realçào à média) é mínima. onde somando ou subtraindo uma constante a todos valores de uma variável, a média ficará acrescida ou subtraída dessa constante. multiplicando (ou dividindo) todos os valores de uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por essa constante. 1.2 Média Aritmética Ponderada Média ponderada é uma média aritmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série. Exemplos: a) Um professor de Estatística I adotou para 1998 os seguintes pesos para as notas bimestrais: 10 bimestre peso 1 30 bimestre peso 3 20 bimestre peso 2 40 bimestre peso 4 Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de Estatística I: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres ? Solução: b) Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusão do Curso de Engenharia Mecânica. Foram compradas as seguintes carnes aos respectivos preços: 10 Kg de filé mignon R$ 12,00 o Kg 20 Kg de lingüiça R$ 7,00 o Kg 10 Kg de picanha R$ 16,00 o Kg Qual o valor médio do Kg de carne adquirida ? Solução: portanto o custo médio da carne comprada é R$10,50. 1.3 Média Geométrica ( ) É a raiz que tem para índice o nº de elementos da série e para radicando o produto desses elementos. Exemplo: 2, 4 e 5 1.4 Média Harmônica ( ) É o quociente entre o número de elementos da série (n) e a soma dos seus inversos, admitindo-se todos os elementos da série diferentes de zero. Exemplo: 2,4 e 5 Moda (Mo ) Moda de uma série é o dado que mais se repete ou que possui a maior freqüência. Exemplo: - Determinar a moda de idade de uma classe de alunos em que a pesquisa tenha revelado as seguintes idades: 18, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 26. Como a moda é o valor que mais ocorre na pesquisa, então a moda da série de idades é 23 anos. Mediana (Me) É o elemento que está exatamente no centro das informações ordenadas. Para se obter o elemento mediana de uma série deveremos seguir os seguintes passos: a) Se N for ímpar a mediana é o termo de ordem . b) Se N for par é a média aritmética dos termos de ordem : e Exemplos: a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos seguintes elementos: 56, 58 , 62, 65 e 90. Solução: N = 5 (ímpar), . Então Me = 62. b) Pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por digitadores, revelou as seguintes quantidades: 12, 12, 13, 13, 15, 16, 18,20. Determinar a quantidade mediana de falhas. Solução: N = 8(par), então Logo a mediana será: Medidas para Dados Agrupados Média Aritmética ( ) a) Sem intervalos de classe Exemplo: TABELA I Após ter sido realizada a prova bimestral, numa turma de Estatística I, o professor efetuou levantamento das notas obtidas pelos alunos, e observou a seguinte distribuição: NOTAS Fi xi.Fi 1 3 3 2 5 10 3 12 36 4 20 80 5 32 160 6 26 156 7 18 126 8 8 64 9 3 27 127 662 nota média obtida pelos alunos. b) Com intervalos de classe b.1) Processo Longo , onde PM é o ponto médio de cada intervalo de classe. b.2) Processo Abreviado , onde PMMe é o ponto médio da mediana e di é o desvio, ou seja, a diferença entre o ponto médio de cada intervalo de classe e o ponto médio da mediana. Então, di = . TABELA II Nº tel. Fi Fiac PM PM. Fi di di.Fi 7 |-- 12 3 3 9,5 28,5 -2 -6 12 |-- 17 10 13 14,5 145,0 -1 -10 17 |-- 22 8 21 19,5 156,0 0 0 22 |-- 27 5 26 24,5 122,5 1 5 27 |-- 32 2 28 29,5 59,0 2 4 32 |-- 37 2 30 34,5 69,0 3 6 30 580,0 -1 Aplicando o processo longo, temos: Aplicando o processo abreviado, obtemos: Mediana ( Me ) a) Sem intervalos de classe Mediana é o valor da variável correspondente a freqüência acumulada que é imediatamente superior à . Do exemplo da TABELA I, temos que a mediana é o valor da variável de freqüência acumulada imediatamente superior à Portanto, a Me = 5. NOTA: No caso de existir uma freqüência acumulada, isto é, Fiac = P. Neste caso, a mediana será dada por: b) Com intervalos de classe Me = LiMe + onde: LiMe - Limite inferior da classe mediana; - freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana; P - é a posição da mediana; Fi - é a freqüência simples da classe mediana; h - é a amplitude do intervalo da classe mediana. Do exemplo da TABELA II, temos que: Me = 17 + Moda (Mo) a) Sem intervalos de classe Basta fixar o valor da variável de maior freqüência. Portanto, do exemplo da TABELA I , a moda será igual a 5. b) Com intervalos de classe Mo = LiMo + Do exemplo da TABELA II, podemos obter o valor da moda da seguinte maneira: Mo = 12 + Medidas Separatrizes São valores que dividem uma série ordenada de dados ou uma distribuição de freqüência em partes quaisquer. Principais separatrizes: QUARTIL (Qi) : divide a série ou a distribuição em quatro partes iguais. DECIL (Di) : divide a série ou a distribuição em dez partes iguais. PERCENTIL (Pi) ou CENTIL (Ci) : divide a série ou a distribuição em cem partes iguais. 1º Caso : PARA DADOS BRUTOS Cálculo da posição da separatriz: POSQi= POSDi= POSPi = Uma separatriz genérica é determinável pela seguinte fórmula: Sp = X Sp = X + frac �� EMBED Equation.3 onde :Sp indica uma separatriz genérica S de ordem p; X indica um elemento qualquer do conjunto de dados; é um índice que indica a posição do elemento X no conjunto ordenado; int �� EMBED Equation.3 indica a parte inteira do índice; frac �� EMBED Equation.3 indica a parte fracionária do índice; q é o nº de partições do conjunto, com q e q > 1 ; p é a ordem da separatriz, sendo 1 q – 1. Exemplo: 1º) Calcule o Primeiro quartil (Q1) da série abaixo: - 5 - 8 - 5 - 5 - 10 - 1 - 12 - 12 - 11 - 13 - 15 Primeiro passo, devemos ordenar os dados: - 2 - 5 - 5 - 5 - 8 - 10 - 11 - 12 - 12 - 13 - 15 Sp=Q1= X Q1= X Q1= X Q1= 5 + 0,25 Q1= 5 2º) Calcule o quarto decil de: Xi FI Fiac 2 1 1 5 4 5 6 3 8 8 2 10 10 D4 = ? D4 = 5 + 0,4 ( 5 – 5 ) = 5 2º Caso: PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE S = S Separatriz L Limite inferior da classe que contém a separatriz P Posição da separatriz Fiacant Freq. Ac. Da classe anterior à classe que contém a separatriz F �� EMBED Equation.3 Freq. Da classe que contém a separatriz. Exemplo: Calcule o valor do vigésimo percentil ( P20 ). Nºtel. F F 7|--12 3 3 12|--17 10 13 17|--22 8 21 22|--27 5 26 27|--32 2 28 32|--37 2 30 30 P = = 6,2 P20 = 12 + �� EMBED Equation.3 = 13,6 _1140553330.unknown _1140554740.unknown _1140847551.unknown _1140847787.unknown _1140847875.unknown _1140848105.unknown _1140847679.unknown _1140555868.unknown _1140586195.unknown _1140586969.unknown _1140593349.unknown _1140586715.unknown _1140555986.unknown _1140555886.unknown _1140555696.unknown _1140555782.unknown _1140555798.unknown _1140555809.unknown _1140555770.unknown _1140555404.unknown _1140555519.unknown _1140555023.unknown _1140553829.unknown _1140554316.unknown _1140554648.unknown _1140554163.unknown _1140553646.unknown _1140553702.unknown _1140553560.unknown _998997782.unknown _999410281.unknown _999413214.unknown _1140552485.unknown _1140553014.unknown _1140553134.unknown _1140553186.unknown _1140553205.unknown _1140553051.unknown _1140552772.unknown _1140552937.unknown _1140552678.unknown _999413878.unknown _1140552033.unknown _1140552205.unknown _999414179.unknown _999414388.unknown _1140551682.unknown _999414319.unknown _999414025.unknown _999413296.unknown _999413857.unknown _999413278.unknown _999412945.unknown _999413121.unknown _999413162.unknown _999413099.unknown _999410987.unknown _999412796.unknown _999410423.unknown _998998047.unknown _999409570.unknown _999410091.unknown _998998378.unknown _998997900.unknown _998997949.unknown _998997844.unknown _998996715.unknown _998997357.unknown _998997638.unknown _998997733.unknown _998997579.unknown _998997007.unknown _998997292.unknown _998996784.unknown _998996091.unknown _998996521.unknown _998996652.unknown _998996175.unknown _996674685.unknown _998995991.unknown _996672441.unknown
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