Estudo das Medidas

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �8�
Estudo das Medidas
		de tendência central ou de posição
Medidas	de variabilidade ou de dispersão ou de variação
		de formato
Medidas de Tendência Central ou de Posição
Definição:
Medidas de tendência central, como o próprio nome já diz, são aquelas cujo resultado tende localizar-se no centro da série.
De modo geral, se houver a necessidade ou interesse em apresentar informações de um conjunto de dados na forma resumida devemos apresentá-los em forma de medidas de tendência central.
As medidas mais utilizadas em estatística são:
 a média, a moda e a mediana.
Medidas para Dados não Agrupados
Média (
)
Aritmética
 - Simples
 - Ponderada
Geométrica 
Harmônica
1.1 Média Aritmética Simples
Para se obter a média aritmética simples de um conjunto de dados, devemos dividir a soma dos valores de todos os dados do conjunto pela quantidade deles.
Exemplo: Supondo que um aluno obteve as seguintes notas nas provas bimestrais durante o ano de 99.
 10 bimestre 4
 20 bimestre 5
 30 bimestre 4
 40 bimestre 7
para obter a média aritmética simples das notas e saber se o aluno ficará na final, faremos o seguinte cálculo: x1 = 4, x2 = 5, x3 = 4, x4 = 7 e n = 4. Logo:
indica que a nota média obtida pelo aluno durante o ano foi 5 portanto fará a prova final.
Comparar a posição do aluno cuja média obtida no exemplo anterior com um outro aluno que obteve as notas, 3, 7, 8 e 4 respectivamente nos 4 bimestres. Solução:
 
 
Ao comparar a média 5 do primeiro aluno com a média 5,5 do segundo aluno, concluímos que o desempenho do segundo aluno foi melhor do que o do primeiro.
O desvio em relação à média (di) é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Então, 
 
Propriedades da média
a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. 
 
a soma algébrica dos quadrados dos desvios (em realçào à média) é mínima. 
 onde 
somando ou subtraindo uma constante a todos valores de uma variável, a média ficará acrescida ou subtraída dessa constante. 
multiplicando (ou dividindo) todos os valores de uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por essa constante. 
 
1.2 Média Aritmética Ponderada
Média ponderada é uma média aritmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série.
Exemplos:
a) Um professor de Estatística I adotou para 1998 os seguintes pesos para as notas bimestrais:
 10 bimestre peso 1 30 bimestre peso 3
 20 bimestre peso 2 40 bimestre peso 4
Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de Estatística I: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres ?
Solução:
b) Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusão do Curso de Engenharia Mecânica. Foram compradas as seguintes carnes aos respectivos preços:
 10 Kg de filé mignon R$ 12,00 o Kg
 20 Kg de lingüiça R$ 7,00 o Kg
 10 Kg de picanha R$ 16,00 o Kg
Qual o valor médio do Kg de carne adquirida ?
 Solução:
portanto o custo médio da carne comprada é R$10,50.
1.3 Média Geométrica (
)
 É a raiz que tem para índice o nº de elementos da série e para radicando o produto desses elementos.
Exemplo: 2, 4 e 5
 
1.4 Média Harmônica (
)
É o quociente entre o número de elementos da série (n) e a soma dos seus inversos, admitindo-se todos os elementos da série diferentes de zero.
 Exemplo: 2,4 e 5
Moda (Mo )
Moda de uma série é o dado que mais se repete ou que possui a maior freqüência.
Exemplo: - Determinar a moda de idade de uma classe de alunos em que a pesquisa tenha revelado as seguintes idades:
 18, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 26.
Como a moda é o valor que mais ocorre na pesquisa, então a moda da série de idades é 23 anos.
Mediana (Me)
É o elemento que está exatamente no centro das informações ordenadas. Para se obter o elemento mediana de uma série deveremos seguir os seguintes passos:
a) Se N for ímpar a mediana é o termo de ordem 
. 
b) Se N for par é a média aritmética dos termos de ordem :
 e 
Exemplos:
a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos seguintes elementos: 56, 58 , 62, 65 e 90.
Solução:
N = 5 (ímpar), 
. Então Me = 62. 
b) Pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por digitadores, revelou as seguintes quantidades: 12, 12, 13, 13, 15, 16, 18,20. Determinar a quantidade mediana de falhas.
Solução:
N = 8(par), então 
 
Logo a mediana será:
Medidas para Dados Agrupados
Média Aritmética (
)
a) Sem intervalos de classe
Exemplo:
 TABELA I	
Após ter sido realizada a prova bimestral, numa turma de Estatística I, o professor efetuou levantamento das notas obtidas pelos alunos, e observou a seguinte distribuição:
	NOTAS
	Fi
	xi.Fi
	1
	3
	3
	2
	5
	10
	3
	12
	36
	4
	20
	80
	5
	32
	160
	6
	26
	156
	7
	18
	126
	8
	8
	64
	9
	3
	27
	
	127
	662
 
 
 nota média obtida pelos alunos. 
b) Com intervalos de classe
 b.1) Processo Longo
 
, onde PM é o ponto médio de cada intervalo de classe.
 b.2) Processo Abreviado
 
, onde PMMe é o ponto médio da mediana e di é o desvio, ou seja, a diferença entre o ponto médio de cada intervalo de classe e o ponto médio da mediana. Então, di = 
.
 TABELA II
	Nº tel.
	Fi
	Fiac
	PM
	PM. Fi
	di
	di.Fi
	7 |-- 12
	3
	3
	9,5
	28,5
	-2
	-6
	12 |-- 17
	10
	13
	14,5
	145,0
	-1
	-10
	17 |-- 22
	8
	21
	19,5
	156,0
	0
	0
	22 |-- 27
	5
	26
	24,5
	122,5
	1
	5
	27 |-- 32
	2
	28
	29,5
	59,0
	2
	4
	32 |-- 37
	2
	30
	34,5
	69,0
	3
	6
	
	30
	
	
	580,0
	
	-1
Aplicando o processo longo, temos:
 
Aplicando o processo abreviado, obtemos:
 
 
Mediana ( Me )
a) Sem intervalos de classe
Mediana é o valor da variável correspondente a freqüência acumulada que é imediatamente superior à 
. Do exemplo da TABELA I, temos que a mediana é o valor da variável de freqüência acumulada imediatamente superior à 
 Portanto, a Me = 5.
 NOTA: No caso de existir uma freqüência acumulada, isto é, Fiac = P. Neste caso, a mediana será dada por: 
b) Com intervalos de classe 
 Me = LiMe + 
 onde:
 LiMe 	- Limite inferior da classe mediana;
 
	- freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
 P	- é a posição da mediana;
 Fi 	- é a freqüência simples da classe mediana;
 h 	- é a amplitude do intervalo da classe mediana.
 Do exemplo da TABELA II, temos que:
 Me = 17 + 
 
Moda (Mo)
a) Sem intervalos de classe
Basta fixar o valor da variável de maior freqüência. Portanto, do exemplo da TABELA I , a moda será igual a 5.
b) Com intervalos de classe 
 Mo = LiMo + 
Do exemplo da TABELA II, podemos obter o valor da moda da seguinte maneira:
 Mo = 12 + 
 
Medidas Separatrizes
São valores que dividem uma série ordenada de dados ou uma distribuição de freqüência em partes quaisquer. Principais separatrizes:
QUARTIL (Qi) : divide a série ou a distribuição em quatro partes iguais.
DECIL (Di) : divide a série ou a distribuição em dez partes iguais.
PERCENTIL (Pi) ou CENTIL (Ci) : divide a série ou a distribuição em cem partes iguais.
1º Caso : PARA DADOS BRUTOS 
		Cálculo da posição da separatriz:
POSQi= 
 		POSDi= 
 		POSPi = 
		Uma separatriz genérica é determinável pela seguinte fórmula:
Sp = X
Sp = X
 + frac 
�� EMBED Equation.3 
		onde :Sp 
 indica uma separatriz genérica S de ordem p;
	X 
 indica um elemento qualquer do conjunto de dados;
 
 
 é um índice que indica a posição do elemento X no conjunto ordenado;
int
�� EMBED Equation.3 indica a parte inteira do índice;
frac
�� EMBED Equation.3 indica a parte fracionária do índice;
	q 
é o nº de partições do conjunto, com q
 e q > 1 ;
	p é a ordem da separatriz, sendo 1 
q – 1.
	
	Exemplo:	
	1º) Calcule o Primeiro quartil (Q1) da série abaixo:
- 5 - 8 - 5 - 5 - 10 - 1 - 12 - 12 - 11 - 13 - 15
Primeiro passo, devemos ordenar os dados:
- 2 - 5 - 5 - 5 - 8 - 10 - 11 - 12 - 12 - 13 - 15
Sp=Q1= X
 Q1= X
	
 Q1= X
	
 Q1= 5 + 0,25 
 Q1= 5
	2º) Calcule o quarto decil de:
	
	Xi
	FI
	Fiac
	2
	1
	1
	5
	4
	5
	6
	3
	8
	8
	2
	10
	
	10
	
		D4 = ?
		D4 = 5 + 0,4 ( 5 – 5 ) = 5
2º Caso: PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
	S = 
	S 
 Separatriz
	L
 
 Limite inferior da classe que contém a separatriz
	P 
 Posição da separatriz
	Fiacant 
 Freq. Ac. Da classe anterior à classe que contém a separatriz
	F
�� EMBED Equation.3 Freq. Da classe que contém a separatriz.
		Exemplo: Calcule o valor do vigésimo percentil ( P20 ). 
	Nºtel.
	F
	F
	7|--12
	3
	3
	12|--17 
	10
	13
	17|--22
	8
	21
	22|--27
	5
	26
	27|--32
	2
	28
	32|--37
	2
	30
	
	30
	
		P = 
= 6,2
	P20 = 12 + 
�� EMBED Equation.3 = 13,6
_1140553330.unknown
_1140554740.unknown
_1140847551.unknown
_1140847787.unknown
_1140847875.unknown
_1140848105.unknown
_1140847679.unknown
_1140555868.unknown
_1140586195.unknown
_1140586969.unknown
_1140593349.unknown
_1140586715.unknown
_1140555986.unknown
_1140555886.unknown
_1140555696.unknown
_1140555782.unknown
_1140555798.unknown
_1140555809.unknown
_1140555770.unknown
_1140555404.unknown
_1140555519.unknown
_1140555023.unknown
_1140553829.unknown
_1140554316.unknown
_1140554648.unknown
_1140554163.unknown
_1140553646.unknown
_1140553702.unknown
_1140553560.unknown
_998997782.unknown
_999410281.unknown
_999413214.unknown
_1140552485.unknown
_1140553014.unknown
_1140553134.unknown
_1140553186.unknown
_1140553205.unknown
_1140553051.unknown
_1140552772.unknown
_1140552937.unknown
_1140552678.unknown
_999413878.unknown
_1140552033.unknown
_1140552205.unknown
_999414179.unknown
_999414388.unknown
_1140551682.unknown
_999414319.unknown
_999414025.unknown
_999413296.unknown
_999413857.unknown
_999413278.unknown
_999412945.unknown
_999413121.unknown
_999413162.unknown
_999413099.unknown
_999410987.unknown
_999412796.unknown
_999410423.unknown
_998998047.unknown
_999409570.unknown
_999410091.unknown
_998998378.unknown
_998997900.unknown
_998997949.unknown
_998997844.unknown
_998996715.unknown
_998997357.unknown
_998997638.unknown
_998997733.unknown
_998997579.unknown
_998997007.unknown
_998997292.unknown
_998996784.unknown
_998996091.unknown
_998996521.unknown
_998996652.unknown
_998996175.unknown
_996674685.unknown
_998995991.unknown
_996672441.unknown