Lista 5_TN

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Universidade da Integração Internacional da Lusofonia
Afro-Brasileira
Lista de Exerćıcios 5 - Teoria dos Números
Professora: Amanda Angélica Feltrin Nunes
1a Questão: Responda e justifique:
(a) 23 ≡ 47(mod 3)?
(b) −12 ≡ 47(mod 7)?
(c) 32768 ≡ 1906(mod 13)?
(d) 423 ≡ 326(mod − 6)?
2a Questão: Determine todos os inteiros m > 1 para os quais 186 ≡ 165(modm).
3a Questão: Sejam m e k inteiros, com m > 1. Mostre, indicando as propriedades usadas,
que se 3k + 5 ≡ 7k + 20(modm), então:
(a) 3k + 25 ≡ 7k + 40(modm).
(b) 4k ≡ −15(modm).
4a Questão: Sejam m e k inteiros, com m > 1. Mostre que se 9k + 6 ≡ k − 1, então
3(3k2 − k − 2) ≡ (k − 1)2(modm).
5a Questão: Dê condições para que um número escrito na base 10 seja:
(a) Diviśıvel por 3.
(b) Diviśıvel por 11.
6a Questão: Sejam a, b, r inteiros, s um inteiro não nulo. Prove que a ≡ b(mod r) se e só
se as ≡ bs(mod rs).
7a Questão: Que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 ao produto 11× 22× 2322×
13 × 9?
8a Questão: Determinar o resto das divisões
2
(a) de 746 por 15.
(b) de 250 por 7.
(c) de 27303 por 15.
(d) de 21000 por 11.
(e) de 710 por 51.
(f) de 23333333 por 26.
10a Questão: (Adaptação de questão do ENADE) O mandato do reitor de uma univer-
sidade começará no dia 15 de novembro de 2021, uma segunda-feira, e terá a duração
de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Determine o dia da semana que
ocorrerá o último dia do mandato desse reitor.
11a Questão: Aplique o Pequeno Teorema de Fermat para os pares de números a e p
abaixo:
(a) a = 20 e p = 7.
(b) a = 16 e p = 47.
12a Questão: Calcule a imagem de cada inteiro abaixo pela função ϕ de Euler.
(a) ϕ(12)
(b) ϕ(15)
13a Questão: Determine o resto das divisões
(a) de 530 por 11.
(b) de 13111 por 11.
(c) de 2333 por 23.
(d) de 8300 por 9.
(e) de 7105 por 12.
(f) de 5303
5
por 7.
(g) de 820
6
por 15.
(h) de 53015
3
por 9.