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Integral Definida
Timóteo Sambo
6 de Julho de 2020
Introdução
Nesta aula apresentamos a definição da integral definida e o teorema
fundamental do cálculo.
Interpretação Geométrica
Integral Definida Como limite da soma
Definição. Seja f uma função cont́ınua em [a,b].
A integral definida de f de a à b é o número
b∫
a
f(x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci)∆x, (1)
onde ∆x =
b− a
n
, e ci ∈ [xi−1, xi], xi = a+ i∆x, i = 0, 1, . . . ,n
Observação:
• os números a e b são chamados limites de integração;
• Se
b∫
a
f(x)dx existe, diremos que f é integrável em [a,b];
• Se f é cont́ınua sobre [a,b], então f é integrável em [a,b].
Exemplo : Por definição, calcule
1∫
0
xdx
Dividimos o intervalo [0, 1] em n partes iguais definindo
∆x =
1
n
, ci = xi =
i
n
.
1∫
0
xdx = lim
n→∞
n∑
i=1
ci∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
i
n
1
n
= lim
n→∞ 1n2
n∑
i=1
i = 1/2,
uma vez que 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
.
Propriedades: Sejam f e g duas funçãi integrável em [a,b]
e k uma constante.
•
b∫
a
[f(x) + g(x)]dx =
b∫
a
f(x)dx+
b∫
a
g(x)dx;
•
b∫
a
kf(x)dx = k
b∫
a
f(x)dx;
•
b∫
a
f(x)dx =
∫c
a
f(x)dx+
b∫
c
f(x)dx, onde a < c < b;
• Se f(x) > 0, então
b∫
a
f(x)dx > 0;
• Existe uma constante c entre a e b tal que
f(c) =
1
b− a
b∫
a
f(x)dx
Fórmula de Newton-Leibniz
Se f é cont́ınua sobre [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo,
então
b∫
a
f(x)dx = F(b) − F(a).
Exemplo : Calcule
∫2
1(3x+ 1)
2dx
∫2
1
(3x+ 1)2dx =
2∫
1
(9x2 + 6x+ 1)dx
=
(
3x3 + 3x2 + x
) ∣∣∣2
1
= (24 + 12 + 2) − (3 + 3 + 1) = 31.
Métodos de Integração
Integração Por Substituição
Suponhamos que:
1 f(x) é definida e cont́ınua em [a,b];
2 g(t) tem derivada contı’nua e g(α) = a, g(β) = b, a 6 g(t) 6 b
Então
b∫
a
f(x)dx =
β∫
α
f(g(t))g ′(t)dt
Integração Por Substituição
Exemplo 2.
1∫
0
x(4 − x2)11dx
Sejam t = 4 − x2 e dt = −2xdx. Para x = 0, teremos t = 4, mas para
x = 1, t = 3. Assim,
1∫
0
x(4 − x2)11dx =
1∫
0
(4 − x2)11xdx
=
3∫
4
t11
dt
−2
=
1
2
4∫
3
t11dt
=
t12
24
∣∣∣4
3
=
412 − 312
24
Integração Por Substituição
Exemplo 3.
ln
√
3∫
0
ex
1 + e2x
dx
Sejam t = ex e dt = exdx. Para x = 0, teremos t = e0 = 1, mas para
x = ln
√
3, t =
√
3. Assim,
ln
√
3∫
0
exdx
1 + e2x
=
√
3∫
0
dt
1 + t2
= arctg t
∣∣∣√3
1
=
π
3
−
π
4
=
π
12
.
Métodos de Integração
Integração Por Partes
Se as funções u(x) e v(x) têm derivadas cont́ınuas em [a,b], teremos
b∫
a
u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x)
∣∣∣b
a
−
b∫
a
v(x)u ′(x)dx
Integração Por Partes
Exemplo 3.
e∫
1
√
x ln xdx
Faremos a seguinte escolha de u e de dv:
u = ln x, dv =
√
xdx
u ′ =
1
x
, v =
2
3
x
3
2 .
Assim,
e∫
1
√
x ln xdx =
2
3
x
3
2 ln x
∣∣∣e
1
−
e∫
1
2
3
x
3
2
dx
x
=
2
3
e
3
2 −
4
9
e
3
2 +
4
9
=
2e
3
2 + 4
9
.