Prova P003 - Cálculo III 06-2020 - Univesp

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GABARITO 
DISCIPLINA 
MCA003 - Cálculo III 
APLICAÇÃO 
30/06/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P003 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
A resposta correta é: 0. 
 
Justificativa 
A região de integração é simétrica em relação ao eixo y e o integrado é ímpar em x. Portanto, a 
integral se anula. 
∬𝑥2
𝐷
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑦
1−𝑥2
0
1
−1
x𝑑𝑦𝑑𝑥 =
1
2
∫ (1 − 𝑥2)2
1
−1
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫ (𝑥5 − 2𝑥3 + 𝑥)
1
−1
𝑑𝑥 = 0 
 
 
Questão 1.2 
A resposta correta é: Opção 1 - 
8
105
 
 
Justificativa 
Note que: 
∬𝑥2
𝐷
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑦
1−𝑥2
0
1
−1
𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥 =
1
2
∫ (1 − 𝑥2)2
1
−1
𝑥2𝑑𝑥 =
1
2
∫ (𝑥6 − 2𝑥4 + 𝑥2)
1
−1
𝑑𝑥 =
1
7
−
2
5
+
1
3
=
8
105
 
 
 
Questão 1.3 
A resposta correta é: 0 
 
Justificativa 
O campo vetorial em questão é conservativo, já que �⃗� = 𝛻 (
𝑥2
2
+
𝑦2
2
). 
�⃗� = 𝛻 (
𝑥2
2
+
𝑦2
2
), em que 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
2
+
𝑦2
2
 é sua função potencial. Como o caminho é simples e fechado, 
seja 𝛾(𝑡) a função que descreve C, para qualquer ponto inicial 𝑎 e final 𝑏 temos 𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏), e como o 
campo é conservativo, então ∮ �⃗� 
𝐶
⋅ 𝑑𝑠 = 𝜑(𝛾(𝑏)) − 𝜑(𝛾(𝑎)) = 0. 
 
 
Questão 1.4 
A resposta correta é: Opção 5 - 
32
5
 
 
Justificativa 
O sólido de Steinmetz como o da figura é a interseção dos cilindros 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1e 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1. Vemos 
que nos planos (x,z) e (y,z), ambas regiões de integração correspondem ao interior de uma 
circunferência de raio 1 e, portanto, os limites de integração serão: 
 
𝑥2 ≤ 1 + 𝑧2e 𝑦2 ≤ 1 − 𝑧2 
A massa total será, então: 
∭𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 = ∫ ∫ ∫ (𝑧2 − 2𝑧 + 1)
√1−𝑧2
−√1−𝑧2
√1−𝑧2
−√1−𝑧2
1
−1
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 4∫ (𝑧2 − 2𝑧 + 1)
1
−1
(1 − 𝑧2)𝑑𝑧 = 
4∫ (𝑧2 + 1)
1
−1
(1 − 𝑧2)𝑑𝑧 = 4∫ (1 − 𝑧4)
1
−1
𝑑𝑧 =
32
5
 
 
sendo que, no último passo, eliminamos os termos de potência ímpares em z pela simetria dos limites 
da integração, i.e., usamos explicitamente que: 
∫ 𝑧
1
−1
(1 − 𝑧2)𝑑𝑧 = 0. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Seja o campo vetorial de ℝ3, dado por �⃗� = 𝛻 × �⃗⃗⃗� , sendo �⃗⃗⃗� = 𝑦𝑘. Determine o fluxo de �⃗� através da 
esfera de raio unitário, centrada na origem, e orientada com seu vetor normal apontando para fora. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Tal fluxo é nulo. Do teorema de Gauss, sabemos que o fluxo em questão será: 
 
∯ �⃗� 
𝜕𝑆
⋅ 𝑛𝑑𝑎 = ∭ 𝛻
𝑆
⋅ �⃗� 𝑑𝑣 = ∭ 𝛻 ⋅ (𝛻 × �⃗⃗⃗� )
𝑆
= 0, 
pois 𝛻 ⋅ �⃗� = 𝛻 ⋅ (𝛻 × �⃗⃗⃗� ) = 0, para qualquer campo vetorial �⃗⃗⃗� . 
 
Para o caso em particular desta questão, temos: 
�⃗� = 𝛻 × �⃗⃗⃗� = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 0 𝑦
|| = �̂� 
em que se vê que 𝛻 ⋅ �⃗� = 0. 
 
Rubricas | critérios de correção 
O estudante deveria ser capaz de responder essa questão sem fazer nenhum cálculo, apenas 
invocando o teorema de Gauss e a propriedade de divergência nula de campos rotacionais. Caso use o 
teorema de Gauss, mas falhe ao reconhecer que 𝛻 ⋅ �⃗� = 0, deve ganhar 1.0 ponto. Caso escreva 
corretamente a integral do fluxo, não use o teorema de Gauss e erre o resultado final, deve ganhar 0.5 
ponto. 
 
 
Questão 3 
Calcule: 
∬(4 − 𝑥2 − 𝑦2)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 
sendo D a região interior do contorno delimitado por arcos de circunferências e segmentos de reta 
como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
Em coordenadas polares, a região de integração corresponde à 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 e 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 com 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 e 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. A integral em questão, em coordenadas polares, é 
 
∬(4 − 𝑥2 − 𝑦2)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ (4 − 𝑟2)
2
1
𝜋
2
0
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
𝜋
2
∫ (4𝑟 − 𝑟3)
2
1
𝑑𝑟 =
𝜋
2
(2𝑟2 −
𝑟4
4
)
1
2
=
9𝜋
8
. 
 
Rubricas | critérios de correção 
Os passos usuais para a solução do problema são: 
1) Parametrizar corretamente a região D (0.5 ponto). 
2) Fazer a mudança de variáveis corretamente na integral (0.5 ponto). 
3) Resolver corretamente a integral final (1.0 ponto).