Teoremas Integrais

Prévia do material em texto

LISTA 3 - Cálculo 3: Teoremas Integrais
1. Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o
Teorema de Green.
(a)
∮
C
(x− y)dx+ (x+ y)dy, C é o ćırculo com centro na origem e raio 2. R.: 8π
(b)
∮
C
xydx+ x2y3dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2). R.: 2/3
(c)
∮
C
xydx + x2dy, C é o retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (3, 1) e (0, 1). R.:
9/2
(d)
∮
C
cos(y)dx + x2sen(y)dy, C é o retângulo com vértices (0, 0), (5, 0), (5, π) e
(0, π). R.: 60
2. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva com
orientação anti-horária em todos os casos onde a orientação não seja explicitamente
dada.
(a)
∮
C
xe−2xdx+ (x4 + 2x2y2)dy, C é o limite da região entre os ćırculos x2 + y2 = 1
e x2 + y2 = 4. O ćırculo menor é percorrido no sentido horário, e o maior no
anti-horário. R.: 0
(b)
∮
C
~F · d~r onde ~F = (ycos(x) − xysen(x))~i + (xy + xcos(x))~j e C é o triângulo
(0, 0), (0, 4) e (2, 0). R.: 16
3
(c)
∮
C
~F ·d~r onde ~F = (y−cos(y))~i+xsen(y)~j e C é o ćırculo (x−3)2 +(y+4)2 = 4
orientado no sentido horário. R.: 4π
(d)
∮
C
~F · d~r onde ~F = ~∇φ(x, y), φ(x, y) = xycos
2(xy)
x3−y3 e C é o ćırculo (x− 10)
2 + (y+
10)2 = 1. R.: 0
3. Escolhendo P e Q de modo que ∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1 é fácil ver, pelo Teorema de Green, que
a área da região Ω pode ser calculada por uma integral de linha
∮
γ
Pdx+Qdy, onde
γ é a fronteira de Ω no sentido anti-horário. Escolha P = −y/2 e Q = x/2 e mostre
que A(Ω) =
∫ ∫
Ω
dA = 1
2
∮
xdy − ydx é a área de Ω. Use essa fórmula para mostrar
que a área da elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 é πab.
4. Calcule
∫
C
[y3 + f(x)]dx + [−x3 + g(y)]dy onde C é a semi-circunferência de raio 1
para y ≥ 0 no sentido anti-horário, dado que f é uma função ı́mpar. R.: −3π
4
5. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
(a) ~F = xyz~i− x2y~k. R.: rot=−x2~i+ 3xy~j − xz~k e div=yz
(b) ~F = xyez~i+ yzex~j. R.: rot=zex~i+ (xyez − yzex)~j − xez~k e div=y(ex + ez)
(c) ~F = x
~i+y~j+z~k√
x2+y2+z2
. R.: rot=~0 e div=2/
√
x2 + y2 + z2
1
6. Determine se o campo vetorial ~F = y2z3~i+ 2xyz3~j + 3xy2z2~k é conservativo ou não.
Se for, calcule a função potencial.R.: É conservativo, φ = xy2z3 + C
7. Mostre que um campo vetorial da forma ~F = f(x)~i + g(y)~j + h(z)~k é irrotacional e
que um campo do tipo ~F = f(y, z)~i+ g(x, z)~j + h(x, y)~k tem divergência nula.
8. Demonstre as identidades
(a) ~∇ · (~∇× ~F ) = 0
(b) ~∇ · (~∇f × ~∇g) = 0
(c) ~∇× (~∇× ~F ) = ~∇(~∇ · ~F )− ~∇2 ~F
9. Mostre que as equações de Maxwell do eletromagnetismo clássico no caso estático
~∇ · ~E = 0 , ~∇ · ~B = 0
~∇× ~E = 0 , ~∇× ~B = 0
são invariantes por uma transformação de gauge (ou de calibre) do tipo
φ′ = φ+K , ~A′ = ~A+ ~∇ϕ
onde φ e ~A são os potenciais escalar e vetor do campo elétrico ~E e magnético ~B,
respectivamente, ou seja, tais campos podem ser escritos em termos destes potenciais
como
~E = −~∇φ , ~B = ~∇× ~A
K e ϕ são uma constante e uma função escalar diferenciável qualquer, respectiva-
mente. Dica! Basta mostrar que os campos em si são invariantes (não mudam).
10. Pode-se demonstrar que o potencial-vetor ~A do qual deriva um campo magnético
estático ~B, ou seja, tal que ~B = ~∇× ~A, pode ser escolhido sempre de modo que sua
divergência seja nula ~∇ · ~A = 0. Mostre que o potencial ~A = −1
2
(~r × ~B) satisfaz (a)
~∇ · ~A = 0 e (b) ~B = ~∇× ~A.
11. Calcule a integral de superf́ıcie.
(a)
∫
S
(x + y + z) dS, S o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v,
y = u− v, z = 1 + 2u+ v, 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1. R.: 11
√
14
(b)
∫
S
y dS, S o helicóide parametrizado por ~r(u, v) = (ucosv, usenv, v), 0 ≤ u ≤ 1,
0 ≤ v ≤ π. R.: (4
√
2− 2)/3
(c)
∫
S
(x2z + y2z) dS, S é o hemisfério x2 + y2 + z2 = 4 , z ≥ 0. R.: 16π
12. Calcule o fluxo do campo ~F através da superf́ıcie σ dada em cada caso.
2
(a) ~F = xy~i+ yz~j + zx~k, σ a parte do parabolóide z = 4− x2 − y2 que está acima
do quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, e a normal aponta na direção z-positiva.
R.: 713/180
(b) ~F = x~i− z~j+ y~k, σ a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 no primeiro octante, com
orientação apontando para a origem. R.: −4π/3
(c) ~F = x~i+ 2y~j + 3z~k, σ o cubo de vértices (±1,±1,±1). R.: 48
13. Verifique o Teorema da Divergência nos dois seguintes casos:
(a) ~F = 3x~i + xy~j + 2zx~k, σ é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0,
y = 1, z = 0 e z = 1.
(b) ~F = z~i+ y~j + x~k, σ a esfera x2 + y2 + z2 = 16.
14. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo ~F através da superf́ıcie
S em cada caso.
(a) ~F = 3xy2~i+xez~j+z3~k, S é a superf́ıcie do sólido limitado pelo cilindro y2+z2 = 1
e pelos planos x = −1 e x = 2. R.: 9π/2
(b) ~F = z~i+y~j−zx~k, S é a superf́ıcie do tetraedro limitado pelos planos coordenados
e o plano x
a
+ y
b
+ z
c
= 1, a, b, c, > 0. R.: abc(4−a)
24
(c) ~F = r~r, S consiste no hemisfério z =
√
1− x2 − y2 e no disco x2 + y2 ≤ 1 no
plano xy. R.: 2π
15. Uma superf́ıcie fechada é constitúıda da união de duas outras superf́ıcies: uma σ1 de
formato complicado e que se encontra na região z ≥ 0 e outra σ2 que forma a sua
base e é um ćırculo de raio 1 e centro na origem no plano z = 0. Qual o fluxo do
campo ~F = P (y, z)~i + Q(x, z)~j + (z + 1)~k através de σ1 na direção de dentro para
fora da superf́ıcie, dado que o volume delimitado pela superf́ıcie fechada é 2π? R.:
3π
16. Use uma integral de superf́ıcie para mostrar que a área de uma esfera de raio R é
4πR2. Em seguida, use o Teorema da Divergência para efetuar o mesmo cálculo.
17. Usando o Teorema de Stokes, calcule
∫ ∫
S
(~∇× ~F ) · d~S:
(a) ~F = x2z2~i + y2z2~j + xyz~k, S é a parte do paraboloide z = x2 + y2 que está
dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e cuja normal aponta na direção z-positiva. R.:
0
(b) ~F = xyz~i + xy~j + x2yz~k, S é formada pela tampa e pelos lados (mas vazado
na base) do cubo de vértices (±1,±1,±1) com normal apontando para fora do
cubo. R.: 0
3
18. Agora use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
∮
C
~F · d~r, C um
caminho orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
(a) ~F = (x+y2)~i+(y+z2)~j+(z+x2)~k, C é o triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
R.: −1
(b) ~F = yz~i+ 2xz~j + exy~k, C é o ćırculo x2 + y2 = 16, z = 5. R.: 80π
19. Verifique o Teorema de Stokes para ~F = y~i+z~j+x~k, S o hemisfério x2 +y2 +z2 = 1,
z ≤ 0, orientado no sentido de z-negativo. R.: π
20. Seja C uma curva fechada simples suave que se situa no plano x+ y+ z = 1. Mostre
que a integral de linha
∮
C
zdx − 2xdy + 3ydz depende apenas da área da região
englobada por C e não da forma de C ou de sua posição no plano.
4