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* * MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 3 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc. Aula 3 Análise Combinatória e Teorema Binomial * * Conteúdo ·Conceitos de Permutações, Arranjos e Combinações. ·Teorema Binomial utilizando os coeficientes binomiais. ·O Triângulo de Pascal como uma ferramenta adicional facilitadora da utilização do Teorema Binomial. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Introdução Análise combinatória PROBLEMAS DE CONTAGEM * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Princípio Fundamental da Contagem Exemplo: Um número de telefone é uma seqüência de 8 dígitos, mas o primeiro dígito deve ser diferente de 0 ou 1. Quantos números de telefone distintos existem? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Princípio Fundamental da Contagem Para cada dígito temos a possibilidade de 10 números, com exceção do 1º, onde só poderão existir 8 números: X X X X – X X X X 8.10.10.10 – 10.10.10.10 Assim: 8. 10...10 = 8.107 7 vezes * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Princípio Fundamental da Contagem Se um determinado evento ocorre em várias etapas sucessivas e independentes, onde: P1 é o número de possibilidades de ocorrer a 1ª etapa, P2 o número de possibilidades de ocorrer a 2ª etapa, P3 o número de possibilidades de ocorrer a 3ª etapa, Pn o número de possibilidades de ocorrer a n-ésima etapa * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Princípio Fundamental da Contagem O número total de possibilidades de ocorrer esse evento é dado por P = P1 . P2 .P3 . … . Pn * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer seqüência ordenada de p elementos distintos, escolhidos entre os n existentes. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Exemplo: Se, por exemplo, de um grupo de oito (8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em fila. De quantos modos podemos realizar tal processo? ____ ____ ____ ____ ____ 8 x 7 x 6 x 5 x 4 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Obteremos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 possibilidades de filas com cinco pessoas ____ ____ ____ ____ ____ = 6720 8 x 7 x 6 x 5 x 4 Representação: A8,5 ou A85.→ Arranjo 8 elementos tomados 5 a 5. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Podemos fazer o cálculo do arranjo utilizando os conceitos de fatoração: A8,5= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = A8,5 = * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES De maneira geral, temos que um arranjo de n elementos tomados de K a K é igual a: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Exemplo: Quantos números de três dígitos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos formar? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Isto significa que temos um arranjo de 7 elementos tomados de 3 a 3. Assim, * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Exemplo: Um grupo de pessoas é formado por cinco homens e três mulheres. Deseja-se formar filas com 5 dessas pessoas de modo que as três mulheres ocupem sempre as três primeiras posições. Assim, de todas as filas possíveis, quantas obedecem essa restrição? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Mulheres: arranjo de três mulheres tomado de 3 a 3. OBS: 0! = 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Homens: arranjo de cinco homens tomado de 2 a 2. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Possibilidades de Possibilidades de arranjos para as mulheres arranjos para os homens * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial ARRANJO SIMPLES Resposta: = 6 x 20 = 120 filas possíveis! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo: com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar? __1__ __2__ __3__ __1__ __3__ __2__ __2__ __1__ __3__ __2__ __3__ __1__ __3__ __1__ __2__ __3__ __2__ __1__ * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Como os números não podem se repetir: ____ ____ ____ 3x2x1 = 6 3 X 2 X 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Podemos entender a permutação simples como sendo um caso do arranjo, onde n=p: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Generalizando: Então, a permutação simples pode ser representada pela equação: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Outro exemplo de contagem no qual lançamos mão da ferramenta permutação simples é a contagem do número de anagramas que podem ser formados com alguma palavra. Anagrama é um processo de troca de ordem das letras de uma palavra com o intuito de formar uma nova palavra (esta palavra formada pode ter sentido ou não). * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo: AMOR ROMA ORAM MARO etc. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Como AMOR possui 4 letras: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra LIVRO: 5 letras * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra LIVRO começando com vogal? ___ ___ ___ ___ ___ O ou A 4 letras * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra MISSISSIPPI? 11 letras no total; Repetições: 4 letras I 4 letras S 2 letras P * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Exemplo: Qual o número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei)? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 8 posições no total Repetições: 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. São as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES A ORDENAÇÃO DOS ELEMENTO, NESTE CASO, NÃO TEM IMPORTÂNCIA! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo: Formar duplas com Pedro, João e Ana: Pedro e Ana = Pedro e João = João e Ana = Ana e Pedro João e Pedro Ana e João SERÃO FORMADOS APENAS 3 DUPLAS! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES A partir de um conjunto com n elementos devem-se formar um subconjunto com p elementos. A quantidade de subconjuntos é igual a: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo: Dentre 9 Cd’s distintos que estão em oferta em uma loja, João deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes João pode escolher os 5 Cd’s? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES CD1, CD2, CD3, CD4, CD5, CD6, CD7, CD8, CD9 Possibilidades: CD1, CD2, CD3, CD4, CD5 CD1, CD2, CD3, CD4, CD6 CD1, CD2, CD3, CD4, CD7 CD1, CD2, CD3, CD4, CD8 CD1, CD2, CD3, CD4, CD9 etc... * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES grupo de 9 CD’s em conjuntos de 5 CD’s * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Coeficientes Binomiais Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por: ou onde n é dito numerador e p chamado denominador. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é uma sequência de números binomiais, isto é, inteiros da forma C(n, p), dispostos em uma tabela em forma de triângulo, como na figura abaixo: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Números binomiais em de tabela: A “linha n” desta tabela será formada pelos inteiros C(n,p), onde p varia de 0 até n. Linha 0, formada apenas pelo C (0,0) = 1. Linha 4: C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4 4) 1 4 6 4 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Números binomiais em de tabela: Linha 4: C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4 4) - C (4,0) - C (4,3) C (4,1) - C (4,4) C (4,2) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Representando no Triângulo C (0,0) C (1,0) C (1,1) C (2,0) C (2,1) C (2,2) C (3,0) C (3,1) C (3,2) C (3,3) C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4,4) C (5,0) C (5,1) C (5,2) C (5,3) C (5,4) C (5,5) C (6,0) C (6,1) C (6,2) C (6,3) C (6,4) C (6,5) C (6,6) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Resultado 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Propriedade: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Aplicando a fórmula de combinação para a linha 5, por exemplo: = = = = = = 1 5 10 10 5 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal = = = = = = 1 5 10 10 5 1 Esses coeficientes binomiais são complementares e, portanto, iguais! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial A partir da linha 1, a cada elemento x, com exceção do primeiro e último, é igual à soma dos dois elementos da cima de anterior: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel e pode ser generalizada por: , n≥p Exemplo: + = 45 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial O teorema binomial fornece uma fórmula para a potência de um binômio, isto é, uma fórmula que permite calcular diretamente uma expressão do tipo (a + b)n, onde n é um inteiro positivo. Para n = 0 (a + b)0 = 1 Para n = 1 (a + b)1 = a + b Para n = 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a3b + 3ab3 + b3 Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial À medida que o expoente n aumenta, o desenvolvimento do binômio (a+b)n fica mais complexo, podendo ser obtido multiplicando-se o desenvolvimento anterior, (a+ b)n-1 , por (a + b), isto é: (a + b)n = (a + b)n-1 . (a + b) Exemplo: Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Os coeficientes de (a+b)n são os inteiros que formam a linha n do triângulo de Pascal, que são os números binomiais C(n,p). (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3 (a + b)4 = ( a + b)3(a + b) = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = 1a + 1b 1 1 (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 1 2 1 (a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3 1 3 3 1 (a + b)4 = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 1 4 6 4 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Fórmula do teorema binomial: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Exemplo: (a + b)5 = ? Aplicando a fórmula: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial 1º termo: = 1.a5.1 = a5 2º termo: = 5.a4.b 3º termo: = 10.a3.b2 4º termo: = 10.a2.b3 5º termo: = 5.a1.b4 6º termo: = 5.a0.b5 = 5b5 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Resultado: (a + b)5 = a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 5b5 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Exemplo: Desenvolver (3x+2)4 usando o teorema binomial. (3x+2)4 = (3x)4 + 4.(3x)3.2 + 6.(3x)2.22 + 4.(3x)1.23 + 1.(3x)0.24 = 81x4 + 4.(27x)3.2 + 6.(9x)2.4 + 4.(3x)1.8 + 1.(3x)0.16 = 81x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 16 * * Exemplo: Desenvolver (x - 2)4 usando o teorema binomial. (-b)k = bk se k é par Note que: (-b)k = -bk se k é ímpar (x - 2)4 = x4 - x3.2 + x2.22 - x.23 + x0.24 = (x - 2)4 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16 *
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