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Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES A ORDENAÇÃO DOS ELEMENTO, NESTE CASO, NÃO TEM IMPORTÂNCIA! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo: Formar duplas com Pedro, João e Ana: Pedro e Ana = Pedro e João = João e Ana = Ana e Pedro João e Pedro Ana e João SERÃO FORMADOS APENAS 3 DUPLAS! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES A partir de um conjunto com n elementos devem-se formar um subconjunto com p elementos. A quantidade de subconjuntos é igual a: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo: Dentre 9 Cd’s distintos que estão em oferta em uma loja, João deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes João pode escolher os 5 Cd’s? * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES CD1, CD2, CD3, CD4, CD5, CD6, CD7, CD8, CD9 Possibilidades: CD1, CD2, CD3, CD4, CD5 CD1, CD2, CD3, CD4, CD6 CD1, CD2, CD3, CD4, CD7 CD1, CD2, CD3, CD4, CD8 CD1, CD2, CD3, CD4, CD9 etc... * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial COMBINAÇÃO SIMPLES grupo de 9 CD’s em conjuntos de 5 CD’s * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Coeficientes Binomiais Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por: ou onde n é dito numerador e p chamado denominador. * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é uma sequência de números binomiais, isto é, inteiros da forma C(n, p), dispostos em uma tabela em forma de triângulo, como na figura abaixo: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Números binomiais em de tabela: A “linha n” desta tabela será formada pelos inteiros C(n,p), onde p varia de 0 até n. Linha 0, formada apenas pelo C (0,0) = 1. Linha 4: C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4 4) 1 4 6 4 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Números binomiais em de tabela: Linha 4: C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4 4) - C (4,0) - C (4,3) C (4,1) - C (4,4) C (4,2) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Representando no Triângulo C (0,0) C (1,0) C (1,1) C (2,0) C (2,1) C (2,2) C (3,0) C (3,1) C (3,2) C (3,3) C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4,4) C (5,0) C (5,1) C (5,2) C (5,3) C (5,4) C (5,5) C (6,0) C (6,1) C (6,2) C (6,3) C (6,4) C (6,5) C (6,6) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Resultado 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal Propriedade: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Aplicando a fórmula de combinação para a linha 5, por exemplo: = = = = = = 1 5 10 10 5 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Triângulo de Pascal = = = = = = 1 5 10 10 5 1 Esses coeficientes binomiais são complementares e, portanto, iguais! * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial A partir da linha 1, a cada elemento x, com exceção do primeiro e último, é igual à soma dos dois elementos da cima de anterior: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel e pode ser generalizada por: , n≥p Exemplo: + = 45 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial O teorema binomial fornece uma fórmula para a potência de um binômio, isto é, uma fórmula que permite calcular diretamente uma expressão do tipo (a + b)n, onde n é um inteiro positivo. Para n = 0 (a + b)0 = 1 Para n = 1 (a + b)1 = a + b Para n = 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a3b + 3ab3 + b3 Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial À medida que o expoente n aumenta, o desenvolvimento do binômio (a+b)n fica mais complexo, podendo ser obtido multiplicando-se o desenvolvimento anterior, (a+ b)n-1 , por (a + b), isto é: (a + b)n = (a + b)n-1 . (a + b) Exemplo: Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Os coeficientes de (a+b)n são os inteiros que formam a linha n do triângulo de Pascal, que são os números binomiais C(n,p). (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1a + 1b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3 (a + b)4 = ( a + b)3(a + b) = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = 1a + 1b 1 1 (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 1 2 1 (a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3 1 3 3 1 (a + b)4 = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 1 4 6 4 1 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Fórmula do teorema binomial: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Teorema Binomial Exemplo: (a + b)5 = ? Aplicando a fórmula: * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial 1º termo: = 1.a5.1 = a5 2º termo: = 5.a4.b 3º termo: = 10.a3.b2 4º termo: = 10.a2.b3 5º termo: = 5.a1.b4 6º termo: = 5.a0.b5 = 5b5 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Resultado: (a + b)5 = a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 5b5 * * Aula 3 - Análise Combinatória e Teorema Binomial Exemplo: Desenvolver (3x+2)4 usando o teorema binomial. (3x+2)4 = (3x)4 + 4.(3x)3.2 + 6.(3x)2.22 + 4.(3x)1.23 + 1.(3x)0.24 = 81x4 + 4.(27x)3.2 + 6.(9x)2.4 + 4.(3x)1.8 + 1.(3x)0.16 = 81x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 16 * * Exemplo: Desenvolver (x - 2)4 usando o teorema binomial. (-b)k = bk se k é par Note que: (-b)k = -bk se k é ímpar (x - 2)4 = x4 - x3.2 + x2.22 - x.23 + x0.24 = (x - 2)4 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16 *
