Principios_de_Metalurgia_Fisica

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Princípios de
Metalurgia Física
Robert E. Reed-Hill
Segunda edição
GUANABARA
DOIS
Titulo do Original em Ingles
Physical Metallurgy Principles
Second Edition
Copyright ©1973 by
Litton Educational Publishing, Inc., Publicado por D. Van Nostrand Company/
Direitos exciusivos para a lingua portuguesa
Copyright© by
EDITORAGUANABARA DOIS S.A.
Rio de Janeiro - RJ
1982
Reservados todos os direitos. E proibida a duplicac;ao
ou reproduc;ao deste volume, ou de partes do mesmo,
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios
(eletr?~~o,mC?Alnico,gravac;ao, fotoc6pia, ou outros),
sem permissaoexpressa da Editora.
Fotocomposierao da Editora Guanabara Koogan S.A.
Traduzido por
ANTONIO CARLOS GOMES,
Eng.o Metalurgista
EDUARDO BARCHESE,
Eng.o Metalurgista, M. Eng., Dr. Eng.,
Escola Politecnica da USP
HAMILTON LELIS ITO,
Eng.o Metalurgista,
Faculdade de Engenharia Industrial- FEI
JOAQUIM DE OLIVEIRA RAMOS JR.,
Eng.o Metalurgista,
Faculdade de Engenharia Industrial- FEI
JOSE FRANCISCO GERMANO,
Eng.o Industrial Metalurgista
JOSE OCTAvIO ARMANI PASCHOAL,
Eng.o de Materiais, M. Eng.
LIGIA TERUKO MIYADA,
Bacharel em Fisica, M. Fis.
SERGIO AUGUSTO DE SOUZA,
Eng.o Metalurgista
Sob a supervisiio de
FRANKLIN EVRARD,
Eng.o Metalurgista,
Departamento de Engenharia Metalurgica
da Faculdade de Engenharia Industrial- FEI
Prefacio
o programa basico e a filosofia da edil;ao original prosseguem neste volume. As
principais mudanl;as na nova edil;ao sao, em grande parte, 0 resultado de sugestoes
construtivas e comenmrios do Professor Richard W. Heckel, da Drexel University, de
Walter S. Owen, Diretor da Northwestern University, e do Professor Marvin Metz-
ger, da University of Illinois. Urn dos resultados dessas sugestoes foi a inclusiio de
urn capItulo sobre cinetica da nucleal;ao e do crescimento. 0 esbol;o desse capItulo
inspirou-se tambem em anotal;oes de aulas gentilmente cedidas ao autor pelo Profes-
sor Heckel. Tambem cabe reconhecer 0 consideravel auxflio do Dr. John Kronsbein
na revisiio e expansao do Cap. 3, Teoria Elementar dos Metais.
Como conseqiiencia de pedidos para a inclusiio de topicos niio existentes ou en-
tao so levemente tratados na primeira edil;iio, 0 novo livro cresceu em cerca de 10%.
De uma maneira geral, 0 material adicional se enquadra em duas categorias. A primei-
ra compreende topicos que so recentemente se tornaram importantes no campo da me-
talurgia. 0 segundo grupo consiste em assuntos bern estabelecidos, niio cobertos na
primeira edil;ao mas que tornaram-se necessarios para uma apresental;iio mais unifica-
da. Na primeira categoria estiio microscopia eletr6nica, mecanica da fratura, super-
condutividade, superplasticidade, recuperal;iio dinamica, envelhecimento dinamico
induzido por deformal;iio, eletrotransporte, migral;iio termica e discordancias emissa-
rias. No segundo grupo temos 0 novo capItulo sobre cinetica da nucleal;iio e do cresci-
mento e topicos como magnetismo, teoria da zona das fases, os cinco graus de liberda-
de de urn contorno de griio, a regra das fases, tensiio e deformal;iio verdadeiras, zonea-
mento e homogeneizal;iio de fundidos, encruamento e difusiio em sistemas anisomor-
fos.
o mimero de problemas aumentou substancialmente em relal;iio ao livro origi-
nal conforme a tendencia atual em engenharia de dar maior enfase asolUl;iio de pro-
blemas. Os exercfcios foram formulados com 0 objetivo de ilustrar pontos do texto,
como tambem de expor ao estudante material e conceitos nao cobertos diretamente no
livro.
o valiosoauxfliodo Dr. John Hren, Dr. Robert T. DeHoff, Dr. Derek Dove, Dr.
Ellis Verinke Dr. F. N. Rhines, todos da University of Florida, que revisaram sel;oes
do livro ou deram sugestoes, e registrado e agradecido.
Robert E. Reed-Hill
Sumario
1 A Estrutura dos Metais, 1
2 Metodos de Difra~ao, 31
3 Teoria Elementar dos Metais, 50
4 Discordancias e os Fenomenos do Escorregamento, 120
5 Discordancias e Contornos de Grao, 161
6 Lacunas, 204
7 Recozimento, 228
8 Solu~Oes S6lidas, 277
9 Endurecimento por Precipita~ao, 304
10 Difusao em Solul;Oes S6lidas SUbstitucionais, 321
11 Difusao Intersticial, 367
12 Fases, 387
13 Cinetica da Nuclea~ao e do Crescimento, 408
14 Diagramas de Fases Bimirios, 443
15 Solidifica~ao dos Metais, 481 .
16 Deforma~ao por Macla~ao e Rea~Oes Martensiticas, 517
17 0 Sistema Ferro-Carbono, 559
18 A Tempera do A~o, 593
19 Fratura, 635
20 Fluencia, 703
Apendices
A - Angulos entre Pianos Cristalognificos do Sistema Ctibico' (graus), 755
B - AngUlos entre Pianos Cristalognificos de Elementos Hexagonais, 757
C - Indices dos Pianos Refletores de Estruturas Ctibicas, 758
D - Fatores de Conversao e Constantes, 759
E - Elementos de Macla~iio de Alguns dos Mais Importantes Modos de Macla-
~iio, 759
F - Valores Selecionados da Energia Intrinseca de Falha de Empilhamento 'Y 1, E-
nergia de Contorno de Macla 'YM, Energia de Contorno de Griio 'YCG e Energia
Superficial Cristal-Vapor 'Y para Diversos Materiais em pJlcm2 , 760
G - 0 Sistema Internacional de Unidades, 760
Lista de Simbolos Importantes, 767
Lista de Simbolos Gregos, 769
Iodice Alfabetico, 770
Principios de
M etalurgia Fisica
1 A Estrutura <dos Metais
o aspecto mais importante de qualquer material de uso em engenharia e sua estru-
tura, porque suas propriedades estao intimamente relacionadas com essa caracteris-
tica. Para ser bem-sucedido, urn engenheiro de"materiais deve ter urn born conhe-
cimento das rela~6es entre estruturas e propriedades. A titulo de ilustra~ao, a ma-
deira eurn material onde e muito facil de observar a intera~ao fntima entre estrutura
e propriedades. Uma estrutura tfpica de madeira, tal como a do pinho, e essencial-
mente urn arranjo de longas ceIulas ocas ou fibras. Essas fibras, que sao formadas
principalmente de celulose, estao alinhadas aos veios" da madeira e coladas entre
si por outro material organico, de menor resistencia, chamado lignina. A estrutura
da madeira e, portanto, analoga a urn ma~o de canudos. Ele pode ser facilmente
separado ao longo de seus veios, isto e, paralelamente as celulas. A madeira tambem e
muito mais resistente a compressao (ou tra~ao) paralela aos seus veios do que a
compressao (ou tra~ao) normal a eles. De madeira sao feitas excelentes colunas e
vigas, mas ela nao e realmente adequada para componentes de tra~ao, destinados a
suportar grandes cargas, pois a baixa resistencia ao cisalhamento paralelamente aos
veios dificuIta a sua fixa~ao. Por isso, pontes e outras grandes estruturas de madeira
sao geralmente construfdas contendo tirantes de a~o para suportar as cargas de tra~ao.
1.1 A estrutura dos metais. A estrutura dos metais tern importancia semelhante a
da madeira, mas, em geral, de urn modo mais sutil. Os metais sao cristalinos quando
estao naforma solida e, embora monocristais muito grandes possam ser preparados, os
objetos metalicos normalmente consistem em urn agregado de numerosos pequenos
cristais. Os metais sao entao policristalinos. Os cristais desses materiais sao normal-
mente denominados como os seus graos. Devido ao pequeno tamanho dos cristais,
usualmente utiliza-se urn microscopio optico com aumentos de 100 a 1.000 vezes para 0
exame dos aspectos estruturais associados aos graos de urn metal. As estruturas que
necessitam desta faixa de aumento para seu exame sao classificadas como microestru-
turas. Ocasionalmente pode haver objetos memlicos, tais comope~as fundidas, com
cristais de tamanho tal que sao distingufveis a olho nu ou facilmente observaveis sob
uma lupa. As estruturas deste tipo sao chamadas de macroestruturas. Finalmente, ha
uma estrutura fundamental dentro dos proprios graos, 0 arranjo atomico dos cristais.
Essa forma de estrutura echamada de estrutura cristalina.
Das varias formas de estrutura, a microestrutura (aquela visfvel sob 0 microsco-
pio optico) tern sido historicamente a de maior uso e interesse para 0 metalurgista.
Como 0 microscopio metalurgico e operado normalmente com aumentos onde a
profundidade de foco e extremamente baixa, a superficie metalica a serobservada
deve ser muito plana e, ao mesmo tempo, deve revelar com precisao a natureza
da estrutura do metal. A prepara~ao de uma superffcie muito plana e sem deforma-
1
~ao nao e uma tarefa faciI. Os procedimentos necessarios para alcan~ar esse obje-
tivo podem ser intitulados prepara~ao de amostras metalograficas.
l':zPrepar~~aode a~ostrasmetalogr~c~. De uma forma l?eral, a prepar~a<? ~e
amostras metalograficas e uma arte e as tecmcas tendem a vanar de urn laboratono
para outro. As varia~oes nos procedimentos podem ser tambem necessarias, de-
pendendo da natureza do metal a ser examinado, visto que os metais vmiam am-
plamente em dureza e estrutura. Entretanto, as opera<;oes basicas tendem a ser
similares. Com a finalidade de ilustrar a natureza da prepara~ao de amostras meta-
lograficas, consideremos a tecnica apropriada para 0 ferro e 0 a~o. 0 que se segue e
apenas uma sequencia de procedimentos e, para maiores detalhes, uma referencia
conveniente1 deve ser consultada.
Amostra metalica
Fig. 1.1 Uma amostra metalografica.
Disco plastico
Suponhamos que uma pequena amostra tenha sido retirada de urn objeto de a~o e
que uma superffcie plana apropriada tenha sido preparada em urn dos lados dessa
amostra. atraves de corte e esmerilhamento. 0 procedimento normal consiste em
montar a amostra em urn pequeno disco plastico (cerca de 25 mm de diametro e 12 mm
de espessura), com a superffcie da amostra a ser polida exposta em urn dos lados do
disco, como mostra a Fig. 1.1. Uma tecnica de moldar esse disco consiste
primeiramente em colocar a amostra dentro de urn molde anular e entao despejar
resina epoxi Ifquida ate preenche-Io. A resina endurece em algumas horas, produzindo
urn material resistente, conveniente para 0 manuseio e sustenta~ao da amostra durante
as etapas subsequentes de prepara~ao da superficie. Estas etapas envoivern quatro
opera<;oes basicas: (I) lixamento fino, (2), polimento grosseiro, (3) polimento final e (4)
ataque. Nos primeiros tres estagios, 0 objetivo basico e reduzir a espessura da camada
deformada junto asuperffcie da amostra. Todas as opera~oes de corte e esmerilha-
mento deformam bastante 0 metal junto a superficie, de maneira que a verdadeira
estrutura do metal tornar-se-a visfvel somente quando a camada deformada for com-
pletamente removida. Urna vez que cada estagio da prepara~ao da amostra tende a
deformar a superffcie, e necessario <ltilizar uma sucessao de abrasivos cada vez mais
finos. Cada abrasivo age de forma a remover a camada deformada produzida no
estagio precedente mais grosseiro, deixando por sua vez uma camada deformada de
espessura menor.
'Polishing the Micro Section, Partes 1e 2. The AB Metal Digest, 11, N.""2 e 3, (1965). Buehler, Ltd., Evanston,
Illinois.
2
Lixamento fino . .Neste estagio, a superficie da amostra e lixada em papeis espe-
cialmente preparados, contendo po de carboneto de silfcio. A amostra pode ser
atritada manualmente sobre 0 papel abrasivo disposto sobre uma superficie plana,
como, por exemplo, uma placa de vidro; outro metodo consiste em dispor 0 papel
abrasivo sobre urn disco rotativo plano horizontal, apoiando-se sobre ele 0 corpo de
prova. Em ambos os casos, a superficie e usualmente lubrificada com agua, que
promove uma a<;ao de arraste das partfculas eliminadas da superficie. Tres classes de
abrasivos sao usadas: grao 320, grao 400 e grao 600. Os tamanhos das partfculas de
carbonetode silfcio sao cercade33, 23 e 17 /Lm, respectivamente. Em cada urn desses
estagios de lixamento, 0 corpo de prova e movimentado sobre a superficie de tal
maneira que os riscos sejam formados apenas em uma dire<;ao. Na passagem de urn
abrasivo para outro, 0 corpo de prova e girado de urn cingulo de cerca de 45°, de forma
que os novos riscos se disponham na superficie sob este cingulo com rela<;ao aos riscos
produzidos no estagio precedente. 0 lixamento e efetuado ate 0 ponto em que os riscos
do estcigio anterior desapare<;am totalmente.
Polimento grosseiro. Este e provavelmente 0 estcigio critico. Ate hoje 0 abrasivo
mais usado e 0 po de diamante, com tamanho de particula de cerca de 6 /Lm.O po de
diamante e contido em uma pasta solIivel em oleo. Uma pequena quantidade desta
pasta e colocada sobre urn pano de miilon fixado sobre urn disco rotativo, e 0
lubrificante utilizado e urn oleo especialmente preparado. 0 corpode prova e pressio-
nado contra 0 pano do disco rotativo com uma pressao considenivel. Nos estcigios de
polimento, 0 corpo de prova nao e mantido em uma posi~ao fixa sobre 0 disco, mas e
movimentado em torno dele, na dire~ao oposta ao sentido de rota~ao, 0 que assegura
uma a<;ao mais uniforme de polimento. As particulasde diamante tern uma forte a<;ao
de corte e podem ser muito efetivas na rem09ao da profunda camada de deforma~ao
remanescente da opera<;ao de esmerilhamento fino. 0 fato de que 0 po de diamante de
6 /Lm e capaz de remover os efeitos resultantes do abrasivo de carboneto de silfcio de 17
/Lm, usado no ultimo estagio de esmerilhamento fino, mostra a efetividade de corte do
diamante.
Polimento final. Aqui sao removidos os riscos e a fina camada deformada prove-
nientes do estagio de polimento grosseiro. 0 composto de polimento geralmente usado
e a alumina (AI2 0 a) em po (forma gama), com urn tamanho de particula de 0,05 /Lm.
Este po e colocado sobre urn disco coberto com pano, eo lubrificante usado e a agua
destilada. Ao contrario do pano de nailon sem felpas usado no polimento grosseiro, 0
tecido neste estagio normalmente e felpudo. Se este e os estagios precedentes forem
cuidadosamente efetuados, sera obtida uma superficie livre de riscos e uma camada
deformada quase imperceptfvel.
Ataque. A estrutura granular de urn cOfpO de prova metalografico usualmente
nao pode ser vista ao microscopio apos 0 polimento. Os contornos de grao de urn
metal tern uma espessura da ordem de poucos dicimetros atomicos, e 0 poder de
resolu~ao do microscopio e muito baixo para revelar a sua presen~a. Os contornos
serao visfveis somente se urn metal possuir varios graos adjacentes de cores diferentes,
o que, em urn metal puro, .e impossfvel. A fim de tornar os contornos visfveis, os
corpos de prova metalograficos sao geralmente atacados. Na maioria dos casos faz-se
a imersao da superficie polida em uma solu<;ao fracamente acida ou alcalina. A solu<;ao
mais comumente usada para atacar os a~os e chamada nitale consiste em uma solu<;ao
de acido nftrico a 2% em mcool. Em alguns casos, a solu<;ao de ataque e aplicada a
superficie do corpo de prova atritando-a com urn chuma<;o de algodao embebido do
reativo. Em ambos os casos, 0 efeito resultante e a dissolu<;ao do metal da superficie da
amostra. Com uma boa solu<;ao de ataque, a rem09ao de metal da superficie' nao
()sorrera uniformemente. Algumas vezes, 0 reativo atacara os contornos de grao mais
rapidamente que 0 interior dos mesmos. Outros reativos dissolverao os graos con-
3
forme a orienta<;aoda superficie em contato com a solu<;ao de ataque.Anaturezid~s~e
efeito e mostrada esquematicamente na Fig. 1.2, onde os contornos sao revela10spor
se apresentarem como pequenos degraus na superficie da amostra. Essas superficies,
aproximadamente verticais, nao refletem a luz, para asobjetivasde ummicros~oI'i(),
da mesma maneira que as superficies horizontais lisas do interior dos graos, e; como
resultado, a localiza<;ao dos contornos de graopodeni ser observada aomicroscopiO:
~ Superficie antes do ataque
~:'""'"'''.,,0., ...,,,
Fig. 1.2 A solU9aode ataque revela os contornos dos cristais.
1;4 Celulas unimrias. A dlula unitaria de urn cristal e 0 menor agrupamento de
atomos possuindo a simetria do cristal que, quando repetido em todas as dire<;oes,
desenvolvera 0 reticulado cristalino. A Fig. 1.3A mostra a celula unimria de urn cristal
cubico de .corpo centrado. Eevidente que 0 seu nome deriva do aspecto da celula uni-
taria. Na Fig. 1.3B sao combinadas oito celulas unitarias para mostrar como uma
c~lulaunimria se situa dentro do reticulado completo. Note que 0 atomo a da Fig. l.3B
nao pertenceunicamente a llD1a. cellliaunitaria, rna~ faz Parte de todas as oito celulas
que 0 cercam. Por isso, po1~-sedi~erqlle apenas 1ID1 oitavo do atomo desse vertice
pertence a uma dada celulaunit<iria. E:ste fato pode ser usado para calcular 0 numero
de Momos ~or celula unitana em urn cristal cubico de<corpo centrado. Mesmo urn
pequeno cnstal contera bilhoes de celulas unitanas. Como as celulas do interior do
cristal sao em numero muito maior que as que ficam na superficie estas podem ser
desprezadas em nossos calcul()s. No interior de urn cristal,cada atomo do vertice de
uma celula e equivalente a()< atomo a da Fig. l.3B e cont.Iii:Jui em urn oitavo de Momo
para a celula unitaria. Alemdisso, cada celula tambem possui urn atomo localizado no
centro que nao participa de outra celula unit<iria. 0 reticulado cubico de corpo
centrado tern, portanto, dois Momos por celula unit<iria, urn fornecido pelos atomos
dos vertices e outro localizado no centro da celula.
Fig. 1.4 Celula unitliria cUbica.de face centrada.
A celula unitaria de urn reticulado cubico de face centrada e mostrada na Fig. 104.
Neste caso, a ceIula unitaria tern urn atomo no centro decada face.
o numero de atomos por ceIula unitaria do reticulado cubico de face centrada
pode ser calculado da mesma maneira usada para 0 reticulado cubico de corpo cen-
trado. Novamente, os oito Momos dos vertices contribuem com urn Momo para a
celula.Ha tambem seis Momos centrados nas faces a serem considerados, cada urn
sendo parte de duas ceIulas unitarias. Estes contribuem com seis vezes meio atomo, ou
tresatomos. 0 reticulado cubico de face centrada temum total dequatro atomos por
celula unitaria, ou 0 dobro do reticulado cubico de corpo centrado.
1.5 A estrutura cubica de corpo centrado. Freqiientemente convern considerar os
cristais metaIicos. como estruturas.formadas pe!o empilhamento de esferas rigidas.
Isto leva ao chamado modelo de esferas rlgidas de urn reticulado cristalino, onde 0 raio
das esferas e tornado como a metade da distancia entre os centros dos Momos mais
proximos.
Fig. 1.5 mostra 0 modelo de esferas rigidas de uma ceIula unit<iria cubica de
corpo centrado.•Um estudo da figura mostra que 0 atomo do centro do. cuba e colinear
com cada Momo ~o vertice, isto e, os Momos de cada vertice do cuba diagonalmente
opost?S f?rmam b~has ret~s, cada atomo tocando seqiiencialmente 0 seguinte. Esses
arran~os lmeares nao termmam nos vertices da ceIula unit<iria, mas continuam atraves
do cnstal como uma fileira de contas enfiadas em urn arame (veja Fig. 1.3B). Essas
quatro diagonais do cubo constituem as dire<;oes compactas de urn cristalcubico de
corpocentrado, que correm continuamente atraves do reticulado e nas quais os
Momos estao 0 mais proximo posslvel.
As considera<;oes feitasnas Figs. 1.5 e l.3B revelam que todos os atomos em urn
5
;r.;;~----4-- Atomo a
(B)(A)
4
Fig. 1.3 (A) Celula unitliria cubica de corp() centrado. (B) Oito celulas unitarias do reticulado
cubico de corpo centrado.
Polimento e ataqueeletroliticos. Ha umaserie de metais,tais como a<;o ino-
xidavel, titanio e zirconio, nos quais e muito dificil a remo<;ao da camada superficial
deformada. 0 polimento mecanico nao ebem-sucedido nesses materiais e,porisso,
o esmgiofinal de prepara<;aoe.efetuadoatravesdeuma tecnica de polimentoeletroli-
tico. Neste caso, 0 corpo deprova eo anodo de urn banho eletrolitico apropriado,
enquanto que 0 catodo.eum.material insoluvel. Se umadensidade de correnteade-
quada for usada, sera pOSSIVe! dissolver 0 material do corpo de prova de modo que seja
produzidauma superflciefinamentepolida. Nopolimentoeletrolftico, a solu<;ao e a
corrente sao controladas de forma a produzir uma superficie regular e sem relevo. Por
outro lado, tambem e pOSSIVe! alterar a composi<;ao do eletrolito, e a densidade de
corrente, de forma aproduzir nasuperficie 0 relevo exigidono ataque. Este procedi-
mento e.chamado de ataqueeletrolftico.
1.3 A estrutura cristalina dos metais. Urn cristale definido como urn arranjo
ordenadode ,Homos nOespa<;o. Ha Illuitos tipos diferentes de estrlituras cristalinas,
algumas das quais bastante complicadas. FelizmeIlte, a. maioria dos metais cristaliza-
se em uma destas tres estruturas relativamente simples: a cubica de face centrada, a
cubica de corpo centrado e a hexagonal compacta.
c
a-+--+--+--+-lif-+--+--+-a
c
(e)
Fig. 1.6 (A) Celula unitaria cubica de face centrada (modelo de esferas rigidas). (B) A mesma
celula com 0 Momo de urn dos vertices removido para mostrar urn plano octaectrico. (C) As seis
direc;oes das diagonais das faces.
Fig. 1.7 ArrapJo atomico em urn plano octaedrico de urn metal cubico de face centrada.
Ob~erva-s~ que os atom,os ppssuem 0 empacotamento mais dense possive!. Esta mesma configu-
r~c;ao de atomos tambem e observada no plano basal de cristais hexagonais compactos. As
dlrec;oes compactas sao aa, bb e cc.
Fig. 1.5 Modelo de esferas rfgidas da celula unitaria cubica de corpo centrado.
reticulado cubico de corpo centrado sao equivalentes. Portanto, 0 atomo do centro do
cubo da Fig. 1.5 nao tern urn ·significado especial corn rela~ao aqueles que ocuparn os
vertices. Qualquer urn dos atomos poderia ter sido escolhido como centro da celula
unitaria, tomando todos os atomos dos vertices da Fig. I.3B centros de celuill-s e todos
os centros de celulas vertices.
1.6 0 numero de coordena..ao do reticulado cubico de corpo centrado. 0 numero
de coordenac;:ao de' uma estrutura cristalina e igual ao numero de vizinhos mais
pr6ximos que urn atomo possui no reticulado. Na celula unitaria cubica de corpo
centrado ha oito vizinhos tocando 0 atomo de centro (veja Fig. 1.5). Ja vimos que todos
os atomos desse reticulado sao equivalentes. Por isso, tOOos os atomos da estrutura
cubica de corpo centrado, a menos daqueles localizados na superficie extema, pos-
suem oito vizinhos mais pr6ximos; assim, 0 mimero de coordena~ao do reticulado e
oito.
1.7 0 reticulado cubico de face centrada. 0 modelo de esferas rigidas assume urn
significado especial nos cristais cubicos de face centrada, pois, nesta estrutura, os
atomos ou esferas estao empilhados da forma mais compacta possivel. A Fig. 1.6A
mostra uma ceIula cubica de face centrada completa e a Fig. 1.6B mostra a mesma
celula uniffiria corn 0 atomo de urn vertice removido, afim de revelar 0 plano compacta
(plano octaedrico), no qual os atomos estao espa~ados da forma mais dens;! possivel.
Uma area maior de urn desses pIanos compactos e mostrada na Fig. 1.7. As tres
dire~6es compactas se encontram no plano octaedrico (as dire~6es aa, bb e cc); nestas
dire~6es, as esferas que se tocarn sao colineares.
Retomando a Fig. 1.6A, vemos que as dire~6es compactas da Fig. 1.7 correspon-
dem as diagonais das faces do cubo. Ha seis destas dire~6es compactas no reticulado
cubico de face centrada, como e mostrado na Fig. 1.6C. As diagonais que se localizarn
nas faces reversas do cubo nao sao contadas neste total, porque sao paralelas adire~ao
tonsiderada na face visivel e, cristalograficamente, direc;:6es paralelas sao considera-
das como as mesmas. Tambem se pode afirmar que a estrutura cubica de face
centrada possui quatro pIanos compactos ou octaedricos, 0 que pode ser verificado
pelo· seguinte: se urn atomo for removido de cada urn dos vertices de uma celula
unitaria, de maneira semelhante ada Fig. 1.6B, umplano octaedrico sera revelado ern
cada caso. Ha oito destes pIanos, mas, uma vez que os pIanos diagonalmente opostos
6
7
sao{>fu-aIelos>eles sao cristalograficamente iguais. Isto reduz a quatro 0 numero de
pianos octaedricos distintos. 0 reticulado cubico de face centrada, contudo, eo unico
que contem quatro pianos de maxima densidade, cada urn contendo tres dire90es
compactas. Nenhum outro reticulado possui urn numero tao grande de pianos e
dire90es compactas. Este fato e importante, uma vez que confere aos metais cubicos
de face centrada propriedades fisicas diferentes das dos outros metais, entre as quais a
capacidade de suportar severa deforma9ao plastica.
1.8 Comparal;iioentre as estruturas ctibica de face centrada e hexa.gonal com·
pacta. 0 reticulado cubico de face centrada pode ser construfdo arranJ~ndo-se os
atomos em uma serie de pianos compactos semelhantes ao mostrado na FIg. 1.7 e, a
seguir, empilhando-se esses pianos em uma sequencia apropriada. Ha uma serie de
maneiras pelas quais os pianos compactos podem ser empilhados. Urna sequencia
produz 0 reticulado hexagonal compacta e outra, 0 reticulado cubico de face centrada.
Ha mais que umaforma de empilhamento dos pianos compactos porque urn plano pode
ser assentado sobre 0 anterior de duas formas diferentes. Por exemplo, considere 0
plano compacta da Fig. 1.8. 0 centro de cada Momo e indicado pelo sfmboloA. Agora,
se urn Momo for colocado sobre 0 arranjo da Fig. 1.8, ele sera atrafdo por for9as
interatomicas para dentro de uma das cavidades naturais que existem entre tres
Momos contfguos. Suponha que ele caia na cavidade identificada por B l no lado
superior esquerdo da figura; urn segundo atomo nao pode cair em C1 ou C2porque 0
atomo na posi9ao B l cobre as cavidades nesses dois pontos. Entretanto, 0 segundo
atomo pode cair em B2 ou Ba e come9ar a forma9ao de urn segundo plano compacto
consistindo de Momos que ocupam todas as posi90es B. Por outro lado, 0 segundo
plano poderia ser assentado de forma a preencher apenas as posi90es C. Assim: s~ 0
primeiro plano compacto ocupa a posi9aoA, 0 segundo plano pode ocupar as posI90es
B ou C. Admitamos que 0 segundo plano tenha a configura9aoB. Neste caso, metade
das cavidades do segundo plano fica sobre os centros dos atomos do primeiro plano e a
outra metade sobre as cavidades C do primeiro plano. 0 terceiro plano pode agora ser
assentadosobre 0 segundo, nas posi90esA ou C. Sefor assentado emA,os atomos da
terceira camada ficarao diretamente sobre os atomos da primeira camada. Esta nao e a
ordem de empilhamento da estrutura cubica de face centrada e sim a da hexagonal
compacta. A sequencia de empilhamento da estrutura cubica de face centrada e: A
para 0 primeiro plano, B para 0 segundo e C para 0 terceiro, 0 que pode ser escrito
comoABC. 0 quarto plano no reticulado cubico ge face centrada, entretanto, ocupara
a posi9ao A, 0 quinto B e 0 sexto C, de forma que a sequencia de empilhamento para
cristais cubicos de face centrada e ABCABCABC etc. Na estrutura hexagonal com-
pacta, plano sim plano nao ocupara a mesma posi9ao, correspondendo asequencia de
empilhamento ABABAB....
Fig. 1.8 Seqiiencia de empilhamento nas
estruturas cristalinas compactas.
8
Nao hi diferen9a basica no empacotamento obtido pelo empilhamento de esferas,
entre 0 arranjo cubico de face centrada e 0 hexagonal compacto, uma vez que ambos
produzem a estrutura compacta ideal. Ha, contudo, uma diferen9a acentuada entre as
propriedades fisicas dos metais hexagonais compactos (tais como cactmio, zinco e
magnesio) e metais cubicos de face centrada, que se relaciona diretamente com a
diferen9a de suas estruturas cristalinas. A diferen9a mais noffivel esta no numero de
pianos compactos. No reticulado cubico de face centrada hi quatro pianos de maxima
densidade, osplanos octal?dricos; mas, no reticulado hexagonal compacto, apenas urn
plano, 0 plano basal, e equivalente ao plano octaectrico. 0 unico plano compacto do
sistema hexagonal gera, entre outros efeitos, propriedades de deforma9ao plastica
muito mais direcionais que as encontradas em cristais cubicos.
1.9 Ntimero de coordenal;iio dos sistemas compactos. 0 numero de coordenaf(fio
de urn atomo foi definido como 0 numero de seus vizinhos mais proximos. Ele e 12 tanto
para os cristais cubicos de face centrada como para os hexagonais compactos, como
pode serverificado com 0 auxflio da Fig. 1.8. Assim, considere 0 atomoAosituado no
plano de Momos desenhados com linhas contfnuas. Seis outros Momos situados no
mesmo plano ocupam as posi90es de vizinhan9a mais proxima. 0 atomo A o tambem
toca tres atomos no plano diretamente acima. Estes tres atomos podem ocupar as
posi90es B, como esta indicado pelas linhas tracejadas em tor~o das cavi~a?esBbB2.e
Ba, ou as posi90es C l , C2 e Ca. Em ambos os casos, 0 numero de VIZInhOS mats
proximos, no plano logoacima de A o, esta limitado a tres. Da mesma forma pode-se
mostrar que 0 atomo A o possui tres vizinhos mais proximos no plano imediatamente
abaixo do que 0 contem. 0 numero de vizinhos mais proximos do atomo A o e,
portanto, doze, seis em seu proprio plano, tres no plano imediatamente acima e tres no
plano imediatamente abaixo. Uma vez que 0 argumento e valido, nao importa se os
Momos dos pianos compactos contfguos a A o estao nas posi90es B ou C, e assim 0
raciocfnio evalido, tanto para a sequencia de empilhamento cubica de face centrada
como para a hexagonal compacta. Entiio, conclufmos que 0 numero de coordena9iio
desses reticulados e 12.
1.10 A celula unimria do reticulado hexagonal compacto. A configura9ao de Ma-
mos mais frequentemente utilizada para representar a estrutura hexagonal compacta e
mostrada na Fig. 1.9. Este grupo de Momos contem urn numero maior que 0 mfnimo
necessario para construir urn bloco elementar do reticulado e, por isso, nao e uma
celula unitaria verdadeira. Contudo, como 0 arranjo da Fig. 1.9 fornece aspectos
cristalograficos importantes, inclusive a simetria sextupla da estrutura hexagonal, ele
e comumente usado como a celula uniffiria da estrutura hexagonal compacta. Uma
compara9ao da Fig. 1.9 com a Fig. 1.7 mostra que os atomos dos pianos de cima, de
baixo e do centro pertencem a urn plano compacto, 0 plano basal do cristal. A figura
tambem mostra que os Momos nesses pianos basais tern a sequencia de empilhamento
propria do reticulado hexagonal compacta (ABA... ) e que os atomos do topo da celula
estao diretamente sobre os do fundo, enquanto os do centro ocupam urn conjunto
diferente de posi90es.
o plano basal de urn metal hexagonal tern tres dire90es compactas, da mesma
Fig. 1.9 Cclula unitaria hexagonal compacta.
9
forma que 0 plano octaedrico de urn metal cubico de face centrada. Estas dire<;:oes
correspondem as linhas aa, bb e cc da Fig. 1.7.
1.11 Anisotropia. Quando as propriedades de uma subsHincia sao independentes
da dire<;:ao, ela e chamada de isotropica. Assim, deve-se esperar que urn material
isotropico ideal tenha a mesma resistencia em todas as dire<;:oes. Ou; se sua resistivi-
dade eletrica fosse medida, 0 mesmo valor seria obtido a despeito de como a amostra
fosse retirada do material. As propriedades fisiGas dos cristais, em geral, dependem
fortemente da dire<;:ao na qual sao medidas. 1sto significa que, basicamente, os cristais
nao sao isotropicos, porem anisotropicos. A respeito disso, considere urn cristal
cubico de corpo centrado de ferro. As tres dire<;:oes mais importantes dessecristal sao
as denominadas como a, bee na Fig. 1.10. Estas dire<;:oes nao sao equivalentes, pois,
ao longo delas, 0 espa<;:amento entre os Momos e diferente, sendo, em termos do
parametro cristalino a (co~mento de uma aresta da cHula unitaria), respectiva-
mente iguais a a, V'Ifi e y3/2I1 . As propriedades fisicas do ferro, medidas ao longo
destas tres dire<;:oes, tambem tendem a ser diferentes. Por exemplo, considere a curva
de magnetiza<;:aoB-H de cristais de ferro. Como pode servisto na Fig. 1.11, aindu<;:ao
magneticaB aumenta rapidamente com a intensidade do campo magnetico H ao longo
da dire<;:ao a, a uma velocidade intermediaria ao longo de b, e menos rapidamente ao
longo de c. 1nterpretando de outra forma, podemos dizer que a e a dire<;:ao onde a
magnetiza<;:ao e mais facil e conde emais dificil.
1dealmente, uma amostra policristalina podera ser considerada como isotropica
se seus cristais estiverem orientados ao acaso, pois entao,sob 0 ponto de vista
macroscopico, a anisotropia dos cristais se compensara mutuamente. Contudo, urn
arranjo de cristais verdadeiramente ao acaso e raramente atingido,porque os proces-
sos de fabrica<;:ao tendem a alinhar os graos, de forma que suas orienta<;:oes nao estiio
uniformemente distribufdas. 0 resultado e 0 que se chama de texturaou orienta<;:ao
preferencial. Como a maioria dos metais policristalinos possui uma orienta<;:ao prefe-
rencial, eles tendem a ser anisotropicos, a intensidade dessa anisotropia dependendo
do grau de alinhamento dos cristais.
25.000
800600
H
400200o
5,000
B
Fig. 1.11 Urn crista! de ferro magnetiza-se muito mais facilmente na dire~aoa da Fi~. 1.10do que
nash ou c. (De Barret, C. S.,Structure ofMetals, p. 453. New York: McGraw-Hill Book Co.,
1943. Usado com permissao.)
10,000
1.12 Texturas ou orienta~Oes preferenciais. Os arames sao fabricados pela passa-
gem sucessiva de barras atraves de matrizes cada vez menores. No caso do ferro, e.sse
tipo de deforma<;:ao tende a alinhar uma dire<;:ao b de cada cristal paralelamente.ao eIXO
do arame. Nestadire<;:ao, os cristais sao normalmente considerados como arranJados a~
acaso. Este tipo de arranjo preferencial dos cristais em urn arame de ferro ou de a<;:o e
persistente. Mesmo se 0 metal sofrer urn tratamento termic02 que reforme completa-
mente a estrutura cristalina, os cristais tendem a manter a dire<;:ao b paralela ao elXO do
arame. Como a deforma<;:ao que ocorre na conforma<;:ao de chapas tern basicamente
urn carMer bidimensional, a orienta<;:ao preferencial e nelas mais limitada do que a
observada nos arames. Como esta indicado na Fig. 1.12A, nao apenas se desenvolve
11ll1a dire<;:ao b paralela a dire<;:ao de lamina<;:ao ou ao comprime!1to da chapa, m~sM
tambem uma forte tendencia para a forma<;:ao de urn plano CUblCO, ou face da celula
rinitaria, que se alinha paralelamente ao plano de lamina<;:3.0 ou a superffcie da chapa.
o entendimento das propriedades cristalinas, por uma serie de razoes, e impor-
tante para 0 metalurgista. Uma delas e que a anisotropia dos materiais cristalinos se
reflete nas propriedades de pe<;:as comerciais. Deve-se destacar que isto nem sempre e
illdesejavel. •As orienta<;:oes preferenciais podem freqiientemente resultar em mate-
riais com propriedades superiores; exemplo interessante e a liga de ferro com quatro
por cento de silfcio usada na fabrica<;:ao de bobinas de transformadores. Neste caso,
por meio de uma complicada combina<;:ao de seqiiencias de lamina<;:a~e de tratamentos
terlTIicos, e possfvel obter uma orienta<;:ao fort~mente prefe~enc~al, na qual uma
dire<;:ao ados cristais e alinhada paralelamente adlre<;:ao de lamma<;:ao, enquanto uma
c
ba
Fig. 1.10 As dire~oes mais importantes de urn crista! cubico de corpo centrado. 'A recristali~o que se segue ao trabalho a frio sera discutida no Cap. 7.
10 11
Plano de
lamina<;ao
Dire<;ao de
lamina<;ao~~.. ' :
p- ,
b I, ,'})
6- It----6
Dire<;ao de
lamina<;ao
x
z
Fig. 1.13 As dire~6es [IIILe [101] em urn crista!
cubico, respectivarnente men.
y
z
y
Fig. 1.14 (A) As quatro diagonais de urn reticulado cubico,m,.!!, u ev.(~)As_componentes do
vetor q para!eIas adiagonalp sao a, -a ea. Por isso, os indices de q sao [111].
(yeja Fig. I. I3.) Neste sistema de coordenadas, aunidade de medida nos tres eixos e 0
c()mprimento da arestade uma celulaunitaria, designado pelo simbolo a na figura. Os
indices de Miller para as dire~6es serao apresentados atraves de alguns exemplos
simples. Assim, a diagonal m do cubo na Fig. I. I3 tern a mesma dire~ao que urn vetor t
de comprimento igual a diagonal da celula. As componentes do vetor t nos tres eixos
coordenados sao iguais aa e, uma vez que a unidade de medida em cada eixo e igual aa,
o vetor tern componentes 1, 1 e 1 nos eixosx, y e z respectivamente. Os indices de
Miller dadire~aom sao agora escritos [111]. Da mesma maneira, a dire~aon , que cruza
diagonalmente uma face da celula unitaria, tern a mesma dire~ao que urn vetor s de
comprimento igual a diagonal da face da celula unitaria. As componentesx, y e z deste
vetor sao 1,0 e.I, respectivamente; os indices de Miller correspondentes sao [101]. Os
indices do eix() x sao [100], do eixoy [010] e do eixo z [001].
Urna regra geral para a obten~ao dos indices de Miller de ~ma air~~ao cristalogra.-
fica pode agora ser estabeleeida. Desenhe urn vetor, a partir da ongem, paralelo a
dire~ao cujos indices sao desejados. Escolha 0 seu modulo de forma que suas compo-
nentes nos tres eixos tenham comprimentos iguais a numeros inteiros. Estes inteiros
cl~vem ser os menoresnumeros queforne~am adire~ao desejada. Assim, os inteiros1 ~
Ie 1, e 2,2 e 2representam a mesmadire~ao no espa~o, mas, porconven~ao, os indices
Fig. 1.12 As duas orienta~6es basicas que podem ser obtidas em chapas'Iaminadas de metais
cubicos de corpo centrado.
face da celula unitana (0 plano cubico), permanece paralela aoplano de lamina~ao.
Esta orienta~aomedia e mostrada esquematicamente na Fig. 1.12B. 0 aspecto impor-
tante desta textura e que nela adire~.ao de magnetiza~ao mais faci! eparalela ao
comprimento da chapa. Nafabrica~aode transformadores, as chapassao colocadas no
nucleode forma que essa dire~ao sejaparalela a dire~ao de percurso do fluxo magne-
tico. Quando isso e feito, a perda por histerese resultantese torna muito pequena.
1.13 Indices de Miller. Quando alguemse envolve mais profundamente no estudo
doscristais, torna-se evidente.a necessidade. de simbolos para descrever as orienta-
~6es no espa~o das dire~6es e planoscristalograficamente importantes. Assim, em-
bora as. dire~6es compactas do reticulado cubico. de corpo centrado possam ser
descritas como as diagonais da cHula unitaria e as dire~6es correspondentes do
reticulado cubico de face centrada como as diagonaisdas faces de urn cubo, e muito
mais faeil definir estas dire~6es em termos de alguns numeros inteiros. Para esta
finalidade, 0 sistema. de Miller para a designa~ao de .Indices de pIanos e dire~6es
cristalograficas e universalmente aceito .. Na discussaoque se segue, serao considera-
dos~os indices de Miller para os cristais cubico e hexagonal. Nao e dificil desenvolver
os indices para outras estruturas cristalinas, mas 0 assunto nao sera tratado por falta de
espa~o.
indices de dirq;oes no reticulado cubico. Tomemos urn sistema de coordenadas
cartesianas com os eixos paralelos as arestas da celula unitaria de urn cristal cubico.
x
(A)
x
12 13
de Miller sao [111] e nao [222].
Apliquemos a regra na determina~ao dos indices de Miller de uma segunda
diagonal do cubo, indicada pelo simbolo p na Fig. 1.14. 0 vetor q (que se inicia na
origem daFig. I.I4B) e paraleloadire~aop. As componentes deq sao 1, -1 e 1e, pela
defini~ao dada, os indices de Miller correspondentes sao [III] onde 0 sinal negativo
do indice y esta indicado por uma barra sobre 0 inteiro correspondente. Os indices de
Miller da diagonal m na Fig. 1.14A ja foram mostrados como sendo [Ill]; pode
tambem ser mostrado que os indices das diagonais u e v sao [111] e [Ill] . As quatro
diagonais do cubo tem, portanto, os indices [111], [Ill], [Ill] e [111].
z
Fig. 1.15 Os pontos de interse~ao do plano
3 (623) com os eixos coordenados.
rela~ao que estas redprocas. Os inteiros desejados sao entao 6, 2 e 3. Os indices de
Miller de um plano sao colocados entre parenteses, por exemt:lo <,,623), em vez de
colchetes tornando assim possivel a distin~ao entre pIanos e dIre~oes. .
Dete~inemos agora os indices de Miller dos pIanos mais importantes d.os cristaIS
cubicos. 0 plano dafacea do cubo, mostrado na Fig. 1.16A, eparaleloaos e~xosy e z
e, por isso, pode-se dizer que intercepta estes eixos no infinito. Entretanto, I,nt~rcepta
o eixox na posi~ao I, e os redprocos das tres interse~6essao 111, 1/co e 1/co' Os mdices de
Miller correspondentes sao (100). Os indices da face b sao (010), enquanto os da face c
sao (001). 0 plano indicado na Fig. 1.16B tern os indices (OIl), e 0 d~ Fig. 1.16C (Ill).
o ultimo plano e urn plano octaedrico-, como ~ que foi v~sto na FIg. 1.7. Os outros
pIanos octaedricos tern os indices (111), (Ill) e (Ill), onde a barra so~re os
algarismos representa urn valor negativo. A titulo de ilustra~ao, 0 plano (Ill) e
mostrado na Fig. 1.17, onde se pode ver que a interse~ao com 0 eixo x e negativa, ao
passo que com os eixos y e_ z sao positivas. Esta figuratam?em mO,stra que 0 plano
(111) e paralelo ao 12Ia_no (l~9 e e por isso 0 mesmo plano cnstalogrlifico. l?a mesma
forma os indices (111) e (1Il) representam os mesmos pIanos, respectIvamente,
corre;pondentes aos indices U11) e (111). , .
o conjunto de pIanos de mesma especie, tal como os quatro pIanos octaedncos
(111), (111), (111) e (111), e representado pelos in~ices d~ urn deles co10cados ~ntre
chaves, assim como {Ill}. Entao, se alguem deseJar refenr-se a urn p!ano espe;:lfico
de orienta~ao conhecida em um cristal, devera usar parenteses, porem devera usar
chaves quando quiser referir-se a uma classe de pIanos.
+z
Fig. 1.17 Os pIanos (111) e (1 If) sao paralelos e
por isso representam 0 mesmo plano cristalogni-
fico.
-x
-z
(ffi)+x
-y -.<-_~=--~L-.-_+Y
Quando uma dire~aocristalogrlifica espedfica e estabelecida, os indices de Miller
sao colocados entre colchetes. Contudo, algumas vezes e desejavel referir-se a todas
as dire~6es de mesma especie. Neste caso, os indices de uma dessas dire~6es sao
representados da seguinte forma: <111), e 0 simbolo tem 0 significado extensivo as
quatro dire~6es ([Ill], [i11], [111] e [111], que sao consideradas como uma classe.
Portanto, pode-se dizer que as dire~6es compactas do reticulado cubico de corpo
centrado sao dire~6es<111) , ao passo que um cristal espedfi<;:o pode ser tracionado na
dire~ao [111] e simultaneamente comprimido na dire~ao [111].
indices de pianos dos reticulados Cllbicos. Os pIanos cristalogrlificos tambem
sao identificados por conjuntos de numeros inteiros, obtidos a partirdas interse~6esdos
pIanos com os eixos das coordenadas. Assim, na Fig. 1.15,0 plano indicado intercepta
os eixos x, y e z aI, 2 e 3 arestas de celulaunitaria, respectivamente. Os indices de
Miller nao saoproporcionais a estas interse~6es, mas sim as suas redprocas 111,1/3e
112, e, por defini~ao,os indices de Miller sao os menores inteiros que possuem a mesma
Fig. 1.16 (A) PIanos dasfaces de uma celulacubica: a (100);b (010); c (001). (B) Plano (011). (C)
Plano (111).
Umacaracteristica importante dos indices de Miller de cristais cubicos e que
tanto os pIanos quanto as suas dire~6es no:mais tern como i~di~es 0 mesmo co~junto
de inteiros. Assim a face a do cubo na Fig. 1. 16A tem os mdices (100), e 0 eIXO x,
perpendicular a es~e plano, tern os in~ices.[Ioo]. Da mesma.maneira, 0 plano octae-
drico da Fig. 1.16C e sua normal, que e a dIagof.lal do cubo, tern, respectIva~en~e, C!S
indices (11l) e [Ill]. Os cristais nao-cubicos, em gera!, nao possuem estaeqUlvalencia
entre os indices dos pIanos e os da normal a eles. . _. .
indices de Miller dos cristais hext;lgonais. Os planos.e dIr~~o~s nos mt;taIs
hexagonais sao definidos quase que umversalm~nte po~ melO de mdices ~e. Miller
contendo ~atro al~arismos em. vez de tres. AssIm, no SIstema de quat!o digitOS, ~s
pIanos (1120) e (1210) sao eqUlvalentes. Por outro Iado, se usarmos 0 sIs~ema de tr7s
algarismos, os pIanos equivalentes nao temo indices semelhantes. Ass1[~, os dOlS
pIanos citados teriam como indices, no sistema de tres digitos, (110) e (120).
(111)
"";;"'--:Y
[111]
z
(C)
x
(B)
zz
x
14 15
Fig. 1.18 Os quatro eixos de coordenadas de urn cristal hexagonal.
a,
+0,
+c
Unidade de medida
em urn eixoa
Unidade de medida,
eixo c
sao: a1 em I,a2 no oo,as em -1 ec no 00. Seus indices de Miller sao, portanto, (010).
Outro tipo importante de plano no reticulado hexagonal e mostrado na Fig. 1.19. As
interse<roes sao: a 1 em 1, a2 no 00, as em -1 e c em 1/2 e os indices de Miller portanto
(1012).
Os indices de Miller das dire<roes tambem sao expressos por meio de quatro
algarismos. Aqui, 0 terceiro algarismo deve ser sempre igual a soma dos dois primei-
ros, com 0 sinal invertido. Portanto, se os dois primeiros algarismos sao 3 e 1, 0
terceiro deve ser -4 e a dire<rao [3140].
Investiguemos as dire<roes situadas apenas no plano basal, uma vez que isto
simplificani sua apresenta<rao. Caso uma dire<rao se situe no plano basal, nao possuira
componente no eixo ceo quarto algarismo dos indices de Miller sera zero.
Como no nosso primeiro exemplo, determinemos os indices de Miller do eixoa1'
Este eixo tern a mesma dire<rao que a resultante de tres vetores (Fig. 1.20), urn de
comprimento +2 no eixoal> outro de comprimento -1 paralelo ao eixoa2 e 0 terceiro
de comprimento -1 paralelo ao eixo as. De acordo com isto, os indices dessa dire<rao
sao [2IIo]. Este metodo incomodo de obter os indices das dire<roes e necessario, a
fim de que a rela<rao entre os dois primeiros e 0 terceiro algarismo, mencionada
anteriormente, seja mantida. Os indices correspondentes dos eixos a2e as sao [1210]
e [1120]. Essas tres dire<roes sao conhecidas como eixos diagonais do tipo I. Outro
conjunto importante de dire<roes localizadas no plano basal sao os eixos diagonais do
Interseg80 com 8, =!
"-
(l ~Intersegaocom8,' = +00
31
Fig. 1.19 0 plano (1012) de urn metal hexagonal.
Os indices de quatro algarismos do sistema hexagonal sao baseados em urn
sistema de coordenadas contendo qu<\,tro eixos. Tres eixos correspondem as dire<roes
compactas e se situam no plano basal, formando entre si angulos de 120°. 0 quarto eixo
e normal ao plano basal~ ~e chamado de eixo~c, ao passo que os tres eixos~situados no
plano basal sao designados por aI, a2 e as. A Fig. 1.18 mostraa celula unitaria do
sistema hexagonal superposta ao sistema de quatro coordenadas. E~costume tomar~a
unidade~de medida nos eixos al> a2 e as como a dismncia entre os atomos em uma
dire<rao compacta: 0 valor desta unidade e indicado pelo simbolo a. A unidade de
medida para 0 eixo c e a altura da celula unitaria e e designada por c. Determinemos
agora os indices de Miller dos pIanos mais importantes do· reticulado hexagonal
compacto. A superficie superior da ceIula unitaria da Fig. 1.19 correspondeao plano
basal do cristal. Urna vez que ele e paralelo aos eixosa 1> a2 e aa,deve intercepta-Ios no
infinito. A sua interse<rao com 0 eixo c, entretanto, e iguaI a 1. Asreciprocas sao 1/""
1/"" 1/", e lit; os indices de Miller do plano basal sao enta~ (0001). As seis superficies
verticais da celula unimria sao conhecidas como pianos prismaticos do tipo I. Consi-
dere 0 plano prismatico queconstitui a face frontal da ceIula, cujas interse<roes
16
Fig. 1.20 Determinac,;ao dos indices de urn eixo
diagonal do tipo I [2110].
01 = [2.110]
Fig. 1.21 Determinac,;ao dos indices de urn eixo
diagonal do tipo II [1010].
°1 [1010]
17
Plano (111)
Plano (110)
o clrculo basico e0 plano (100)
Plano (111)
(120)
Plano (120)
~,o
I
P610 (100) e Iinha
de observagao
(Al
i!.OOI
~:1;;
I P610 (110)
Direyao [looJ Plano (110)
(B)
/I Plano (111)
Diregao [1001
Diregao [100]
Fig. 1.23 Sistema cubico: 0 plano (120), mostrando as projC9oes estereogr:ificas em ambos os
hemisferios. Observa9iio: dire9iio [100].
(el
Fig. 1.22 Proje90es estereognificas de alguns pIanos importantes de urn crista! cubico. (A)
Sistema cubico: plano (100), observado na dire9iio [100]. (B) Sistema cubico: plano (110),
observado na dire9iio [100]: (C) Sistema cubico: plano (111), observado na dire9iio [100].
Ferro (abaixo de 9100C e de 1.4000C
a 1.5390C)
Tungstenio
Vamidio
Molibdenio
Cromo
Metais alcalinos (Li, Na, K, Rb, Cs)
Cubica de corpo centrado
Magnesio
Zinco
Titanio
Zirconio
Benlio
Cadmio
Hexagonal compacta
Ferro (9100C a IAOOOC)
Cobre
Prata
Ouro
Alumfnio
Nfquel
Chumbo
Platina
Cubica de face centrada
Tabela 1.1 Estrutura cristalina de alguns dos elementos
metalicos mais importantes
tipo II, que se constituem em perpendiculares aos eixos diagonais do tipo I. A Fig. 1.21
mostra urn dos eixos do tipo II e indica como os indices de sua dire<;ao sao determina-
dos. 0 vetor s na figura determina a dire<;ao desejada e e igual asoma do vetor unitario
localizado no eixo at e outro paralelo ao eixo a3, mas me.9ido no sentido negativo. Os
indices do eixo diagonal do tipo II sao portanto [1110]. Neste caso, 0 segundo
algarismo e zero, porque a proje<;ao do vetor s sobre 0 eixo a2 e nula.
1.14 Estruturas cristalinasdos elementos metalicos. Alguns dos metais mais im-
portantes estao classificados, de acordo com sua estrutura cristalina, na Tabela 1.1.
Muitos metais sao polim6rficos, isto e, cristalizam-se em mais de uma estrutura.
o mais importante destes e 0 ferro, que se cristaliza tanto na forma cubica de corpo
centrado como na cubica de face centrada, sendo cada uma destas estruturas estavel
em faixas de temperatura diferentes. Assim, para todas as temperaturas abaixo de
910°C e acima de 1.400o C ate 0 ponto de fusao, a estrutura cristalina estavel e a cubic.a
de corpo centrado, enquanto que, entre 910°C e l.4OOoC, a estrutura estavel e acubica
de face centrada.
1.15 Proj~ao estereografica. A proje9ao estereogrcifica e uma ferramenta util
para 0 metalurgista, porque permite 0 mapeamento, em duas dimensoes, dos pianos e
das dire90es cristalogrcificas de uma maneira conveniente e clara. 0 valor real do
metodo se prende a possibilidade de poder visualizar os aspectos cristalogrcificos
diretamente em fun9ao de sua proje9ao estereografica. Nesta Se9ao, a enfase
concentrar-se-a na correspondencia geometrica entre pianos e dire<;oes crista10grcifi-
cas e sua proje9ao estereografica. Em cada urn dos casos, comparar-se-a urn esquema
urn certo aspecto cristalografico, em termos de sua localiza<;ao na celula unitaria, com
a proje<;ao estereogrcifica correspondente.
Consideraremos alguns exemp10s simples, mas, antes disto ser feito, deve-se
chamar a aten9ao para varios pontos importantes. A proje9ao estereogrcifica e urn
desenho bidimensional de dados tridimensionais e, assim, a geometria de todos os
pianos e dire90es cristalogrcificas sao reduzidas de uma dimensao: os pianos sao
desenhados como linhas circulares e as dire90es como pontos. Outro fato e que a
normal a urn plano descreve completamente a sua orienta9ao.
Como primeiro exemplo, consideremos alguns dos pianos mais importantes do
sistema cubico, especificamente os pianos (100), (110) e (111); estes tres pianos sao
analisados na Fig. 1.22. Observe que a proje9ao estereogrcifica de cada plano pode ser
representada tanto por urn grande cfrculo como por urn ponto mostrando a dire9ao no
espa90 que e normal ao plano.
Muitos problemas cristalogrcificos podem ser resolvidos considerando as proje-
90es estereogrcificas dos pIanos e dire90es em urn unico hemisferio, normalmente 0 do
plano do papel. Os tres exemplos dados na Fig. 1.22 foram desenhados desta maneira.
18 19
Plano (211)
Pianos
(312) e (321)
Polo
Polo
(321)
Polo __-IV""
Pianos
(132) e (231)
Plano (121)
Os seis pianos daforma {123}
(123)
Polo
(132) ......f--+H:.--~
Polo -L_~'- .+J-t---J
(231)
Plano (112)
Pianos (123) e (213)
Ostres pianos da forma {112}
(213)
tr~s pIanos {IIO} passando atraves da dire~ao [111]. Ha tambem tres pIanos {1l2} e
sels {123}, bern como outros pIanos com indices mais altos que tern 0 mesmo eixo de
zona. Os pIanos {1l2} e {I23} sao mostrados na Fig. 1.26, ao passo que a proje<;ao
estereognmca destes e dos pIanos {1l0} ja mencionados e mostrada na Fig. 1.27.
Observe que nesta ultima figura apenas urn dos polos dos pIanos esta desenhado e ele e
represent~tivo de todos os polos sobre 0 grande circulo que representa a proje<;ao
estereografica do plano (111).
. 1.18 Ar~de de Wulff. Arede deWu(ffe uma proje<;ao estereograficadas linhas de
lat~tute e longItude, na qual 0 eixo nort~-sul eparalelo ao plano do papel. As linhas de
latItude e longitude da rede de Wulfftern a mesmafun<;ao que os paralelos e meridianos
de urn mapa ou proje~ao geografica, isto e, elas possibilitam medi~6es graficas.
Entr~t~nto, na proje<;ao estereografica, estamos principalmente interessados em
medlr angulo~, ~nquanto que, sob 0 ponto de vista geografico, as distancias e que sao,
~m geral, maIS Im~ortantes. Uma ~ede de Wulfftfpica ou meridional, desenhada com
mtervalos de 2°, e mostrada na FIg. 1.28.
. Deve-se chamar.a.aten<;a~ sobre varios fatos a respeito da rede de Wulff. Pri-
melro, t~os os mendIanos (hnhas de longitude), inclllsive 0 cfrculo basico, sao
gr~ndes c:rculos. Segundo, 0 equador e urn grandedrculo. Todas as outras linhas de
latItude sao p:queposcfrculos.Tt:rce~ro, as distancias angulares entre pontos que
representam dlre<;oes no espa<;o podera() ser medidas na rede de Wulff somente se os
pontos estiverem sobre urn grande circulo .da rede.
Fig. 1.26 Os pIanos {112} e {123} que tern como eixo de zona a dire9ao [111].
Fig. 1.25 Sistema ctibico:
zona de pIanos onde 0 eixo
de zona e a dire9ao [111].
Os tres pIanos {110} que
pertencem a esta zona estiio
ilustrados nas figuras
acima.
Plano (101)
(100)
Plano (011) Plano (101)
Projeqao estereografica
Plano (101)
Plano (011) ---''''''-'''
Plano (110)
P610 (011) __~./
Caso se fa~a necessario, a proje<;ao estereognmca no hemisferio posterior pode
tambem ser desenhada no mesmo diagrama. Entretanto, e necessario que as proje<;6es
nos dois hemisferios sejam distinguidas uma da outra. Isto podera ser feito se as
proje~6es estereognmcas dos pIanos e dire~6esno hemisferio frontal forem desenha-
das como linhas cheias e pontos, enquanto que as do hemisferio de tras como linhas e
circulos tracejados. Como ilustra<;ao, considere a Fig. 1.23, naqual estao mostradas as
proje<;6es de urn plano em ambos os hemisferios. Neste exemplo e utilizado urn plano
(120) do sistema cubico.
1.16 Dir~oes situadas em urn plano. Freqiientemente deseja-se mostrar as
posi~6es de certas dire<;6es cristalognmcas importantes, situadas em urn dado plano
de urn crista!. Assim, em urn cristal cubico de corpo centrado, urn dos pIanos mais
importantes e 0 {1l0} e, em cada urn destes pIanos, encontram-se duas dire<;6es
compactas (Ill). As duas situadas no plano (10 I) estao mostradas na Fig. 1.24,onde
aparecem como pontos sobre 0 grande circulo que representa 0 plano (l0I).
1.17 PIanos de uma zona. Os pIanos que se interceptam em uma dire<;ao comum
formam os pIanos de uma zona, sendo a linha de interse<;ao chamada de eixo da zona.
Neste caso,considerea dire<;ao [111] como urn eixo de zona. A Fig. 1.25 mostraque ha
Fig. 1.24 Sistema ctibico: 0 plano (101) e as duas dire90es (l11) pertencentes a este plano.
Observa9ao: [100].
P610
20 21
Fig. 1.27 Proje~ao estereognlfica da zona que con-
tern os 12 pIanos mostrados nas Figs. 1.25 e 1.26.
Apenas os polos dos pIanos estao desenhados. Ob-
serve que todos os polos dos pIanos estao sobre 0
plano (111).
Na resolu9ao de muitos problemas cristalognificos, freqiientemente e necessa-
rio girar a proje9ao estereognifica, de uma dada orienta9ao para uma outra orienta9ao
diferente. Isto e feito por uma serie de razoes, sendo uma das mais importantes a de
colocar dados medidos experimentalmente dentro de uma proje9ao padrao, onde 0
circulo basico e urn plano compacto, tal como (IOO) ou (Ill). Marcas de deforma9ao ou
outros fenomenos cristalognificos observados experimentalmente podem, em geral,
ser mais facilmente interpretados quando estudados em termos de proje90es padroes.
~"
/ / "\
\
< 1~0 ;>
" /" /
v~
(A)
Fig. 1.29 Rota~ao com rela~ao ao centro da rede de Wulff. (A) Efeito da rota~ao~desejadana
celula unitaria cubica. Linha de observa~ao [100]. (B) Vistaem perspectivado plano (Ill) antes e
depois da rota~ao. (C) Proje~aoestereognlficado plano (111) e seu polo antes e depois da rota~ao.
Rota~ao, de 45°, honiria em rela~ao It dire~ao [100].
P610 (111)
Depois da rota9ao
(C)
Antes da rota9ao
~".I'''",)-_....;,v
1/ [100]1
[100] (8)
Na solu9ao de problemas com 0 auxflio da rede de Wulff e habitual cobri-la com
urn peda90 de papel transparente, presQ por urn alfinete exatamente no centro da rede.
o papel, assim montado, serve como umafolhade opera9aQ onde os dados cristalogra-
ficos sao desenhados. Os dois tipos de rota9ao descritos a seguir sao possiveis de
serem feitos.
Rola~ao em lorna de um eIXO de observa~ao. Esta rota9ao e facilmente execu-
tada pelo simples giro do papel transparente com rela9ao arede. Por exemplo, giremos
urn cristal cubico 45° no sentido horario, em torno da dire9ao [100] consideradacomo
eixo. Esta rota9ao tern como efeito 0 posicionamento do polo do plano (Ill), como e
mostrado na Fig. 1.22C, sobre 0 equador da rede de Wulff. A Fig. 1.29A mostra 0Fig. 1.28 Rede de Wulff, ou meridional, desenhada com intervalos de 2°.
22 23
010
011
0110
\/111
101
o
o
101
001
100
o1100
011
010
Plano (110)
antes da rotagao
(6)
efeito destarotagao sobre a orientagao da celula unitana cubica, quando a celula e
observada na diregao [100]. Observe que, como 0 cfrculo basico representa 0 plano
(100), uma simples rotagao de 45° do papel, em torno do alfinete, produz a rotagao
desejada na projegao estereognifica.
Fig. 1.30 Rota~aoem torno do eixo norte-sui da rede de Wulff. (A) Yistas em perspectiva de uma
celula antes edepois da rota~ao, mostrando a orienta~ao do plano (110). (B) Proje~aoestereogni-
fica mostrando a rota~ao acima descrita. Afim de termos clareza na apresenta~ao, apenas 0 plano
(110) e mostrado. A rota~ao do pOlo nao e mostrada. Os meridianos da rede de Wulff tambCm
foram omitidos.
J.-- - - Antes da
Depois da rotagao / rotagao
/ /
[too]..- !,,--_-::v Plano (110)
'- ap6s a rotagao
~~r~g~aOgao"-- •
Diregao [100]
(AI
On 011
Fig. 1.31 A rota~ao dopolocloplano (110) esta apres,mtadaacima. 0 diagrama aesquerda
mostra a rota~ao em perspectiva, ao passo que 0 da direita mostra 0 movimento do polo em uma
Jinha de latitude de uma proje~ao estereognffica que, neste caso, e 0 equador.
Fig. 1.32 Vma proje~ao estereogrwca padrao 100 de urn cristal cubico.
As duas rotagoes basicas que podem ser feitas com a rede de Wulff foram
exemp1ificadas anteriormente. Todas as rotagoes possfveis de urn cristal em tres
dimensoes podem ser duplicadas peIo uso dessas rotagoes na projegao estereognifica.
1.19 Proj~oes padrao. V rna projegao estereografica na qual uma diregao crista-
lografica proeminente ou polo de urn plano importante superpoe 0 centro da projegao e
conhecida como uma projegao estereografica padrao. Para urn cristal cubico, tal
projegao e mostrada na Fig. 1.32, onde 0 polo (100) e considerado normal ao plano do
papel. Esta figura e chamada de projegao padrao 100 de urn cristal cubico. Nesse
diagrama, note que os polos de todos os pianos {loo}, {1I0} e {1I1} foram desenhados
com suas orientag6es apropriadas. Cada uma dessas direg6es cristalograficas basicas
e representada por urn sfmbolo caracterfstico. Para os po10s {100}, 0 simbolo e urn
quadrado, significando que estes polos correspondem a eixos de simetria quadrupla.
Se 0 cristal e girado de 90° com rela<;:ao a uma dessas diregoes, ele devera retornar a
uma orienta<;:ao equivalente asua orientagao original. Na rota<;:ao de 360° em torno do
polo {I OO}, 0 cristal reproduz sua orienta<;:ao original quatro vezes. Do mesmo modo, a
dire<;:ao (111) corresponde a eixos de simetria tripla, e essas dire<;:oes sao indicadas na
proje<;:ao estereografica por triangulos. Finalmente, a dupla simetria das diregoes (110)
e indicada pelo uso de pequenas elipses.
Vma projegao padrao 100 mais comp1eta de urn cristal cubico e mostrada na Fig.
1.33. Ela inclui polos de outros pianos com fndices de Miller mais altos. A Fig. 1.33
pode ser considerada como uma proje<;:ao, mostrando tanto as diregoes de urn cristal
P610
ap6s a
rotagao
P610
antes da
rotagao
Rota9QO da rede de Wulff em tomo do eixo norte-suI. Esta rotagao nao e tao
simples de executar quanto a descrita anteriormente, que pode ser efetuada atraves de
uma simples rotagao da folha de operagao. As rotagoes deste segundo tipo sao feitas
por urn metodo gnifico. Os dados sao de infcio desenhados estereograficamente,
girados ao longo das linhas de latitude' e redesenhados de tal forma que cada ponto
sofra a mesma mudanga de longitude. 0 metodo se torna evidente se consideramos os
desenhos da Fig. 1.30. Neste exemplo e admitido que a face anterior (100) da celula
unitana seja girada para a esquerda com relagao adiregao [001]. Considere agor~ 0
efeito dessa rotagao na orientagao espacial e projegao estereognifica do plano (110).
Na Fig. 1.30A, os desenhos da direita e da esquerda representam uma celula unitaria
cubica antes e depois da rota.gao, respectivamente. 0 efeito da rotagao na projegao
estereografica do plano (110) e mostrado na Fig. 1.30B. Cada uma das setas curva<!.as
representa uma diferenga de longitude de 900. Nestes desenhos, 0 polo do plano (110)
nao e mostrado a fim de simplificar a apresentagao. Contudo, a rotagao que 0 polo
(lIO);sofre e mostrada na Fig; 1.31.
24
2S
Fig. 1.35 As dire<;:Oes crista!ognmcas a" a. e a3 mostradas nesta proje.;:ao padrao sao equiva!en-
tes porque se situam em posi<;:oes semelhantes dentro dos respectivos triiingulos estereognif'icos
padroes.
1.20 0 triangulo es.tereogratico p2drao dos cristais cubicos. Os grandes circulos
correspondentes aos pIanos {IOO} e { l1O} de urn cristal cubico sao tambem mostrados
nas proje~6es padr6es das Figs. 1.33 e 1.34. Esses grandes circulos passam atraves de
todos os polos mostrados nodiagrama, exceto os dos pianos {l23}. Aomesmo tempo,
dividem a proje~ao em 24 triangulos esfericos. Todos estes triangulos esfericos estao
no hemisferio dafrente da proje~ao.Ha, e claro, 24 triangulos semelhantes no hemisfe-
rio posterior. Urn exame dos triangulos nas Figs. 1.33 e 1.34 mostra urn fato interes-
sante: emtodos os casos, os tres vertices dos triangulos siioformados porumadire~ao
(111), uma dire~ao<11~ e uma dire~ao{l~. Esta observa~aoe muito important~,
cubico como os polos de seus pIanos. Isto porque, em urn cristal cubico, urn plano e
sempre normal adire~ao com os mesmos indices de Miller. Entretanto, em urn cristal
hexagonal compacto, as proje~6es que !l!ostram os polos dos pIanos e as dire~6es
cristalognificas nao sao as mesmas.
021 Urna proje~ao padrao III e mostrada na Fig. 1.34. Ela contem os mesmos p6los
da proje~ao 100 da Fig. 1.33. A simetria tripla da estrutura cristalina com rela~ao ao
polo do plano {Ill} esta claramente evidenciada na figura. Ao mesmo tempo, chama-
mos a aten~ao para 0 fato de que a proje~ao 100 da Fig. 1.33 tambem revela claramente
a simetria qmidrupla com rela~ao ao polo {l00}.
0\1
001
010 010
DDT
Fi!? 1.33 Vma proje<;:ao estereognmca padrao 100 de urn crista! cubico mostrando polos adicio-
mus.
123
Fig. 1.34 Vma proje<;:ao padrao 111 de urn crista! cubico.
27
significando quecada trHingulo correspondea uma regHio do cristal que e equivalente.
Como conseqiiencia,as tres dire<;oes cristalognificas identificadas comoal,a2' e as,
mostradas na Fig. 1.35, sao cristalograficamente equivalentes, porque estao localiza-
das nas mesmas posi<;oes relativas dentro dos tres triangulos estereograficos. Para
ilustrar este ponto, admitamos que seja possivel preparar tres corpos de prova de
tra<;ao, comeixos paralelos aal, a2 eas, de urn monocristal degrandes dimensoes. Se
os ensaios fossem efetuados nesses tres cristais menores, esperar-se-ia a obten<;ao de
curvas tensao-deforma<;ao identicas. Urn resultado semelhante seria obtido se alguma
outra propriedade fisica, tal como a resistividade· eletrica, fosse medida ao longo
dessas tres dire<;oes. 0 mapeamento de dados cristalognificos e geralmente simplifi-
cado devido a equivalencia dos triangulos estereognificos. Por exemplo, se fosse
possivel ter urn grande mimero de cristais longos e cilindricos e se desejasse mapear as
orienta<;oes dos eixos de cada cristal, pOder-se-ia utilizar somente urn unico triangulo
estereogratlco, tal como mostrado na Fig. 1.36.
111
5. .0 diagrama anterior mostra 0 tetraedro de Thomp~on, que e uma figura geometrica formada
por quatro pIanos cubicos {Ill}. Identifique cada plano pormeio dos respectivos indices de
Miller. Esta figura e. importante noestudo dos aspectos cristalOgraticos da estrutura cubica
de corpo centrado ou da estrutura cubica de face centrada? Explique, considerando tanto as
superficiesquant(j asarestas do tetraedro,
6. Os pIanos do sistema hexagonal compacto d()tipo {lOI0} saochal11ados deplanos prismati-
cos dotipo I. Quantos destes pianos ha e quais sao os seus illdices?Quale a importiincia
destes pianos com rela9ao a. celula unit:iriahexagonal mostrada .na Fig. U9?
7. Desenhe uma celula unit:iria hexagonal e mostre a orienta9ao do plano {1120}, que e urn
plano prismatico do tipo II. Quantos pianos prismaticos dotipo n ha e quais sao os seus
indices? Mostre que urn prisma de. seis lados tambem pode ser formado usando pIanos
prismaticos do tipo II.. .. .. .•. . • ... .. .....•... .
8. Note que a dire9ao (1120) e normal ao plano (1120). Entretanto,{IOI2)nao e perpendicu-
lar a (1012).Demonstre geometricamente averacidade dessaafrrma9ao.
9. Desenhe, em uma celulaunitana hexagonal, os pIanos (1012). e (1011). Desenhe tambCm as
dire90es [lOTI] e [lOTI]. Como estes pianos e dire90es estao relacionados?
10. Os pianos {1I2l} e {1122}sao importantes quanto aos mecanismos de d~forll1a9aO plastica
de. certos. metais hexagonais compactos,. tais como titanio e zirconio. Mostre, na celula
unitaria, a orienta9ao de urn plano de cada tipo.
1 6. .
100
Problemas
•2
8
5•
3.
4
•
110
Fig. 1.36 Quando e necessano comparar as
orienta90es de vanos cristais, desenhe os
seus eixos em urn unico triangulo estereogni-
fico, como esta indicado.
II. Identifique os indices da dire9ao dada pela linhaa-b mostrada nestacelula unitana. Estalinha
pertence a tres pianos importantes. Identifique-os.
Projer;:iio estereograjica
Os problemas seguintes envolvem 0 desenho de proje90es estereograticas e requerem 0 uso
da rede de Wulff mQstrada na Fig. 1.28 e de uma folha de pape! transparente. Em cada caso,
coloque 0 papel transparente sobre a rede de Wulff e marque 0 centro desta no papel com urn
I. Desenhe uma celula unit:iria mostrando as dire90es compactas de urn cristal cubico de corpo
centrado. Identifique todas essas dire90es com seus indices apropriados.
2. Da mesma forma que no Problema I, desenhe uma celula unitaria na qual estao superpostas
as dire90es compactas de urn cristal de estrutura cubica de face centrada. Identifique cada
dire9ao com seus indices apropriados.
3. A Fig. 1.25 mostra tres pianos da forma {iIO}. Ao' todo, quantos sao os pIanos deste tipo?
Num desenho· semelhante ao da Fig. 1.25, mostre os pIanos {110} restantes e identifique
cada urn com seus indices de Miller.
4. Ha doze planosda forma {II2}. Tres destes pIanos sao mostrados dentro de uma celula
unit:iria cubida na Fig. 1.26. Fa9a urn desenho mostrando os outros nove. Identifique cada
urn deles com os respectivos indices de Miller.
z
j
28
x
y
29
ponto. Em seguida desenhe 0 circulo basico e coloque uma pequena marca vertical no topo do
circulo, que servira como um indice.
12. Coloque 0 papel transparente de forma que 0 circulo basico se alinhe com 0 perfmetro da rede
de Wulffe 0 indice coincida com 0 polo norte darede. Agora admita que um cristal cubico seja
observado de cima, sob 0 eixo z, como esta indicado na figura anterior. Desenhe a posi\;ao
dos polos de todos os pianos {loo} e identifique-os no diagrama.
13. 0 circulo basico do Problema 12 corresponde a qual dos pIanos {loo}? Desenhe nos grandes
circulos correspondentes os dois outros pIanos {loo} e identifique-os com os seus indices de
Miller.
14. Desenhe os polos de todos os seis pIanos {IIO} e identifique-os. Agora desenhe a proje\;ao
dos grandes circulos correspondentes a estes pianos. Assim, voce tera feito uma figura
semelhante ada Fig. 1.32, que e uma proje\;ao padrao 100 do cristal cubico. Qual proje\;ao
padrao voce desenhou?
15. Como se pode girar 0 cristal mostrado naproje\;ao, obtidano final do Problema 14, de forma
que ele se coloquena orienta\;ao padrao loo? Mostre 0 caminho que cada polo {loo} e {ItO}
seguira durante essa rota\;ao.
16. Desenhe a proje\;ao estereografica padrao (0001) de um cristal hexagonal compacto, mos-
trando os pOlos de todos os pIanos prismaticos do tipo I, {IOIO}, e do tipo II, {lliO}, bem
como 0 polo de plano basal (0001).
17. No desenho do Problema 16ligue 0 pOlo basal aos pOlos dos pianos prismaticos com grandes
circulos (Iinhas retas). Isto dividira a proje\;ao estereografica em um conjunto de triiingulos
esfericos. Examine esses triiingulos e observe se ha a1guma semelhan\;a com os mostrados na
Fig. 1.31 para um cristal cubico.
18. Reconstrua a proje\;ao padrao do Problema 16, mas adicione ao diagrama os p§los de todos os
pianos {lOll}, {IOI2}, {IOI3}, {IOI4}, {llil}, {lli2}, {lli3} e {1l24}, usando os
dados para 0 magnesio dados no Apendice B. Isto produzira uma figura de polo de um metal
hexagonal que mostra os pIanos mais importantes dessa estrutura cristalina.
2 Metodos de Difrariio
Como os cristais sao arranjos simetricos de atomos contendo direc,:6es e pianos de
alta densidade atomica. eles sao capazes de agir como redes tridimensionais de
difrac,:ao. Se raios de luz sao eficientemente difratados par uma rede, entao 0 espa-
c,:amento da rede (comprimento de uma malha) deve ser aproximadamente igual ao
comprimento de onda da luz. No casu de luz visivel. redes com comprimento de
malha entre 10.000 e 20.000 A. sao usadas para difratar comprimentos de onda na
faixa de 4.000 a 8.000 A.. Nos cristais, contudo. a separac,:ao entre direc,:6es ou
pianos atomicos paralelos e igualmente espac,:ados e muito menor. da ardem de
poucos A.. Felizmente. raios X de baixa voltagem tern comprimento de onda de
tamanho apropriado para serem difratados par cristais, isto e, raios X produzidos
por tubos operados entre 20.000 e 50.000 volts, em contraste com os usados em
aplicac,:6es medicas, onde as voltagens excedem 100.000 volts.
Quando raios X de uma dada freqiiencia atingem urn atomo, eles interagem
com seus eletrons. fazendo-os vibrar com a inesma freqiiencia do feixe de raios X.
Como os eletrons se tornam cargas eletricas em vibrac,:ao, eles reirradiam os raios X
sem mudar a freqiiencia. Esses raios refletidos saem dos atomos em muitas dire-
c,:6es. ou. em outras palavras. os eletrons "espalham" 0 feixe de raios X em todas as
direc,:6es.
Quando atomos espac,:ados regularmente sao atingidos por urn feixe de raios
X. os raios refletidos sofrem interferencia. Em certas direc,:6es ocorre interferencia
construtiva. enquanto em outras ocorre interferencia destrutiva. Por exemplo, se
urn plano atomico isolado e atingido por raios X paralelos, 0 feixe sofre interferencia
construtiva quando 0 angulo de incidencia iguala-se ao de reflexao. Desta forma, na
Fig. 2.1. os raios indicados por ([ 1 a ([3 representam urn feixe paralelo de raios X. A
frente de onda deste feixe, onde todos os raios estao em fase, e representada pela
linha AA. A linha BB e trac,:ada perpendicularmente aos raios refletidos pelos ato-
A B
30
Fig. 2.1 Um feixe de raios X e refletido com interferencia construtiva quando 0 iingulo de
incidencia e igual ao iingulo de reflexao.
31
Quando e~ta rela~a0.f0r 'satisfeita, os raios refletidos at e a2 estarao em fase, resul-
t~nd? em Interf~rencIaconstrutiva.. Alem disso, os angulos nos quais ocorre interfe-
renCIa const~tIva, q~ando urn feIxe delgado de raios. X atinge urn cristal nao-
~eformado, sao perfeitamente. definidos porque as reflexoes se originam em milha-
I~s de p!anos paralelos d<? retIculado. Sob esta condi<;ao, mesmo urn pequeno des-
VI? do an~ulo e que satisfaz a rela<;ao citada causa interferencia destrutiva nos
r~?s refle~ldos. Como conseqiiencia, 0 feixe refletido deixa 0 cristal como urn fino
lapIs de ra.lOs, capaz de produzir imagens perfeitas da fonte numa chapa fotografica.
. Consideraremos agora urn exemplo simples de aplica<;ao da lei de Bragg. Ad-
mItamos que os pianos {II O} de urn cristal cubico de corpo centrado sejam separados
de I, lSI f· ~e esses. pIanos forem irradiados com raios X de urn tubo com alvo de
cobre 5uJa IIn~a ~aIS forte, 0 Kat> tern urn comprimento de onda de 1,540 A, a
reflexao de pnmelra ordem .(n = I) ocorrera para urn angulo
e=senI(nl..)= -1 (1) 1,540= 4080
2d sen. 2 (1,181) ,
U~a reflexao de segunda ordem destes pIanos {ItO} nao e possivel para esse com-
pnmento de onda porque 0 argumento do arc sen (fl A/2d) e
2(1,540) _
2(1;181) - 1,302ou seja, urn numero maior que a unidade, sendo, portanto a solu<;ao impossivel
Por outro l~do, urn alvo de tungstenio num gerador de raios Xproduz uma linha K .
co~ co:npnmento de onda de 0,2090 A. Onze ordens de reflexao sao agora possi~
veI~. 0 angulo e, correspondente a varias dessas reflexoes, e mostrado na Tabela 2 I
a FIg. 2.3 mostra uma representa<;ao esquemMica dessas reflexoes. . , e
Tabela 2.1
mos, numa dire<;ao tal que 0 angulo de incidencia iguala-se ao angulo de reflexao.
Como BB encontra-se amesma distancia da frente de onda AA, qualquer que seja 0
raio considerado, todos os pontos em BB devem estar em fase. Ela se constitui,
portanto, em uma frente de onda, e a dire<;ao dos raios refletidos e entao uma
dire<;ao de interferencia construtiva.
2.1 A lei de Bragg. 0 que foi discutido anteriormente nao dependeda freqiien-
cia da radia<;ao. Contudo, quando os raios X sao refletidos nao por uma rede de
Momos dispostos num unico plano, mas por ;itomos de varios pianos paralelos
igualmente espa<;ados, como os existentes nos cristais, a interferencia construtiva
somente ocorre sob condi<;oes altamente restritas. A lei que governa 0 fenomeno e
conhecida como lei de Bragg. Deduziremos agora uma expressao dessa importante
lei. Para isto, consideremos cada plano atomico de urn cristal como urn espelho
semitransparente, ou seja, de forma que cada plano reflita uma parte do feixe de
raios X mas tambem permita que outra parte passe atraves dele. Quando raios X
atingem urn cristal, 0 feixe e refletido nao apenas por atomos da primeira camada,
mas tambem por atomos de camadas subjacentes, ate uma profundidade considera-
vel. A Fig. 2.2 mostra urn feixe de raios X que esta sendo refletido por dois pianos
paralelos do reticulado. Na realidade, 0 feixe seria refletido nao somente por dois
pianos do reticulado, mas por urn grande numero de pIanos paralelos. 0 espa<;a-
mento do reticulado cristalino ou distancia entre pianos e representado pela letra d
na Fig. 2.2. A linha oA; foi tra<;ada perpendicularmente aos raios incidentes e repre-
senta uma frente de onda. Os pontos 0 e m que se encontram nesta frente de onda
devem estar em fase. A linha oAr foi tra<;ada perpendicularmente aos raios refleti-
dos at e a2, e a condi<;ao para que oAr represente uma frente de onda e a de que os
raios refletidos devam estar em fase nos pontos 0 e n. Essa condi<;ao s6 podera ser
satisfeita se a distancia mpn for igual a urn multiplo de urn comprimento completo
de onda, isto e, essa distancia deve ser igual a A ou 2A ou 3A ou flA,onde A e 0
comprimento de onda dos raios X e n urn numero inteiro qualquer.
Ordem de rejlexiio O. lingulo de incidencia ou rejlexiio'
33
2." Ordem
Feixes refletidos
5° 5'
loo 20'
26° 40'
800
11," Ordem11." Ordem
1
2
5
I1
Feixes incidentes
5." Ordem
2," Ordem
Planas {110}
~ig. 2.3 Alguns fmgulo,s nos quais ocorrem reflexoes de' Bragg, utilizando-se de um cristal
({tr;",~)~ espa9amento mterplanar de 1,181 A e raios X de comprimento de onda 0,2090 A
Fig. 2.2 A lei de Bragg.
32
onde n = 1,2,3...
A = comprimento de onda em A
d = distancia interplanar em A
e = angulo de incidencia ou reflexao do feixe de raios X
fll.. = 2dsen e
Urn exame da Fig. 2.2 mostra que as distancias mp e pn sao ambas iguais ad
sen e. A distancia mpn e, portanto, 2d sen e. Sendo esse valor igual a flA, temos a
lei de Bragg:
ou
n'A = 2dsen8
Amostra cristalina
Feixe de raios X colimado
Anteparo contendo a chapa
fotogratica
Alvo
Fig. 2.5 Camara de retrorreflexao deLaue.
Filamento ~
I
I
I
Fig. 2.4, 0 feixe incidente e perpendicular asuperffcie e a urn plano (001), enquanto
forma urn angulo·8 com dois pIanos {21O} - (012) e (012). A figura mostra esquemati-
ca.mente as reflexoes desses dois pIanos. Pode-se concluir que, quando urn feixe de
ralOs X branco a!inge urn cristal, muitos feixes refletidos irao originar-se, cada urn
correspondendo a reflexao de urn diferente plano cristalografico. Alem disso, em
contraste com 0 feixe incidente que contem comprimento de onda continuo cadafeixe
refletido contera somente comprimentos de onda discretos, como previ~t~pela equa-
\<ao de Bragg.
2.2 Tecni.cas de Laue. Os metodos de difra\<ao dos raios X de Laue fazem uso de
urn cristal com uma orienuwao fixa com rela\<ao ao feixe continuo de raios X como
descrito na Se\<ao anterior. Existem duas tecnicas basicas de Laue: numa sao ~studa­
dos os raios refletidos em dire\<oes pr6ximas ado feixe de raios X incidente; na outra
sao estudados os feixes refletidos que passam atraves do crista!. Evidentemente, 0
ultimo metodo mio pode ser aplicado a cristais de maior espessura (l mm ou mais),
devido aperda de intensidade por absor\<ao dos raios X pelo meta!. 0 primeiro metodo
e conhecido como tecnica de retrorreflexiio de Laue; 0 segundo como tecnica de
transmissiio de Laue.
.. 0 metodo de retrorreflexao de Laue e.especialmente valioso na determina\<ao da
onenta\<ao do reticulado interior de cristais, quando estes sao grandes e portanto
opacos aos raios X. Muitas propriedades fisicas e mecanicas variam com a dire\<ao
dos cristais; assim, 0 estudo dessas propriedades anisotr6picas requer urn conheci-
mento da orienta\<ao do seureticulado.
A Fig. 25 mostra 0 aspecto de uma tipica camara de retrorreflexao de Laue.
Raios X provenientes do· alvo •de. um tubode raios X sao colimados num feixe
~elgado por urn tubo de varios centfmetros decomprimentoe com urn diametro
mterno de cerca de 1 mm. 0 feixe delgado de raios X atinge 0 cristal adireita da
figura, onde e difratado em feixes refletidos que atingem umanteparo contendo uma
chapa fotografica. A frente do anteparo e coberta com uma folha fina de material
opaco aluz visivel (papel preto, por exemplo), mas transparenteaos feixes de raios
X refletidos. Dessa forma, as posi\<oes dos feixes refletidos sao registradas na
chapa fotografica como urn arranjo de pequenos pontos escuros.
A Fig. 2.6A mostra uma figura de retrorreflexao de raios X de urn cristal de
magnesio orientado de forma que 0 feixe incidente seja perpendicular ao plano basal
do crista!. .Cad~ popto correspon~e a uma reflexao de urn unico plano cristalogra-
fico, ea slmetna sextupla do retlculado, observada numa dire\<ao normal ao plano
Feixe
refletido
(012)
Perpendicular
ao (012)
/,
/
" "\"
Perpendicular
ao (012)
\
\
\
Feixe
refletido
Fig. 2.4 Reflexoes de raios X por pianos nao paralelos a superficie da amostra.
n"A.= 2(1) sen 60° = 1,732
Entao, os raios refletidos dos pIanos {100} irao conter os seguintes comprimentos
de onda
1,732 A para reflexao de primeira ordem
0,866 Apara reflexao de segunda ordem
0,546 A para reflexao de terceira ordem
Todos os outros comprimentos de onda sofrerao interferencia destrutiva.
Nos exemplos citados admitiu-se que os pIanos refletores eramparalelos asuper-
ficie do crista!. Este nao e urn requisito necessario para a reflexao, pois e sempre
possivel obter reflexoes de pIanos que formem angulos quaisquer com a supemcie. Na
Considerando 0 exemplo dado, e importante notar que, ainda que existam onze
fmgulos para os quais urn feixe de comprimento de onda de 0,2090 A seja refletido
com interferencia construtiva por pIanos {11O}, somente uma leve mudan\<a no an-
gulo 8,·afastando-o de· algum desses onze valores, causa interferencia destrutiva,
anulando 0 feixe refletido. A reflexao de urn feixe de raios X por urn conjunto de
pIanos cristalognificos depende do angulo entre 0 feixe eo plano e, portanto, nao s,e
deve esperar a ocorrencia de reflexao construtiva toda vez que urn felxe monocroma-
tieo atingeum crista!. . . .. . - .
Suponha que umcristal seja mantido numa orienta\<aofIxa com rela\<ao ao felxe
de raios X· e que este feixe nao seja monocromatico, mas contenha todos os com-
primentos de onda maiores que urn dado valor minimo AQ. Este tipo de feixe de
raios .X e chamado feixe de raios X branco. porque e analogo a luz branca que
contem todos os comprirnentos de onda doespectro visive!. Embora 0 angulo do
feixe seja fixo com rela\<ao a urn dado conjunto de pIanos do