Gabarito Provinha I

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #1 - Restric¸a˜o Orc¸amenta´ria e Prefereˆncias
Questa˜o 1 (50 pontos) Suponha uma economia com dois tipos de trabalhadores; qualificados
(denotados por s) e na˜o qualificados (denotados por u). O sala´rio de equil´ıbrio do trabalhador qualificado
(ws) nesta economia e´ R$ 10 por hora enquanto que o sala´rio de equil´ıbrio do trabalhador na˜o-qualificado
(wu) e´ R$ 5 por hora. Suponha que ambos os tipos de trabalhadores podem trabalhar ate´ 24 horas por
dia se desejarem. Suponha ainda que ambos os tipos de trabalhadores alocam suas 24 horas do dia entre
lazer (L) e trabalho (T ).
i) (20 pontos) Nesta mesma economia existem n bens de consumo indexados por i = 1, 2, . . . , n,
onde o prec¸o e a quantidade do bem i sa˜o denotados por pi e xi respectivamente. Banana e´ um
destes n bens de consumo. O prec¸o unita´rio da banana e´ R$ 2. Escreva e esboce o gra´fico da reta
orc¸amenta´ria para os dois tipos de trabalhadores em termos de banana e dos demais bens dispon´ıveis
(note que o consumo de lazer faz parte dos bens dispon´ıveis).
Os dois tipos de trabalhadores possuem a restric¸a˜o de tempo T + L = 24. A taxa de sala´rio de
cada trabalhador expressa o quanto vale a hora de cada um deles; enta˜o, dada a taxa de sala´rio
wj , j ∈ {s, u}, podemos chegar a` restric¸a˜o orc¸amenta´ria dos trabalhadores:
T + L = 24 =⇒ wjT + wjL = wj24
O lazer e´ considerado um dos n bens da economia e tem seu prec¸o dado pela taxa de sala´rio, porque
o custo de oportunidade associado a ter uma hora de lazer e´ deixar de trabalhar uma hora. Cada
trabalhador possui uma renda potencial dia´ria de 24wj . Essa renda e´ gasta em lazer (ao se deixar
de trabalhar), ou convertida em renda para ser gasta nos n− 1 demais bens da economia. Sejam pb
o prec¸o da banana e xb a demanda dia´ria por banana; seja C o bem composto formado pelos demais
n− 1 bens da economia; o bem composto e´ definido como o valor gasto nos demais bens, de modo
que seu prec¸o e´ igual a` unidade. E´ dado que pb = 2. Para o trabalhador qualificado temos ws = 10;
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enta˜o a sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´ dada por:
10L + 10T = 240 =⇒ 10L + p1x1 + p2x2 + . . . + pn−2xn−2 + pbxb = 240
=⇒ pbxb +
n−1∑
i=1
= 240 =⇒ 2xb + C = 240
A equac¸a˜o da reta que define a restric¸a˜o orc¸amenta´ria sera´ enta˜o: xb = 120 − C2 A quantidade
ma´xima de xb que pode ser consumida (C = 0) e´ 120; quando nenhuma banana e´ consumida
(xb = 0), C = 120.
O sala´rio do trabalhador na˜o-qualificado e´ de wu = 5. Temos enta˜o:
5L + 5T = 120 =⇒ 5L + p1x1 + p2x2 + . . . + pn−2xn−2 + pbxb = 120
=⇒ pbxb +
n−1∑
i=1
= 120 =⇒ 2xb + C = 120
Podemos novamente isolar xb: xb = 60 − C2 . As duas retas orc¸amenta´rias apresentam a mesma
inclinac¸a˜o, pore´m interceptos diferentes. O gra´fico fica com a seguinte forma:
ii) (20 pontos) Suponha que o governo venda cupons de banana divis´ıveis. Cada R$ 1 de cupom
compra R$ 3 em bananas. O governo pode vender no ma´ximo R$ 20 em cupons de banana por tra-
balhador. Somente trabalhadores que ganham menos de R$ 6 por hora de trabalho podem adquiror
cupons. A revenda de cupons na˜o e´ permitida. Escreva e esboce o gra´fico da reta orc¸amenta´ria dos
trabalhadores na˜o qualificados em termos de bananas e dos demais bens dispon´ıveis.
O conjunto orc¸amenta´rio e´ o conjunto de todas as cestas de bens que o consumidor e´ capaz de
adquirir; a reta orc¸amenta´ria e´ o conjunto de cestas que custam exatamente a renda dispon´ıvel
do consumidor. O ma´ximo que o consumidor consegue comprar do bem composto C e´ novamente
C = 120. Note que o cupom pode ser entendido como um subs´ıdio sobre o valor da banana:
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para cada Real gasto pelo consumidor em bananas, o governo fornece R$ 2. O consumidor pode
comprar ate´ R$ 20 de cupons, o que representa ate´ R$ 60 em bananas. Enta˜o, o subs´ıdio sera´ de
1−(20/60) ∼= 67%. Suponha que o consumidor gaste toda a sua renda no bem composto C. Quando
ele comec¸a a consumir bananas, o ma´ximo que consegue obter e´ atingido por meio dos cupons, enta˜o
ele comec¸a a adquirir bananas ao prec¸o efetivo (p′b) de p
′
b = (1 − 0, 67)pb = 0, 67. Uma forma mais
simples de pensar o problema e´: para cada R$2 que o consumidor adquire em cupons (por R$1), ele
compra 3 bananas. Logo, cada banana tem o prec¸o de p′b =
2
3
∼= 0, 67. Ate´ os R$20 que o consumidor
pode comprar em cupons, a reta orc¸amenta´ria e´ dada por:
p′bxb + C = 120 =⇒ xb =
120
p′b
− C
p′b
=⇒ xb = 180− 1.5C (1)
Apo´s comprar R$ 20 em cupons (C = 100, xb = 30) o consumidor volta a comprar as bananas ao
prec¸o de R$ 2. Sua reta orc¸amenta´ria torna-se: xb =
120−20+60
pb
− Cpb = 1602 − C2 =⇒ xb = 80− C2 .
Note subtra´ımos R$ 20 gastos em cupons e somamos os R$ 60 adquiridos para gastar com bananas.
O gra´fico da reta orc¸amenta´ria fica:
iii) (10 pontos) Suponha que e´ permitido revender os cupons de banana no mercado secunda´rio. So-
mente os trabalhadores que ganham menos de R$ 6 por hora podem adquirir o cupom diretamente
do governo, os demais trabalhadores sa˜o obrigados a recorrer ao mercado negro para adquirir cu-
pons. Um cupom de banana de R$ 1 pode ser adquirido e vendido no mercado negro por R$ 2
reais. Compradores no mercado negro podem adquirir seus cupons de somente um vendedor (i.e.
podem comprar no ma´ximo R$ 60 de bananas usando cupons). Escreva e esboce o gra´fico da reta
orc¸amenta´ria para os dois tipos de trabalhadores em termos de banana e dos demais bens dispon´ıveis
(Lembre-se que tanto os vendedores como os compradores de cupons no mercado secunda´rio podem
optar por na˜o venderem nem comprarem cupons respectivamente).
O trabalhador na˜o qualificado possui duas situac¸o˜es extremas: ele pode comprar R$ 20 em cupons
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e vender tudo no mercado secunda´rio; ou pode comprar os R$ 20 em cupons e gastar o valor dos
cupons em bananas. No primeiro caso, ao prec¸o de R$ 2 por cupom, o consumidor consegue R$ 40
pelos cupons que possu´ıa e sua renda passa para R$ 140. O prec¸o da banana e´ de R$ 2 e, portanto,
a sua reta orc¸amenta´ria fica com a equac¸a˜o: pbxb +C = 140 =⇒ xb = 140pb − Cpb =⇒ xb = 70− C2 .
Na outra situac¸a˜o extrema, o consumidor na˜o revende nenhum cupom e sua reta orc¸amenta´ria fica
igual a`quela do item ii):
 100 ≤ C ≤ 120, xb = 180− 1.5C0 ≤ C < 100, xb = 80− C2
As alternativas intermedia´rias ficam abaixo desse conjunto de retas. Portanto, o gra´fico da restric¸a˜o
orc¸amenta´ria e´ dado por:
O trabalhador qualificado tambe´m possui duas situac¸o˜es extremas: ou na˜o compra nenhum cupom,
ou compra todos os cupons de um vendedor. No primeiro caso, sua reta orc¸amenta´ria sera´ como
aquela no item i); no u´ltimo caso, o trabalhador estara´ tambe´m recebendo um subs´ıdio sobre o
valor. O trabalhador compra cada cupom a R$ 2 e para cada um deles possui R$ 3 para gastar com
bananas; com os cupons ele pode comprar no ma´ximo R$ 60 em bananas, tendo pago R$ 40 nesses
cupons. Portanto, o prec¸o efetivo da banana p′b sera´ de p
′
b =
60
pb
1
40 =
60
2
1
40 = 0.75. Imagine que o
indiv´ıduo comec¸a consumindo toda a sua renda no bem composto C; enquanto esta´ comprando os
cupons, sua restric¸a˜o orc¸amenta´ria sera´: xb =
240
p′b
− Cp′b =⇒ xb = 320− 1.33C. Depois que gastou
os R$ 40 em cupons, o prec¸o efetivo da banana volta a ser pb = 2. Portanto a restric¸a˜o nesse trecho
sera´ dada por: xb =
(240−40+6)
pb
− Cpb = 130− C2
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 200 ≤ C ≤ 240, xb = 320− 1.33C0 ≤ C < 200, xb = 130− C2
Novamente os casos intermedia´rios se situam entre esses dois conjuntos de retas. Portanto, o gra´fico
da restric¸a˜o orc¸amenta´ria fica:
Questa˜o 2 (50 pontos) Sobre prefereˆncias responda:
i) (10 pontos) A curva de indiferenc¸a do Sr. M e´ dada por I = {(x1, x2) ∈ R+2/min{x1 + 2x2, 2x1 +
x2} = c}. Esboce esta curva de indiferenc¸a no plano cartesiano x2 × x1.
Sejam f(x1, x2) = x1 + 2x2 e g(x1, x2) = 2x1 + x2. Os pontos em que as retas f(x1, x2) = c e
g(x1,x2) = c se cruzam sa˜o dados por: x1 + 2x2 = 2x1 + x2 =⇒ x2 = x1. Podemos isolar a
varia´vel x2, deixando-a em func¸a˜o de x1. Temos enta˜o: f(x1, x2) = x1 + 2x2 = c =⇒ x2 = c2 − x12
e g(x1, x2) = 2x1 + x2 = c =⇒ x2 = c− 2x1 O gra´fico dessas duas retas e´ dado por:
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Os pontos em que f(x1, x2) = c e g(x1, x2) > c podem ser vistos na figura abaixo:
De forma sime´trica, os pontos em que f(x1, x2) > c e g(x1, x2) = c podem ser vistos na figura
abaixo:
Portanto a curva de indiferenc¸a e´ dada por:
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ii) (20 pontos) A curva de indiferenc¸a do Sr. Y e´ representada por I = {(x1, x2, x3) ∈ R3+/x1+x2x3 =
c}, c > 0. Suponha que o Sr. Y possui 5 unidades de cada um dos treˆs bens, isto e´, ele possui a
cesta (x1, x2, x3) = (5, 5, 5). Se o Sr. W estiver disposto a trocar o bem 2 pelo bme 3 a uma taxa
de − 23 , independentemente da direc¸a˜o da troca (e.g. Sr. W. estaria igualmente disposto a ceder 2
unidades do bem 2 por 3 unidades do bem 3 ou ceder 3 unidades do bem 3 por duas do bem 2), o
Sr. Y estaria disposto a trocar como Sr. W? Explique sua resposta.
Com a sua cesta inicial, o Sr. Y esta´ possui um n´ıvel de bem estar de x1 + x2x3 = 5 + 5× 5 = 30.
A` taxa com que o Sr. W troca x2 por x3, o Sr. Y poderia dar uma unidade de x2 e receber 1.5
unidades de x3. Com isso, seu n´ıvel de utilidade seria 5 + 4 × 6.5 = 32. Portanto o Sr. Y estaria
disposto a trocar com o Sr. W.
iii) (20 pontos) Para um determinado indiv´ıduo com prefereˆncias racionais, estritamente convexas e
estritamente mono´tonas sabemos que (40, 2) ∼ (4, 20). Para este mesmo indiv´ıduo voceˆ saberia
dizer qual seria a relac¸a˜o de prefereˆncias entre as cestas (28, 18) e (6, 19)? Justifique sua resposta.
Sejam x = (x1, x2) = (40, 2) e y = (y1, y2) = (4, 20). Sejam z = (28, 18) e w = (6, 19). Note que
tanto z quanto y sa˜o preferidas a x e y. Isso porque elas se encontram a` direita do segmento de reta
que une x e y. Note que x1 = 10y1 e x2 =
y2
10 . Logo, sabemos que para uma cesta ser indiferente
a outra e´ preciso que se multiplique o bem 1 por 10 e se divida o bem 2 por 10. Com base nisso,
algumas cestas indiferentes a w seriam (60, 1.9), (600, 0.19), etc, e algumas cestas indiferente a z
seriam (280, 1.8), (2800, 0.18), etc. A diferenc¸a de quantidade do bem 2 das cestas indiferentes a w
e a z ficaria cada vez menor, enquanto que a diferenc¸a de quantidade do bem 1 das mesmas cestas
ficaria cada vez maior. Como as preferencias sa˜o racionais, sa˜o tambe´m cont´ınuas. Enta˜o pequenas
variac¸oes em um dos bens na˜o podem fazer com que as preferencias repentinamente se invertam.
Portanto, podemos concluir que a cesta z e´ preferida a` cesta w.
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