Provinha III - gabarito

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Micro I - EAE 0203 - Noturno
1o Semestre 2012
Prof. Ricardo Madeira
Monitor: Bruno Kawaoka Komatsu
Provinha #3 - Economia com Dotac¸a˜o e Escolha Intertemporal
Questa˜o 1 (50 pontos) Considere um indiv´ıduo com uma func¸a˜o utilidade dada por u(c1, c2, . . . , cn) =∑n
i=1
1
(1+ρ)i−1 ln ci onde ci e´ o consumo do indiv´ıduo no per´ıodo i, n e´ o nu´mero de per´ıodos e ρ > 0
(os economistas constumam chamar ρ de taxa de desconto intertemporal da utilidade). A restric¸a˜o orc¸a-
menta´ria do indiv´ıduo e´ dada por
∑n
i=1
1
(1+r)i−1 ci =
∑n
i=1
1
(1+r)i−1mi onde mi > 0 e´ a dotac¸a˜o de renda
do indiv´ıduo no per[iodo i e r > 0 e´ a taxa de juros da economia.
i) (20 pontos) Mostre que quando ρ = r o consumo o´timo e´ constante ao longo do tempo (i.e.,
c1 = c2 = c3 = . . . = cn−1 = cn).
Resposta:
O problema do consumidor sera´ alocar o consumo em cada per´ıodo de modo a maximizar a sua
utilidade, sujeito a` restric¸a˜o intertemporal. Formalmente:
max{ci}ni=1
∑n
i=1
1
(1+ρ)i−1 ln ci
s.t.
∑n
i=1
1
(1+r)i−1 ci =
∑n
i=1
1
(1+r)i−1mi
ρ > 0,mi > 0, r > 0 (1)
Pelo me´todo do lagrangiano, temos:
L(c1, c2, . . . , cn, λ) =
n∑
i=1
1
(1 + ρ)i−1
ln ci + λ
[
n∑
i=1
1
(1 + r)i−1
mi −
n∑
i=1
1
(1 + r)i−1
ci = 0
]
(2)
Temos n + 1 condic¸o˜es de primeira ordem: n equac¸o˜es para o ci, i ∈ {1, . . . , n} e uma a restric¸a˜o
intertemporal:
i.
∂L
∂ci
= 0, ∀i ∈ {1, . . . , n} =⇒ 1
(1 + ρ)i−1
1
ci
− λ 1
(1 + r)i−1
= 0 =⇒ λ = 1
(1 + ρ)i−1
1
ci
(1 + r)i−1, ∀i ∈ {1, . . . , n}
ii.
∂L
∂λ
= 0 =⇒
n∑
i=1
1
(1 + r)i−1
mi −
n∑
i=1
1
(1 + r)i−1
ci = 0
1
Para dois per´ıodos i e j quaisquer tais que i < j, temos:
1
(1 + ρ)i−1
1
ci
(1 + r)i−1 =
1
(1 + ρ)j−1
1
cj
(1 + r)j−1 =⇒ cj = ci
(
1 + ρ
1 + r
)i−1(
1 + r
1 + ρ
)j−1
(3)
Logo, se ρ = r, enta˜o temos:
cj = ci
(
1 + ρ
1 + r
)i−1(
1 + r
1 + ρ
)j−1
= ci
(
1 + r
1 + r
)i−1(
1 + r
1 + r
)j−1
= ci (4)
Portanto, tomando os per´ıodos dois a dois, temos: c1 = c2 = c3 = · · · = cn−1 = cn.
ii) (10 pontos) Mostre que quando ρ > r o consumo o´timo e´ decrescente ao longo do tempo
(c1 > c2 > c3 > . . . > cn−1 > cn).
Resposta:
Pelas condic¸o˜es de primeira ordem do problema anterior, para dois per´ıodos quaiquer i e j tais que
i < j temos:
cj = ci
(
1 + ρ
1 + r
)i−1(
1 + r
1 + ρ
)j−1
= ci
(
1 + r
1 + ρ
)j−i
(5)
Se r < ρ , enta˜o: 1 + r < 1 + ρ =⇒ 1+r1+ρ < 1 =⇒
(
1+r
1+ρ
)j−i
< 1, ja´ que j > i. Logo,
cj = ci
(
1+r
1+ρ
)j−i
< ci, para j > i. Enta˜o, tomando os per´ıodos aos pares, temos: c1 > c2, c2 >
c3, . . . , cn−1 > cn. Portanto, c1 > c2 > c3 > . . . > cn−1 > cn.
iii) (20 pontos) Suponha agora que so´ existem dois per´ıodos (i.e. n = 2), a func¸a˜o utilidade do
indiv´ıduo e´ dada por u(c1, c2) = ln c1+ln c2 (i.e. ρ = 0) e m2 = (1+r)m1. Nesta situac¸a˜o, o que ocorrera´
com o bem-estar do indiv´ıduo se a taxa de juros aumentar? E se a taxa de juros reduzir? Justifique a
sua resposta
Resposta:
Com essas especificac¸o˜es a restric¸a˜o intertemporal em valores presentes se torna:
c1 +
c2
1 + r
= m1 +
m2
1 + r
= m1 +
m1(1 + r)
1 + r
= 2m1 =⇒ c1 + c2
1 + r
= 2m1 (6)
o problema do indiv´ıduo se torna:
maxc1,c2 ln c1 + ln c2
s.t. c1 +
c2
1+r = 2m1
(7)
2
Em valores presentes, temos p1 = 1 e p2 = 1/(1 +R). Enta˜o, a condic¸a˜o de equil´ıbrio desse problema
sera´:
TMS =
1
1/(1 + r)
=⇒ ∂u/∂c1
∂u/∂c2
= 1 + r =⇒ 1/c1
1/c2
= 1 + r =⇒ c1 = c2
1 + r
(8)
Substituindo na restric¸a˜o intertemporal temos:
c1 +
c2
1 + r
= 2m1 =⇒ c2
1 + r
+
c2
1 + r
= 2m1 =⇒ c∗2 = m1(1 + r) (9)
Logo, c1 =
c2
1+r =
m1(1+r)
1+r =⇒ c∗1 = m1.
A func¸a˜o utilidade indireta sera´:
v(p1, p2,m1,m2) = ln c
∗
1 + ln c
∗
2 = lnm1 + ln [m1(1 + r)] = 2 lnm1 + ln (1 + r) (10)
A partir dessa func¸a˜o, fica claro que o bem-estar do indiv´ıduo e´ crescente com os juros (∂v∂r =
1
1+r >
0,∀r > 0. Portanto, quando os juros aumentam, o bem-estar do indiv´ıduo aumenta; quando os juros
caem, o bem-estar do indiv´ıduo cai.
Isso ocorre por dois motivos. Em primeiro lugar, como as prefereˆncias do indiv´ıduo sa˜o do tipo Cobb-
Douglas, enta˜o ele gastara´ proporc¸o˜es fixas de sua renda total em cada per´ıodo. O consumo no primeiro
per´ıodo (c1) e´ igual a` dotac¸a˜o daquele per´ıodo, de modo que o indiv´ıduo na˜o tomara´ empre´stimos. A
dotac¸a˜o do segundo per´ıodo (m2) aumenta de com a taxa de juros; dessa forma, como o indiv´ıduo na˜o
toma empre´stimos no primeiro per´ıodo, o aumento da taxa de juros rebate diretamente no seu consumo
daquele per´ıodo.
Questa˜o 2 (50 pontos) Considere um indiv´ıduo com func¸a˜o utilidade u(x1, x2) = x1x2, xi denota
a quantidade consumida do bem i ∈ {1, 2}. Toda a renda deste indiv´ıduo e´ dada por sua dotac¸a˜o dos
bens 1 e 2, denotada por ω = (ω1, ω2). Temos que p1, p2 > 0.
i) (25 pontos) Mostre analiticamente que se p2ω2 > p1ω1 este indiv´ıduo sera´ ofertante l´ıquido do
bem 2.
Resposta:
Note que a func¸a˜o utilidade e´ do tipo Cobb-Douglas com os expoentes iguais; as demandas marshal-
lianas sa˜o conhecidas:
x1 =
1
2
ω1p1 + ω2p2
p1
e x2 =
1
2
ω1p1 + ω2p2
p2
(11)
Para verificar se o indiv´ıduo e´ demandante ou ofertante l´ıquido do bem 2, e´ preciso avaliar a diferenc¸a
x2 − ω2. Enta˜o temos:
x2 − ω2 = 1
2
ω1p1 + ω2p2
p2
− ω2 = 1
2
ω1p1 + ω2p2 − 2p2ω2
p2
=
1
2
ω1p1 − ω2p2
p2
(12)
3
Mas se temos p2ω2 > p1ω1, enta˜o:
x2 − ω2 = 1
2
ω1p1 − ω2p2
p2
< 0 (13)
Como a diferenc¸a entre a quantidade demandada e a quantidade oferecida e´ negativa, enta˜o o indiv´ıduo
e´ ofertante l´ıquido.
ii) (25 pontos) Mostre analiticamente que quando ω = (ω1, 0) (i.e. a dotac¸a˜o do bem 2 e´ igual a
zero) o valor absoluto do efeito substituic¸a˜o e´ igual ao efeito renda-dotac¸a˜o.
Resposta:
Para avaliarmos o efeito substituic¸a˜o, vamos resolver brevemente o problema de minimizac¸a˜o de
dispeˆndio. O problem e´:
minx1,x2 p1x1 + p2x2
st.x1x2 = u (14)
L(x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ(u− x1x2) (15)
CPO:
i.
∂L
∂x1
= 0 =⇒ p1 = λx2
ii.
∂L
∂x2
= 0 =⇒ p2 = λx1
iii.
∂L
∂λ
= 0 =⇒ u = x1x2
Como solucionamos um problema muito semelhante a esse em lista passada, pularemos alguns passos.
Das duas equac¸o˜es acima teremos: x1 = x2
p2
p1
. Substituindo na restric¸a˜o, chegaremos ao resultado:
h2 = (u
p1
p2
)
1
2 e h1 = (u
p2
p1
)
1
2
Podemos enta˜o calcular os efeitos substituic¸a˜o:
∂h1
∂p1
=
1
2
(
u
p2
p1
)− 12
up2(−1) 1
p21
= −1
2
(up2)
1
2 p
− 32
1 (16)
∂h2
∂p1
=
∂h1
∂p2
=
1
2
(
u
p2
p1
)− 12 u
p1
=
1
2
(
u
p1p2
) 1
2
(17)
∂h2
∂p2
=
1
2
(
u
p1
p2
)− 12
up1(−1) 1
p22
= −1
2
(up1)
1
2 p
− 32
2 (18)
Os efeitos substituic¸a˜o sa˜o calculados no n´ıvel de utilidade alcanc¸ado com a demanda marshalliana
4
inicial. Vamos obter esse n´ıvel de utilidade pela func¸a˜o utilidade indireta:
v(p1, p2,m) = u(x
∗
1, x
∗
2) =
(
m
2p1
)(
m
2p2
)
=
m2
4p1p2
(19)
onde m = p1ω1 + p2ω2.
Os efeitos substituic¸a˜o sa˜o dados enta˜o por:
∂h1(p1, p2,
m2
4p1p2
)
∂p1
= −1
2
(
m2
4p1p2
p2
) 1
2
p
− 32
1 = −
m
4p21
=
−p1ω1 − p2ω2
4p21
=
−ω1
4p1
(20)
∂h2(p1, p2,
m2
4p1p2
)
∂p1
=
∂h1(p1, p2,
m2
4p1p2
)
∂p2
=
1
2
(
m2
4p1p2
p1p2
) 1
2
=
m
2p1p2
=
p1ω1 + p2ω2
2p1p2
=
p1ω1
2p1p2
=
ω1
2p2
(21)
∂h2(p1, p2,
m2
4p1p2
)
∂p2
= −1
2
(
m2
4p1p2
p1
) 1
2
p
− 32
2 = −
m
4p22
=
−p1ω1 − p2ω2
4p22
=
−p1ω1
4p22
(22)
onde ja´ utilizamos o fato de que ω2 = 0.
Os efeitos renda do bem xi em relac¸a˜o ao prec¸o pj , i, j ∈ {1, 2} podem ser calculados como:
(ωj − xj)∂xi
∂m
(23)
A partir das demandas marshallianas, temos:
∂x1
∂m
=
1
2p1
(24)
∂x2
∂m
=
1
2p2
(25)
Os efeitos renda sa˜o enta˜o dados por:
(ω1 − x1)∂x1
∂m
=
(
ω1 − m
2p1
)
1
2p1
=
ω1
2ω1
− m
4p21
=
2p1ω1 −m
4p21
=
2p1ω1 − p1ω1 − p2ω2
4p21
=
=
2p1ω1 − p1ω1
4p21
=
2p1ω1 − p1ω1
4p21
=
ω1
4p1
(26)
(ω2 − x2)∂x1
∂m
=
(
0− m
2p2
)
1
2p1
=
m
2p1p2
(27)
(ω2 − x2)∂x2
∂m
=
(
0− m
2p2
)
1
2p2
=
−p1ω1 − p2ω2
4p22
=
−p1ω1
4p22
(28)
Comparando as equac¸o˜es 20, 21 e 22 com as equac¸o˜es 26, 27 e 28, podemos concluir que os efeitos
renda e substituic¸a˜opossuem os mesmos valores absolutos.
5