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Matemática Financeira
Moderna
Capítulo 4 SÉRIES INFINITAS OU PERPETUIDADES
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Séries infinitas
Séries com infinitos pagamentos podem ser reduzidas a um valor presente. Isso significa, por exemplo, qual quantia de dinheiro um fundador deve doar a fim de manter uma instituição funcionando indefinidamente. Conforme as parcelas estão mais distantes no tempo, seu valor presente diminui, de forma que o valor presente total converge quando o número de períodos vai ao infinito.
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Séries infinitas: uniforme
O valor atual de uma série uniforme postecipada com depósitos discretos e juros compostos é dado por:
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Da mesma forma, para capitalização contínua, o valor atual é dado por:
Séries infinitas: uniforme
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Suponha que se queira receber uma renda mensal perpétua de $ 1500.00. Quanto deverá ser depositado na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros compostos mensal de 0.5%?
Séries infinitas: uniforme
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Suponha que se queira receber uma renda mensal perpétua de $ 1500.00. Quanto deverá ser depositado na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 0.5%?
Séries infinitas: uniforme
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Séries infinitas: crescente em PG
O valor atual de uma série em PG com depósitos discretos e capitalização discreta é dado por: 
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Séries infinitas: crescente em PG
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Quanto devo depositar na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros compostos mensal de 1.0% para usufruir de uma renda perpétua mensal que se inicia com $ 100.00 e cresce à taxa de 0.5% ao mês?
Séries infinitas: crescente em PG
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Da mesma forma, no caso de pagamentos discretos, crescentes em PG, em juros contínuos:
Séries infinitas: crescente em PG
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Séries infinitas: crescente em PG
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Quanto devo depositar na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 1.0% para usufruir de uma renda perpétua mensal de $ 100.00 que cresce à taxa de 0.5% ao mês?
Séries infinitas: crescente em PG
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Avaliação de preços de ações
A posse de ações propicia auferir dividendos anuais. Portanto, o preço de uma ação nada mais é que o fluxo de dividendos futuros descontado. A taxa de desconto é o custo de oportunidade para o acionista em carregar ações. Portanto, podemos escrever:
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Admita, inicialmente, que o dividendo distribuído anualmente por ação seja constante. Nesse caso, podemos escrever: 
Preços de ações
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No entanto, muitas empresas propiciam aos possuidores de suas ações um dividendo anual que cresce a uma taxa constante. Nesse caso, os pagamentos constituem uma série geométrica de pagamentos: 
Preços de ações
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Uma empresa está pagando um dividendo anual de $ 5.00 por ação. Estimar o preço justo da ação, sabendo-se que o retorno exigido pelo investidor para carregar essa ação é de 20% ao ano. 
Preços de ações
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O dividendo anual pago por uma empresa é de $ 10.00 pelo lote de mil ações. Nos anos seguintes, a empresa pretende remunerar melhor seus acionistas proporcionando um aumento permanente dos dividendos de 10% ao ano. Estimar qual o preço do lote de mil ações, considerando que a taxa de retorno exigida pelo investidor é de 20% ao ano.
Preços de ações
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Séries infinitas: crescente em PA
O valor atual de uma série infinita com pagamentos discretos em PA, cujo primeiro termo é igual a razão, também chamada série gradiente, é dado por:
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Aplicando a regra de L’Hôpital:
Séries infinitas: crescente em PA
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Quanto devo depositar na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros compostos mensal de 1.0% para usufruir de uma renda perpétua mensal que cresce $ 50.00 ao mês?
Séries infinitas: crescente em PA
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O valor atual de uma série crescente em PA com retiradas discretas e capitalização instantânea é dado por:
Séries infinitas: crescente em PA
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Simplificando e aplicando a regra de L’Hôpital:
Séries infinitas: crescente em PA
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Quanto devo depositar na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 1.0% para usufruir de uma renda perpétua mensal que cresce $ 50.00 ao mês?
Séries infinitas: crescente em PA
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Séries contínuas
Da mesma forma que podemos pensar em juros contínuos, também podemos estudar perpetuidades com retiradas em cada instante infinitesimal do tempo.
“Uma renda mensal perpétua contínua de $ 1500.00” significa uma série de infinitas retiradas infinitesimais, que, somadas, totalizam $ 1500.00 ao mês.
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Séries contínuas: uniforme
O valor atual da série uniforme com juros e retiradas contínuos é dado por:
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Quanto devo depositar na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 4.0% para usufruir de uma renda perpétua mensal de $ 100.00?
Séries contínuas: uniforme
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O valor presente de uma série geométrica com juros e retiradas contínuos é dado por:
	no caso em que r > α.
Séries contínuas: geométricas
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Se r ≤ α, a série não converge, pois:
 e o valor presente é infinito.
Séries contínuas: geométricas
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Suponha que se queira receber uma renda mensal perpétua, em retiradas contínuas que começam com $ 1000.00 e crescem à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser depositado na data de hoje em um fundo de renda fixa que paga uma taxa de juros contínuos mensal de 5%?
Séries contínuas: geométricas
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Séries contínuas: gradiente
O valor presente de uma série gradiente com juros e retiradas contínuos é dado por:
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Qual deve ser o preço de um ativo que oferece uma renda perpétua mensal contínua que cresce $ 50.00 ao mês? Considere uma taxa de juros de 5%.
Séries contínuas: gradiente
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Resumo