Medidas_Estatisticas

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MEDIDAS ESTATÍSTICAS
INTRODUÇÃO
	São valores calculados para um conjunto de dados, e usados de alguma forma, para descrever e resumir estes dados. As medidas estatísticas são divididas em medidas de tendência central e medidas de dispersão.
	MEDIDAS ESTATÍSTICAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
	São as medidas estatísticas, obtidas para um conjunto de dados, cujos valores, geralmente, estão localizados em torno do centro deste conjunto de dados, estando eles ordenados. São também chamados de medidas de posição. As mais importantes medidas de tendência central são: média aritmética, mediana e moda.
.	MÉDIA ARITMÉTICA
	É definida como sendo o quociente da soma dos valores de um grupo de dados numéricos pelo número de valores.
	Simbologia da média aritmética populacional ( (
	Simbologia da média aritmética amostral ( 
	Fórmulas para cálculo, se os dados forem não agrupados:
 
		População ( Amostra (
	onde N é o nº de observações, ou nº de valores do conjunto de dados populacionais e n é o nº de observações, ou nº de valores do conjunto de dados amostrais.
	O (x pode ser definido como o total dos valores dos dados , ou seja:
		 T = (X (Total na população)		t = (x (Total na amostra)
	Para dados agrupados, ou distribuições de freqüências, as fórmulas de cálculo da média aritmética ficam:
 
		População ( Amostra (
	Por analogia, temos T = ( fX t = ( fx
	MEDIANA
	A Mediana de um conjunto ordenado de valores é o valor do meio deste conjunto, ou o valor médio dos dois valores centrais.
	Observe-se que s Mediana divide o grupo ordenado de valores em 2 partes iguais (50% acima e 50% abaixo da Mediana).
	Se o número de itens é par, a Mediana será a media dos 2 valores do meio. Se o número de itens for ímpar, a Mediana será o valor do meio. 
	Simbologia da mediana populacional: (d
	Simbologia da mediana amostral: me
	
	Podemos determinar a posição da mediana pelas fórmulas: (N + 1) / 2 ou (n + 1)/2
	EXEMPLO: Calcular a mediana para os seguintes conjuntos de dados populacionais:
	a) 12, 15, 14, 19, 18, 10, 12.
	Ordenando os dados: 10, 12, 12, 14, 15, 18, 19. Posição da mediana = (7 + 1) / 2 = 4 >>> a mediana é o 4º valor
	Então o valor da mediana para estes dados é (d = 14.
	b) 23, 25, 29, 18, 30, 19
	Ordenando os dados: 18, 19, 23, 25, 29, 30. Posição da mediana = (6 + 1) / 2 = 3,5 >>> a mediana é o valor médio entre o 3º e o 4º valores, ou seja: (d = (23 + 25) / 2 = 24.
	OBSERVAÇÂO: Para distribuições de freqüências por intervalos, não é possível determinarmos o valor exato da mediana. .Nesse caso iremos identificar o intervalo que contém a mediana, através da formula que nos dá a posição da mediana.
	MODA
	A Moda é o valor mais freqüente num conjunto de valores. 
	Podemos ter conjuntos de dados com uma moda (unimodal), 2 modas (bimodal) e varias modas (multimodais). Pode não haver moda no conjunto de dados, quando não há valores repetidos no grupo. Nesse caso dizemos que o conjunto de dados é amodal.
Simbologia da moda populacional é (o, e da moda amostral é mo
	EXEMPLO: Verificar o valor da moda, para os seguintes conjuntos de dados amostrais:
	a) 12, 18, 20, 15, 12, 19, 15, 12. >>> mo = 12
	b) 15, 19, 21, 12, 15, 21, 17, 14. >>> mo = 15 e mo = 21
	c) 12, 16, 13, 18, 20, 14, 25, 11 >>> amodal. 
Para distribuições de freqüências por intervalos não é possível determinarmos o valor exato da moda. Nesse caso utilizamos a chamada moda bruta que é definida como sendo igual ao valor do ponto médio da classe de maior freqüência.
	PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
	A média aritmética possui algumas propriedades, muitas vezes úteis na análise dos dados.
	1ª - A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, contados em relação á média aritmética vale sempre zero: 
	Para dados não agrupados ( ((X - () = 0 (população) ou ((x - 
) = 0 (amostra)
	
Para distribuições de freqüências ( (f(X - () = 0 (população) ou (f(x - 
) = 0 (amostra)
	2ª - A média aritmética sempre pode ser calculada e é única para um grupo de valores.
3ª - A média aritmética é sensível a todos os valores de um conjunto de dados. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica.
	4ª - A tabela seguinte sintetiza os valores da média quando a variável estudada é afetada por um valor constante k:
População (
Amostra (
	MEDIDAS ESTATÍSTICAS DE DISPERSÃO
	O grau no qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se variação ou dispersão desses dados. Essa variação pode ser calculada através das chamadas medidas de dispersão ou de variabilidade. As mais importantes medidas de dispersão são: Variância absoluta, Desvio padrão e Coeficiente de variação de Pearson.
	VARIÂNCIA ABSOLUTA
	È uma medida estatística que verifica a dispersão dos dados em torno da média aritmética, sendo a sua unidade de medida igual a unidade de medida dos dados, elevada ao quadrado.
	Simbologia da variância absoluta populacional: (²
	Simbologia da variância absoluta amostral: s²
	O valor da variância, para dados não agrupados, pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
	População ( Amostra (
	
	O valor da variância, para distribuições de freqüências, pode ser calculado pelas seguintes fórmulas
	População ( Amostra (
	O valor da variância absoluta pode ser calculado, também, através de fórmulas alternativas:
	População (
 			 Dados não agrupados Distribuições de freqüências
	Amostra ( 
			 Dados não agrupados Distribuições de freqüências
 
	DESVIO PADRÂO
	Mede a variação em torno da média aritmética em termos absolutos, e sua unidade de medida é a mesma unidade de medida dos dados. É definido como sendo o valor positivo da raiz quadrada da variância absoluta.
	Simbologia: População ( ( Amostra ( s
	O valor do desvio padrão é calculado pelas fórmulas:
	População ( Amostra ( 
	COEFICIENTE DE VARIABILIDADE DE PEARSON
	Também chamado de coeficiente de variação de Pearson, ou simplesmente coeficiente de variabilidade ou coeficiente de variação.
	Mede a dispersão em torno da média aritmética em termos relativos.
	Simbologia: População ( γ Amostra ( g
	Pode ser calculado por: (População) (amostra) 
	
	O coeficiente de variação pode ser expresso em porcentagem.
	Quanto menor for o valor do coeficiente de variabilidade, menor será a dispersão dos dados em torno da média aritmética, ou seja mais representativa será a média aritmética.
PROPORÇÃO
	Quando a variável estudada for qualitativa, a medida estatística apropriada é a proporção de “sucessos”, definida pelo quociente da freqüência de “casos” favoráveis pelo número total de observações. 
	Simbologia: ( (população) p (amostra)
	As fórmulas para o cálculo de ( e p, são dadas por: 
	População ( Amostra ( 
	O valor da proporção pode ser expresso em porcentagem.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA – DEPTº DE ESTATÍSTICA 
PROFª VALTER ALBUQUERQUE
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
X
N
_1265728736.unknown
_1265729199.unknown
_1265728230.unknown
_1159295946.unknown
_1265638615.unknown
_1159296033.unknown
_1159295643.unknown
_1159295711.unknown
_1159286909.unknown
_1159286993.unknown
_1159288972.unknown
_1159295542.unknown
_1159287415.unknown
_1159286932.unknown
_1156316943.doc



fX
N
_1159286877.unknown
_1159170961.unknown
_1156316627.doc



X
N