GRA1582 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE APLICADA GR0899-212-9 - 202120.ead-29780571.06

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA EESTATÍSTICA E
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
CONCEITOSCONCEITOS
BÁSICOS DEBÁSICOS DE
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
Autor: Me. Raimundo Almeida
Revisor : Hugo Estevam De Sa les Câmara
I N I C I A R
introduçãoIntrodução
Nesta unidade, vamos trabalhar com os conceitos básicos
da estatística descritiva: a distribuição de frequências e
histogramas, análise de grá�cos e tabelas, além de medidas
de tendência central e dispersão. A partir desse conteúdo
você conseguirá analisar grá�cos de relatórios analíticos,
compreender diagramas especí�cos da engenharia e
ciências a�ns e resumir bases de dados através de grá�cos e
tabelas. No �m dessa unidade, você já terá os conceitos
básicos para o desenvolver-se na disciplina, realizar os
trabalhos acadêmicos ao longo do seu curso e para seu
desenvolvimento pro�ssional. Aproveite seu tempo para
resolver bastante e aprofundar seus conhecimentos através
de pesquisas e outras leituras. Bom estudo!
Antes de iniciarmos nossos estudos, vamos a alguns
conceitos que serão importantes para a nossa trajetória.
Dados são conjuntos de observações (gênero, respostas
de pesquisas, medidas, dentre outros);
Estatística é a ciência que descreve procedimentos para
coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados;
População é o conjunto de todos os indivíduos sob
investigação (pessoas, medidas, escores, dentre outros);
Censo é o conjunto dos dados obtidos de todos os
membros da população;
Amostra é o subconjunto de todas as medidas da
população.
Na tabela a seguir, você encontrará duas importantes
classi�cações dos dados. Ambas serão muito utilizadas ao
longo desta e das demais unidades.
ConceitosConceitos
Básicos daBásicos da
EstatísticaEstatística
Quadro 1.1 - Classi�cação de dados 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Quadro 1.2 - Classi�cação de dados 
Fonte: Elaborado pelo autor.
CLASSIFICAÇÃO 1 DEFINIÇÃO EXEMPLO
QUANTITATIVOS
Números que
representam
contagens ou
medidas.
As idades em anos.
QUALITATIVOS
Nomes ou rótulos
que não são números
que representem
contagens ou
medidas.
Estados da Região
Nordeste do Brasil;
Classi�cação da
estatura de uma pessoa
em alta, média ou baixa.
CLASSIFICAÇÃO
2
DEFINIÇÃO EXEMPLO
DADOS
DISCRETOS
Valores exatos.
Número de ovos que
uma galinha bota
dentro um período.
DADOS
CONTÍNUOS
Qualquer valor entre
dois limites
quaisquer.
Questões que envolvem
renda, gasto, vendas,
faturamento, dentre
outras, que podem
assumir qualquer valor
em um intervalo
contínuo.
A classi�cação das variáveis será utilizada nesta e nas
unidades posteriores. É a partir dela que de�niremos os
métodos apropriados para tratamento das informações.
praticarVamos Praticar
Na tabela a seguir estão descritas informações sobre um
grupo de quatro amigos. Para cada uma das variáveis, re�ita
se estas são qualitativas ou quantitativas e, para o caso das
quantitativas, se são discretas ou contínuas.
Tabela - Base de dados 
Fonte: Elaborada pelo autor
a) Idade é uma variável quantitativa contínua.
b) Peso é uma unidade quantitativa discreta.
c) Cidade é uma variável quantitativa.
d) Sexo é uma variável quantitativa discreta.
e) Idade é uma variável quantitativa discreta.
Ao se trabalhar com uma grande massa de dados, é comum
categorizá-los e organizá-los em classes. Uma distribuição
de frequências é uma tabela que indica a frequência
absoluta (número de registros) ou a frequência relativa
(percentual de registros) de cada classe. Para exempli�car,
considere o conjunto de 30 registros de idades de familiares
do professor Paulo Andrade: 
Distribuição deDistribuição de
FrequênciasFrequências
Tabela 1.1 - Registros de idades de familiares do prof. Paulo
Andrade 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para o exemplo, consideramos agrupar os dados em 5
classes. Sendo assim, o primeiro passo consiste em calcular
a amplitude de classe:
Para o nosso exemplo:
Determinaremos os limites de classe, iniciando como valor
mínimo e somando, sucessivamente, a amplitude de classe.
Esses limites servirão para delimitar cada uma das classes
da nossa distribuição.
Limite 1:  0          
Limite 2:          0 + 20 = 20  
Limite 3:          20 + 20 = 40
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
Limite 4:          40 + 20 = 60
Limite 5:          60 + 20 = 80
Limite 6:          80 + 20 = 100
A partir dos limites, poderemos escrever cada uma das
classes:
Classe 1: [ 0 , 20 ]
Classe 2: ( 20 , 40 ]
Classe 3: ( 40 , 60 ]
Classe 4: ( 60 , 80 ]
Classe 5: ( 80 , 100 ]
O intervalo (20 , 40 ] anterior corresponde ao conjunto de
valores compreendidos entre 20 e 40, incluindo o 40 e não
incluindo o 20. Essa notação é comum na representação de
intervalos reais.
De modo geral, podemos de�nir matematicamente o
intervalo ( a , b ]  como:
( a ,b ] = {x ∈R | a<x≤b}.  
Por �m, contamos a frequência de cada uma das classes,
que corresponde ao número de valores que estão situados
em cada uma das classes em questão.
Tabela 1.2 - Distribuição de frequência absoluta da Idade de 30
familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma outra tabela comum no universo da Estatística
Descritiva é a Distribuição de Frequência Relativa, que
consiste em tabular a proporção de dados em cada classe.
No exemplo anterior, a frequência relativa associada à
classe ( 20 , 40 ]  é dada por:
Realizando os cálculos das frequências relativas para as
demais classes, podemos organizar a distribuição desejada.
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
Tabela 1.3 - Distribuição de frequência relativa da idade de 30
familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma última tabela bastante conhecida é a Distribuição de
Frequência Acumulada. Para cada classe, associamos o
somatório da frequência daquela classe com  as frequências
das classes anteriores. No exemplo das idades, a classe
possui frequência acumulada igual a 83,3% (que é a soma
das frequências 30,0%, 46,7% e 6,7%). Sendo assim, observe
a distribuição acumulada �nal:
Classe Frequência Relativa
[ 0 , 20 ] 30,0%
( 20 , 40 ] 46,7%
( 40 , 60 ] 6,7%
( 60 , 80 ] 10,0%
( 80 , 100 ] 6,7%
Total 100,0%
Tabela 1.4 - Distribuição de frequência acumulada das idades
de 30 familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A seguir, trabalharemos com histogramas, que consiste em
um modelo de grá�co utilizado para representar
distribuições de frequência.
Histograma
Um histograma é um grá�co que tem por objetivo visualizar
o comportamento de uma distribuição de frequências. Para
ilustrar, considere o exemplo a seguir.
Uma rede de fábricas produz parafusos para distribuição
nas cidades da região Norte do Brasil. A seguir, você pode
veri�car o número médio de caixas de produtos produzidas
diariamente por cada uma das 20 fábricas da rede.
saibamaisSaiba mais
Uma ferramenta muito útil e essencial no dia
a dia de qualquer pro�ssional da área de
exatas é o Excel. De modo bastante simples,
podemos tabular dados e representá-los
gra�camente. No site você encontrará um
tutorial para representação de grá�cos
utilizando o Excel. Aproveite para aprimorar
suas habilidades!
ACESSAR
https://www.techtudo.com.br/dicas-e-tutoriais/noticia/2016/08/como-criar-graficos-no-excel.html
Tabela 1.5- Distribuição do número médio de caixas produzidas
por dia em cada fábrica 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir da tabela anterior, categorizaremos os 20 dados em
8 classes com amplitude igual a 5 caixas.
Tabela 1.6 - Distribuição de frequência do número médio de
caixas produzidas por dia em cada fábrica 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do diagrama de frequências, construímos o
histograma:
Classes Frequência Absoluta Frequência Relativa
[ 0 , 5 ] 2 10%
( 5 , 10 ] 1 5%
( 10 , 15 ] 2 10%
( 15 , 20 ] 4 20%
( 20 , 25 ] 5 25%
( 25 , 30 ] 2 10%
( 30 , 35 ] 3 15%
( 35 , 40 ] 1 5%
Total 20 100%
A seguir, você encontrará outros histogramas para auxiliar
na compreensão. Para cada exemplo, tente identi�car o
número de classes, a amplitude de cada classe, os limites
inferiores e superioresde cada classe e a classe que possui
maior frequência.
Exemplo 1
Esse histograma representa a distribuição da temperatura
média diária da câmara de um frigorí�co, as quais foram
divididas em 6 classes de amplitude igual a 2ºC.
Exemplo 2
Figura 1.2 - Distribuição da temperatura média diária da
câmara de um frigorí�co da cidade de Natal - RN - Abril de
2018 (ºC). 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Histograma de 5 classes representando a frequência dos
salários dos 132 funcionários da empresa FTW em janeiro de
2020.
praticarVamos Praticar
Agora é sua vez de praticar! Utilizando papel milimetrado ou
Excel, construa um histograma de frequências absolutas
para o conjunto a seguir, utilizando o agrupamento dos
dados em 3 classes.
Figura 1.3 - Distribuição dos salários dos 132 funcionários
da empresa FTW em janeiro de 2020 
Fonte: Elaborada pelo autor.
3      3      6      9      12      14      15      18      18      18      18
Grá�cos e tabelas estão presentes constantemente em
nosso dia a dia. Seja nos jornais, na TV ou revistas cientí�cas,
o uso dessas ferramentas estatísticas facilita a nossa
compreensão quanto à informação que se deseja passar.
Representar gra�camente signi�ca construir um desenho
que compile, de maneira clara, o comportamento e a
relação das variáveis em estudo. Para esboçá-los, podemos
elaborar tabelas que nos forneçam os valores que estarão
presentes na representação. A seguir, você verá uma
sequência de tipos de grá�cos e uma recomendação quanto
ao seu uso.
Polígono de Frequência 
Grá�cos eGrá�cos e
TabelasTabelas
É obtido ao ligarmos os pontos médios das classes de um
histograma. O exemplo a seguir corresponde ao polígono de
frequência obtido a partir do exemplo dos 30 parentes de
Andrade (2018), apresentado anteriormente.
Polígono de Frequência
Relativa
É uma variação do polígono de frequência no qual
utilizamos a frequência relativa no eixo vertical. Muito útil
quando queremos comparar mais de um dado. Nesse caso,
é sugerido esboçar os polígonos no mesmo plano.
Ogiva
Figura 1.5 - Polígono de Frequência Relativa da idade de 30
parentes do prof. Paulo Andrade em julho de 2018 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Dessa vez, no eixo horizontal, consideramos o limite
superior das classes do histograma e, no eixo vertical,
consideramos as frequências acumuladas. Na �gura a
seguir, por exemplo, concluímos que 25 dos parentes de
Andrade (2018) têm idade inferior a 60 anos.
Grá�icos de Barras
Figura 1.6 - Ogiva de Frequência Relativa da idade de 30
parentes do prof. Paulo Andrade em julho de 2018 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Usado para representação da frequência de dados
qualitativos. Esses dados qualitativos são listados no eixo
vertical e a frequência no eixo horizontal. Nesses casos, a
frequência pode ser absoluta (número inteiro) ou relativa
(em dados percentuais).
Grá�icos de Colunas
Análogo ao grá�co de barras, porém, com dados qualitativos
no eixo horizontal. A frequência deve ser indicada no eixo
vertical. Nesses casos, a frequência pode ser absoluta
(número inteiro) ou relativa (em dados percentuais),
conforme ilustra o grá�co.
Grá�ico de Setores (ou de
Pizza)
Figura 1.8  - Número de Médicos por mil habitantes por
região do Brasil - 2012 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Representa frequências de dados qualitativos a partir de
setores de um círculo. Cada setor possui área proporcional à
frequência relativa de cada um dos dados. Na �gura acima,
por exemplo, podemos concluir que aproximadamente
metade dos médicos do Brasil estava na região Sudeste em
2012.
Figura 1.9 - Número de Médicos por região do Brasil - 2012. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Diagrama de Dispersão
reflitaRe�ita
Em muitas situações, desejamos
deixar os grá�cos mais interessantes e
atrativos para o leitor, de modo que
desperte nele um interesse maior pelo
conteúdo que se está sendo
transmitido. Nesses casos, podemos
optar pelo uso de infográ�cos, que
consistem em grá�cos nos quais são
inseridos elementos visuais mais
elaborados. Por exemplo, em alguns
casos, o autor troca os elementos do
grá�co por ícones com design mais
divertido, insere imagens de fundo e,
até mesmo, combina vários formatos
de grá�cos em um só. Re�ita sobre tal
assunto.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Grá�co utilizado para representação de dados quantitativos,
no qual, em cada um dos eixos, representamos uma das
variáveis. Os pares de dados são representados por pontos
no grá�co.
Esse tipo de grá�co é muito útil quando queremos veri�car a
existência de relação entre duas variáveis. No exemplo
acima, podemos perceber a existência de uma relação
quadrática entre as variáveis tempo e altura.
praticarVamos Praticar
O condomínio Viver Bem realizou uma pesquisa de intenção
de votos para os candidatos (X e Y) para síndico. Na �gura a
seguir, você veri�cará o número de condôminos que
possuem intenção de voto para cada um dos candidatos.
 
Avalie as asserções a seguir e a relação existente entre elas.
I. O grá�co apresentado está incorreto.
PORQUE
II. É inadequado para representação dos dados de intenção
de votos, uma vez que leva o eleitor a entender que o
candidato X está com grande quantidade de votos acima do
candidato Y.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a) As asserções I e II são corretas, e II é uma justificativa da I.
b) As asserções I e II são corretas, e II não é uma justificativa da I.
c) A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira.
Figura - Número de Moradores que Declararam
Intenção de Voto por Candidato a Síndico do
Condomínio VIVERBEM Fonte: Elaborada pelo
autor.
d) A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa.
e) As asserções I e II são falsas.
As medidas estudadas nesta seção servem para descrever,
de forma geral, nosso conjunto e dados. As medidas de
tendência central resumem, em um só número, nosso
conjunto. As medidas de dispersão servem para
“quanti�car” a variação dos meus dados.
Medidas de Tendência
Central
As medidas de tendência central são aquelas que buscam
representar o ponto de equilíbrio dos dados. São números
que resumem, de alguma forma, o nosso conjunto. As mais
Medidas deMedidas de
TendênciaTendência
Central eCentral e
DispersãoDispersão
importantes medidas de tendência central são a média, a
mediana e a moda.
Média
A média aritmética é a mais utilizada das medidas para a
representação de um conjunto de dados, podendo ser
facilmente calculada conforme fórmula a seguir:
Exemplo:
Catarina realizou quatro provas de Espanhol no decorrer do
ano em um curso de Idiomas, com as notas a seguir:
1ª prova = 8,0;
2ª prova = 7,7;
3ª prova = 9,0;
4ª prova = 6,3.
Para encontrar a média aritmética simples, somamos todas
as notas e dividimos pela quantidade de provas realizadas.
Dessa forma, a média das notas de Catarina foi 7,75.
Média Ponderada
A média ponderada é baseada na multiplicação de um peso
a cada observação do conjunto de dados dividido pela soma
dos pesos, ou seja, pode ser encontrada através da seguinte
fórmula:
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
Exemplo:
Roberto participou de um concurso onde foram realizadas
provas de Português, Matemática, História e Inglês. Essas
provas tinham peso 4, 3, 2 e 1, respectivamente. Sabendo
que Roberto tirou 9,0 em Português, 8,5 em Matemática, 6,0
em História e 7,5 em Inglês, qual foi a média?
Dessa forma, a média das notas de Roberto foi 8,1.
Mediana
A mediana é o valor que está no centro de um conjunto de
valores ordenados. Dessa forma, 50% dos elementos da
amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50%
são maiores ou iguais à mediana.
Se o número de elementos da amostra é ímpar, a mediana é
dada pelo valor central do conjunto de dados ordenados.
Por exemplo, o conjunto {6, 2, 3, 11, 1, 8, 13}. Devemos
ordenar os elementos e, em seguida, determinar o ponto
central.
{ 1, 2, 3, 6, 8, 11, 13}
Logo, a mediana para este conjunto de elementos é igual a
6.
Se o número de elementos da amostra épar, a mediana é
dada pela média dos valores centrais. Considerado o
conjunto de dados anterior, se acrescentarmos o valor 16,
teremos os seguintes valores centrais:
{1, 2, 3, 6, 8, 11, 13, 16}
Logo, a mediana é dada por:
[Math Processing Error]
Dessa forma, a mediana para este conjunto de elementos é
igual a 7.
Moda
A última medida de tendência central a ser abordada neste
capítulo é a moda. Moda é de�nida como o valor mais
frequente de um conjunto de dados, ou seja, o valor de
maior ocorrência dentre os valores observados. Caso não
exista um valor mais frequente, o conjunto de dados é
denominado amodal. A representação da moda é dada por
Mo.
Exemplos:
Considere o conjunto de dados a seguir:
A = {3, 25, 7, 3, 1}
A moda para esse conjunto é: Mo = 3. É o número que
aparece o maior número de vezes.
B = {19, 25, 3, 25, 10, 19}
Neste exemplo, a moda é: Mo = 19 ou 25. Dessa forma,
podemos dizer que o conjunto B é bimodal, pois possui
duas modas.
Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados
para determinar o quanto nossos dados variam. Esse
indicador nos permite analisar a amostra de uma forma
mais assertiva, uma vez que as medidas de tendência
[Math Processing Error]
central, em alguns casos, escondem o nível de variação dos
dados. Por exemplo, para de�nir uma brincadeira adequada
para uma festa de aniversário, não podemos considerar
apenas a média de idade dos convidados, uma vez que a
variação das idades pode ser grande, o que deve pesar no
momento da escolha da diversão.
As medidas de dispersão mais usadas são: amplitude,
variância, desvio padrão, coe�ciente de variação, percentis e
quartis.
Amplitude
Essa medida de dispersão é de�nida como a diferença entre
a maior e a menor observação de um conjunto de dados,
isto é:
A = Xmaior - Xmenor
A amplitude é a medida de dispersão menos utilizada, uma
vez que não leva em consideração os dados intermediários
do conjunto.
Exemplo:
As notas do aluno Matheus no ano de 2019 foram 4,0; 5,0;
9,0 e 10,0. Sendo assim, a amplitude das notas deles é:
A = Xmaior - Xmenor = 10,0 – 4,0 = 6,0
Variância e Desvio Padrão
A variância consiste na média dos quadrados, das diferenças
entre cada uma das observações e a média aritmética da
amostra.
Considere uma amostra representada por {x1, x2, …, xn} de
n observações numéricas. Existem duas fórmulas para
calcular a variância.
A variância populacional é de�nida por:
onde ▁X é a média aritmética da distribuição.
Já a variância amostral é de�nida por:
onde ▁X é a média aritmética da distribuição.
O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de
um conjunto de valores. O desvio padrão de uma população
é dado pela raiz quadrada da variância.
Coe�iciente de Variação
O coe�ciente de variação é utilizado para veri�car a
variabilidade do nosso conjunto de dados, calculado através
da fórmula:
Onde:
s = desvio padrão;
 = média dos dados.
Medidas de Posição Relativa
Percentis são medidas que dividem os dados em 100
grupos, cada um deles contendo cerca de 1% do conjunto.
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
Por explicar, o décimo segundo percentil, 
, tem 12% dos dados abaixo dele.
De modo geral, para calcular o percentil que corresponde ao
valor x, você deve utilizar a seguinte fórmula:
Ao aplicar a fórmula, arredonde o resultado para o inteiro
mais próximo. Para converter um percentil em um valor de
dado, utilizando a fórmula a seguir.
Em que:
L= localizador que nos fornece a posição de um valor (ou
seja, a posição do dado procurado, uma vez que ordenemos
nossa base);
= k-ésimo percentil;
n= número total de valores do conjunto.
[Math Processing
Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
Quartis
Quartis são medidas que dividem os dados em 4 grupos,
cada um contendo cerca de 25% do conjunto. Os três
números são denotados por , 
e .
O primeiro quartil ( ) separa os 25%
menores valores dos 75% maiores valores. O terceiro quartil
( ) separa os 75% menores valores dos
25% maiores valores. O segundo quartil (
) sempre coincide com a mediana, pois separa o
conjunto em dois grupos de tamanhos iguais. Para calcular
algum quartil, aplique a fórmula de cálculo de um percentil,
assumindo as seguintes igualdades: ,
 e .
saibamaisSaiba mais
Este vídeo é parte de uma série de aulas, que
traz explicações sobre Estatística. Nele, você
conhecerá os tópicos abordados nesta
disciplina e entenderá as principais áreas da
estatística. Para saber mais sobre o conteúdo
dessa unidade, recomendo assistir o vídeo. 
Fonte: Elaborado pelo autor.
ASS IST IR
[Math Processing Error] [Math
Processing Error] [Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing
Error]
[Math Processing Error]
[Math Processing Error] [Math Processing Error]
praticarVamos Praticar
Analise o conjunto de dados:
O conjunto de dados “a” contém 25 números listados já em
ordem crescente. Utilizando os conceitos já estudados nessa
unidade, calcule o valor do segundo quartil do conjunto de
dados e assinale a alternativa correspondente:
a) 7.
b) 15.
c) 18.
d) 24.
e) 26.
2 3 5 5 7
7 9 9 12 12
13 13 15 16 18
18 22 23 24 24
26 26 30 32 35