primeira prova - tipo 2 (1)

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PRIMEIRA PROVA DE ÁLGEBRA II (TIPO 2)
Aval. para os alunos cujo primeiro nome inicia-se com a letraM,N,O, P,Q,R, S, T, U, V,W,X, Y, Z
Questão 1. [2,0 ponto] Mostre que (R∗, .) é um grupo multiplicativo. Esse grupo é abe-
liano (se sim prove isso)? Mostre que o conjunto A = {x ∈ R;x > 0} é subgrupo de
(R∗, .)
RESPOSTA:
Sim é um grupo e é abeliano pois vale a comutatividade; vale associatividade; sempre tem
inverso; o elemento neutro é o 1 (aluno deve comentar isso).
A é um subgrupo pois 1 ∈ A logo é nao vazio; dados a, b ∈ A a, b > 0 logo a.b > 0 segue
que a.b ∈ A, agora dado a ∈ A, tem-se que a > 0 e assim a−1 > 0 logo a−1 ∈ A; provando
que A é um subgrupo;
Questão 2. [1,0 ponto] Mostre, justificando cada igualdade, que todo grupo ćıclico é
abeliano.
RESPOSTA:
Como G é ćıclico, existe a ∈ G tal que G =< a >.
Sejam x, y ∈ G. Então x = an, y = am, n,m ∈ Z. Portanto,
x.y = an.am = an+m = am+n = am.an = y.x.
Como x, y são arbitrários, temos que G é abeliano.
Questão 3. [2,0 pontos] Seja G um grupo multiplicativo e a um elemento de G, mostre
que N(a) = {x ∈ G; ax = xa} é um subgrupo de G.
RESPOSTA:
Questão 4. [2,0 pontos] Seja G = {−1,+1}, munido da operação de multiplicação esse
conjunto é um grupo ? munido da operação de soma esse conjunto é um grupo? Quanto
as perguntas anteriores no(s) caso(s) afirmativo(s) provar que é um grupo. Por fim no
caso de ser um grupo fazer a tabela de Cayley.
RESPOSTA:
É um grupo multiplicativo, vale que a operação entre eles está no conjunto, o elemento
neutro é o 1; como só tem dois elementos nota-se que um é simétrico do outro, vale
associativade.
Não é grupo com a operação de soma
segue a tabela de cayley:
Questão 5. [2,5 pontos] Consideremos o conjunto Q[
√
3] = {a+ b
√
3; a b ∈ Q}.
a) O número 1/2 pertence a Q[
√
3]?
b) Mostre que Q[
√
3] é fechado com relação à operação de soma e multiplicação;
c) Mostre que Q[
√
3] munido com a operação de soma é um grupo abeliano (verificar que
é fechado (item b)), vale associatividade, Exibir elemento neutro e inverso e verificar a
comutatividade).
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d)Mostre que Q[
√
3] = {a + b
√
3 ; a, b ∈ Q∗} com a operação de multiplicação é um
grupo Abeliano.
RESPOSTA:
a) sim, basta tomar a = 1/2 e b = 0;
b) Sejam a + b
√
3 e a′ + b′
√
3 em Q[
√
3]. Temos que é fechado para a multiplicação
(a+b
√
3).(a′+b′
√
3) = a.a′+a.b′.
√
3+b
√
3.a′+3b.b′ = aa′+3bb′+(ab′+ba′)
√
3 ∈ Q[
√
3].
e também é fechado para soma: (a+ b
√
3) + (a′ + b′
√
3) = (a+ a′) + (b+ b′)
√
3 ∈ Q[
√
3].
c) Já vimos no item b) que a operação + é fechada; Claramente vale a associatividade; O
elemento neutro é o 0; O inverso de a+ b
√
3 é −a− b
√
3; É Abeliano pois, (a+ b
√
3) +
(a′ + b′
√
3) = (a′ + b′
√
3) + (a+ b
√
3).
d) Já vimos no item b) que a operação . é fechada; Claramente vale a associatividade; O
elemento neutro é o 1 se a e b forem diferente de 0; O inverso de a+ b
√
3 é (a+ b
√
3);
É Abeliano pois, (a+ b
√
3).(a′ + b′
√
3) = (a′ + b′
√
3).(a+ b
√
3).
Questão 6. [0,5 pontos] Escreva a definição de um Grupo Abeliano; Escreva a definição
de um Subgrupo de um Grupo G. Em seguida, dê um exemplo de um subgrupo de um
grupo (exibir também o grupo).
RESPOSTA:
essa simples.
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