Sorger Resolução de Exemplos Capítulo 5

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Sorger – Resolução de Exemplos Capítulo 5
Exemplo 5.1 – Problema 13
· Variáveis:
· Variáveis de Estado:
· Riqueza Inicial: É dado
· Riqueza no período : 
· Poderíamos incluir a renda: 
· Valor presente no período de toda a riqueza que o indivíduo receberá a partir daquele momento:
[perceba que este será um limitador para o crédito que o indivíduo pode tomar, ou seja, seu limite de crédito (conhecido como “limite natural de crédito”) é dado pela riqueza total que o indivíduo virá a ter, considerando que o indivíduo deve ter a possibilidade de pagar seu empréstimo em algum momento no futuro. Caso não haja limite de crédito, não há solução ótima: todo período o indivíduo pegará montantes maiores de crédito e terá um consumo infinito.]
· Variáveis Controle:
· Consumo: 
· Perceba que 
· Outras Variáveis:
· Fator preferência temporal: 
· Taxa de juros: 
· Funções:
· Utilidade Instantânea: 
· Utilidade: considera o fator de desconto temporal para contabilizar o “valor presente” da utilidade de um período :
· Restrição Orçamentária – Função transição de Estado:
· Sem restrição de crédito:
[poderíamos pensar como a poupança feita em para , acrescida de juros]
· Com restrição de crédito: perceba que, havendo limite de crédito, temos uma nova função de estado de riqueza, determinada pela riqueza atual acrescida do valor presente das rendas futuras, ou seja,
Perceba também que, tomando como seu limite de crédito, temos que , haja vista que se tomarmos , ou seja, a riqueza presente sendo negativa limitada a , temos que , pois toda a renda será utilizada para pagar a dívida. Assim, 
Como , 
Perceba que podemos retirar de e considerar . Assim, 
Perceba, também, que podemos considerar
Portanto, 
Assim, temos que,
Ou seja, se limitarmos a riqueza negativa pelo valor presente das rendas futuras, sempre teremos uma riqueza total positiva, haja vista que
Assim, considerando a função transição de estado com a nova definição de riqueza e o limite de crédito, temos que
Como
Portanto,
Como ,
Assim, 
Perceba que
Assim, 
Perceba que 
Assim, 
· Função Objetiva – Forma Primitiva: maximização da utilidade de todos os períodos de vida do indivíduo.
· Função Objetiva – Forma Reduzida: 
· Sem restrição de crédito: dada a função transição de estado , temos que . Assim, temos que , portanto
· Com restrição de crédito: dada a função transição de estado, temos que . Assim, temos que , portanto
[perceba que pudemos utilizar a função inversa da restrição orçamentária, pois esta existe. Se não fosse o caso, teríamos de maximizar a função.]
· Espaços Numéricos:
· Espaço Estado:
· Considerando apenas como variável de estado:
· Considerando e como variáveis de estado:
· Espaço Consumo:
· Sem restrição de crédito: 
· Forma Primitiva: como é o espaço de consumo, podemos escolher não consumir, ou consumir algo dentro da restrição orçamentária . Como não há limite de crédito, podemos consumir quantidades infinitas:
· Forma Reduzida: se e , temos que
· Com restrição de crédito: 
· Forma Primitiva: como é o espaço de consumo, podemos escolher não consumir, ou consumir algo dentro da restrição orçamentária . Assim,
· Forma Reduzida: se e , temos que
Problemas 15 e 16:
Exemplo 5.4: Demonstrando que a Condição de Transversalidade não é válida se .
Considere um problema com:
· Espaço Estado: 
· Espaço Consumo na forma primitiva: 
· Função Utilidade: 
· Estado Inicial: 
· Perceba que uma trajetória factível deve satisfazer
assim,
Portanto, quando ,
Como
temos que 
· Analisando a função objetiva,
Como 
Perceba que os termos intermediários se anulam, de tal forma que resta apenas e . Assim,
Portanto, uma vez que toda trajetória factível apresenta
e que 
temos que toda trajetória factível será ótima, tendo em vista que sempre teremos 
· Perceba que temos uma trajetória fatível, e, portanto, ótima, que é interior:
· Analisando a Condição de Transversalidade, 
temos que esta é violada.
· Perceba que apenas uma condição do teorema 5.2 não é satisfeita, a de que .
· e são subconjuntos de com interiores não vazios para e . VERDADEIRO
· Função utilidade é continuamente diferenciável em relação aos seus dois primeiros argumentos no interior de . VERDADEIRO
· O limite
existe para todas as trajetórias factíveis. VERDADEIRO
· Trajetória ótima interior. VERDADEIRO
· Para todo o conjunto é um subconjunto convexo de , de origem em . FALSO
· Note que 
Assim, se , por exemplo,
Assim, nem para todo o conjunto contém .
Exemplo 5.5: Demonstrando que é necessário que a trajetória ótima seja interior para que a Condição de Transversalidade seja válida.
Considere o problema de otimização na forma primitiva:
Tome 
· Estado Inicial: 
· Espaço Estado: 
· Espaço Controle: 
Perceba que, uma vez que , temos da função transição de estado que . Assim, a única escolha de consumo ótima é (podemos pensar que estamos consumindo um mal, dessa forma o ótimo é não consumir), de tal forma que
[note que como o consumo será nulo em todos os períodos, sempre teremos nossa riqueza inicial, , descontada pelo fator de preferência temporal]
Transformando o problema para forma reduzida, consideremos
Assim, 
· Espaço Controle: 
· Espaço Omega:
Analisando a Condição de Transversalidade: 
Dado e temos que 
Ou seja, a Condição de Transversalidade é violada para todo . 
· Perceba que apenas uma condição do teorema 5.2 não é satisfeita, a de que a trajetória ótima é interior.
· e são subconjuntos de com interiores não vazios para e . VERDADEIRO
· Função utilidade é continuamente diferenciável em relação aos seus dois primeiros argumentos no interior de . VERDADEIRO
· O limite
existe para todas as trajetórias factíveis. VERDADEIRO
· Trajetória ótima interior. FALSO
Perceba que para satisfazermos a CT, . Assim, está fora de , ou seja, a trajetória ótima não é interior.
· Para todo o conjunto é um subconjunto convexo de , de origem em . VERDADEIRO
Exemplo 5.6 – Problemas 15 e 16: lustração da abordagem da Equação de Euler.
Considere o problema de otimização do Exemplo 5.1, com a restrição natural de crédito:
Tome:
· Função utilidade instantânea: 
· Taxa de preferência temporal: 
· Taxa de juros: 
· Espaço estado: 
· Espaço estado de transição: 
Note que todas as condições do Teorema 5.1 são satisfeitas:
· e são subconjuntos de com interiores não vazios para e .
· A função utilidade é continuamente diferenciável em relação aos seus dois primeiros argumentos no interior de e o limite abaixo existe
· Demonstração: 
Perceba que, da função transição de estado,
uma vez que ,
Assim, 
Além disso, uma vez que temos a restrição natural de crédito, temos que
Disso, obtemos que
Assim,
Uma vez que temos que
· Assuma ,
· Uma vez que (perceba que não pertence ao conjunto), temos que
Assim, temos que
Tal que é um número real finito.
[Note que, pelo fato de e de o termo temporal estar no expoente, quanto maior o , menor é o número, de tal forma que haverá um momento em que somaremos números nulos, ou seja, zeros. Ou seja, em algum momento essa soma deixa de crescer, de tal forma que o limite é dado por um número real finito]
Com as condições satisfeitas, podemos nos munir do Teorema 5.1, de tal forma que a trajetória ótima interior deve satisfazer a Equação de Euler:
Tome 
Assim, 
Portanto,
Perceba que podemos escrever a Equação de Euler tanto em função da função de consumo, quanto em relação à função transição de estado, de tal forma que teremos um sistema de duas equações em diferenças de primeira ordem:
Resolvendo , uma equação em diferenças homogênea. Assim, temos que sua solução geral será dada por
Resolvendo , uma equação em diferenças não homogênea. Assim, temos que sua solução geral será dada por
1. Solução homogênea: considere a parte homogênea da equação , de tal forma que a solução geral será dada por .
2. Solução não homogênea: considere o modelo de variação de constantes, assim, temos que
Perceba que
é uma soma de uma progressão geométrica de termo e razão . Assim, temos que asolução particular é dada por
onde é um número real a ser determinado.
Perceba que a Equação de Euler não nos auxilia na busca por , de tal forma que, para encontrá-lo, utilizamos da condição de transversalidade. Assim, defina
Temos que
De e , temos que
Assim,
Assim,
Substituindo em ,
Portanto, temos que
são válidos para todo .
Perceba que as equações encontradas são trajetórias factíveis que satisfazem tanto a Equação de Euler, quanto a Condição de Transversalidade. Pelo Teorema 5.3, temos que tais trajetórias são ótimas. 
Exemplo 5.9: Ilustração da abordagem da Equação de Bellman.
Considere o problema de otimização dinâmica na forma reduzida
O espaço estado é dado por . Temos que a trajetória ótima é dada por
Como analisado no Exemplo 5.5, é necessário que para que a trajetória seja ótima e, portanto,
Assim, o valor ótimo correspondente à trajetória ótima é dado por
Assim, a Equação de Bellman para esse problema é dada por
Perceba que, tal qual afirma o Teorema 5.7, de fato a função valor ótimo satisfaz a equação de Bellman:
uma vez que está incluso na função com valor negativo, obteremos o supremo com o valor mínimo de . Assim, tome ,
Assim, temos que, de fato, a Equação de Bellman é válida para a função valor ótima. 
Contudo, qualquer função valor do tipo
onde e
satisfaz a equação de Bellman. Perceba que, se substituirmos , por , teremos que o supremo será obtido quando
Pois, perceba que
· Se , e,
· Se , e,
· Se , e,
Note, portanto, que a Equação de Bellman não necessariamente nos retorna uma única solução. 
Exemplo 5.10: ilustração do uso da Equação de Bellman, condição e função valor ótima.
Considere o problema de otimização na forma reduzida
onde .
A Equação de Bellman é dada por
Note que 
é uma solução para essa equação. Para verificar isso, vamos substituir em :
Vamos denotar o polinômio interno por , de tal forma que
Assim,
Perceba que, para encontrarmos o valor máximo, 
CPO:
Assim,
CSO:
Assim, uma vez que
Segue que o valor máximo de se dá quando .
É possível, também, que a função tenha valores máximos nos limites de . Assim,
Se ,
Se ,
Observe que
Haja vista que
Sendo que a igualdade ocorre apenas quando .
Perceba que temos dois máximos, quando e quando (perceba também que as duas soluções coincidem quando ), tendo em vista que
Assim, temos que o máximo de ocorre quando
Assim, a solução proposta em de fato soluciona a equação de Bellman.
Perceba que, uma vez que é um espaço compacto, a trajetória factível é limitada. Assim, 
Assim, do Teorema 5.8, temos que a função é a função valor ótima.
Portanto, demonstramos que qualquer trajetória tal que ou é uma trajetória ótima. Ou seja, toda trajetória que satisfaz é uma trajetória ótima. Uma vez que nossa política de correspondência ótima não é um conjunto unitário, temos infinitas trajetórias partindo de um estado inicial qualquer . De maneira diferente, para o estado inicial , há uma única trahetória ótima constante em .
Exemplo 5.11 – Problema 21
· Considere uma pessoa que gosta de bolo. Bolos duram por apenas dois períodos, são considerados frescos no período em que são produzidos, e velhos no período .
· A pessoa possui unidade de bolo velho no período e faz uma unidade de bolo em cada período . Denote por a quantidade de bolo velho disponível para consumo no período . 
· Sua utilidade instantânea é dada por , onde e são os consumos no período de bolo velho e novo, respectivamente. 
· Perceba que, uma vez que o bolo velho não pode ser guardado para o consumo em no período seguinte, a decisão ótima passa por consumir todo o bolo velho do período, ou seja, . Além disso, perceba que, uma vez que o bolo fresco no período se torna velho em , temos que .
Com as informações, podemos escrever a utilidade instantânea na forma reduzida:
Considerando o fator de preferência temporal , o problema de otimização consiste em
Para solucionarmos o problema pelo método de iteração, determinemos a função do tipo
Para isso, partiremos de . Aplicando o operador de Bellman , temos
Perceba que maximiza . Portanto,
é válido . Seguimos o raciocínio:
CPO:
Portanto, maximiza . Portanto,
é válido . Para ,
CPO:
Perceba que maximiza . Portanto,
é válido . Com esses quatro termos, podemos encontrar um padrão
Conjecturamos que tal generalização é válida e a provamos por indução:
CPO:
Perceba que, uma vez que e , com e , maximiza . Perceba que a condição de primeira ordem é suficiente para encontrar o termo que maximiza a função, uma vez que a parte da direita da equação de Bellman é estritamente côncava em relação à y. Assim, substituindo na equação de Bellman,
O que confirma a conjectura, tomando
Com esses resultados, perceba que as restrições para e são óbvias
Usando , temos que
Podemos resolver essa equação em diferenças, tomando . 
· Solução Homogênea: Assim, tome 
Autovetor associado a :
Autovetor associado a :
Assim, a solução geral é dada por
Vou usar:
· Solução Não Homogênea:
Assim, uma vez que ,
De , temos que 
Do Lema 5.3, temos que a função valor ótima é dada por
A função política ótima pode ser obtida com o valor de , quando . Assim, 
Isso completa a solução.