Exercícios de Equações Diferenciais Ordinárias ex 6

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – PUCMINAS 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Professor Pedro Américo Júnior - Disciplina de Mecânica Computacional 
 
Aluno:____Pedro_____________________________________ 
 
Resolver por Runge-Kutta de 4ªordem com 4 casas decimais: 
 
1) Dada à equação diferencial y' -x -y = 0, y(0)=1, calcular y(1) usando h=0,2. 
 
2) Resolver o PVI (problema de valor inicial) y’ – sen(xy) = x – y + 3, y(1,3) = 0,371 e 
1,1 < x < 1,6, com h = 0,1. 
 
3) Revolver o P.V.I. abaixo: 
a) 
 5,0;01,0
1)0(
2)0(
22 2
=





=
=
−+=
xmalhaehcom
y
y
yyxy
b)
 0,1;0,02,0
1)1(
2)1(
)cos()(sen 22
=





=
=
−+=
xmalhaehcom
y
y
yyxy
 
 
 
b) 
 
y´=z => y´´ = z´ 
 
z´ = sin(x)^2 + cos( y^2 ) - z z(1)=1 
y´ = z y(1)= 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Revolver o P.V.I: 
a)
  )(5,1;11,0
1)1(
3)1(
2)1(
2
xyexmalhaehcom
y
y
y
yxy
=







−=
=
=
−+=
b)
)();(]6,1;1[1,0
2)1(;2
3)1(;
2
xzxyexmalhaehcom
zyxz
yzyxy
=





=++=
=++=
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 
 2,0 ;0,0 1,0 ,)( ),(
10)0( ,5
)0(
 , 275
0)0( ,4
)0(
 , 075
2
2
2
2
=







===−+
===++
tmalhattytx
y
dt
dy
x
dt
dy
dt
yd
x
dt
dx
y
dt
dx
dt
xd
 
6) Sistema Massa-Mola com Atrito Viscoso 
 
Dados: M1=20kg, M2=15Kg, K1=7N/m , K12=5,0N/m, K2=9N/m 
Condições Iniciais: x1(0)=-3,0m; x2(0)=-5,0m; x’1(0)=x’2(0)=0 m/s 
Malha: t=0,01s timpressão=0,5s tmaximo=40s 
Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 
Equações: 
M1 d2x1(t) / dt2 + F1 dx1(t) / dt + K1 x1(t) + K12 [ x1(t) - x2(t)] = 0 
 
M2 d2x2(t) / dt2 + F2 dx2(t) / dt + K2 x2(t) + K12 [ x2(t) - x1(t)] = 0 
a) F1=4,0Kg/s, F2=6,0Kg/s 
b) F1=0,0Kg/s, F2=0,0Kg/s 
 
 
 
Solução: 
 
 
1 1 1 1 1 1 12 1 2
2 2 2 2 2 2 12 2 1
1 1 1 1 12 1 2
1
1
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 12 2 1
2
2
1 1 1 1 12
1
. ´́ . ´ . .( ) 0
. ´́ . ´ . .( ) 0
. ´ . .( )
´́
 ´ ´́ ´ ´ ´́ ´
. ´ . .( )
´́
. . .(
´
M x F x K x K x x
M x F x K x K x x
F x K x K x x
x
M
x v x v x v x v
F x K x K x x
x
M
F v K x K x
v
+ + + − =

+ + + − =
 − − − −
=
= → = = → =
− − − − =

− − −
=
   
   
1 2 2 2 2 2 12 2 1
1 1 2 22
1 2
1 2
1 2
1 1 1 2 2 2 2 1
1 1 21 2
1
1 2
) . . .( )
´ ´´
(0) 3,0 (0) 5,0
(0) 0 (0) 0
4. 7. 5.( ) 6. 9. 5.( )´ ´´ ´
20 15)
(0) 3,0
(0) 0 (0) 0
x F v K x K x x
x v x vv
M M
x x
v v
v x x x v x x xx v xv v
a
x
v v
 − − − − −
= ==  
   
= − = −  = = 
 − − − − − − − −= = = =
  
= − = = 
   
2
2
1 1 1 2 2 2 2 1
1 1 2 21 2
1 2
1 2
(0) 5,0
0. 7. 5.( ) 0. 9. 5.( )´ ´´ ´
20 15)
(0) 3,0 (0) 5,0
(0) 0 (0) 0
v
x
v x x x v x x xx v x vv v
b
x x
v v


= −
 − − − − − − − −= =  = =
   
= − = −  = = 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pêndulo Elástico 
 
Dados: M=5kg, L=0,6m, g = 10 m/s2 
Condições Iniciais: x(0)=0,6m, y(0)=-0,87m, x’(0)=y’(0)=0 m/s 
Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=6s 
Gráfico: t(s) por x, y, x’, y’ e x por y 
a) K=100 N/m b) K=20N/m c) K=200 N/m 
Equações: 
M d2x(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } x(t) / [ x2(t) + y2(t)]1/2 = 0 
 
M d2y(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } y(t) / [ x2(t) + y2(t)]1/2 + M g = 0 
 
7) Sistema Hidráulico 
 
 
Dados: Aa = 100cm2, Ab = 75cm2, Ac = 50cm2, K1=40cm2/s, K2=30cm2/s 
Condições Iniciais: ya(0)=50cm, yb(0)=10cm, yc(0)=5cm 
Malha: t=0,01s timpressão=1s tmaximo=200s 
Gráfico: t(s) por ya, yb, yc 
a) K3=3cm2/s b)K3=0cm2/s c)K3=40cm2/s 
Equações: 
 Aa dya(t) / dt = - K1 [ ya(t) - yb(t)] 
Ab dyb(t) / dt = K1 [ ya(t) - yb(t)] - K2 [ yb(t) - yc(t)] 
Ac dyc(t) / dt = K2 [ yb(t) - yc(t)] - K3 yc(t) 
 
9)Cinética Química 
Certos processos químicos são reversíveis. 
BA
K
K
⎯⎯
⎯→⎯
2
1
 
Na(t) = Concentração da substância A , Nb(t) = Concentração da substância B, K1 e K2 são as taxas de 
reação 
 
Dados: K1=0,5mol/h, K2=0,2mol/h 
Condições Iniciais: Na(0)=3mol, Nb(0)=0mol 
Malha: t=0,01hora timpressão=0,3horas tmaximo=10horas 
Gráfico: t(h) por Na, Nb 
Equações: 
 dNa(t) / dt = - K1 Na(t) + K2 Nb(t) 
 dNb(t) / dt = + K1 Na(t) - K2 Nb(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Circuitos Elétricos 
 
Dados: C = 0,0003 F, R1= 100, R2= 50, L1= 0,5H, L2=0,2H, V0=100V, w=6rd/s 
Condições Iniciais: q1(0)=0C, q2(0)=0C, q’1(0)=q’2(0)=0 C/s 
Malha: t=0,0001s timpressão=0,1s tmaximo=20s 
Gráfico: t(s) por q1, q2, q’1, q’2 
Equações: 
L1 d2q1(t) / dt2 + R1 dq1(t) / dt + 1 / C [ q1(t) - q2(t) ] = V0 sen(wt) 
 
L2 d2q2(t) / dt2 + R2 dq2(t) / dt + 1 / C [ q2(t) - q1(t) ] =0