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TEORIA DAS PROBABILIDADES II Prof. Nei Rocha Instituto de Matemática - UFRJ Rio de Janeiro 2009-1 Sumário 1 De nições Básicas 1 1.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 De nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Variáveis Aleatórias 18 2.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.1 Transformações Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . 32 2.6.3 Método do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6.4 Estatísticas de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Esperança Matemática 38 3.1 De nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Propriedades da Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 A Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Distribuição e Esperança Condicionais 65 5 Convergência de Variáveis Aleatórias 71 5.1 Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Leis dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 i OBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a sintetizar informações que são ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas simples usando raciocínio probabilístico. PROGRAMA UNIDADE I - Espaços de Probabilidade. Modelo matemático para um experi- mento (modelo probabilístico). Álgebra de eventos e �-álgebra de eventos: de nição e propriedades. Axiomas da probabilidade (�-aditividade), continuidade no vazio. Propriedades da probabilidade. Espaço de probabilidade: de nição. UNIDADE II Vetores Aleatórios Introdução: de nição de uma variável aleatória, distribuição e propriedades. Funções de variáveis aleatórias: transformação de escala e posição, transformação integral da probabilidade. Caracterização adicional de variáveis aleatórias: momen- tos. Vetores aleatórios de dimensão 2. Distribuição: de nição e propriedades. O caso discreto: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e condicionais. O caso contínuo: função de densidade conjunta, funções de densidade marginais e condicionais. Variáveis aleatórias independentes. Extensão para o caso de dimensão n � 2. Distribuições especiais: Normal multivariada e Multinomial UNIDADE III Funções univariadas das componentes de um vetor aleatório. Soma e diferença de variáveis aleatórias independentes. Convolução. Produto e Quociente de variáveis aleatórias. UNIDADE IV Distribuição conjunta de funções de variáveis aleatórias. ii O método Jacobiano para o caso de dimensão 2. Exemplos. Extensão para o caso de dimensão n � 2. UNIDADE V Distribuições Especiais Distribuição de Qui-quadrado. De nição, propriedades e aplicações (independên- cia da média e variância amostrais para amostras da normal). Distribuição t: de nição e propriedades. Distribuição F : de nição e propriedades. Estatísticas de Ordem: de nição e distribuições conjuntas e marginais, aplicações. UNIDADE VI Esperança. De nição Geral de Esperança. Propriedades da Esperança. Esperança Condicional: de nição, propriedades. Cálculo da esperança e da variância por condicionamento (exemplos típicos: soma aleatória de variáveis aleatórias independentes). Desigualdade de Jensen. Desigualdade de Tchebyshev. UNIDADE VII Lei dos Grandes Números. Tipos de Convergência: convergência em probabilidade e convergência quase certa. Lei Fraca dos Grandes Números. Lei Forte dos Grandes Números. Exemplos. UNIDADE VIII Funções características, convergência em distribuição. Teo- rema Central do Limite. Funções características: de nição e propriedades. Con- vergência em distribuição: de nição e alguns resultados. Teorema Central do Lim- ite: para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes (condição de Lindeberg, Liapounov). Aplicações. iii BIBLIOGRAFIA [1] James, B.- Probabilidade: UmCurso emNível Intermediário - Projeto Euclides - 1981. [2] Shiryayev, A. N. - Probability - Springer Verlag - 1984. [3] Metivier, M. - Notions Fondamentales de la Theorie des Probabilites - Dunod - Paris - 1968. [4] Magalhães, M. N. - Probabilidade e Variáveis Aleatórias - Ed. Universidade de São Paulo - 2004. [5] Hoel, P.G. e Stone, C. J. - Introdução à Teoria da Probabilidade - Editora Interciência - 1978. [6] Ross, S. - Introduction to Probability Models - Sixth Edition. Academic Press - 1997. AVALIAÇOES Prova 1 - 4 de maio de 2009. Prova 2 - 3 de julho de 2009. Reposição - 8 de julho de 2009. Prova Final - 10 de julho de 2009. iv Capítulo 1 De nições Básicas 1.1 Modelo Matemático para um Experimento 1.1.1 Espaços de Probabilidade Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos por , é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte de nição: De nição 1 O conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado ex- perimento é chamado de espaço amostral. Exemplo 1 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então = fCa;Cog, onde Ca é carae Co é coroa. Exemplo 2 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face supe- rior, então = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Exemplo 3 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b. 1 Exemplo 4 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces superiores, então = 8>>>>>><>>>>>>: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 9>>>>>>=>>>>>>; onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no segundo dado. Exemplo 5 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é, = [0;1). De nição 2 Qualquer subconjunto A do espaço amostral , isto é A � , ao qual atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório. Obviamente, como ; � e � os conjuntos ; e são eventos aleatórios. O conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto é denominado evento certo. Se ! 2 o evento f!g é dito elementar (ou simples). De nição 3 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-patíveis se A \B = ;. Observação 1 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin- guagem de eventos: A [ B é o evento A ou B; A \ B é o evento A e B e Ac é o evento não A. De nição 4 SejaA uma classe de subconjuntos de tendo as seguintes propriedades: (i) 2 A; (ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade) 2 (iii) Se A1; A2; :::; An 2 A então n[ i=1 Ai 2 A. (a classe é fechada pela união nita) Então a classe A de subconjuntos de é chamada uma álgebra. Exercício 1 Seja A uma álgebra. Mostre que: (a) ; 2 A; (b) se A e B 2 A então A�B 2 A; (b) se A1; A2; :::; An 2 A então n\ i=1 Ai 2 A. De nição 5 SejaA uma classe de subconjuntos de tendo as seguintes propriedades: (i) 2 A; (ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade) (iii) Se A1; A2; ::: 2 A então 1[ i=1 Ai 2 A. (a classe é fechada pela união in nita enumerável) Então a classe A de subconjuntos de é chamada uma �-álgebra. Proposição 1 Seja A uma �-álgebra de subconjuntos de . Se A1; A2; ::: 2 A então 1\ i=1 Ai 2 A. Prova. (Em aula.) De nição 6 Os membros de A são chamados (no contexto da teoria de Probabil- idade) de eventos, ou subconjuntos de A-mensuráveis, ou apenas subconjuntos mensuráveis de se não houver confusão quanto à �-álgebra referente. O par ( ; A) é dito ser um espaço mensurável. Exercício 2 Seja = R e A a classe de todas as uniões nitas de intervalos do tipo (�1; a], (b; c] e (d;1). Mostre que (a) A é uma álgebra; (b) A não é uma �-álgebra. 3 Exercício 3 Mostre que toda �-álgebra é uma álgebra, mas a recíproca não é ver- dadeira. Exercício 4 Mostre, com exemplo, que se A e B são �-álgebras, A [ B não é necessariamente uma �-álgebra. Exercício 5 Mostre que se A e B são �-álgebras, A\ B é também uma �-álgebra. Observação 2 Dada uma classe B de subconjuntos de , podemos construir a menor álgebra contendo B, da seguinte forma: (i) Formamos a classe B1 contendo , ;, A e Ac para todo A 2 B; (ii) Formamos a classe B2 de interseções de elementos de B1; (iii) Formamos a classe B3 de uniões nitas de elementos de B2. Claramente, B � B1 � B2 � B3, e pode-se veri car facilmente que B3 é uma álgebra. Observação 3 Podemos construir (ainda que de forma abstrata) a menor ��álgebra contendo uma classe B de subconjuntos de , da seguinte forma: Considere todas as ��álgebras contendo B. Denote-as ��(B), � 2 �. O conjunto � é não-vazio, pois o conjunto de todos os subconjuntos de é uma ��álgebra. Então, a menor ��álgebra contendo B é dada por �(B) = \ �2� ��(B) Exemplo 6 Seja = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. (a) Construa a menor ��álgebra de subcon- juntos de ; (b) Construa a menor ��álgebra contendo a classe de subconjuntos de dada por ff1; 2g ; f1; 3; 4g ; f3; 5gg; (c) Construa a menor ��álgebra contendo todos os subconjuntos de (esta ��álgebra é chamada de conjunto das partes de , e é denotada por P( )). 4 De nição 7 A ��álgebra de Borel é gerada pela coleção de conjuntos abertos de um espaço topológico. Os membros desta ��álgebra são chamados Borelianos. As ��álgebras em Rd, d > 1, e R são geradas por intervalos nestes espaços e são denotadas por B(Rd) = Bd e B = B1 = B(R), respectivamente. Por exemplo, se = R, B pode ser gerada por quaisquer dos intervalos (a; b), (a; b], [a; b) ou [a; b], isto é, B = �f(a; b);�1 � a < b � +1g = �f[a; b);�1 < a < b � +1g = �f[a; b];�1 < a < b < +1g = �f(�1; x];x 2 Rg, e assim por diante. De nição 8 Seja A uma (��)álgebra em . Um membro A de A é dito um átomo, se A 6= ; e se B � A implica que ou B = ; ou B = A. Portanto, átomos são os membros mais nos de uma (��)álgebra. Exemplo 7 Seja = f1; 2; 3; 4; 5; 6g e sejaA = f;; f2g; f1; 3; 4; 5; 6g; f4; 6g; f1; 2; 3; 5g; f1; 3g; f2; 4; 5; 6g; f5g; f1; 2; 3; 4; 6g; f1; 3; 5g; f4; 5; 6g; f1; 3; 4; 6g; f2; 5g; f1; 2; 3g; f2; 4; 6g; g. Então os átomos associados à A são f2g, f5g, f1; 3g e f4; 6g. 1.1.2 De nição e Propriedades das Probabilidades Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes: (Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis. Seja A um evento e o espaço amostral nito, então P (A) = #A # onde #A é a cardinalidade de A e # a cardinalidade de . 5 (Freqüentista) Baseia-se na freqüência relativa de um número grande de realizações do experimento. Seja A um evento, então P (A) = lim n!1 nA n onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações. Observação 4 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático, pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n � n0 se tenha ���P (A)� nA n ��� < ". É improvável que ���P (A)� nA n ��� � " para n � N (grande), mas pode acontecer. Outra di culdade do conceito freqüentista é que o experimento nunca é realizado in nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita. (Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno em estudo. Por exemplo, seja o evento C chove em Moscou. Para alguém no Rio de Janeiro podemos ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5. Para alguém de Leningrado, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em Leningrado e P (C) = 0; 2, se não chove em Leningrado. Para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em Moscou e P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou. Não nos preocuparemos com o problema de como de nir probabilidade para cada experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como foi erigida pelo matemático russo Kolmogorov, responsável pela base matemática solida da teoria. 6 Seja um espaço amostral e A uma �-álgebra para um dado experimento. Uma medida de probabilidade P é uma aplicação P : A ! [0; 1] tendo os seguintes axiomas: A1) P (A) � 0. A2) P ( ) = 1. A3) (Aditividade nita) Se A1; A2; :::; An 2 A são disjuntos dois a dois, isto é, Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P � n[ i=1 Ai � = nX i=1 P (Ai). Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade ni- tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente supor �-aditividade: A3) Se A1; A2; ::: 2 A são disjuntos dois a dois, então P � 1[ i=1 Ai � = 1X i=1 P (Ai). Modelo Probabilístico: Terminamos a formulação do modelo matemático para um experimento, ou modelo probabilístico. É constituído de a) Um conjunto não-vazio , de resultados possíveis, o espaço amostral. b) Uma �-álgebra A de eventos aleatórios. c) Uma probabilidade P de nida em A. Vamos agora retirar nosso modelo do contexto de um experimento e reformulá-lo como um conceito matemático abstrato. De nição 9 Um espaço de probabilidade é um trio ( ;A; P ) onde (a) é um conjunto não-vazio, 7 (b) A é uma �-álgebra de subconjuntos de , e (c) P é uma probabilidade de nida em A. Com base nos axiomas de probabilidade, pode-se demonstrar os seguintes teore- mas: Teorema 1 P (;) = 0. Prova. (Em aula.) Proposição 2 O Axioma 3implica o Axioma 3, isto é, se P é �-aditiva, então é nitamente aditiva. Prova. (Em aula.) Teorema 2 Para todo A 2 A, temos P (Ac) = 1� P (A). Prova. (Em aula.) Teorema 3 Para todo A 2 A, temos 0 � P (A) � 1. Prova. (Em aula.) Teorema 4 Sejam A e B 2 A. Se A � B, então (a) P (B � A) = P (B)� P (A); (b) P (A) � P (B). Prova. (Em aula.) Teorema 5 Sejam A e B 2 A. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B). Prova. (Em aula.) 8 Teorema 6 Para qualquer seqüência de eventos A1; A2; :::; An 2 A, P � 1[ i=1 Ai � � 1X i=1 P (Ai) (desigualdade de Boole). Prova. (Em aula.) Teorema 7 Sejam A1; A2; :::; An 2 A. Então P � n[ i=1 Ai � = nX i=1 P (Ai)� X i<j P (Ai \ Aj) + X i<j<k P (Ai \ Aj \ Ak) � X i<j<k<l P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An) Prova. (Em aula.) Uma propriedade importante da função probabilidade P é que ela é contínua. Para ver isto, de nimos antes o que se entende por uma seqüência crescente (decres-cente) de eventos. De nição 10 Uma seqüência de eventos fEn; n � 1g é dita crescente se En � En+1; n � 1 e é dita decrescente se En � En+1; n � 1. Se fEn; n � 1g é uma seqüência crescente de eventos, então de nimos um novo evento, denotado por limn!1En por lim n!1 En = 1[ i=1 Ei. De forma similar se fEn; n � 1g é uma seqüência decrescente de eventos, então de nimos limn!1En por lim n!1 En = 1\ i=1 Ei. Com isso, podemos mostrar o seguinte teorema. Teorema 8 Se fEn; n � 1g é uma seqüência crescente ou decrescente de eventos, então lim n!1 P (En) = P ( lim n!1 En). 9 Prova. (Em aula.) Exemplo 8 Considere uma população de indivíduos capazes de gerar proles do mesmo tipo. O número de indivíduos inicialmente presentes, denotado por X0, é o tamanho da geração zero. Todos as proles da geração zero constituem a primeira geração e o seu número é denotado por X1. Em geral, Xn denota o tamanho da n-ésima geração. Mostre que limn!1 P (Xn = 0) existe e interprete o seu signi cado. 10 1.1.3 Probabilidade Condicional De nição 11 Seja ( ;A; P ) um espaço de probabilidade. Se B 2 A e P (B) > 0, a probabilidade condicional de A dado B é de nida por P (A j B) = P (A \B) P (B) , A 2 A. (1.1) Note que P (A j B), A 2 A, é realmente uma probabilidade em A (veri que os axiomas!). Conseqüentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por exemplo, P (Ac j B) = 1� P (A j B). Observe que, dado B, se de nirmos PB(A) = P (A j B), então podemos de nir um novo espaço de probabilidade dado por (B;G; PB), onde G := fA \B : A 2 Ag. Exercício 6 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili- dade condicional de (a) pelo menos um dos números ser 6; (b) a soma dos números ser 8? Teorema 9 Sejam A;B 2 A com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então P (A \B) = P (B):P (A j B) = P (A):P (B j A) Prova. (Em aula.) Teorema 10 (a) P (A \B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \B). (b) P (A1 \ A2 \ ::: \ An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1 \ A2):::P (An j A1 \ A2 \ :::An�1), para todo A1; A2; :::; An 2 A e para todo n = 2; 3; :::. 11 Prova. (Em aula.) Exercício 7 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com o uso da análise combinatória.) De nição 12 Seja um conjunto não-vazio. Uma partição de é uma família de conjuntos A1, A2, ..., An tais que (i) n[ i=1 Ai = (ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j. Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é o conjunto . Dizemos também que foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ..., An. Partição do Espaço Amostral Para todo evento B 2 A temos B = n[ i=1 (Ai \B) . 12 Teorema da Probabilidade Total Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos demonstrar os seguintes teoremas: Teorema 11 (Teorema da Probabilidade Total) Se a seqüência ( nita ou enu- merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de , então P (B) = X i P (Ai):P (B j Ai) (1.2) para todo B 2 A. Prova. (Em aula.) Teorema 12 (Fórmula de Bayes) Se a seqüência ( nita ou enumerável) de even- tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de , então P (Ai j B) = P (Ai)P (B j Ai)X j P (Aj):P (B j Aj) . (1.3) Prova. (Em aula.) Exercício 8 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Pergunta: qual a probabilidade condi- cional da moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado nal foi cara? 13 Exercício 9 Uma caixa contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 vermelhas. Removem-se três bolas sem observar suas cores. Determine: (a) a probabilidade de que uma quarta bola removida da caixa seja vermelha; (b) a probabilidade de que as três bolas removidas sejam brancas, sabendo-se que pelo menos uma delas é branca. Exercício 10 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual a probabilidade de que choveu nesse dia? Exercício 11 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito? Exercício 12 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2? Exercício 13 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e 4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada aleatoriamente deste comitê. (a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista. (b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter vindo do comitê 1? 14 Exercício 14 Um executivo pediu à sua secretária que zesse uma ligação para o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%. (a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com o Sr.X pelo telefone. (b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou. Exercício 15 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1 vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se: (a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B? (b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor? Exercício 16 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre 4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com- partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidade de que o outro compartimento contenha: (a) um anel de esmeralda; (b) um anel de brilhantes. Exercício 17 Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual cada questão tem cinco respostas possíveis, das quais exatamente uma é correta. O 15 estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as 5 possíveis. Suponha que o estudante saiba 70% das questões. Pergunta-se: (a) Qual a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para uma dada questão? (b) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a probabilidade de que ele sabia a resposta? 1.1.4 Independência De nição 13 Seja ( ;A; P ) um espaço de probabilidade. Os eventos aleatórioa A e B são (estocasticamente) independentes se P (A \B) = P (A):P (B). Observação 5 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer outro. Teorema 13 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1. Prova. (Em aula.) Teorema 14 Se A e B são independentes, então A e Bc também são independentes (e também Ac e B, e ainda Ac e Bc). Prova. (Em aula.) Observação 6 Se A \ B = ;, então A e B não são independentes (a menos que um deles tenha probabilidade zero). De nição 14 Os eventos aleatóriosAi, i 2 I (I um conjunto de índices), são independentes dois a dois (ou a pares) se P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj) 16 para todo i; j 2 I, i 6= j. De nição 15 (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An (n � 2) são chamados (coletiva ou estocasticamente) independentes se P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim) para todo 1 � i1 < i2 < ::: < im � n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as combinações satisfazem a regra produto). (b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n � 2, A1; :::; An são independentes. Observação 7 Independência a pares não implica independência coletiva. Con- forme o exercício a seguir. Exercício 18 Seja = fw1; w2; w3; w4g e suponha P (fwg) = 1=4 para todo w 2 . Sejam os eventos A = fw1; w4g, B = fw2; w4g e C = fw3; w4g. Veri que que A, B e C são independentes dois a dois, mas P (A \B \ C) 6= P (A):P (B):P (C). Teorema 15 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi, i 2 I, são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou Aci (ou um ou outro). Prova. (Em aula.) Observação 8 Toda família de eventos independentes é independente. Exercício 19 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, uma moeda com probabilidade p 6= 1 2 de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara, qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada? 17 Capítulo 2 Variáveis Aleatórias 2.1 Conceito Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de um experimento. Por exemplo: Exemplo 9 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras obtido. Então = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de nirmos X = número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca), !4 = (Co;Co), temos X(!1) = 2; X(!2) = X(!3) = 1; X(!4) = 0. Exemplo 10 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto obtido. Então = [0; 1] e X(!) = !2. Exemplo 11 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância entre o ponto escolhido e a origem. Então = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com 18 ! = (x; y), temos X(!) = p x2 + y2. Exemplo 12 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então = f1; 2; 3; 4; 5; 6g e X(!) = !. Entretanto, nem toda função de em R traduz uma variável aleatória. Para que ela seja uma variável aleatória, precisamos garantir que todo evento relacionado à variável aleatória possa ser mensurado. Daí a de nição seguinte: De nição 16 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade ( ;A; P ) é uma função real de nida no espaço tal que o conjunto [! 2 : X(!) � x] (daqui para frente escrito de forma simpli cada [X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R; isto é, X : ! R é uma variável aleatória se [X � x] 2 A para todo x 2 R. Exemplo 13 Sejam = f1; 2; 3; 4g e A = f;; f1; 2g; f3; 4g; g e considere os con- juntos A = f1; 2g e B = f1; 3g. Então 1A é variável aleatória em ( ;A), mas 1B não é. 2.2 Função de Distribuição De nição 17 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X, representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de nida por FX(x) = P (X � x), x 2 R. (2.1) 19 Exercício 20 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória X e represente-a gra camente. Exercício 21 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto ao acaso do intervalo [a; b] com a < b. Seja X a variável aleatória que representa a co- ordenada do ponto. Construa a função de distribuição da variável aleatória X e represente-a gra camente. Proposição 3 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma variável aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades: F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente. F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita. F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1. Prova. (Em aula) Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que 1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a) 2. P (a < X � b) = P (X � b) � P (X � a) = P (X � b) � P (X � a) = FX(b)� FX(a) 3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a�). Ou seja, P (X = a) é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0. 20 4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b) = P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b�)] = FX(b �)� FX(a). 5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a) = FX(b �)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b�)� FX(a�). 6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a) = FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b)� FX(a�). Exercício 22 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor- cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa o número obtido no lançamento do dado. Pede-se: (a) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá co. (b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um número ímpar? (c) A probabilidade de ocorrer um número par, dado que ocorreu um número menor do que 5? Exercício 23 Seja F (x) a função F (x) = 8<: 0, se x < 0 x+ 1 2 , se 0 � x � 1 2 1, se x > 1 2 Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule: (a) P (X > 1 8 ) (b) P (1 8 < X < 2 5 ) (c) P (X < 2 5 j X > 1 8 ) 21 2.3 Variáveis Aleatórias Discretas De nição 18 A variável aleatória X é discreta se toma um número nito ou enu- merável de valores, isto é, se existe um conjunto nito ou enumerável fx1; x2; :::g � R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 . A função p(xi) de nida por p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (2.2) é chamada função de probabilidade de X. Observação 9 Note que [X � x] = [ i:xi�x [X = xi] e assim F (x) = X i:xi�x P (X = xi) = X i:xi�x p(xi). Além disso, observe que p(xi) � 0, i = 1; 2; 3; ::: (2.3) e 1X i=1 p(xi) = 1. (2.4) Exercício 24 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2/3. Ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se: (a) A função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as propriedades (2.3) e (2.4). (b) A probabilidade de serem necessários cinco tiros para que ele acerte o alvo. Exercício 25 Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade P (X = x) = cx2, onde c é uma constante e k = 1; 2; 3; 4; 5. Calcule F (x) e P(X ser ímpar). 22 Exercício 26 Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda honesta. Construa a função de probabilidade e a função de distribuição de X es- boçando os seus grá cos. 2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas De nição 19 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades fX(x) � 0 para todo x 2 R e 1Z �1 fX(x)dx = 1 de modo que FX(x) = xZ �1 fX(t)dt. Observação 10 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que fX(x) = dFX(x) dx . Observação 11 Como FX(x) é contínua, observe que 1. P (X = x) = FX(x)� FX(x�) = 0 para todo x 2 R. 2. P (a � X � b) = P (a < X � b) = P (a � X < b) = P (a < X < b) = bZ a fX(x)dx. 3. dFX(x) = fX(x)dx. Exercício 27 Veri que que FZ(z) = 8>><>>: 0, z < 0 z2, 0 � z < 1 2 1� 3(1� z)2, 1 2 � z < 1 1, z � 1 23 é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também P (Z > 1 4 jZ � 3 4 ). Exercício 28 Veri que que FY (y) = 8<: 0, y < 0p y, 0 � y � 1 1, y > 1 é uma função de distribuição e calcule a função de densidade de Y. Use-a para calcular P (1 4 < Y < 3 4 ). De nição 20 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes classi cações (parte discreta e partecontínua). Exercício 29 (Exemplo de Variável Aleatória Mista: Discreta e Contínua ao mesmo tempo) A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por: FX(x) = 8>>>><>>>>: 0, x < 0 x 2 , 0 � x < 1 2 3 , 1 � x < 2 11 12 , 2 � x < 3 1, x � 3 Obtenha: (a) o grá co de FX(x); (b) P (X < 3); (c) P (X = 1); (d) P (X > 1=2); (e) P (2 < X < 4). Exercício 30 Seja X uma variável com função de distribuição FX(x) = 8<: 0, x < �2 1 4 + x+2 8 , � 2 � x < 0 3 4 + 1 4 (1� e�x), x � 0 (a) Classi que X e faça um grá co de F. (b) Calcule P (X > �1) e P (X � 4jX > 0). (c) Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua. 24 Exercício 31 Mostre que se X é uma v. a . do tipo contínuo com função de densidade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX(�x), então: (a) FX(x) = 1� FX(�x); (b) FX(0) = 12 ; (c) P (�x < X < x) = 2FX(x)� 1, x > 0; (d) P (X > x) = 1 2 � xZ 0 fX(t)dt, x > 0. Exercício 32 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por fX(x) = 1 2(1 + jxj)2 , �1 < x <1 (a) Obtenha a função de distribuição de X. (b) Ache P (�1 < X < 2). (c) Ache P (jXj > 1). Exercício 33 Z é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade fZ(z) = � 10e�10z, z > 0 0, z � 0 Obtenha a função de distribuição de Z e esboce o seu grá co. 2.5 Vetores Aleatórios De nição 21 Um vetor X = (X1; :::; Xn) com Xi variáveis aleatórias de nidas no mesmo espaço de probabilidade ( ;A; P ) é chamado vetor aleatório se X�1(B) 2 A para todo B 2 Bn. De nição 22 A função de distribuição conjunta F = FX de um vetor aleatório X é de nida por FX(x) = FX(x1; :::; xn) = P (X1 � x1; :::; Xn � xn). 25 Observação 12 fX1 � x1; :::; Xn � xng = n\ i=1 f! : Xi(!) � xig 2 A. Proposição 4 Propriedades da Função de Distribuição Conjunta. Se X é um vetor aleatório em ( ;A; P ), então para qualquer x 2 Rn, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades: F1) F (x) é não-decrescente em cada uma de suas coordenadas. F2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas. F3) Se para algum j, xj ! �1, então F (x) ! 0 e, ainda, se para todo j, xj ! +1, então F (x)! 1. F4) F (x) é tal que para todo ai; bi 2 R, ai < bi, 1 � i � n, temos Pfa1 < X1 � b1; a2 < X2 � b2; :::; an < Xn � bng � 0. Prova. (Em aula) Observação 13 A propriedade F4 parece tão óbvia que poderíamos questionar a necessidade de mencioná-la. No caso unidimensional ela não é necessária, mas no caso muldimensional ela é essencial, pois há funções que atendem as propriedades F1, F2 e F3 que não são funções de distribuições de nenhum vetor aleatório, con- forme o exemplo abaixo. Exemplo 14 Considere a seguinte função: F (x; y) = � 1, em S = f(x; y) : x � 0, y � 0 e x+ y � 1g 0, caso contrário Então F (x; y) satisfaz F1, F2 e F3, mas Pf0 < X � 1; 0 < Y � 1g = �1 < 0! Logo F (x; y) não satisfaz F4 e, portanto, não pode ser função de distribuição conjunta. 26 Exemplo 15 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com função de distribuição conjunta FX;Y (x; y). Mostre que Pfa < X � b; c < Y � dg = F (b; d)� F (b; c)� F (a; d) + F (a; c) Exemplo 16 Veri que se a seguinte função F (x; y) = � 1� e�x�y, x � 0 e y � 0 0, caso contrário é uma função de distribuição de algum vetor aleatório. Exemplo 17 Veri que se a seguinte função F (x; y) = � (1� e�x)(1� e�y), x � 0 e y � 0 0, caso contrário é uma função de distribuição de algum vetor aleatório. Observação 14 A partir da função de distribuição conjunta, pode-se obter o com- portamento de cada variável isoladamente. A função de distribuição individualizada é denominada função de distribuição marginal e é obtida da seguinte forma: FXk(xk) = limxi!1 i6=k F (x) em que o limite é aplicado em todas as coordenadas, exceto k. Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto e de nimos sua função de probabilidade conjunta da seguinte forma: p(x) = p(x1; :::; xn) = P (X1 = x1; :::; Xn = xn). É imediato veri car que p(x) � 0, para todo x 2 Rn eX x p(x) = 1. 27 A função de probabilidade marginal de uma variável, digamos Xk, é obtida a partir da conjunta, somando-se os valores possíveis em todas as coordenadas, exceto em k, isto é, pXk(xk) = P (Xk = xk) = nX i=1 i6=k X xi p(x) = nX i=1 i6=k X xi P (X1 = x1; :::; Xn = xn). Exemplo 18 Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e de n- imos as variáveis aleatórias X e Y da seguinte forma: X = número de caras nos dois lançamentos e Y = função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos. Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y e as funções de probabilidade marginais de X e de Y. Denominamos vetor aleatório contínuo, o vetor aleatório cujas componentes são variáveis aleatórias contínuas. Dada a função de distribuição conjunta de um vetor aleatório, sucessivas derivadas parciais produzem a função de densidade conjunta, representada por f(x). Então, podemos considerar que um vetor aleatório é contínuo se existe uma função f : Rn ! R+ tal que FX(x) = Z x1 �1 ::: Z xn �1 f(y)dy1:::dyn. Observe que isto é uma generalização do caso univariado, e, como antes, valem as propriedades f(x) � 0, para todo x 2 Rn eZ 1 �1 ::: Z 1 �1 f(x)dx1:::dxn = 1 Além disso, decorre do cálculo que @ n @x1:::@xn FX(x) = f(x). 28 Observação 15 Assim, podemos perceber que P (X1 2 dx1; :::; Xn 2 dxn) = f(x)dx1:::dxn. Exemplo 19 Sejam três variáveis aleatórias X, Y e Z com função de densidade conjunta dada por f(x; y; z) = � kxy2z, se 0 < x � 1, 0 < y � 1 e 0 < z � p2 0, caso contrário Encontre o valor de k e ache a função de densidade marginal de X. Exemplo 20 (Função Mista) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade dada por f(x; y) = � xyx�1 3 , se x = 1; 2; 3 e 0 < y � 1 0, caso contrário (a) Veri que que esta função é de fato uma função mista de probabilidade. (a) Mostre que F (x; y) = 8>>>>>>>><>>>>>>>>: 0, se x < 1 ou y < 0 y 3 , se 1 � x < 2 e 0 � y < 1 y+y2 3 , se 2 � x < 3 e 0 � y < 1 y+y2+y3 3 , se x � 3 e 0 � y < 1 1 3 , se 1 � x < 2 e y � 1 2 3 , se 2 � x < 3 e y � 1 1, se x � 3 e y � 1 2.5.1 Independência De nição 23 Sejam X1; X2; :::; Xn, n � 2, variáveis aleatórias de nidas no mesmo espaço de probabilidade ( ;A; P ), de modo queX = (X1; :::; Xn) é um vetor aleatório em ( ;A; P ). As variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são (coletivamente) indepen- dentes se P fX1 2 B1; X2 2 B2; :::; Xn 2 Bng = nY i=1 P fXi 2 Big para todo Bi 2 A, i = 1,2,...,n. 29 Observação 16 (i) (Propriedade de Hereditariedade de Variáveis Aleatórias In- dependentes) Observe que para toda família de variáveis aleatórias independentes X1; X2; :::; Xn qualquer subfamília é também formada por variáveis aleatórias inde- pendentes, pois, por exemplo P fX1 2 B1; X2 2 B2g = P fX1 2 B1; X2 2 B2; X3 2 R; :::; Xn 2 Rg = P fX1 2 B1gP fX2 2 B2gP fX3 2 Rg :::P fXn 2 Rg = P fX1 2 B1gP fX2 2 B2g :1:::1 = P fX1 2 B1gP fX2 2 B2g (ii) Se as variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são independentes, então funções de famílias disjuntas das variáveis são também independentes. Por exemplo: (a) X1 +X2 +X3 e e�X4 são independentes. (b) min(X1; X2) e max(X3; X4) são independentes. (c) X1:X2 e X2 +X3 não são necessariamente independentes! A proposição a seguir nos fornece o critério para independência de variáveis aleatórias a partir da função de distribuição conjunta. Trata-se do critério de fa- toração. Proposição 5 (a) Se X1; X2; :::; Xn, n � 2, são variáveis aleatórias independentes, então FX(x) = FX(x1; :::; xn) = nY i=1 FXi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn. (b) Reciprocamente, se existem funções F1; F2; :::; Fn tais que limx!1 Fi(x) = 1 para todo i e FX(x1; :::; xn) = nY i=1 Fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn entãoX1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e Fi = FXi para todo i = 1,2,...,n. Prova. (Em aula) 30 Proposição 6 (Critério para independência no caso contínuo)(a) Se X1; X2; :::; Xn, n � 2, são variáveis aleatórias independentes e possuem densidades fX1 ; :::; fXn, então a função fX(x1; :::; xn) = nY i=1 fXi(xi), (x1; :::; xn) 2 Rn é densidade conjunta das variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn. (b) Reciprocamente, se X1; X2; :::; Xn têm densidade conjunta f satisfazendo fX(x1; :::; xn) = nY i=1 fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn onde fi(xi) � 0 e R1 �1 fi(x)dx = 1 para todo i, então X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e fi é a densidade de Xi para todo i = 1,2,...,n. Prova. (Em aula) Proposição 7 (a) Se F (x; y) é a função de distribuição conjunta de X e Y, então a função de distribuição marginal de X é FX(x) = lim y!1 FX;Y (x; y) = FX;Y (x;+1). (b) Se f(x; y) é a função de densidade conjunta de X e Y, então a função de densidade marginal de X é fX(x) = Z 1 �1 f(x; y)dy. Prova. (Em aula) Exercício 34 Enuncie o resultado análogo da proposição anterior para o caso dis- creto. Exemplo 21 Dizemos que o vetor aleatório (X; Y ) possui distribuição normal bi- variada quando tem densidade dada por f(x; y) = 1 2��1�2 p 1� �2 : : exp ( � 1 2 (1� �2) "� x� �1 �1 �2 � 2� � x� �1 �1 �� y � �2 �2 � + � y � �2 �2 �2#) 31 onde �1 > 0, �2 > 0, �1 < � < 1, �1 2 R e �2 2 R. Mostre que se � = 0, então X e Y são independentes e X � N(�1; �21) e Y � N(�2; �22). (Se � 6= 0, então X e Y não são independentes, pois sua densidade conjunta não é produto das densidades marginais. Exemplo 22 Seja G 2 Rn uma região tal que V olG > 0, onde V olG é o volume n-dimensional de G, de modo que V olG = R ::: G R 1dx1:::dxn. Dizemos que X = (X1; X2; :::; Xn) é uniformemente distribuído em G se X tem densidade fX(x1; :::; xn) = � 1 V olG , se (x1; :::; xn) 2 G 0, se (x1; :::; xn) =2 G 2.6 Funções de Variáveis Aleatórias 2.6.1 Transformações Mensuráveis Suponha que a entrada de um sistema é modelado por um vetor aleatório X e nosso objetivo seja caracterizar a saída do sistema Y = g(X), onde g : Rd ! R depende das propriedades do sistema. A aplicação ( ;F) X�! (Rd;Bd) g�! (R;B) de ( ;F) a (R;B) de ne uma saída (output). Y é uma variável aleatória. 2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em ( ;A; P ), e considere o problema de determinar a distribuição de Y = g(X), com g uma função mensurável. Então, temos FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg De nindo By = f(x1; x2; :::; xn) : g(x1; x2; :::; xn) � yg, temos FY (y) = P fX 2 Byg = PX fByg 32 ou seja, conhecendo a distribuição conjunta de X1; X2; :::; Xn, podemos obter a dis- tribuição de qualquer função mensurável de X. Observação 17 (a) Quando X é discreto, Y é também discreto e o problema torna- se simples, pois pY (y) = X i:g(xi)=y pX(xi) (b) Quando X é contínuo, o problema é mais complexo pois Y pode ser discreto ou contínuo. Exemplo 23 Se X e Y são independentes, cada uma com distribuição uniforme em [0,1], mostre que Z = X=Y tem função de distribuição FZ(z) = 8>><>>: 0, se z � 0 z 2 , se 0 < z < 1 1� 1 2z , se z � 1 e função de densidade fZ(z) = F 0 Z(z) = 8>>><>>>: 0, se z � 0 1 2 , se 0 < z < 1 1 2z2 , se z � 1 Proposição 8 (a) Se X e Y têm densidade conjunta f(x; y), então a variável aleatória Z = X + Y tem densidade dada por fZ(z) = Z 1 �1 f(z � t; t)dt = Z 1 �1 f(t; z � t)dt. (b) Se X e Y são independentes com densidades fX e fY então Z = X + Y tem densidade dada por fZ(z) = Z 1 �1 fX(z � t)fY (t)dt = Z 1 �1 fX(t)fY (z � t)dt. Prova. (Em aula.) 33 Observação 18 Se f1 e f2 são densidades de variáveis aleatórias, sua convolução f1 � f2 é de nida como f1 � f2(x) = Z 1 �1 f1(x� t)f2(t)dt. Portanto, pela proposição anterior, se X e Y são independentes e absolutamente contínuas, fX � fY é a densidade da soma X + Y . 2.6.3 Método do Jacobiano Sejam G0 � Rn e G � Rn duas regiões abertas e seja g : G0 ! G uma função bijetora onde g(x1; :::; xn) = (g1(x1; x2; :::; xn); :::; gn(x1; x2; :::; xn)) = (y1; :::; yn). Então existe a função inversa h = g�1 en G, onde x1 = h1(y1; :::; yn); :::; xn = hn(y1; :::; yn). Suponha também que existam as derivadas parciais @xi @yj = @hi(y1; :::; yn) @yj , 1 � i; j � n, e que elas sejam contínuas em G. De nimos o jacobiano J(x;y) pelo determinante J(x;y) = �����@xi@yj ����� = det 264 @x1 @y1 � � � @x1 @yn ... . . . ... @xn @y1 � � � @xn @yn 375 Pelo cálculo de várias variáveis, sabemos que se o jacobiano for não-nulo para todo y 2 G, entãoZ ::: Z A f(x1:::; xn)dx1:::dxn = Z ::: Z g(A) f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j dy1:::dyn para qualquer f integrável em A, onde A � G0. Com isso, no contexto de probabil- idade, temos o seguinte teorema: 34 Teorema 16 Sejam Y1; Y2; :::; Yn variáveis aleatórias transformadas, isto é, Yi = gi(X1; X2; :::; Xn) para i=1,2,...,n. Então a densidade conjunta de Y1; Y2; :::; Yn é fY(y1:::; yn) = � fX(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j , y 2 G 0, y =2 G onde fX é a função de densidade conjunta de X. Prova. (Em aula.) Exemplo 24 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com dis- tribuição exponencial com parâmetro 1, mostre que Z = X + Y e W = X Y são também independentes com densidades fZ(z) = � ze�z, z > 0 0, z � 0 e fW (w) = 8<: 1 (w + 1)2 , w > 0 0, w � 0 . Observação 19 Seja a função g : Rn ! Rk com k < n. Então g não é bijetora. Então para obtermos a distribuição de Y = g(X), basta: (a) Completar a transformação g através de variáveis auxiliares convenientes: Yk+1 = gk+1(X); :::; Yn = gn(X). (b) Obter a conjunta de Y1; Y2; :::; Yn usando o método do jacobiano fY(y1:::; yn) = f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x;y)j. (c) Obter a marginal conjunta de Y1; Y2; :::; Yk como R1 �1 ::: R1 �1 fY(y1:::; yn)dyk+1:::dyn. Exemplo 25 A função de densidade conjunta de X e Y é dada por fX;Y (x; y) = 1 3 (x+ y)1(0;2](x)1(0;1](y). 35 Mostre que a densidade de Z = X + Y é dada por fZ(z) = 8>>>>>><>>>>>>: z2 3 , 0 � z < 1 z 3 , 1 � z < 2 z(3� z) 3 , 2 � z � 3 0, caso contrário Exemplo 26 (Jacobiano sem bijeção) Seja X uma variável contínua com densidade fX(x) = 1 2 e�jxj, �1 < x <1. Mostre que a densidade de Y = X2 é dada por fY (y) = 1 2 p y e� p y1(0;1)(y). Exemplo 27 Seja X uma variável contínua com densidade uniforme em [�2; 5]. Encontre a densidade de Y = X2. Exemplo 28 Seja X uma variável contínua com densidade fX(x) = 8>>><>>>: 1 4 x, 0 � x < 2 1 8 , 2 � x � 6 0, caso contrário (a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X). (b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular. 2.6.4 Estatísticas de Ordem Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de distribuição FX , então os Xi formam uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população com distribuição FX . As Xi ordenadas crescentemente são estatísticas de ordem da amostra e representamos X(1); X(2); :::; X(n) tais que X(1)(!) � X(2)(!) � ::: � X(n)(!) Temos assim os seguintes resultados para as distribuições de estatísticas de ordem para variáveis aleatórias contínuas. 36 Proposição 9 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX , então fX(1);X(2);:::;X(n)(x1:::; xn) = n!fX(x1):::fX(xn) para x1 < x2 < ::: < xn Prova. (Em aula.) Proposição 10 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX , então fX(k)(x) = n � n� 1 k � 1 � fX(x) [FX(x)] k�1 [1� FX(x)]n�k para x 2 R Prova. (Em aula.) Proposição 11 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX , então para k < l, temos fX(k);X(l)(x; y) = n(n� 1) � n� 2 k � 1 �� n� k � 1 l � k � 1 � fX(x)fX(y) [FX(x)] k�1 [FX(y)� FX(x)]l�k�1 [1� FX(y)]n�l para x < y. Prova. (Em aula.) Corolário 1 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX , entãoa densidade conjunta de U = min1�i�nXi e V = max1�i�nXi é dada por fU;V (u; v) = � n(n� 1) [FX(v)� FX(u)]n�2 fX(u)fX(v), u < v 0, caso contrário Prova. (Em aula.) 37 Capítulo 3 Esperança Matemática 3.1 De nição De nição 24 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição FX . A esperança de X, denotada E(X), é de nida como E(X) = 1Z �1 xdFX(x) (3.1) quando a integral está bem de nida. Observação 20 (a) '(x) = x é contínua. A integral (3.1) é de Riemann-Stieltjes. (b) A esperança está bem de nida se pelo menos uma das integrais 1Z 0 xdFX(x) ou 0Z �1 xdFX(x) for nita. (c) Se ambas as integrais 1Z 0 xdFX(x) e 0Z �1 xdFX(x) forem nitas, dizemos que X é integrável, ou seja, X é integrável se E(jXj) = 1Z �1 jxj dFX(x) <1. (d) SeX é uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto fx1; x2; x3; :::g e com função de probabilidade p(xi) = P (X = xi), então E(X) = 1X i=1 xip(xi). 38 (e) Se X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade fX(x), então E(X) = 1Z �1 xfX(x)dx (f) Se X é tal que sua função de distribuição se decompõe F = Fd + Fac + Fs, então E(X) = 1X i=1 xip(xi) + 1Z �1 xfX(x)dx+ 1Z �1 xdFs(x). Exercício 35 Um dado é lançado sucessivamente, até que a face 6 ocorra pela primeira vez. Seja X a variável que conta o número de lançamentos até a ocorrência do primeiro 6. Calcule a esperança de X. Exercício 36 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por f(x) = � C(9� x2), � 3 � x � 3 0, caso contrário (a) Obtenha o valor de C. (b) Obtenha a esperança de X. (c) Ache P (jXj � 1). 3.1.1 Propriedades da Esperança Matemática 1. E(C) = C, onde C é uma constante. 2. Se a � X � b, então a � E(X) � b. 3. E(aX � b) = aE(X)� b. 4. E[X � E(X)] = 0. 5. Se X � Y , então E(X) � E(Y ). 6. SeX é uma variável aleatória tal que 0 � jXj � Y , onde Y é variável aleatória integrável, então X é integrável. 39 Exercício 37 SejaX uma variável aleatória simétrica em torno de �, isto é, PfX � � + xg = PfX � � � xg para todo x 2 R. Mostre que se X é integrável, então E(X) = �. Observe pelo exercício seguinte, que sem a hipótese de integrabilidade, o resul- tado não se veri ca, pois: Exercício 38 Seja X uma variável aleatória Cauchy com parâmetros M e b, isto é, a densidade de X é dada por f(x) = b �[b2 + (x�M)2] para todo x 2 R, b > 0 e M 2 R. Mostre que M é ponto de simetria de X, mas E(X) não existe. Exercício 39 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição uniforme em [0; 1]. Sejam Z = min(X;Y ) e W = max(X; Y ). Calcule E(Z) e E(W ). Proposição 12 (Desigualdade de Jensen) Seja ' uma função convexa de nida na reta. Se a variável aleatória X é integrável, então E['(X)] � '[E(X)]. Prova. (Em aula) Observação 21 Se ' é uma função côncava, então E['(X)] � '[E(X)]. (Mostre isso!) Exemplo 29 Pela desigualdade de Jensen, temos, por exemplo, que (a) E [jXj] � jE(X)j. 40 (b) E(X2) � E2(X). (c) E jXjp � (E jXj)p � jEXjp. onde p � 1. (d) E � 1 X � � 1 EX . 3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias De nição 25 Seja X uma variável aleatória e �(x) uma função real mensurável. Então a esperança da variável aleatória Y = �(X) é dada por E(Y ) = 1Z �1 ydF�(X)(y). A fórmula acima nem sempre é muito fácil de ser usada, pois devemos obter a distribuição de Y a partir da distribuição da variável X e só então obter E(Y ). No entanto é possível mostrar pela Teoria da Medida que a esperança da variável aleatória Y = �(X) é dada por E�(X) = 1Z �1 ydF�(X)(y) = 1Z �1 �(x)dFX(x) onde a existência de uma das integrais implica a existência da outra bem como a igualdade das duas. Ou seja, E[�(X)] = 1X i=1 �(xi)p(xi) (se X é discreta) E[�(X)] = 1Z �1 �(x)fX(x)dx (se X é contínua) 3.3 Momentos De nição 26 Seja X uma variável aleatória. De ne-se o k-ésimo momento or- dinário da variável aleatória X, mk, como mk = E(X k) = 1Z �1 xkdFX(x). 41 Assim, mk = 1X i=1 xkiP (X = xi) se X é v.a.d. mk = 1Z �1 xkfX(x)dx se X é v.a.c. De nição 27 Seja X uma variável aleatória. De ne-se o k-ésimo momento de X em torno de b, Mk, como E[(X � b)k] = 1Z �1 (x� b)kdFX(x). De nição 28 Seja X uma variável aleatória. De ne-se o k-ésimo momento cen- tral da variável aleatória X, Mk, como Mk = E[(X � E(X))k]. Assim, Mk = 1X i=1 [xi � E(X)]kP (X = xi) se X é v.a.d. Mk = 1Z �1 [x� E(X)]kfX(x)dx se X é v.a.c. De nição 29 Seja X uma variável aleatória. De ne-se a variância da variável aleatória X, denotada por V ar(X) ou �2X , como V ar(X) = E[(X � E(X))2]. Observação 22 Observe que V ar(X) = E[(X � E(X))2] = E[X2 � 2XE(X) + E2(X)] = E[X2]� 2E2(X) + E2(X) = E(X2)� E2(X). 3.3.1 Propriedades da Variância 1. V ar(C) = 0, onde C é uma constante. 2. V ar(aX � b) = a2V ar(X). 42 De nição 30 De ne-se o desvio-padrão da variável aleatória X, denotado por DP (X) ou �X , como DP (X) = p V ar(X). Observação 23 Pelas de nições acima, vemos que m1 = E(X) M1 = 0 M2 = V ar(X) = m2 �m21. Proposição 13 (Desigualdade básica de Markov) Seja X uma variável aleatória não-negativa e seja � > 0 uma constante. Então P (X � �) � E(X) � . Prova. Em aula. Proposição 14 (Desigualdade de Markov) Seja X uma variável aleatória qualquer e seja � > 0 uma constante. Então para todo t > 0, P (jXj � �) � E jXj t �t . Prova. Em aula. Proposição 15 (Desigualdade Clássica de Tchebychev) SejaX uma variável aleatória integrável e seja � > 0 uma constante. Então P (jX � E(X)j � �) � V ar(X) �2 . Prova. Em aula. Exercício 40 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que P (X � 0) = 1 e P (X � 10) = 1 5 . Mostre que E(X) � 2. 43 Exercício 41 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que E(X) = 10, P (X � 7) = 0; 2 e P (X � 13) = 0; 3. Prove que V ar(X) � 9 2 . Proposição 16 Se Z � 0 e EZ = 0, então P fZ = 0g = 1, ou seja, Z = 0 quase certamente. Prova. Em aula. Observação 24 A proposição acima implica que, quando V arX = 0, então X é constante quase certamente, pois P fX = EXg = 1. 3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios Teorema 17 Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em ( ;A; P ) e � : Rn! R mensurável a Borel. Então E�(X) = 1Z �1 ydF�(X)(y) = 1Z �1 ::: 1Z �1 �(x)dFX(x) onde a última integral é uma integral n-dimensional de Stieltjes. Prova. (Teoria da Medida) Observação 25 (i) Se X for discreto tomando valores em fx1;x2; :::g temos E�(X) = 1X i=1 �(xi)pX(xi). (ii) Se X for contínuo com densidade fX(x) temos E�(X) = 1Z �1 ::: 1Z �1 �(x)fX(x)dx1:::dxn. (iii) E[�1(X) + :::+ �n(X)] = E[�1(X)] + :::+ E[�n(X)]. 44 Proposição 17 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e inte- gráveis, então nY i=1 Xi é integrável e E [X1:X2:::Xn] = nY i=1 E[Xi]. Prova. (Em aula) O exemplo a seguir nos mostra que a recíproca da proposição anterior não é sempre verdadeira, isto é, EXY = EX:EY não implica X e Y independentes. Exemplo 30 Sejam X e Y variáveis aleatórias tomando valores �1; 0; 1 com dis- tribuição conjunta dada por p(�1;�1) = p(�1; 1) = p(1;�1) = p(1; 1) = p(0; 0) = 1 5 . Então EXY = EX:EY , mas X e Y não são independentes, pois P (X = 0; Y = 0) 6= P (X = 0):P (Y = 0). De nição 31 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é de nida como Cov(X; Y ) = E [(X � EX) (Y � EY )] = E [XY ]� E [X]E [Y ] Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas não-correlacionadas se Cov(X; Y ) = 0. Segue-se que variáveis aleatórias independentes são não-correlacionadas, mas a recíproca não é necessariamente verdadeira. Observação 26 Há certos casos em que não correlação implica em independência. O caso mais importante é o da Normal: Se X e Y possuem distribuição conjunta nor- mal bivariada e são não-correlacionadas, então � = 0 e como vimos anteriormente X e Y são independentes. Proposição 18 A variância da variável aleatória Y = nP i=1 Xi é dada por V ar " nX i=1 Xi # = nX i=1 V ar [Xi] + 2 X i<j Cov(Xi; Xj). 45 Prova. (Em aula) Corolário 2 Se X1; X2; :::;Xn são variáveis aleatórias não-correlacionadas, então V ar " nX i=1 Xi # = nX i=1 V ar [Xi] . Prova. (Em aula) De nição 32 Dada uma variável aleatória X, a variável aleatória Z = X � EX �X é uma padronização de X (também chamada de redução ou normalização de X). Observe que EZ = 0 e V arZ = 1. De nição 33 Chama-se coe ciente de correlação entre X e Y, denotado por �X;Y ou �(X; Y ), a correlação entre as sua variáveis padronizadas, isto é, �X;Y = Cov(X; Y ) �X :�Y = E �� X � EX �X �� Y � EY �Y �� . Exercício 42 Mostre que �(X; Y ) = �(aX + b; cY + d) para a > 0 e c > 0. A proposição seguinte nos informa que �X;Y representa a dependência linear entre X e Y. Proposição 19 Sejam X e Y variáveis aleatórias com variâncias nitas e positivas. Então: (i) �1 � �X;Y � 1. (ii) �X;Y = 1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a > 0 e b 2 R. (iii) �X;Y = �1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a < 0 e b 2 R. Prova. (Em aula) Proposição 20 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) E jXY j � pEX2pEY 2. Prova. (Em aula) 46 3.5 A Função Geratriz de Momentos De nição 34 Seja X uma variável aleatória. De ne-se a função geratriz de momentos de X, mX(t), como mX(t) = E[e tX ], com t 2 R. Assim, mX(t) = 1X i=1 etxiP (X = xi) se X é v.a.d. mX(t) = 1Z �1 etxfX(x)dx se X é v.a.c. Propriedades da Função Geratriz de Momentos 1. mX(0) = E[e0] = E[1] = 1. 2. Se X tem função geratriz de momentos mX(t) e se Y = aX + b, então mY (t) = e btmX(at). 3. Se X tem função geratriz de momentos mX(t), então dk dtk mX(t) ���� t=0 = E[Xk]. ou seja dk dtk mX(0) = mk (o k-ésimo momento ordinário de X). 4. A função geratriz de momentos de ne de forma unívoca a distribuição da variável aleatória, ou seja, dada m(t) existe apenas uma função de distribuição F (x) que a gera. No entanto, se mX(t) = mY (t), então podemos apenas a rmar que as variáveis X e Y têm a mesma distribuição, mas X e Y podem ser diferentes com probabilidade 1. Para ver isto, suponha que X � N (0; 1) e seja Y = �X. Então Y � N (0; 1) e, portanto, mX(t) = mY (t), mas P (X = Y ) = P (X = �X) = P (X = 0) = 0, ou seja P (X 6= Y ) = 1. 47 De nição 35 Seja X � = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório. De ne-se a função geratriz de momentos de X � , mX� (t1; :::; tn), como mX� (t1; :::; tn) = E[exp ft1X1 + :::+ tnXng], com (t1; :::; tn) 2 Rn. Observação 27 (i) mX� (0; :::; 0) = E[e 0] = E[1] = 1. (ii) Se X � tem função geratriz de momentos mX� (t1; :::; tn), então @k1+k2+:::+kn @tk11 @t k2 2 :::@t kn n mX� (t1; t2; :::; tn) ���� t=0 = E[Xk11 X k2 2 :::X kn n ]. Exercício 43 Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos de uma moeda honesta até que ocorra a primeira cara. Ache a função geratriz de momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X). Exercício 44 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por fX(x) = ( 1 5 e� x 5 , se x � 0 0, caso contrário Ache a função geratriz de momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X). Exercício 45 Suponha que X seja uma variável aleatória com função geratriz de momentos dada por mX(t) = e t2+3t, �1 < t <1. Ache a esperança e a variância de X. Exercício 46 Seja Y uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por fY (y) = � ye�y, se y > 0 0, caso contrário Ache a função geratriz de momentos de Y e use-a para calcular E(Y ) e V ar(Y ). 48 Teorema 18 Sejam X1; X2; :::; Xn v.a.s independentes e para i = 1; 2; :::; n, seja mXi(t) a função geratriz de momentos de Xi. Seja Y = X1 +X2 + ::: +Xn, então para todo valor de t tal que mXi(t) existe para i = 1; 2; :::; n, temos mY (t) = nY i=1 mXi(t). Prova. (Em aula.) Exercício 47 Suponha que X e Y sejam independentes e identicamente distribuídas e que a f.g.m. de cada uma seja dada por mX(t) = mY (t) = e3t 1 + 2t , para t > �1=2. Ache a f.g.m. da variável aleatória Z = 3X � Y + 4. Exemplo 31 Suponha um experimento realizado uma única vez tendo probabilidade p de sucesso e q = 1 � p de fracasso. Denote a variável aleatória X = 0 se fra- casso ocorre e X = 1 se sucesso ocorre. Então a variável aleatória X é dita ter distribuição de Bernoulli com parâmetro p, representado por X � Ber(p), e sua função de probabilidade é dada por P (X = x) = px(1� p)1�x, x = 0; 1. Assim se X � Ber(p), então mX(t) = pe t + q, E(X) = p, V ar(X) = pq. Exemplo 32 Sejam n ensaios independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1� p de fracasso. Seja X a variável aleatória que 49 conta o número de sucessos nas n realizações. A variável aleatória X é dita ter distribuição Binomial com parâmetros n e p, denotado por X � B(n; p), e sua função de probabilidade é dada por P (X = x) = � n x � pxqn�x, x = 0; 1; 2; 3; :::; n. (a) Se X � B(n; p), então mX(t) = (pe t + q)n, E(X) = np, V ar(X) = npq. (b) Se Xi � Ber(p), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 + :::+Xn � B(n; p). (c) Se Xi � B(ni; p), para i = 1; 2; :::; k, independentes, então X = X1 + X2 + :::+Xk � B( Pk i=1 ni; p). Exemplo 33 Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1 � p de fracasso. Seja X a variável aleatória que conta o número de realizações até que o primeiro sucesso ocorra. A variável aleatória X é dita ter distribuição Geométrica com parâmetro p, deno- tado por X � Geo(p), e sua função de probabilidade é dada por P (X = x) = qx�1p, x = 1; 2; 3; 4; ::: Assim, se X � Geo(p), então mX(t) = pet 1� qet , para t < � ln q E(X) = 1 p , V ar(X) = q p2 . 50 Exercício 48 As cinco primeiras repetições de um experimento custam R$ 10; 00 cada. Todas as repetições subseqüentes custam R$ 5; 00 cada. Suponha que o experi- mento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repetição é igual a 0; 9, e se as repetições são independentes, qual é custo esperado da operação? Exemplo 34 Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1 � p de fracasso. Seja X a variável aleatória que conta o número de realizações até que o r-ésimo sucesso ocorra. A variável aleatória X é dita ter distribuição Binomial Negativa com parâmetros r e p, denotado por X � BN(r; p), e sua função de probabilidade é dada por P (X = x) = � x� 1 r � 1 � prqx�r, x = r; r + 1; r + 2; r + 3; :::. Para entender o resultado acima, observe que se Xi � Geo(p), para i = 1; 2; :::; r, independentes então X = X1 +X2 + :::+Xr � BN(r; p). Assim, se X � BN(r; p), então mX(t) = � pet 1� qet �r , para t < � ln q E(X) = r p , V ar(X) = rq p2 . Exercício 49 Deseja-se colocar três satélites em órbitas em torno da terra. Em cada tentativa, a probabilidade de um bem sucedido lançamento de satélite é de 0; 8. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que os três satélites entrem em órbita. (a) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 tentativas sejam necessárias? (b) Qual o número esperado de lançamentos até que isso ocorra? 51 Exemplo 35 Seja X uma variável aleatória de nida em f0; 1; 2; 3; :::g tendo função de probabilidade dada por P (X = x) = e���x x! , para x = 0; 1; 2; 3; ::: e � > 0. Então X é dita ter distribuição de Poisson de parâmetro �, X � P(�). (a) Se X � P(�), então mX(t) = e �(et�1), E(X) = �, V ar(X) = �. (b) Se Xi � P(�i), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1+X2+ :::+ Xn � P( Pn i=1 �i). (c) Quando temos agora um processo fXtgt�0 que conta o número de ocorrências no intervalo [0; t], então dizemos que Xt é um processo de Poisson se sua distribuição em [0; t] é P(�t), ou seja, P (Xt = x) = e��t (�t)x x! , para x = 0; 1; 2; 3; ::: e � > 0. Exercício 50 O número de petroleiros que chegam a uma re naria em cada dia ocorre a uma taxa média de 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviadoa outro porto. (a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? (b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Exemplo 36 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição uniforme no inter- valo [a; b], denotado por X � U [a; b] se sua função de densidade de probabilidade é 52 dada por fX(x) = ( 1 b� a , se a � x � b 0, caso contrário. Assim, se X � U [a; b], então mX(t) = ebt � eat t(b� a) . Exemplo 37 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro �, denotado por X � Exp(�), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = � �e��x, x � 0 0, caso contrário (a) Assim se X � Exp(�) então mX(t) = � �� t , para t < � E(X) = 1 � V ar(x) = 1 �2 (b) Se Xt é um processo de Poisson com parâmetro �t e T é a variável aleatória representando o tempo de espera entre as ocorrências do processo Xt, então T � Exp(�). Exercício 51 Suponha que a vida útil de certo tipo de lâmpada tenha distribuição exponencial com parâmetro � = 3, quando a vida é expressa em dias. Uma lâmpada solitária é ligada em uma sala no instante t=0. Um dia depois, você entra na sala e ca ali durante 8 horas, saindo no nal desse período. (a) Qual a probabilidade de que você entre na sala quando já está escura? (b) Qual a probabilidade de você entrar na sala com a lâmpada ainda acesa e sair depois de a lâmpada queimar? 53 Exemplo 38 Diz-se que X � Gama(�; �), se sua f.d.p. é dada por f(x) = �� �(�) x��1 exp [��x] para x > 0, onde �(�) = R1 0 x��1e�xdx, lembrando que �(�) = (�� 1)�(�� 1) de modo que se n 2 N, então �(n) = (n� 1)!. Além disso, temos �(1 2 ) = p �. (a) Assim, se X � Gama(�; �), então mX(t) = � � � � t �� , para t < � E(X) = � � V ar(x) = � �2 (b) Se Xi � Gama(�i; �), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 + :::+Xn � Gama( Pn i=1 �i; �). (c) Se Xi � Exp(�), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 + :::+Xn � Gama(n; �). Exemplo 39 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição Qui-Quadrado com n graus de liberdade (X � �2n) se X � Gama(n2 ; 12). (a) Assim, se X � �2n, então mX(t) = � 1 1� 2t �n 2 , para t < 1 2 E(X) = n V ar(x) = 2n (b) Se Xi � �21, para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1+X2+:::+Xn � �2n. (c) Se X+Y = Z, com X e Y independentes com X � �2n1 e Z � �2n1+n2, então Y � �2n2. 54 Exemplo 40 Diz-se que a variável aleatória Z tem distribuição normal (ou Gaus- siana) padrão com média zero e variância 1, denotado por Z � N (0; 1), se a função de densidade de probabilidade de Z é dada por fZ(z) = 1p 2� e� z2 2 , �1 < z <1 (a) Assim, se Z � N (0; 1), então mZ(t) = e t2 2 E(Z) = 0 V ar(Z) = 1 (b) Se Z � N (0; 1), então Y = Z2 � �21. (c) Se Zi � N (0; 1), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então Y = Z21 + Z22 + :::+ Z2n � �2n. Exemplo 41 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição normal (ou Gaus- siana) com média � e variância �2, denotado por X � N (�; �2), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = 1 � p 2� e� (x��)2 2�2 , �1 < x <1 (a) Se X � N (�; �2), então Z = X � � � � N (0; 1). (b) Assim, se X � N (�; �2), então mX(t) = e �t+ 1 2 �2t2 E(X) = � V ar(X) = �2. (c) Se Xi � N (�i; �2i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 +X2 + :::+Xn � N ( Pn i=1 �i; Pn i=1 � 2 i ). 55 (d) Se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 +X2 + :::+Xn � N (n�; n�2). (e) SeXi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então �Xn = X1+X2+:::+Xnn � N (�; � 2 n ). (f) Se Xi � N (�i; �2i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = a1X1 + a2X2 + :::+ anXn + b � N ( Pn i=1 ai�i + b; Pn i=1 a 2 i� 2 i ). (g) Se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então (n� 1)S 2 �2 � �2n�1, onde S 2 = Pn i=1 � Xi � �Xn �2 n� 1 (a variância amostral). Observe também que E (S2) = �2, daí a correção da variância amostral para a divisão dos desvios- quadráticos por n� 1 ao invés de n. Exemplo 42 A distribuição dos comprimentos dos elos da corrente de bicicleta é normal, com média 2 cm e variância 0; 01 cm2. Para que uma corrente se ajuste à bicicleta, deve ter comprimento total entre 58 e 61 cm. Qual é a probabilidade de uma corrente com 30 elos não se ajustar à bicicleta? Exercício 52 As durações de gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. (a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade de que a duração de sua gravidez seja inferior a 260 dias. (b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta es- pecial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos de duração de suas gravidezes terem média inferior a 260 dias (admitindo-se que a dieta não produza efeito). (c) Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de preocupação para os médicos de pré-natal? Justi que adequadamente. 56 Exercício 53 O peso de uma determinada fruta é uma variável aleatória com dis- tribuição normal com média de 200 gramas e desvio-padrão de 50 gramas. Determine a probabilidade de um lote contendo 100 unidades dessa fruta pesar mais que 21 kg. Exercício 54 Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um peso total de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos são normalmente distribuídos com média 165 libras e desvio-padrão de 10 libras, qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10 homens escolhidos aleatoriamente? Exemplo 43 Um vetor X = (X1; X2; :::; Xn)T é dito ter distribuição normal multi- variada com média � � = (�1; �2; :::; �n) T2Rn e matriz de covariância � = [�ij] onde �ij = Cov(Xi; Xj) com � matriz simétrica n � n positiva de nida e não-singular, se a função de densidade de X é dada por fX(x) = 1 (2�) n 2 j�j 12 exp ( �1 2 � x�� � �T ��1 � x�� � �) , para x 2Rn. (a) Se X � N (� � ;�), então mX(t) = exp � � � T t+ 1 2 tT�t � . (b) Quando n = 2, então X = (X1; X2)T é dito ter distribuição normal bivariada e sua densidade é dada por fX(x1; x2) = 1 2��1�2 p 1� �2 : : exp ( � 1 2 (1� �2) "� x1 � �1 �1 �2 � 2� � x1 � �1 �1 �� x2 � �2 �2 � + � x2 � �2 �2 �2#) onde �21 = V ar(X1) > 0, � 2 2 = V ar(X2) > 0, �1 < � < 1 com � = �(X1; X2) o coe ciente de correlação entre X1 e X2, �1 = E(X1) 2 R e �2 = E(X2) 2 R. Assim mX(t1; t2) = E � et1X1+t2X2 � = exp ( �1t1 + �2t2+ 1 2 2X i=1 2X j=1 titj�ij ) 57 onde � = [�ij] onde �ij = Cov(Xi; Xj). (b.1) A f.g.m de X1 é dada por mX1(t1) = mX(t1; 0) = exp � �1t1+ 1 2 t21�11 � = exp � �1t1+ 1 2 t21� 2 1 � Logo a marginal de X1 é normal com média �1 e variância � 2 1. (b.2) A f.g.m de X2 é dada por mX2(t2) = mX(0; t2) = exp � �2t2+ 1 2 t22�22 � = exp � �2t2+ 1 2 t22� 2 2 � Logo a marginal de X2 é normal com média �2 e variância � 2 2. Exemplo 44 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição Beta com parâmet- ros � e � (� > 0 e � > 0), denotado por X � Beta(�; �),se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = 8<: �(�+ �) �(�)�(�) x��1(1� x)��1, 0 < x < 1 0, c.c. (a) Assim, R 1 0 x��1(1� x)��1dx = �(�)�(�) �(�+ �) . (b) Se X � Beta(�; �), então E(X) = � �+ � V ar(X) = �� (�+ �)2 (�+ � + 1) . (A função geratriz de momentos não é útil nesse caso.) (c) Se X � Beta(1; 1), então X � U (0; 1). 58 Exemplo 45 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição t-Student com n graus de liberdade, denotado por X � tn � Student,se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = �(n+1 2 ) (n�)1=2 �(n 2 ) (1 + x2 n )�(n+1)=2, para x 2 R (a) Se X � t1 � Student, então X é dita ter distribuição de Cauchy-Padrão. Assim se X � Cauchy � Padr~ao, então fX(x) = 1 �(1 + x2) , para x 2 R Observação: Já vimos que se X � Cauchy�Padr~ao, então X não possui média. Logo nãoexiste esperança matemática para a distribuição t-Student com 1 grau de liberdade. (b) Se Z � N (0; 1) e W � �2n são variáveis aleatórias independentes, então X = Z� W n �1=2 � tn � Student. (c) Se X � tn � Student, com n > 1, então E h jXjk i < 1 para k < n e E h jXjk i = 1 para k � n. Em outras palavras, os primeiros n � 1 momentos existem, mas os momentos de ordem superior a n � 1 não existem. Com isso, X não possui função geratriz de momentos. Além disso, para n > 1, E [X] = 0 V ar [X] = n n� 2 . (d) Se Xi � N (�; �2), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então vimos que �Xn � N (�; � 2 n ) e (n� 1)S2 �2 � �2n�1, onde �Xn = X1+X2+:::+Xnn e S2 = Pn i=1 � Xi � �Xn �2 n� 1 . Pode-se mostrar que �Xn e S2 são independentes. Com isso, tendo em mente que �Xn � � �p n � N (0; 1) e (n� 1)S 2 �2 � �2n�1 59 temos T = �Xn�� �p n0B@ (n� 1)S 2 �2 n� 1 1CA 1=2 = �Xn � � �p n : � S = �Xn � � Sp n Assim T = �Xn � � Sp n � tn�1 � Student. Exercício 55 Seja X1; X2; :::; Xn uma amostra aleatória retirada de uma população com distribuição normal com média � e variância �2. Então: (a) Se � é desconhecida e �2 é conhecida, o intervalo de con ança para a média populacional com 1� � de probabilidade (� é dito o nível de con ança) é dado por P � �Xn � �p n z�=2 � � � �Xn + �p n z�=2 � = 1� �. onde z�=2 é o valor encontrado na tabela da normal padrão tal que 1��=2 = P (Z � z�=2). (b) Se � é desconhecida e �2 é desconhecida, o intervalo de con ança para a média populacional com 1 � � de probabilidade (� é dito o nível de con ança) é dado por P � �Xn � Sp n tn�1;�=2 � � � �Xn + Sp n tn�1;�=2 � = 1� �. onde tn�1;�=2 é o valor encontrado na tabela da t-Student com n�1 graus de liberdade tal que 1� �=2 = P (T � tn�1;�=2). (c) O intervalo de con ança para �2 é dado por P (n� 1)S2 �2n�1;1��=2 � �2 � (n� 1)S 2 �2n�1;�=2 ! = 1� �. onde �2n�1;�=2 é o valor encontrado na tabela da Qui-Quadrado com n � 1 graus de liberdade tal que �=2 = P (� � �2n�1;�=2). 60 Exempli cação do resultado acima: Suponha que o peso de um determi- nado produto produzido por uma fábrica tenha distribuição normal com média � e variância �2 ambas desconhecidas. Uma amostra aleatória de tamanho 10 dessa produção é retirada tendo sido obtidos os seguintes resultados: P10 i=1 xi = 159 eP10 i=1 x 2 i = 2531. Assim, temos �xn = 15; 9 e s = 0; 57. Desejamos construir um intervalo de con ança para � e �2 com 95% de con abili- dade. Então para � temos P � �x10 � Sp 10 t9;0;25 � � � �x10 + Sp 10 t9;0;975 � = 0; 95 P � 15; 9� 0; 57p 10 (2; 262) � � � 15; 9 + 0; 57p 10 (2; 262) � = 0; 95 Assim: P (15; 49 � � � 16; 31) = 0; 95. Agora para �2 temos P � 9s2 �29;0;975 � �2 � 9s 2 �29;0;025 � = 0; 95 Os valores tabelados são: �29;0;975 = 19; 0 e � 2 9;0;025 = 2; 7. Com isso P 9 (0; 57)2 19 � �2 � 9 (0; 57) 2 2; 7 ! = 0; 95 ou seja P � 0; 15 � �2 � 1; 07� = 0; 95. Exemplo 46 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição F-Snedecor com m e n graus de liberdade, denotado por X � F (m;n), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = 8<: � � 1 2 (m+ n) � �(m 2 )�(n 2 ) mm=2nn=2 x(m=2)�1 (mx+ n)(m+n)=2 , para x > 0 0, c.c. 61 (a) Se U � �2m e V � �2n são variáveis independentes, então X = U=m V=n � F (m;n). Com isso m é o grau de liberdade do numerador e n o do denominador. (b) Se X � F (m;n), então Y = 1 X � F (n;m). (c) Se X � tn � Student, então Y = X2 � F (1; n). (Basta ter em mente que X = Z� W n �1=2 onde Z � N (0; 1) e W � �2n independentes e que X2 = Z21W n com Z2 � �21 e W � �2n também independentes.) (d) Se X � F (m;n), então E [X] = n n� 2 , se n > 2. V ar [X] = 2n2(m+ n� 2) m(n� 2)2(n� 4) , se n > 4. (e) Se X1; X2; :::; Xn1 uma amostra aleatória retirada de uma população com dis- tribuição normal com média �1 e variância � 2 1 ambas desconhecidas e se Y1; Y2; :::; Yn2 uma amostra aleatória retirada de uma outra população com distribuição normal com média �2 e variância � 2 2 também ambas desconhecidas, e se as duas amostras são independentes então (n1 � 1)S21 �21 � �2n1�1 e (n2 � 1)S22 �22 � �2n2�1 onde S21 = Pn1 i=1 � Xi � �Xn1 �2 n1 � 1 e S 2 2 = Pn2 i=1 � Yi � �Yn2 �2 n2 � 1 independentes. Assim (n1 � 1)S21 �21 n1�1 (n2 � 1)S22 �22 n2�1 = S21 S22 : �22 �21 � F (n1 � 1; n2 � 1) Exercício 56 Se X1; X2; :::; Xn1 uma amostra aleatória retirada de uma população com distribuição normal com média �1 e variância � 2 1 ambas desconhecidas e se 62 Y1; Y2; :::; Yn2 uma amostra aleatória retirada de uma outra população com distribuição normal com média �2 e variância � 2 2 também ambas desconhecidas, e se as duas amostras são independentes então o intervalo de con ança para a razão �22 �21 entre as variâncias populacionais com 1� � de probabilidade é dada por P � S22 S21 F(n1�1;n2�1);�=2 � �22 �21 � S 2 2 S21 F(n1�1;n2�1);1��=2 � = 1� �. Exempli cação do resultado acima: Suponha que tenhamos retirado duas amostras de duas populações onde n1 = 5, P5 i=1 (xi � �x5)2 = 8; 24, n2 = 3,P3 i=1 (yi � �y5)2 = 3; 42, Assim S21 = 8;244 = 2; 06 e S22 = 3;422 = 1; 71. Os valores tabelados ao nível de signi cância de 10% (� = 0; 1) é dado por F(4;2);0;95 = 19; 25, F(4;2);0;05 = 1 F(2;4);0;95 = 1 6; 94 = 0; 1441 tendo em mente que F(n1�1;n2�1);�=2 = 1 F(n2�1;n1�1);1��=2 . Assim P � 1; 71 2; 06 (0; 1441) � � 2 2 �21 � 1; 71 2; 06 (19; 25) � = 0; 90 P � 0; 1196 � � 2 2 �21 � 15; 98 � = 0; 90. Como 1 pertence ao intervalo de con ança para a razão entre as variâncias, não há evidência de que as populações tenham variâncias diferentes com 90% de con abili- dade. 3.6 Lista Questão 1) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com densidade Gama de parâmetros (�; �) e (�; �), respectivamente. Mostre que: 63 (a) W = X X+Y tem densidade Beta de parâmetros (�; �). (b) T = X + Y tem densidade Gama de parâmetros (�+ �; �). (c) W e T são independentes. Questão 2) Sendo X � N(0; 1) e Y � �2n independentes, mostre que T = Xq Y n tem distribuição t-Student com n graus de liberdade. Questão 3) Sendo X � �2m e Y � �2n independentes. (a) Mostre que W = (X=m) (Y=n) tem distribuição F-Snedecor com (m;n) graus de liberdade. (b) Ache a distribuição de 1 W . (c) Mostre que V = m n W 1+m n W tem distribuição Beta. Questão 4) Considere X1; X2; :::; Xn variáveis aleatórias independentes com densidade Exp(�i), i = 1; 2; :::; n. Mostre que PfXk = min(X1; X2; :::; Xn)g = �kPn i=1 �i . Questão 5) Certo supermercado tem duas entradas, A e B. Fregueses entram pela entrada A conforme um processo de Poisson com taxa média de 15 fregueses por minuto. Pela entrada B, entram fregueses conforme outro processo de Poisson, independente do primeiro, a uma taxa média de 10 por minuto. (a) Seja Xt o número total de fregueses que entram no supermercado até o instante t (inclusive), para t � 0. Obtenha a distribuição de Xt. (b) Seja T1 o tempo em que o primeiro freguês entra pela entrada A e V1 o tempo em que o primeiro freguês entra pela entrada B. Ache a distribuição de min (T1; V1), o mínimo dos dois tempos. (c) Determine a probabilidade de que o primeiro freguês a entrar no mercado entre pela entrada A. 64 Capítulo 4 Distribuição e Esperança Condicionais Seja X uma variável aleatória em um espaço de probabilidade ( ;A; P ), e seja A um evento aleatório tal que P (A) > 0. De nimos a distribuição condicional de X dado o evento A por P (X 2 B j A) = P ([X 2 B] \ A) P (A) para B 2 B, a �-álgebra dos borelianos da reta. Os axiomas abaixo se veri cam Axioma 1) P (X 2 B j A) � 0. Axioma 2) P (X 2 R j A) = 1. Axioma 3) Se B1; B2; ::: são borelianos disjuntos dois a dois, então P (X 2 1[ i=1 Bi j A) = 1X i=1 P (X 2 Bi j A). A função de distribuição associada à distribuição condicional é chamada função de distribuição condicional de X dado A: FX(x j A) = P (X � x j A) = P ([X � x] \ A) P (A) , x 2 R. A esperança condicional de X dado A é a esperança
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