Apostila de Matrizes (8 páginas, 40 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES 
 
SUMÁRIO 
1 . INTRODUÇÃO ............................................. 1 
2 . DEFINIÇÃO ................................................ 1 
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ ....... 2 
4 . MATRIZES ESPECIAIS ................................. 2 
4.1 MATRIZ QUADRADA ................................... 2 
4.2 MATRIZ IDENTIDADE ................................. 2 
4.3 MATRIZ NULA ............................................ 2 
4.4 MATRIZ TRANSPOSTA................................. 2 
5 . IGUALDADE DE MATRIZES ........................... 3 
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES ................................ 3 
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES .......................... 3 
8 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ ..... 3 
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ..................... 4 
10 . MATRIZ INVERSA ...................................... 4 
Referências ..................................................... 8 
 
1 . INTRODUÇÃO 
Muitas vezes, para designar com clareza 
certas situações é necessário um grupo ordenado 
de números que se apresentam dispostos em li-
nhas e colunas, formando o que se chama matriz. 
Observe por exemplo a seguinte situação: 
As vendas de uma editora em relação aos 
livros de Matemática, Física e Química, no primeiro 
trimestre de um ano, podem ser expressas pela 
tabela a seguir. 
 Janeiro Fevereiro Março 
Matemática 20000 32000 45000 
Física 15000 18000 25000 
Química 16000 17000 23000 
 
Se quisermos saber: 
 Quantos livros de Matemática foram vendidos 
em Fevereiro, basta olharmos o número que está 
na primeira linha e na segunda coluna; 
 Quantos livros de Física foram vendidos em Ja-
neiro, basta olharmos o número que está na se-
gunda linha e na primeira coluna; 
 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 
meses, basta somarmos os números da tercei-
ra linha. E assim por diante. 
Uma tabela desse tipo, em que os números 
estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, de-
nomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e 
podemos representá-la por: 
 








230001700016000
250001800015000
450003200020000
 ou 








230001700016000
250001800015000
450003200020000
 
 
2 . DEFINIÇÃO 
 
 
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n) 
qualquer tabela retangular formada por m li-
nhas e n colunas, sendo m e n números inteiro 
maior que zero. 
 
Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou 
de ordem m × n. 
 
Exemplo: A2 × 3 = 





015 
243
 é uma matriz de or-
dem dois por três. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1) Os estudantes de um colégio responderam a 
seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou 
Português?” Cada estudante escolheu uma única 
matéria. As respostas foram computadas e alguns 
dados colocados no quadro: 
 
 Sexo 
Matéria Masculino Feminino 
Matemática 137 98 
Português 105 117 
 
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática? 
 
b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-
deram à pergunta? R: a) 235 alunos; b) 215 alunos 
 
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à 
pergunta? R: 457 alunos 
 
2) Observe a matriz seguinte e responda: 
 














258114
212617
9731
51010
 
 
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4 
 
b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5 
 
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8 
 
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª 
coluna? R: 3 
 
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5 
 
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11 
 
g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª 
coluna? R: 20 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por 
estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em 
horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos 
gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feira), como no fim de 
semana (sábado e domingo). A seguinte tabela 
ilustra os resultados da pesquisa. R: (e) 
 
2 
 
 
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de 
seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na 
semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas 
atividades escolares? R: (e) 
 
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 
 
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MA-
TRIZ 
 
O elemento genérico de uma matriz A será 
indicado por aij em que i representa a linha e j a 
coluna na qual o elemento se encontra. Uma ma-
triz A, do tipo m × n será escrita, genericamente, 
assim: 
A = 
















mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





 
 
ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se: ma-
triz A, dos elementos aij, do tipo m × n. 
 
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que aij 
= i + j. 
Resolução: 
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generica-
mente, 








2221
1211
aa
aa
 
 
Resta descobrir quem são esses termos a11, 
a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j. Então, 
usando os cálculos auxiliares: 
a11 = 1 + 1 = 2 
a12 = 1 + 2 = 3 
a21 = 2 + 1 = 3 
a22 = 2 + 2 = 4 
 Logo a matriz 






2221
1211
aa
aa
 é igual a 





43
32
. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
4) Escreva as matrizes: 
 
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = ( ) 
 
 
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R = (
 
 
 
) 
 
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j. R = ( ) 
 
d) C = (cij)3 × 3 tal que 





j i para 1 c
j i para 0 c
 
 
ij
ij . R = (
 
 
 
) 
 
e) D = (dij)2 × 4, com dij = j - i R = (
 
 
) 
 
4 . MATRIZES ESPECIAIS 
4.1 MATRIZ QUADRADA 
 
 
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao 
número de colunas. 
 
 
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois por 
dois ou simplesmente ordem 2. 
 
A2 × 2 = 





15
32
 ou simplesmente, A2 = 





15
32
 
 
Observação: Numa matriz quadrada A de ordem 
n, os elementos aij tais que i = j formam a diago-
nal principal da matriz, e os elementos aij tais 
que i + j = n + 1 formam a diagonal secun-
dária. 












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
diagonal principal
diagonal secundária
 
 
4.2 MATRIZ IDENTIDADE 
 É uma matriz quadrada de ordem n em que 
todos os elemento da diagonal principal são iguais 
a 1 e os outros elementos são iguais a zero, seu 
símbolo é igual a In. 
 
Exemplos: I2 = 





10
01
, I3 = 










100
010
001
. 
 
4.3 MATRIZ NULA 
 É qualquer matriz que possui todos os ele-
mentos iguais a zero. Simboliza-se a matriz nula 
de ordem m × n por 0m × n e a de ordem n por 0n. 
 
Exemplos: 03 × 2 = 










00
00
00
, 02 = 





00
00
, 
03 = 










000
000
000
, 01 × 4 =  0000 
 
4.4 MATRIZ TRANSPOSTA 
 Seja A uma matriz de ordem m × n deno-
mina-se transposta de A a matriz de ordem n × 
m obtida, isto é, trocando-se ordenadamente as 
linhas pelas colunas. 
 Indica-se transposta de A por At. 
 
Exemplo: Seja a matriz A = 
2 307
53
21











a sua trans-
posta é At = 
3 2052
731







 
 
 
 
3 
5 . IGUALDADE DE MATRIZES 
 
 
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente 
se, tem a mesma ordem e seus elementos cor-
respondentes (que estão na mesma linha e na 
mesma coluna) são iguais. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
5) Calcule os termos desconhecidos: 
 
a) 





dc
ba
 = 





85
36
 R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8 
 
b) 





2y5
3x
 = 





85
36
 R: x = 6 e y = 4 
 
c) 





qp
nm
 = I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1 
 
d) 





1 n0
0m
= 





50
03
 R: m = 3 e n = 4 
 
e) 





 y x0
0y
= I2 R: x = 0 e y = 1 
 
f) 




 
b - ay
by x
 = 





81
35
 R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3 
 
g) 




 
d - 2a2b
3db a
 = 





176
95
 R: a = 2; b = 3 e d = 3 
 
h) 







 
1 - y0
6 5x - xz 2 = I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1 
 
6)Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 
2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t para que 
se tenha 







z ty 2x
z ty x
 = A. R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 
(Veja a resolução dessa questão ) 
 
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m × 
n denomina-se soma da matriz A com a matriz 
B, que representamos por A + B, a matriz C do 
tipo m × n na qual cada elemento é obtido adi-
cionando os elementos correspondentes de A e 
B. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
7) Dadas as matrizes A = 





10
42
, B = 





07
14
 e 
C = 





2-5
03
, calcule: 
 
a) A + B = R: ( 
 
) c) B + C = R: ( 
 
) 
 
b) A + C = R: ( 
 
) d) A + B + C = R: ( 
 
) 
 
8) Determine x, y, z e t, sabendo que: 
 
a) 










z
y
x
 + 










5
1
3
 = 










5
4
10
 R: x = 7; y = 10 e z = 0 
 
b) 










z
y
x
 + 










4
z
y
 = 










9
15
20
 R: x = 10; y = 10 e z = 5 
 
c) 





2z3
yx
 + 





zt
3x
 = 





184
110
 R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6 
 
d) 





t3x
yx
 + 





2y-
zy
 = 





014
76
 R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6 
 
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n, de-
nomina-se diferença entre A e B (representada 
por A – B) a soma da matriz oposta de B. 
 
A – B = A + (-B) 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
9) Calcule: 
 
a) 




















3
6
3
 - 
2
7
8
 = R: (
 
 
 
) 
 
b) 





41
32
 - 





51
20
 = R: ( 
 
) 
 
c) 





1036
421
 - 





156
210
 = R: ( 
 
) 
 
10) Dadas as matrizes A = 










3
6
2
, B = 










2
6
1
 e 
C = 










2-
4
0
, calcule: R: a) (
 
 
 
); b) (
 
 
 
) e c) (
 
 
 
) 
 
a) A + B – C b) A B + C c) A B – C 
 
11) Determine x, y e z sabendo que: 
 
a) 










z
y
x
 - 










8
5
3
 = 












6
4
10
 R: x = 13; y = 1 e z = 2 
 
b) 










z
y
x
 - 










0
z
y
 = 










8
2
15
 R: x = 25; y = 10 e z = 8 
 
c) 





2z1
6x
 - 





z3-
4x-
 = 





14
y12
 R: x = 6; y = 2 e z = 1 
 
d) 








2
2
zy
1x - 





1-5-
3-2
 = 





108
41-
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou 
z = 3 
8 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR 
MATRIZ 
 
 
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e 
 é um número real, então A é uma matriz m 
× n cujos elementos são aij. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
12) Sendo A = 





314
102
 e B = 





605
21-0
, de-
termine: 
 
a) 5A = R: ( 
 
) 
http://professorgilbertosantos-leituras.blogspot.com.br/2014/07/resolucao-da-questao-6-da-apostila-de.html
4 
 
b) -2B = R: ( 
 
) 
 
c) A
2
1
= R: ( 
 
) 
 
d) 2A + B = R: ( 
 
) 
 
e) 5A – 02 x 3 = R: ( ) 
 
13) Se A = 





02
31
, B = 





2-1
31-
 e C = 





34
21
, 
calcule 3A + 2B - 4C. R: ( 
 
) 
 
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma 
matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da 
matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do 
tipo m x p tal que o elemento cij é calculado 
multiplicando-se ordenadamente os elementos 
da linha i, da matriz A, pelos elementos da 
coluna j, da matriz B, e somando-se os produ-
tos obtidos. 
Para dizer que a matriz C é o produto de A por 
B, vamos indicá-la por AB. 
 
 
Observe que só definimos o produto AB de 
duas matrizes quando o número de colunas de A 
for igual ao número de linhas de B; além disso, 
notamos que o produto AB possui o número de 
linhas de A e o número de colunas de B. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
14) Determine os produtos: 
 
a) 











31
42
01
56
 = R: ( 
 
) 
 
b) 











20
47
 
12
45
 = R: ( 
 
) 
 
c) 





02
34
.I2 = R: ( ) 
 
d) 











3-41-2
6150
 
23
15
 = R: [ 
 
 
 
 
 ] 
 
e) 




















23
42
05
204
152
631
 = R: [
 
 
 
] 
 
f) 















21-
53
 
34
12-
61
= R: (
 
 
 
) 
 
15) O quadro abaixo registra os resultados obti-
dos por quatro times em um torneio em que todos 
se enfrentam uma vez: 
 
 Vitórias Empates Derrotas 
América 0 1 2 
Botafogo 2 1 0 
Nacional 0 2 1 
Comercial 1 2 0 
 
a) Represente a matriz A = (aij) correspondente. 
 
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3 
 
c) O que representa o elemento a23 da matriz A? 
R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo 
 
d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitó-
ria do Comercial? R: a41 
 
e) Considerando que um time ganha três pontos 
na vitória e um ponto no empate, calcule, fazendo 
uma multiplicação de matrizes, quantos pontos fez 
cada time. R: (
 
 
 
 
); América: 1pt, Bota Fogo: 7 pts, Nacional: 2 pts e Comercial: 5 pts 
f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo 
campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América 4º lugar 
 
16) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas para 
seus três modelos de caminhões, com a seguinte 
especificação: 
 
Componentes/modelos A B C 
Eixos 2 3 4 
Rodas 4 6 8 
 
Para os primeiros meses do ano, a produção da 
fábrica deverá seguir a tabela abaixo: 
 
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro 
A 30 20 
B 25 18 
C 20 15 
 
Usando a multiplicação de matrizes, responda: 
nessas condições, quantos eixos e quantas rodas 
são necessários em cada um dos meses para que 
a montadora atinja a produção planejada? R: 215 eixos e 
430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro. 
 
10 . MATRIZ INVERSA 
 
 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se 
X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, 
então X é denominada matriz inversa de A e 
é indicada por A-1. 
 
 
Quando existe a matriz inversa de A, dize-
mos que A é uma matriz inversível ou não-
singular. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma 
das seguintes matrizes: 
 
a) A = 





20
31
 R: ( 
 
) c) A = 





54
32
 R: ( 
 
) 
 
 
b) A = 





42
85
 R: ( 
 
) 
(Veja a resolução ) 
d) A = 





31
21
 R: ( 
 
) 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
18) Um técnico de basquetebol descreveu o de-
sempenho dos titulares de sua equipe em sete 
jogos através da matriz: 
 
















18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
 
 
Cada elemento aij dessa matriz é um número de 
pontos marcados pelo jogador de número i no jo-
go j. 
 
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 
no jogo 5? R: 14 
http://professorgilbertosantos-leituras.blogspot.com.br/2014/07/resolucao-da-17-iten-b-da-apostila-de.html
5 
 
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90 
 
c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2 
em todos os jogos? R: 128 
 
19) Obtenha , , de modo que a matriz: 
 
A = 









 
8 6x - x0
06 5x x
2
 2
 
 
Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4} 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz qua-
drada de ordem 2 tal que aij = 






j i para 1 i
j i para2
 
 
2
j i
. 
Nessas condições: R: (c) 
 
(a) A = 





58
42
 (c) A = 





55
82
 (e) n.d.a. 
 
(b) A = 




65
82
 (d) A = 





52
82
 
 
21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) 
estão assim definidas: R: (d) 
 










j i se 0 a
j i se 1 a
ij
ij 










4 j i se 0 b
4 j i se 1 b
ij
ij 
 
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é: 
 
(a) 










100
010
001
 (c) 










101
010
101
 (e) 










010
110
011
 
 
(b) 










001
010
100
 (d) 










101
020
101
 
 
22)(Enem-2012) Um aluno registrou as notas 
bimestrais de algumas de suas disciplinas numa 
tabela. Ele observou que as entradas numéricas da 
tabela formavam uma matriz 4 x 4, e que poderia 
calcular as médias anuais dessas disciplinas usan-
do produto de matrizes. Todas as provas possuíam 
o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é 
mostrada a seguir. 
 
 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz 
obtida a partir da tabela por: R: (e) 
 
(a) (b) (c) (d) (e) 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
 
 
 
 
1 1 1 1
4 4 4 4
 
 
 
 
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
1
4
1
4
1
4
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas médias 
bimestrais de matemática, português, ciências e 
estudos sociais em uma tabela com quatro linhas 
e quatro colunas, formando uma matriz, como 
mostra a figura: R: (e) 
 
 1º b 2º b 3º b 4º b 
Matemática 5,0 4,5 6,2 5,9 
Português 8,4 6,5 7,1 6,6 
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6 
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2 
 
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o 
mesmo peso, isto é, para calcular a média anual 
do aluno em cada matéria basta fazer a média 
aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar 
uma nova matriz cujos elementos representem as 
médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima 
apresentada, bastará multiplicar essa matriz por: 
 
(a) (b) (c) (d) (e) 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
 
 
 
 
1 1 1 1
4 4 4 4
 
 
 
 
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
1
4
1
4
1
4
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
24)(UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo 
das porções de arroz, carne e salada usados num 
restaurante. A matriz P fornece o número de por-
ções de arroz, carne e salada usados na composi-
ção dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. 
salada
carne
arroz
 
2
3
1
 C










 
3P
2P
1P
 prato
 prato
 prato
 
022
121
112
 P
salada carne arroz 











 
 
A matriz que fornece o custo de produção, em 
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a) 
 
(a) 










8
9
7
 (c) 










4
11
9
 (e) 










4
2
2
 
 
(b) 










4
4
4
 (d) 










8
6
2
 
 
 
25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes 













00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e 











402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModelo\Trimestre
B estão repre-
sentados os preços unitário das motonetas em 
função do modelo e a quantidade vendida no 1º e 
2º trimestres de 2006 por uma revendedora de 
motonetas, respectivamente. Com base nesses 
dados, podemos afirmar que a receita obtida por 
6 
essa revendedora no 1º trimestre de 2006 foi 
de: R: (b) 
 
(a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00 
 
(b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00 
 
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a 
transmissão nervosa, coagulação do sangue e con-
tração muscular; atua também na respiração celu-
lar, além de garantir uma boa formação e manu-
tenção de ossos e dentes. A tabela 1 abaixo mos-
tra que a ingestão diária recomendada de cálcio 
por pessoa varia com a idade. 
 
 
 
Foi por essa importância que o cálcio tem para 
o corpo humano que a diretora de uma escola 
resolveu calcular a quantidade de cálcio que teria 
de usar nas refeições diárias dos seus alunos para 
suprir a essa necessidade. A tabela 2 abaixo 
mostra a quantidade de alunos por idade existente 
nessa escola. 
 
 
 
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria 
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e) 
 
(a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000 
 
(b) 294.000 (d) 310.000 
 
27)(UEPA-2008) Uma campanha foi deflagrada 
para angariar alimentos não perecíveis com o ob-
jetivo de amenizar problemas gerados em uma 
região assolada pelas secas. Os alimentos doados 
foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 
1kg, totalizando 1.436kg desses alimentos. Sa-
be-se que a terça parte do número de sacos de 
feijão, somados aos 
11
2
 do número de sacos de 
açúcar, dá um total de 292kg e que há 144kg de 
açúcar a mais que de feijão. Se X é a quantidade 
de sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de 
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a re-
presentação matricial do sistema formado, toman-
do por base esses dados, é: R: (a) 
 
(a) 










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










144
9636
1436
 
(b) 










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










144
1606
1436
 
(c) 










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










144
1436
9636
 
(d) 










11-0
6110
11-1
.










Z
Y
X
=










144
1436
9636
 
(e)
 









1-10
6110
111
.










Z
Y
X
=










144
1436
9636
 
 
28)(UEPA-2006) Para a confecção de um car-
taz, uma gráfica dispõe das cores: preto, amarelo, 
vermelho e azul, cujas doses têm preços unitários, 
em reais, representado pela matriz A abaixo. 
Atendendo à solicitação do cliente, a gráfica apre-
sentou um orçamento com as possíveis combina-
ções de cores, cujas quantidades de doses utiliza-
das em cada cartaz estão representadas pela ma-
triz B abaixo. Nessas condições, o cartaz de menor 
custo terá preço de: R: (d) 
Dados: 
 
 
 
 
 
(a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00 
 
(b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00 
 
29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio comer-
cializam três tipos de fruta com períodos de safra 
parecidos: manga, abacate e cupuaçu. No período 
da safra os três vendem o quilo de cada uma des-
sas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00 e, na 
entressafra, por R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 6,00. 
Sobre a comercialização dessas frutas, considere 
que R: (c) 
A = 





642
321
, matriz que representa o preço das 
frutas na safra e na entressafra; 
B = 










51510
102015
152520
, matriz que representa uma 
quantidade (Kg) comercializada dessas frutas; 
C = 








zwy
vut
, matriz que representa o produto 
A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas representam o 
valor arrecadado, respectivamente, por Pedro, 
João e Antônio, com a venda dessa quantidade de 
frutas. 
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto 
afirmar que 
 
7 
(a) Na safra, com a venda de 20 kg de manga, 
25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pedro arre-
cadou t = R$ 85,00. 
(b) Na entressafra, com a venda de 10 kg de 
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, An-
tônio arrecadou z = R$ 110,00. 
(c) Na safra, com a venda de 25 kg de manga, 
20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u = 
R$110,00. 
(d) Na entressafra, com a venda de 20 kg de 
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Jo-
ão arrecadou w = R$ 170,00 
(e) Na entressafra, com a venda de 15 kg de 
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu, 
Pedro arrecadando y = R$ 170,00. 
 
30)(IFPA-2011) Considere três dias da semana, 
D1, D2 e D3, e três medidas de temperaturas fei-tas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a se-
guir descreve a medida de temperatura verificada 
nesses três dias da semana. Cada elemento aij da 
matriz indica a quantidade de temperatura em 
graus Celsius Ti em cada dia Dj , sendo i {1, 2, 
3} e j {1, 2, 3}. 
 
Analisando a matriz, não podemos afirmar que 
(a) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C. 
(b) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C. 
(c) a média das temperaturas, no dia D3, é de 
30°C. 
(d) a soma das temperaturas Ti verificadas nos 
dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C. 
(e) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia 
D1, é 54°C. R: (d) 
 
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS 
DE VESTIBULARES 
31)(UFES) Os valores de x e y que satisfazem a 
equação matricial: R: (b) 
 






2x4
2-x
 + 





y-1
73y
 = 





15
54
 são: 
 
(a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1 
 
(b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2 
 
32)(FGV-SP) Sendo A = 








0
2
1
20
, obtenha a ma-
triz A2 + A3. 
 
33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que sa-
tisfazem o sistema matricial 





1-2
21-






y
x
 = 





 2
4
 
são tais que seu produto é igual a: R: (c) 
 
(a) – 2 (b) – 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 
 
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e 
B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 
4j e bij = -4i – 3j. Se C = A + B, então C
2 é igual 
a: 
(a) 





10
01
 (c) 





10
01
 (e) 





1-0
0-1
 
 
(b) 





01
10
 (d) 





01-
-10
 R: (e) 
 
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2, onde 
aij = 





j i se j - i
j i se j i
. Se At é a matriz transposta de A, 
então a matriz B = A2 – At é igual a: 
 
(a) 





147
10-4
 (c) 




 
117
71
 (e) 




 
162
82
 
 
(b) 







171
33
 (d) 





121-
02
 R: (c) 
 
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE 
VESTIBULARES 
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipula-
ção, para fazer dois tipos de medicamentos (I e 
II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e 
C, expressas na tabela abaixo, em gramas: 
 
 A B C 
I 10 30 60 
II 20 50 30 
 
As substâncias podem ser compradas em dois for-
necedores: F1 e F2. O custo por grama das subs-
tâncias em cada fornecedor está expresso em re-
ais na tabela a seguir: 
 
 F1 F2 
A 4 2 
B 5 4 
C 3 5 
 
Após construir a matriz cujos elementos indicam o 
preço de custo dos medicamentos pelo fornecedor, 
calcule os valores das despesas se a compra for 
toda feita no mesmo fornecedor. Considerando 
que o pagamento é feito à vista, determine como 
o farmacêutico pode combinar a compra das três 
substâncias de modo a gastar o mínimo possível. 
 
37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão inter-
ligados por vôos diretos e/ou com escalas. 
A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli-
gação dos mesmos, sendo que: 
 aij = 1 significa que há vôo direto (sem escala) 
do aeroporto i para o aeroporto j; 
 aij = 0 significa que não há vôo direto do aero-
porto i para o aeroporto j. 
A diagonal principal de A é nula, significando que 
não há vôo direto de um aeroporto para ele mes-
mo. 
A = 










010
101
110
 
 
Seja A2 = A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que há 
vôo do aeroporto i para o aeroporto j com uma 
8 
escala. Com base nessas informações, julgue os 
itens. 
 
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aeroporto 
3, mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1. 
 
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com 
uma escala. 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
38) Dois alunos A e B, apresentaram a seguinte 
pontuação em uma prova de português e em outra 
de matemática: 
 Português Matemática 
aluno A 4 6 
aluno B 9 3 
 
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da 
prova de matemática é x, obtenha, através de 
produto de matrizes, a matriz que fornece a pon-
tuação total dos alunos A e B. 
 
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B 
apresentam mesma pontuação final? 
 
39) Um fast-food de sanduíches naturais vende 
dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os in-
gredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas se-
guintes quantidades (em gramas) por sanduíches: 
 
 Sanduíche A Sanduíche B 
queijo 18g 10g 
salada 26g 33g 
rosbife 23g 12g 
atum - 16g 
 
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches 
do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual foi a 
quantidade necessária de cada ingrediente para a 
preparação desses 16 sanduíches? Represente-a 
na forma de produto de matrizes. 
 
40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa 
utilizando materiais diferentes. Considere a matriz 
A = (aij) abaixo, 
 
A = 










124
310
205
, na qual aij representa quantas uni-
dades do material j serão empregadas para fabri-
car uma roupa do tipo i. 
 
a) Quantas unidades do material 3 serão em-
pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? 
 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que 
será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 
1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como 
grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional 
Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz 
de 453.060 linhas e colunas. 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
Apostila atualizada em 6/8/2017 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.3. 
 
 
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