Calculo numerico av 1

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Disciplina: Cálculo Numérico (MAT28) 
Avaliação: Avaliação I - Individual Semipresencial 
Prova: 
Nota da Prova: 9,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que qualquer polinômio com 
coeficientes complexos de grau maior ou igual que um, tem pelo menos uma raiz 
complexa. Portanto, podemos afirmar que uma equação com coeficientes complexos 
pode ter apenas uma raiz complexa, o que não acontece com equações com 
coeficientes reais, nesse caso se temos uma raiz complexa, o conjugado desse 
número também será uma raiz da equação. Quais dos números a seguir são raízes da 
equação do terceiro grau: 
 
 a) - 2 e 2 
 b) 2 - i e - 2 
 c) 2 - i e 2 + i 
 d) - 2 e - 1 
 
2. Para que uma equação do segundo grau apresente como solução duas raízes reais e 
distintas, é necessário que o discriminante seja positivo. Dada a equação x² - 4x + 2k 
= 0, para quais valores de k a equação tem duas raízes reais e distintas? 
 a) k > 4 
 b) k < 2 
 c) k > 2 
 d) k < 4 
 
3. No campo das ciências exatas, os sistemas de equações são utilizados na organização 
de informações, que são agrupadas em linhas e colunas, formando agrupamentos 
retangulares, chamados de matrizes. Estas matrizes, em geral, são tabelas de dados 
numéricos oriundos de observações físicas que ocorrem em vários contextos das 
diversas áreas do conhecimento, como: Matemática, Física, Química, Engenharia 
etc. Na sequência, será apresentado um estudo de caso envolvendo uma empresa que 
trabalha com a realização de eventos festivos: 
 
O sr. Geraldo pertence ao grupo de empresários que atuam no ramo de organização 
de eventos. Segundo o sr. Geraldo, os eventos festivos movimentam bilhões de reais 
por ano e, nesse caso, pedir ajuda para um especialista é investir para não ficar 
estressado. De acordo com a opinião do sr. Geraldo, prestar uma consultoria 
completa para que os clientes não fiquem perdidos em meio a tantas ofertas e 
detalhes não é mais uma novidade no mercado de serviços. A GL Organização de 
Eventos entra em jogo para organizar os custos de cada cliente e para apresentar 
fornecedores, centralizar contratos, negociar pagamentos etc. Minutos antes do 
evento, a empresa certifica-se de que todas as encomendas chegaram (das flores aos 
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doces), cuida da organização e da festa. O sr. Geraldo e toda sua equipe adoram esse 
trabalho, tendo em vista que a recompensa de ver o evento animado, o cliente feliz, 
não tem preço. É dessa forma que cada evento é feito sob medida, com atendimento 
personalizado, flexibilidade e organização, tudo para que o sonho se torne realidade. 
Em contato com o sr. Geraldo, foi possível obter informações referentes aos 
seguintes eventos: festa de batizado, debutantes e casamento. Os gastos por evento 
estão relacionados na tabela a seguir: 
 
 a) O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de 
R$80.000,00. E o casamento tem o valor de R$60.000,00. 
 b) O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de 
R$75.000,00. E o casamento tem o valor de R$65.000,00. 
 c) O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de 
R$70.000,00. E o casamento tem o valor de R$65.000,00. 
 d) O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de 
R$75.000,00. E o casamento tem o valor de R$60.000,00. 
 
4. João é caixa de uma loja e no início do dia ele abasteceu o caixa com notas de R$ 
2,00 e R$ 5,00. Ele sabe que recebeu ao todo R$ 286,00 e que, ao todo, recebeu 80 
notas. João quer saber quantas notas de R$ 2,00 e R$ 5,00 ele recebeu. Se João 
resolver o sistema linear que é formado pelo problema usando o Método de Gauss 
Jordan, ele transformará a matriz ampliada em qual das matrizes a seguir? 
 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
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5. O método de Gauss é um método que transforma a matriz estendida em uma matriz 
triangular superior através de operações elementares (pivotamentos), que consistem 
em trocar uma linha pela linha mais uma constante vezes outra linha. Usando o 
método de Gauss, transformamos a matriz estendida 
 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
6. Podemos resolver sistemas lineares através de vários métodos. Um desses métodos é 
a Regra de Cramer, porém este método só pode ser utilizado para resolver sistemas 
lineares que tenham o número de equações igual ao número de incógnitas, já que usa 
determinante no seu desenvolvimento. Considere o sistema linear a seguir: 
 
 a) x = 1 
 b) x = - 2 
 c) x = 3 
 d) x = - 1 
 
7. Quando estudamos os Sistemas de Equações Lineares, deparamos com situações 
diversas, na qual se classificam em: possível e determinado, possível e 
indeterminado, indeterminado, convergente ou divergente. Para verificar se um 
Sistema de Equações Lineares é Convergente ou Divergente, existem dois critérios. 
O primeiro se chama Critério de Linhas, e diz o seguinte: para cada linha k da matriz 
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de coeficientes de um sistema, considere a soma dos elementos desta linha em seus 
valores absolutos com exceção do valor que pertence à diagonal principal, tendo em 
vista que esse valor irá dividir a soma. Realizando este processo para todas as linhas, 
é necessário verificar se o maior deles é menor do que a unidade. Se for, a sequência 
de elementos que encontraremos no processo de iteração converge para a solução do 
sistema. O segundo critério recebe o nome Sassenfeld, ou seja, Gauss-Seidel, que 
também gera uma sequência (x^k) convergente para a solução do sistema, 
independentemente da escolha da aproximação inicial xo. Além disso, quanto menor 
for o valor adotado para B, mais rápida será a convergência. Trabalhando com o 
critério de linhas, método de Jacobi e, ao mesmo tempo, com o método de Gauss-
Seidel, critério de Sassenfeld, faça uma análise do sistema linear a seguir, 
verificando se o resultado é convergente ou divergente e, na sequência, assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
 a) O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
 b) O sistema satisfaz somente o critério de linhas, convergência garantida. 
 c) O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo. 
 d) O sistema satisfaz os dois métodos, ou seja, os dois critérios garantem a 
convergência. 
 
8. Usando o método de Gauss-Seidel, podemos resolver sistemas lineares com uma 
aproximação da solução. O sistema linearAX = B foi resolvido com o método de 
Gauss-Seidel e foi encontrada a seguinte tabela: 
 
 a) x = 3,125 e y = 3,0625. 
 b) x = 0,625 e y = 1,0625. 
 c) x = 1,875 e y = 0,9375. 
 d) x = 0,25 e y = 0,3125. 
 
9. O modelo matemático para uma situação-problema deve representar de forma 
eficiente o fenômeno que está ocorrendo no mundo físico. Normalmente, isso exige 
simplificações no modelo físico para que se possa obter um problema matemático 
viável de ser resolvido. O processo de simplificação é, inevitavelmente, uma fonte de 
erros, o que pode, ao final da resolução do problema, implicar na necessidade de 
reconstruir o seu modelo. Baseado nos tipos de erros que podem ocorrer durante o 
processo de resolução numérica de uma situação-problema, analise as seguintes 
sentenças: 
 
I- Os erros de modelagem podem ser evitados, desde que se faça a escolha correta do 
modelo matemático a ser adotado. 
II- Os erros de arredondamento e os erros de truncagem surgem durante o processo 
de resolução numérica do problema. 
III- A propagação dos erros se deve ao fato de um ou mais erros cometidos durante o 
processo ser carregado até o final, interferindo nos cálculos intermediários. 
IV- A classificação dos tipos de erros pode ser diferente, dependendo da forma como 
a situação-problema é analisada. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I e IV estão corretas. 
 b) As sentenças II e III estão corretas. 
 c) As sentenças III e IV estão corretas. 
 d) As sentenças I e II estão corretas. 
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10. Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas escrito na forma matricial 
Ax=b. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Se duas linhas da matriz ampliada S=[A:b] são iguais, então o sistema tem uma 
única solução. 
II- A matriz A é uma matriz de ordem mxn e tem m.n elementos. 
III- Se o número de incógnitas for estritamente maior que o número de equações, 
então o sistema tem infinitas soluções. 
IV- Se o determinante da matriz A é igual a zero, então o sistema é impossível. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) I e II. 
 b) II e IV. 
 c) I e III. 
 d) II. 
 
Prova finalizada com 9 acertos e 1 questões erradas. 
 
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